初中數(shù)學(xué)數(shù)軸與函數(shù)應(yīng)用題集在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)旅程中，數(shù)軸與函數(shù)是兩個(gè)至關(guān)重要的概念。數(shù)軸不僅是我們理解數(shù)與形結(jié)合的起點(diǎn)，更是解決許多實(shí)際問題的直觀工具；而函數(shù)，則是描述現(xiàn)實(shí)世界中變量之間依存關(guān)系的強(qiáng)大數(shù)學(xué)模型。應(yīng)用題作為數(shù)學(xué)知識與實(shí)際生活聯(lián)系的橋梁，能夠有效檢驗(yàn)我們運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法解決問題的能力。本集將圍繞數(shù)軸與函數(shù)的應(yīng)用，通過一系列典型例題的剖析，幫助同學(xué)們掌握解題思路與技巧，提升分析問題和解決問題的能力。一、數(shù)軸的應(yīng)用數(shù)軸是一條規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長度的直線。它的引入，使得抽象的數(shù)與具體的點(diǎn)建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，為我們解決與距離、位置、運(yùn)動(dòng)等相關(guān)的問題提供了極大的便利。（一）數(shù)軸上的點(diǎn)與距離數(shù)軸上點(diǎn)的位置可以用數(shù)來表示，這個(gè)數(shù)叫做該點(diǎn)的坐標(biāo)。兩點(diǎn)之間的距離，即為這兩點(diǎn)坐標(biāo)差的絕對值。例題1：在一條東西走向的筆直公路上，依次有A、B、C三個(gè)地點(diǎn)。若以B地為原點(diǎn)，向東為正方向，1千米為單位長度建立數(shù)軸。已知A地的坐標(biāo)為-2，C地的坐標(biāo)為3。（1）A地位于B地的哪個(gè)方向？距離B地多遠(yuǎn)？C地呢？（2）A地與C地之間的距離是多少千米？分析與解答：（1）因?yàn)锳地的坐標(biāo)為-2，是負(fù)數(shù)，所以A地位于B地的西方。由于坐標(biāo)的絕對值是2，所以距離B地2千米。C地的坐標(biāo)為3，是正數(shù)，所以C地位于B地的東方，距離B地3千米。（2）A地坐標(biāo)為-2，C地坐標(biāo)為3。A、C兩地之間的距離可以通過計(jì)算兩點(diǎn)坐標(biāo)差的絕對值得到，即|3-(-2)|=|3+2|=5（千米）。所以，A地與C地之間相距5千米。解題思路：明確數(shù)軸三要素，特別是正方向的規(guī)定。點(diǎn)的坐標(biāo)的正負(fù)表示方向，坐標(biāo)的絕對值表示該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。求兩點(diǎn)間距離，直接應(yīng)用“兩點(diǎn)坐標(biāo)差的絕對值”這一結(jié)論。（二）行程問題與數(shù)軸利用數(shù)軸可以清晰地模擬物體在直線上的運(yùn)動(dòng)過程，直觀地表示出物體運(yùn)動(dòng)的方向和距離。例題2：一個(gè)點(diǎn)從數(shù)軸上的原點(diǎn)出發(fā)，先向右移動(dòng)3個(gè)單位長度，再向左移動(dòng)5個(gè)單位長度，此時(shí)這個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)是多少？若該點(diǎn)繼續(xù)向右移動(dòng)4個(gè)單位長度，最終這個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)是多少？分析與解答：從原點(diǎn)出發(fā)，原點(diǎn)表示的數(shù)是0。第一次移動(dòng)：向右移動(dòng)3個(gè)單位長度，此時(shí)點(diǎn)表示的數(shù)為0+3=3。第二次移動(dòng)：向左移動(dòng)5個(gè)單位長度，此時(shí)點(diǎn)表示的數(shù)為3-5=-2。所以，兩次移動(dòng)后，這個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)是-2。第三次移動(dòng)：繼續(xù)向右移動(dòng)4個(gè)單位長度，此時(shí)點(diǎn)表示的數(shù)為-2+4=2。因此，最終這個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)是2。解題思路：在數(shù)軸上，向右移動(dòng)對應(yīng)數(shù)的增加（加法），向左移動(dòng)對應(yīng)數(shù)的減少（減法）。可以分步計(jì)算，也可以將所有移動(dòng)過程合并為一個(gè)算式。二、函數(shù)的應(yīng)用函數(shù)描述了兩個(gè)變量之間的對應(yīng)關(guān)系，當(dāng)一個(gè)變量（自變量）的值確定時(shí)，另一個(gè)變量（因變量）的值也隨之唯一確定。在解決實(shí)際問題時(shí)，我們常常需要先建立函數(shù)關(guān)系，再利用函數(shù)的性質(zhì)來求解。（一）一次函數(shù)的應(yīng)用一次函數(shù)的表達(dá)式通常為y=kx+b（其中k、b為常數(shù)，且k≠0）。它的圖像是一條直線，其性質(zhì)（如增減性）在解決諸如成本、利潤、行程、工程等問題中有著廣泛的應(yīng)用。例題3：小明的媽媽開了一家小商店，銷售某種進(jìn)價(jià)為每件20元的商品。經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元，且x≥20）滿足一次函數(shù)關(guān)系：y=-10x+500。（1）若某天的銷售單價(jià)定為30元，這天能賣出多少件商品？（2）設(shè)每天的銷售利潤為w元，求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式（利潤=（售價(jià)-進(jìn)價(jià)）×銷售量）。（3）如果希望每天的銷售利潤為2000元，銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？分析與解答：（1）已知銷售單價(jià)x=30元，代入銷售量y與x的關(guān)系式y(tǒng)=-10x+500。y=-10×30+500=-300+500=200（件）。所以，這天能賣出200件商品。（2）銷售利潤w等于每件的利潤乘以銷售量。每件商品的進(jìn)價(jià)為20元，售價(jià)為x元，所以每件的利潤為(x-20)元。銷售量為y=-10x+500件。因此，w=(x-20)y=(x-20)(-10x+500)。展開并化簡：w=-10x2+500x+200x-____=-10x2+700x-____。所以，w與x之間的函數(shù)關(guān)系式為w=-10x2+700x-____。（3）根據(jù)題意，令w=2000，即：-10x2+700x-____=2000移項(xiàng)得：-10x2+700x-____=0兩邊同時(shí)除以-10：x2-70x+1200=0因式分解：(x-30)(x-40)=0解得：x?=30，x?=40。所以，銷售單價(jià)應(yīng)定為30元或40元。解題思路：1.理解題意，找出題目中的已知量、未知量以及它們之間的關(guān)系。2.對于涉及一次函數(shù)表達(dá)式的，直接利用給定的表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算（如第1問）。3.對于需要建立函數(shù)關(guān)系式的，根據(jù)題目中的等量關(guān)系（如利潤公式），將因變量用含自變量的代數(shù)式表示出來，并化簡。注意自變量的取值范圍要符合實(shí)際意義。4.對于已知函數(shù)值求自變量的值的問題，轉(zhuǎn)化為解方程求解，并檢驗(yàn)解的合理性。（二）分段函數(shù)的應(yīng)用在實(shí)際生活中，許多問題的函數(shù)關(guān)系并不是單一的表達(dá)式，而是在不同的取值范圍內(nèi)有不同的對應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù)。解決分段函數(shù)問題，關(guān)鍵在于明確自變量在不同區(qū)間所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式。例題4：某市為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，采用分段計(jì)費(fèi)的方法收取水費(fèi)。每月用水量不超過10噸的部分，每噸收費(fèi)2元；超過10噸的部分，每噸收費(fèi)3元。設(shè)某戶居民每月用水量為x噸，應(yīng)繳水費(fèi)為y元。（1）分別寫出0≤x≤10和x>10時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式。（2）若該戶居民5月份繳水費(fèi)28元，求該戶居民5月份的用水量。分析與解答：（1）當(dāng)0≤x≤10時(shí)，水費(fèi)按每噸2元計(jì)算，所以y=2x。當(dāng)x>10時(shí)，前10噸水費(fèi)為2×10=20元，超過10噸的部分為(x-10)噸，這部分水費(fèi)為3(x-10)元。所以總水費(fèi)y=20+3(x-10)=3x-10。綜上，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=2x(0≤x≤10)y=3x-10(x>10)（2）已知該戶居民5月份繳水費(fèi)28元。我們先判斷用水量是否超過10噸。若x=10，則應(yīng)繳水費(fèi)y=2×10=20元。28元>20元，所以用水量超過10噸。應(yīng)用x>10時(shí)的函數(shù)關(guān)系式：y=3x-10。令y=28，得3x-10=283x=38x=38/3≈12.67（噸）。由于用水量通常保留到小數(shù)點(diǎn)后兩位或根據(jù)實(shí)際情況處理，這里38/3是準(zhǔn)確值，約為12.67噸。所以，該戶居民5月份的用水量為38/3噸（或約12.67噸）。解題思路：1.仔細(xì)審題，明確分段的界限和每段的計(jì)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)。2.根據(jù)不同的自變量取值范圍，分別列出對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式。3.解決問題時(shí)，首先要判斷所給數(shù)據(jù)（如本題中的水費(fèi)28元）對應(yīng)的自變量取值范圍，再選用相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算。三、綜合應(yīng)用與解題策略數(shù)軸與函數(shù)的應(yīng)用往往不是孤立的，有時(shí)需要結(jié)合起來解決更復(fù)雜的問題。解決這類應(yīng)用題，一般遵循以下步驟：1.審清題意，明確關(guān)系：仔細(xì)閱讀題目，找出已知條件和所求問題，分析題目中涉及的量以及這些量之間的關(guān)系，特別是哪些是變量，哪些是常量。2.建立模型，列出表達(dá)式：根據(jù)量與量之間的關(guān)系，選擇合適的數(shù)學(xué)模型。如果涉及位置、距離、運(yùn)動(dòng)方向等，可考慮利用數(shù)軸；如果涉及兩個(gè)變量之間的依存關(guān)系，特別是變化趨勢，可考慮建立函數(shù)關(guān)系（一次函數(shù)、分段函數(shù)等），并寫出函數(shù)表達(dá)式，注意標(biāo)明自變量的取值范圍。3.運(yùn)用知識，求解驗(yàn)證：利用數(shù)軸的性質(zhì)或函數(shù)的解析式、圖像、性質(zhì)等進(jìn)行計(jì)算或推理，求出結(jié)果。最后，一定要檢驗(yàn)結(jié)果是否符合實(shí)際意義，是否正確。例題5：A、B兩地相距20千米，甲、乙兩人分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行。甲的速度為每小時(shí)4千米，乙的速度為每小時(shí)6千米。設(shè)行走時(shí)間為t小時(shí)，兩人之間的距離為s千米。（1）請以A地為原點(diǎn)，向東為正方向，1千米為單位長度建立數(shù)軸，并在數(shù)軸上標(biāo)出A、B兩地的位置（假設(shè)B地在A地的東方）。（2）寫出s與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出兩人相遇時(shí)t的值。分析與解答：（1）以A地為原點(diǎn)，A地坐標(biāo)為0。B地在A地東方20千米處，所以B地坐標(biāo)為20。數(shù)軸表示（此處文字描述）：原點(diǎn)O（A地，0），點(diǎn)B在原點(diǎn)右側(cè)20個(gè)單位長度處（坐標(biāo)20）。（2）甲從A地出發(fā)，速度為4千米/小時(shí)，t小時(shí)后，甲在數(shù)軸上的位置坐標(biāo)為0+4t=4t。乙從B地出發(fā)，速度為6千米/小時(shí)，t小時(shí)后，乙在數(shù)軸上的位置坐標(biāo)為20-6t（因?yàn)槭窍嘞蚨?，向西運(yùn)動(dòng)，所以用減法）。兩人之間的距離s，即為兩人位置坐標(biāo)差的絕對值，所以s=|4t-(20-6t)|=|10t-20|。接下來分析t的取值范圍：*兩人相遇前，即4t<20-6t，解得t<2。此時(shí)，10t-20<0，所以s=|10t-20|=20-10t。*兩人相遇時(shí)，4t=20-6t，解得t=2。此時(shí)，s=0。*兩人相遇后，繼續(xù)前行，即t>2。此時(shí)，10t-20>0，所以s=|10t-20|=10t-20。但題目問的是兩人之間的距離，相遇后距離又會(huì)逐漸增大，但通常在此類問題中，若未說明繼續(xù)行走的時(shí)間限制，我們主要關(guān)注相遇前的情況及相遇時(shí)刻。不過，嚴(yán)格來說s與t的函數(shù)關(guān)系式是分段的。但根據(jù)題目“兩人之間的距離為s千米”，通常包含相遇前后。不過，若只求相遇時(shí)t的值，可直接令s=0，即|10t-20|=0，解得t=2。所以，s與t之間的函數(shù)關(guān)系式為s=|10t-20|。兩人相遇時(shí)t的值為2小時(shí)。解題思路：本題綜合運(yùn)用了數(shù)軸和函數(shù)的知識。首先利用數(shù)軸表示兩人的位置，再根據(jù)速度、時(shí)間、路程的關(guān)系表示出t時(shí)刻兩人的位置坐標(biāo)，進(jìn)而利用數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離公式得到s與t的函數(shù)關(guān)系（這里是