專(zhuān)題02基本初等函數(shù)及其性質(zhì)一、單選題1．（2022·浙江·高考真題）已知，則（

）A．25 B．5 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，冪的運(yùn)算性質(zhì)以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可解出．【詳解】因?yàn)?，，即，所以．故選：C.2．（2020?北京卷）已知函數(shù)，則不等式的解集是（）．A. B.C. D.【答案】D【解析】作出函數(shù)和的圖象，觀察圖象可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以等價(jià)于，在同一直角坐標(biāo)系中作出和的圖象如圖：兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為，不等式的解為或.所以不等式的解集為：.故選：D.3．（2022·全國(guó)·高考真題（文））如圖是下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)在區(qū)間的大致圖像，則該函數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由函數(shù)圖像的特征結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)排除即可得解.【詳解】設(shè)，則，故排除B;設(shè)，當(dāng)時(shí)，，所以，故排除C;設(shè)，則，故排除D.故選：A.4．（2022·北京·高考真題）己知函數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】直接代入計(jì)算，注意通分不要計(jì)算錯(cuò)誤．【詳解】，故A錯(cuò)誤，C正確；，不是常數(shù)，故BD錯(cuò)誤；故選：C．5．（2022·全國(guó)·高考真題（文））已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)指對(duì)互化以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可知，再利用基本不等式，換底公式可得，，然后由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可解出．【詳解】由可得，而，所以，即，所以．又，所以，即，所以．綜上，．故選：A.6．（2022·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，則（

）A． B． C．0 D．1【答案】A【分析】根據(jù)題意賦值即可知函數(shù)的一個(gè)周期為，求出函數(shù)一個(gè)周期中的的值，即可解出．【詳解】因?yàn)?，令可得，，所以，令可得，，即，所以函?shù)為偶函數(shù)，令得，，即有，從而可知，，故，即，所以函數(shù)的一個(gè)周期為．因?yàn)?，，，，，所以一個(gè)周期內(nèi)的．由于22除以6余4，所以．故選：A．7．（2022·全國(guó)·高考真題）設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)，導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定的大小.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，設(shè)，則,令，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，所以故選：C.8．（2022·天津·南開(kāi)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】函數(shù)，均有有兩個(gè)零點(diǎn)，分類(lèi)討論每部分的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，結(jié)合零點(diǎn)分布處理．【詳解】∵，則二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)若恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則，得此時(shí)無(wú)零點(diǎn)，則，解得則若無(wú)零點(diǎn)，則，得此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)，則，得則若有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則得，或，得或，經(jīng)檢驗(yàn)不合題意則此時(shí)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則，解得且則且綜上所述：故選：B．9．（2022·青海·海東市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知函數(shù)，若是奇函數(shù)，則（

）A．1 B．2 C． D．【答案】A【分析】由是奇函數(shù)，可以得到關(guān)于a的方程組，解之即可得到a的值.【詳解】由是奇函數(shù),知，即，由x的任意性，得，得，解得．經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.故選：A10．（2022·上海浦東新·二模）已知，，，實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，設(shè)，，現(xiàn)有如下兩個(gè)結(jié)論：①對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，存在實(shí)數(shù)，使得；②存在實(shí)數(shù)，對(duì)于任意的，都有；則（

）A．①②均正確 B．①②均不正確C．①正確，②不正確 D．①不正確，②正確【答案】C【分析】對(duì)①，根據(jù)，的幾何意義，判斷得出與一定有兩個(gè)交點(diǎn)分析即可對(duì)②，通過(guò)化簡(jiǎn)，將題意轉(zhuǎn)換為：存在實(shí)數(shù)，使得在上為減函數(shù)，再分析出當(dāng)時(shí)函數(shù)有增區(qū)間，推出矛盾即可【詳解】對(duì)①，的幾何意義為與兩點(diǎn)間的斜率，同理的幾何意義為與兩點(diǎn)間的斜率.數(shù)形結(jié)合可得，當(dāng)時(shí)，存在；當(dāng)時(shí)，存在，使得，即成立.即對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，存在實(shí)數(shù)，使得，故①正確；對(duì)②，若存在實(shí)數(shù)，對(duì)于任意的，都有，即，即，即.即存在實(shí)數(shù)，對(duì)于任意的，恒成立.設(shè)，則，即為減函數(shù).故原題意可轉(zhuǎn)化為：存在實(shí)數(shù)，使得在上為減函數(shù).因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，因?yàn)閷?duì)稱(chēng)軸為，故當(dāng)時(shí)一定為增函數(shù)，故不存在實(shí)數(shù)，使得在上為減函數(shù).故②錯(cuò)誤故選：C二、填空題11．（2021·全國(guó)·高考真題）寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)_______．①；②當(dāng)時(shí)，；③是奇函數(shù)．【答案】（答案不唯一，均滿(mǎn)足）【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可得所求的.【詳解】取，則，滿(mǎn)足①，，時(shí)有，滿(mǎn)足②，的定義域?yàn)?，又，故是奇函?shù)，滿(mǎn)足③.故答案為：（答案不唯一，均滿(mǎn)足）12．（2021·北京·高考真題）已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①若，恰有2個(gè)零點(diǎn)；②存在負(fù)數(shù)，使得恰有1個(gè)零點(diǎn)；③存在負(fù)數(shù)，使得恰有3個(gè)零點(diǎn)；④存在正數(shù)，使得恰有3個(gè)零點(diǎn)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_______．【答案】①②④【分析】由可得出，考查直線(xiàn)與曲線(xiàn)的左、右支分別相切的情形，利用方程思想以及數(shù)形結(jié)合可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，由，可得或，①正確；對(duì)于②，考查直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切于點(diǎn)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，由題意可得，解得，所以，存在，使得只有一個(gè)零點(diǎn)，②正確；對(duì)于③，當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)時(shí)，，解得，所以，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與曲線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則直線(xiàn)與曲線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)，直線(xiàn)與曲線(xiàn)有一個(gè)交點(diǎn)，所以，，此不等式無(wú)解，因此，不存在，使得函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，考查直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切于點(diǎn)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，由題意可得，解得，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，④正確.故答案為：①②④.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：已知函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根的情況，