專題13外接球、內(nèi)切球與棱切球問(wèn)題【目錄】TOC\o"13"\h\z\u 2 3 4 4 10考點(diǎn)一：正方體、長(zhǎng)方體外接球 10考點(diǎn)二：正四面體外接球 12考點(diǎn)三：對(duì)棱相等的三棱錐外接球 14考點(diǎn)四：直棱柱外接球 17考點(diǎn)五：直棱錐外接球 20考點(diǎn)六：正棱錐與側(cè)棱相等模型 22考點(diǎn)七：側(cè)棱為外接球直徑模型 26考點(diǎn)八：共斜邊拼接模型 28考點(diǎn)九：垂面模型 32考點(diǎn)十：二面角模型 34考點(diǎn)十一：坐標(biāo)法 38考點(diǎn)十二：圓錐圓柱圓臺(tái)模型 42考點(diǎn)十三：錐體內(nèi)切球 45考點(diǎn)十四：棱切球 49縱觀近幾年高考對(duì)于組合體的考查，與球相關(guān)的外接與內(nèi)切問(wèn)題是高考命題的熱點(diǎn)之一．高考命題小題綜合化傾向尤為明顯，要求學(xué)生有較強(qiáng)的空間想象能力和準(zhǔn)確的計(jì)算能力，才能順利解答．從近幾年全國(guó)高考命題來(lái)看，這部分內(nèi)容以選擇題、填空題為主，大題很少見(jiàn)，此部分是重點(diǎn)也是一個(gè)難點(diǎn)，屬于中等難度．考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析外接球2022年乙卷第12題，5分2022年II卷第7題，5分2022年I卷第8題，5分2021年甲卷第11題，5分【命題預(yù)測(cè)】預(yù)測(cè)2024年高考，多以小題形式出現(xiàn)，也有可能會(huì)將其滲透在解答題的表達(dá)之中，相對(duì)獨(dú)立．具體估計(jì)為：（1）以選擇題或填空題形式出現(xiàn)，考查學(xué)生的綜合推理能力．（2）熱點(diǎn)是錐體內(nèi)切球與棱切球問(wèn)題．內(nèi)切球2020年III卷第16題，5分棱切球2023年I卷第1題，5分1、補(bǔ)成長(zhǎng)方體（1）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，則可將其放入某個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)，如圖1所示．（2）若三棱錐的四個(gè)面均是直角三角形，則此時(shí)可構(gòu)造長(zhǎng)方體，如圖2所示．（4）若三棱錐的對(duì)棱兩兩相等，則可將其放入某個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)，如圖4所示圖1圖2圖3圖41．（2022?乙卷）已知球的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為A． B． C． D．【答案】【解析】對(duì)于圓內(nèi)接四邊形，如圖所示，當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，底面一定為正方形，設(shè)底面邊長(zhǎng)為，底面所在圓的半徑為，故選：．2．（2022?新高考Ⅱ）已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長(zhǎng)分別為和，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為【答案】當(dāng)球心在臺(tái)體內(nèi)時(shí)，如圖，故選：．A．， B．， C．， D．，【答案】設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為，即該正四棱錐體積的取值范圍是，，故選：．4．（2021?天津）兩個(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同一截面，頂點(diǎn)均在球面上，若球的體積為，兩個(gè)圓錐的高之比為，則這兩個(gè)圓錐的體積之和為A． B． C． D．【答案】故選：．A． B． C． D．【答案】故選：．【解析】設(shè)球的半徑為，當(dāng)球是正方體的外接球時(shí)，恰好經(jīng)過(guò)正方體的每個(gè)頂點(diǎn)，所求的球的半徑最大，若半徑變得更大，球會(huì)包含正方體，導(dǎo)致球面和棱沒(méi)有交點(diǎn)，分別取側(cè)枝，，，的中點(diǎn)，，，，即的最小值為，【答案】12．連接，，，，，如圖，球與棱相切，球面與棱只有一個(gè)交點(diǎn)，以為直徑的球面與正方體每條棱的交點(diǎn)總數(shù)為12．故答案為：12．8．（2020?新課標(biāo)Ⅲ）已知圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為．【解析】因?yàn)閳A錐內(nèi)半徑最大的球應(yīng)該為該圓錐的內(nèi)切球，不妨設(shè)該內(nèi)切球與母線切于點(diǎn)，考點(diǎn)一：正方體、長(zhǎng)方體外接球1、正方體的外接球的球心為其體對(duì)角線的中點(diǎn)，半徑為體對(duì)角線長(zhǎng)的一半．2、長(zhǎng)方體的外接球的球心為其體對(duì)角線的中點(diǎn)，半徑為體對(duì)角線長(zhǎng)的一半．例1．（2023·四川·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）若球的表面積為，則頂點(diǎn)均在該球球面上的正方體體積為（

）A．256 B．64 C．27 D．8【答案】B【解析】因?yàn)榍虻谋砻娣e為，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，因?yàn)檎襟w外接球的直徑為正方體的體對(duì)角線，故選：B例2．（2023·四川巴中·統(tǒng)考一模）已知長(zhǎng)方體的表面積為22，過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)之和為6，則該長(zhǎng)方體外接球的表面積為.【答案】故答案為：【答案】故答案為：.考點(diǎn)二：正四面體外接球A． B． C． D．【答案】C將正四面體放入正方體中，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為，如圖所示：故選：C.例5．（2023·天津北辰·統(tǒng)考三模）中國(guó)雕刻技藝舉世聞名，雕刻技藝的代表作“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相當(dāng)繁復(fù)，成品美輪美奐．1966年，玉石雕刻大師吳公炎將這一雕刻技藝應(yīng)用到玉雕之中，他把玉石鏤成多層圓球，層次重疊，每層都可靈活自如的轉(zhuǎn)動(dòng)，是中國(guó)玉雕工藝的一個(gè)重大突破.今一雕刻大師在棱長(zhǎng)為12的整塊正方體玉石內(nèi)部套雕出一個(gè)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)的球，在球內(nèi)部又套雕出一個(gè)正四面體（所有棱長(zhǎng)均相等的三棱錐），若不計(jì)各層厚度和損失，則最內(nèi)層正四面體的棱長(zhǎng)最長(zhǎng)為（

）【答案】A【解析】由題意，球是正方體的內(nèi)切球，且該球?yàn)檎拿骟w的外接球時(shí)，四面體的棱長(zhǎng)最大，故選：A例6．（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知正四面體的各棱長(zhǎng)均為，各頂點(diǎn)均在同一球面上，則該球的表面積為（

）【答案】D【解析】故選：D．考點(diǎn)三：對(duì)棱相等的三棱錐外接球【答案】B故答案為：B.【答案】A設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、c，則該棱錐外接球的半徑即為該長(zhǎng)方體外接球的半徑，故選：A．所以可以把，，，四點(diǎn)放到長(zhǎng)方體的四個(gè)頂點(diǎn)上，則該長(zhǎng)方體的體對(duì)角線就是鞠的直徑，設(shè)該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，，，鞠的半徑為，故選：．考點(diǎn)四：直棱柱外接球如圖1，圖2，圖3，直三棱柱內(nèi)接于球（同時(shí)直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）圖1圖2圖3A． B． C． D．【答案】A故選：A.A．12π B．24π C．48π D．96π【答案】C故選：C.【答案】D故選：D【答案】D故選D．考點(diǎn)五：直棱錐外接球解題步驟：A． B． C． D．【答案】C三棱錐的外接球即長(zhǎng)方體的外接球，長(zhǎng)方體的對(duì)角線是外接球的直徑，設(shè)外接球的半徑為R，故選：C．【答案】D故選：D.【答案】A故選：A考點(diǎn)六：正棱錐與側(cè)棱相等模型2、側(cè)棱相等模型：解題步驟：A． B． C． D．【答案】A【解析】取SC中點(diǎn)M，連接AM、MB，因?yàn)椤鱏AC是等邊三角形，且SB＝BC，∴AM⊥SC，MB⊥SC，∴SC⊥平面AMB，∴球心O在平面AMB上，作⊥平面SAC，可得為等邊三角形SAC的中心，取AB中點(diǎn)N，連接ON，∴ON⊥AB，∴∠MAB＝90°，故選：A．例18．（2023·河北保定·高三定州市第二中學(xué)校考階段練習(xí)）已知正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為3，側(cè)棱長(zhǎng)為2，且頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為．【答案】如圖：故答案為：．【答案】球心O在直線PQ上，連接AO，設(shè)球O的半徑為r，故答案為：.考點(diǎn)七：側(cè)棱為外接球直徑模型找球心，然后作底面的垂線，構(gòu)造直角三角形．例21．（2023·江蘇南通·高三海安市曲塘中學(xué)?？计谀┰谌忮FPABC中，已知△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，PA為此三棱錐外接球O的直徑，PA＝4，則點(diǎn)P到底面ABC的距離為（

）【答案】D【解析】設(shè)點(diǎn)P到底面ABC的距離為，點(diǎn)到底面ABC的距離為，故選：D.A． B． C． D．故選：．A． B． C． D．【解析】解：根據(jù)題意作出圖形：故選：．考點(diǎn)八：共斜邊拼接模型【答案】B故選：B．【答案】C故選：C．【答案】D【解析】如圖所示：設(shè)SC的中點(diǎn)為O，AB的中點(diǎn)為D，連接OA、OB、OD，所以O(shè)為其外接球的球心，設(shè)球的半徑為R，故選：D考點(diǎn)九：垂面模型圖1圖2【答案】C故選：C.【答案】A故選：A.A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)四棱錐外接球的半徑為，為正方形ABCD中心，為等邊三角形PAB中心，故選：C．考點(diǎn)十：二面角模型【答案】C故選：C.【答案】C故選：C.【答案】B故選：B考點(diǎn)十一：坐標(biāo)法【解析】如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，【答案】B故選：B．

【答案】B故選：B.A． B． C． D．【答案】C【解析】故選：C考點(diǎn)十二：圓錐圓柱圓臺(tái)模型1、球內(nèi)接圓錐2、球內(nèi)接圓柱3、球內(nèi)接圓臺(tái)【答案】B設(shè)臺(tái)體的高為，設(shè)外接球的半徑為，故選：B例38．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓錐的頂點(diǎn)和底面圓周均在球的球面上.若該圓錐的底面半徑為，高為6，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C設(shè)球心到圓錐底面的距離為，故選：C例39．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為2，母線與軸的夾角為60°，且上、下底面的面積之比為1：4，則該圓臺(tái)外接球的表面積為（

）【答案】C【解析】故選：C.例40．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，半徑為4的球中有一內(nèi)接圓柱，當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，球的表面積與圓柱的表面積之差為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖.故選：D．考點(diǎn)十三：錐體內(nèi)切球【答案】【解析】由題意，畫(huà)出圓臺(tái)的直觀圖，其中為圓臺(tái)的母線長(zhǎng)，，分別為上、下底面的圓心，點(diǎn)為內(nèi)切球的球心，點(diǎn)為球與圓臺(tái)側(cè)面相切的一個(gè)切點(diǎn).故答案為：【答案】/【解析】如圖所示：故答案為：.【答案】【解析】如圖，作出該圓錐與其內(nèi)切球的軸截面圖形，設(shè)該內(nèi)切球的球心為，內(nèi)切球的半徑為，為切點(diǎn)，故答案為：.【答案】/即此三棱錐的對(duì)棱相