小波分析理論基礎(chǔ)概述1.1從傅里葉變換到小波變換傅里葉變換的基本思想將復(fù)雜函數(shù)近似為簡(jiǎn)單函數(shù)的加權(quán)和。這其中的簡(jiǎn)單函數(shù)就指正弦函數(shù)。這樣的表示為我們提供了原始信號(hào)的頻率內(nèi)容，傅里葉表示法已用于信號(hào)分析的各種領(lǐng)域。對(duì)信號(hào)ft，F(xiàn)ω逆變換定義為ft由于傅里葉變換使用正弦曲線作為基函數(shù)，因此這樣的表示存在一個(gè)主要缺點(diǎn)。正弦曲線在時(shí)間上延伸到無(wú)窮大，并且頻率保持不變，因此，它們不能用于近似非平穩(wěn)信號(hào)。這是因?yàn)楦盗⑷~表示僅提供信號(hào)的頻譜內(nèi)容，而沒(méi)有關(guān)于頻譜分量的時(shí)間定位的指示。傅里葉變換假設(shè)時(shí)域信號(hào)的頻率分量是不隨著時(shí)間改變的，而我們現(xiàn)實(shí)中所接觸到的大部分信號(hào)的頻率都是隨著時(shí)間而變化的，如多普勒效應(yīng)。短時(shí)傅里葉變換STFT正是后續(xù)的研究人員針對(duì)這個(gè)缺點(diǎn)所發(fā)明，STFT用一個(gè)稱為窗口的函數(shù)將輸入信號(hào)分成很多段，并對(duì)每個(gè)分段進(jìn)行分析。由于傅立葉變換是針對(duì)信號(hào)的每個(gè)加窗（即時(shí)間本地化）的片段計(jì)算的，因此STFT能夠提供真實(shí)的時(shí)頻表示。對(duì)于信號(hào)ftGf其中函數(shù)g為窗函數(shù)。經(jīng)f(t)g短時(shí)傅里葉變換使用相同的窗口來(lái)分析整個(gè)信號(hào)，并且一旦選擇了窗口大小，它便是固定的并且與頻率無(wú)關(guān)。STFT能夠使用窄窗口（寬帶頻率分析）分析高頻分量，或者使用寬窗口（窄帶頻率分析）分析低頻分量，但不能同時(shí)分析兩者。為解決這一問(wèn)題，J.Morlet提出了一個(gè)巧妙的想法：即使用不同的窗口函數(shù)來(lái)分析不同的頻帶，從而引出了小波變換。在繼承了短時(shí)傅里葉變換的思想的基礎(chǔ)下，這種新的算法提供了可變的窗口，小波振幅的平均值為0，其持續(xù)時(shí)間有限，頻率和振幅會(huì)存在突然變化，小波基的平移對(duì)應(yīng)于窗口位移。由于這些窗函數(shù)的“小且振蕩”性質(zhì)，Morlet將其基函數(shù)命名為恒定形狀的“小波”。1.2連續(xù)小波變換小波變換則可以認(rèn)為將傅里葉變換中的正弦波替換為一系列小波，可用公式2.4表示：C函數(shù)fx和以ψ(x)W上式中a為伸縮因子；b為平移因子，用于指定沿x軸平移的位置。從上式還可得到連續(xù)小波的逆變換為：f其中Cψ為母小波ψ(x)C其中ψω是ψ1.1.1二維小波變換將小波變換由一維拓展到二維就可以得到二維小波變換，其原理是相同的，二維小波變換定義為：W其中，bx而ψ從而可以證明，二維連續(xù)小波逆變換為：f1.3離散小波變換連續(xù)小波經(jīng)過(guò)采樣和量化后具有了離散的輸入和離散的輸出。但是和以往的傅里葉變換不同，這里的離散化不再是針對(duì)時(shí)間t，而伸縮因子a和平移因子b。這一節(jié)我們將討論離散位移和離散尺度下的小波變換。離散化尺度：a取a0m，m是正整數(shù)，離散化位移：當(dāng)a0=a00時(shí)，b=b0，各個(gè)位移取k?ψ相應(yīng)地小波變換系數(shù)可以表示為：<f，取a0ψ此時(shí)相應(yīng)的小波變換系數(shù)可記作：cDWT所得到的變換系數(shù)也能穩(wěn)定地重構(gòu)信號(hào)。具體證明將于下節(jié)討論。在應(yīng)用方面，利用多個(gè)濾波器實(shí)現(xiàn)離散小波變換。這種方法由Mallat在1989年提出。如圖2-1所示為Mallat算法的雙通道濾波過(guò)程。SSignal低通濾波器高通濾波器A(approximations)D(detail)圖2-SEQ圖2-\*ARABIC1雙通道濾波過(guò)程圖中Signal為原始輸入信號(hào)，A表示信號(hào)的近似值，D表示信號(hào)的細(xì)節(jié)值。低通濾波器和高通濾波器所組成的樹(shù)形結(jié)構(gòu)就是離散小波變換的過(guò)程。上圖的分解實(shí)質(zhì)為對(duì)信號(hào)進(jìn)行了一級(jí)小波分解。想要進(jìn)行多級(jí)小波分解時(shí)，只需要重復(fù)上圖的樹(shù)形過(guò)程即可。通常在多級(jí)分解時(shí)候，下一級(jí)的分解輸入為上一級(jí)的低頻分解輸出。如圖2-2所示樹(shù)形小波分解結(jié)構(gòu)就是這種算法的結(jié)構(gòu)。SScA1cD1cA2cD22cA3cD3圖2-SEQ圖2-\*ARABIC2小波分解樹(shù)針對(duì)不同的需求，如果我們對(duì)圖像信號(hào)需要既分解低頻分量，還要更精細(xì)地處理高頻分量，如下圖2-3所示。SSA1D1A2D2A3D3A4D4A5D5A6D6A7D7圖2-SEQ圖2-\*ARABIC3三級(jí)小波包分解樹(shù)通過(guò)這樣的樹(shù)結(jié)構(gòu)濾波器處理后的圖像信號(hào)可以通過(guò)降采樣來(lái)減少數(shù)據(jù)量。如圖2-4所示，圖中↓表示降采樣濾波器。SSlowpasshighpass↓2↓2A1D1lowpasshighpass↓2↓2A2D2圖2-SEQ圖2-\*ARABIC4降采樣的兩級(jí)小波分解1.4多分辨率分析和正交小波變換單一分辨率將不適用于分析變化差異較大的信號(hào)，即如果某信號(hào)在一個(gè)區(qū)段時(shí)而迅速變化又突然變化緩和。這就是多分辨率分析要解決的問(wèn)題。在一級(jí)小波分解之后繼續(xù)進(jìn)行分解分析，這樣的分解過(guò)程和分析方法就稱為多分辨率分析，這也是小波分析理論中的核心理論。多分辨率是指用多種分辨率來(lái)表示同一幅圖像，這是S.Mallat于1988年提出的概念。實(shí)際上多級(jí)小波分解的概念就是這樣的分析方法：使用多級(jí)小波分析處理時(shí)域圖像信號(hào)，從而得到不同分辨率的圖像。首先介紹兩個(gè)定義：（1）Riesz基：定義一個(gè)函數(shù)?x1.?j，k，j，k∈Z在1.存在0<A≤B<∞，有A對(duì)全體cj，k（2）R函數(shù)：如果由式ψm，k=?12mψt?于是我們可以給出正交小波的一般定義：設(shè)ψx如果ψj，k<則稱ψx以下為對(duì)分辨率分析的一般定義。Vj是L2R中所存在的很多嵌套的函數(shù)子空間，當(dāng)Vj符合以下性質(zhì)時(shí)，那么就可以認(rèn)為嵌套性V稠密性j∈ZVj=L2分立性j∈ZVj=尺度性fxRiesz基存在性??x=V0，?若?x?kk∈Z是V0的Riesz基?x=由上述說(shuō)明可知，對(duì)于{Vj}，若Wj是Vj關(guān)于L設(shè)ψj，kn∈Z是L2中的標(biāo)準(zhǔn)正交基，則從投影的角度講，對(duì)任意f∈L2A而fx在Wj上的投影就是D令A(yù)D上式說(shuō)明，Ajdf和Djdf可以獨(dú)立地重構(gòu)fx在而在實(shí)際問(wèn)題中，我們不會(huì)計(jì)算Djdf