2.3直線的交點及距離公式【知識儲備】1．兩條直線的交點坐標(1)兩條直線的交點坐標2．兩點間的距離公式3．點到直線的距離公式(1)定義：點P到直線l的距離，就是從點P到直線l的垂線段PQ的長度，其中Q是垂足.實質(zhì)上，點到直線的距離是直線上的點與直線外該點的連線的最短距離.(2)公式：4．兩條平行直線間的距離公式(1)定義兩條平行直線間的距離是指夾在兩條平行直線間的公垂線段的長.(2)公式5．中點坐標公式公式：6．點關于點的對稱7．直線關于點的對稱8．兩點關于某直線對稱9．直線關于直線的對稱【題型精講】【題型一直線的綜合運用】例1．（1）“a=0”是“直線(a?2)x+y+1=0與直線2x?(a+1)y?2=0互相平行”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件（2）直線l1：ax?y+2025=0，l2：3a?2x+ay?2a=0，若l1⊥A．0 B．1 C．0或1 D．13例2．當A?C>0,B?C<0時，直線l:Ax+By+C=0必經(jīng)過（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限例3．瑞士數(shù)學家歐拉在《三角形的幾何學》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上．這條直線被稱為歐拉線．已知△ABC的頂點A?3,0，B3,0，C3,3，若直線l：ax+a2?3y?9=0A．－2 B．－1 C．－1或3 D．3（1）當直線l在兩坐標軸上的截距相等時，求直線l方程；【題型精練】1．“m=3”是“直線l1:mx+y+m=0與l2A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．已知直線l1：a?1x+2y?1=0，直線l2：6x+ay+2?a=0，若l1//l2A．4 B．?3 C．34 3．直線2a+1x+ay+1=0和直線ax?3y+3=0垂直，則a的值為（

A．1 B．0或1 C．0或1 D．14．已知直線l:(a2+a+1)x?y+1=0A．當a=?1時，直線l與直線x+y=0垂直B．若直線l與直線x?y=0平行，則a=0C．直線l過定點(0,1)D．當a=0時，直線l在兩坐標軸上的截距相等5．已知直線l1：ax+a+1y+2=0，l2：A．l1恒過點2,?2 B．若l1C．若l1⊥l2，則a26．如果AB<0，BC<0，那么直線Ax+By+C=0經(jīng)過（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．若abc≠0，a+b+c≠0，且a+bc=b+ca=A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．數(shù)學家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直線上，這條直線后人稱之為三角形的歐拉線.已知ΔABC的頂點A(0,0),B(0,2),C(?6,0)，則其歐拉線的一般式方程為（

A．3x+y=1 B．3x?y=1 C．x+3y=0 D．x?3y=09．瑞士著名數(shù)學家歐拉在1765年證明了定理：三角形的外心?重心?垂心位于同一條直線上，這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”.已知平面直角坐標系中△ABC各頂點的坐標分別為A(0,0)，B(8,0)，C(0,6)，則其“歐拉線”的方程為.10．已知直線方程為(2?m)x+(2m+1)y+3m+4=0，其中m∈R.(1)求直線恒過定點的坐標.當m變化時，求點Q3,4(2)若直線分別與x軸?y軸的負半軸交于A,B兩點，求△AOB面積的最小值及此時的直線方程.11．已知直線l的方程為：2m+1(1)求證：不論m為何值，直線必過定點M；(2)過點M引直線l1，使它與兩坐標軸的正半軸所圍成的三角形面積最小，求l12．已知直線l:(2m+2)x+(1?4m)y?2m?7=0(1)證明：無論m為何值，直線l與直線x?2y?1=0總相交；(2)求點Q(2,4)到直線l距離的最大值；(3)若O為坐標原點，直線l與x，y軸的正半軸分別交于A，B兩點，求△AOB面積的最小值．【題型二直線的交點問題】A．1 B．2 C．1或2 D．1（2）已知直線l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x＋2y﹣5＝0，l3：x﹣ay﹣3＝0不能圍成三角形，則實數(shù)a的取值不可能為（

）A．1 B．13 C．﹣2 【題型精練】1．已知直線l1：x+y4=0，l2：xy+2=0和直線l3：axy+1(1)若存在一個三角形，它的三條邊所在的直線分別是l1，l2，l3(2)若直線l經(jīng)過l1和l2的交點，且點M?1,2到l2．若直線l1:3x+y=4,??l2A．23 B．?23 C．2【題型三直線的三種距離】（2）（最值問題）過定點A的直線a+1x?y+2=0與過定點B的直線x+a+1y?5a?2=0交于點P（P與A?BA．4 B．92 C．2 D．（3）（兩點間距離公式的幾何意義）設直線l:3x+2y?6=0，Pm,n為直線l上動點，則m?12+A．913 B．313 C．313A． B． C． D．【例5】已知a<0，若直線l1：ax+2y+1=0與直線l2：x+a+1A．724 B．522 C．5 【題型精練】A．0 B．2 C．4 D．3．已知點P2,3，點Q是直線上l：3x+4y+2=0的動點，則PQ的最小值為4．已知函數(shù)fx（1）求不等式fx（2）若fx的最小值為m，且實數(shù)a，b滿足3a?4b=2m，求a?25．在平面直角坐標系中，定義dP,Q=x1?x2+y1?y2為Px1,y1，Qx2,6．美術繪圖中常采用“三庭五眼”作圖法.三庭：將整個臉部按照發(fā)際線至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下頦的范圍分為上庭、中庭、下庭，各占臉長的13，五眼：指臉的寬度比例，以眼形長度為單位，把臉的寬度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如圖，假設三庭中一庭的高度為2cm，五眼中一眼的寬度為1cm，若圖中提供的直線AB近似記為該人像的劉海邊緣，且該人像的鼻尖位于中庭下邊界和第三眼的中點，則該人像鼻尖到劉海邊緣的距離約為（

A．524 C．924 7．已知點A在直線x+2y?1=0上，點B在直線x+2y+3=0上，線段AB的中點為P(x0,y0A．(?12,?15) B．(?【題型四對稱問題】【例6】（點關于點對稱）點A（5，8），B（4，1），則A點關于B點的對稱點C的坐標為_________．【例10】一條光線從點A2,4射出，傾斜角為60°，遇x軸后反射，則反射光線的直線方程為（A．3x?y+4?23=0C．3x+y+4?23=0【題型精練】2．已知直線l1:y=kx?2k+1與直線l2關于點1,0對稱，則lA．2,1 B．2,?1 C．0,?1 D．?1,?15.（2023春·山東東營·高二校考開學考試）已知：A0,4，B0,?4，C4,0，E0,2，F(xiàn)0,?2，一束光線從F點出發(fā)射到BC上的D點經(jīng)BC反射后，再經(jīng)AC反射，落到線段AEA．?∞,?14 B．?14【題型四綜合運用】【例11】我們在初中都接觸過用來表示直線的一次函數(shù)，我們稱形如y=kx+bk≠0的方程稱為直線的斜截式方程，其中，我們稱k為直線的斜率；特別地，若兩條直線的斜率k1，k2的乘積為?1，則稱這兩條直線互相垂直，進一步的，還可以將斜截式方程轉化為直線的一般式方程Ax+By+C=0（A，B不同時為0）或者點斜式方程y?y0=kx?x0k≠0，此時方程表示斜率為k的直線恒過定點x0,y0，若已知直線上兩點坐標x1,y1、x2,y2，則有兩點間距離s=x【例12】已知點M是直線y=x+1上一點，A(1,0),B(2,1)，則|AM|+|BM|的最小值為（

）A．2 B．22 C．1+2 【例13】（中線）已知△ABC的頂點A4,2，頂點C在x軸上，AB邊上的高所在的直線方程為x+2y+m=0(1)求直線AB的方程；(2)若AC邊上的中線所在的直線方程為x?y?4=0，求m的值.（角平分線）已知△ABC的頂點A(1,2)，B(?3,2)，直線AC(1)求過點A，且在兩坐標軸上截距相等的直線的一般式方程；(2)求角A的角平分線所在直線的一般式方程．（高線）已知△ABC頂點A0,2，邊AC上中線BD所在直線方程為x?3y+2=0，邊AB上的高所在直線方程為x+y?2=0(1)B點和C點的坐標：(2)在邊AC上是否存在一點P，使得BP平分∠ABC，若存在請求出點P坐標，若不存在，請說明理由.【題型精練】1．已知點A4,0，B0,4，從點P2,0射出光線經(jīng)直線AB反射后，再射到直線OB上，最后又經(jīng)直線OB反射回點PA．10 B．25 C．210 2．臺球賽的一種得分戰(zhàn)術手段叫做“斯諾克”：在白色本球與目標球之間，設置障礙，使得本球不能直接擊打目標球.如圖，某場比賽中，某選手被對手做成了一個“斯諾克”，本球需經(jīng)過邊BC，CD兩次反彈后擊打目標球N，點M到CD,BC的距離分別為200cm,60cm，點N到CD,BC的距離分別為80cm,120cm，將M，N看成質(zhì)點，本球在M點處，若擊打成功，則tanθ=3．已知直線l經(jīng)過點P2,1，且與x軸?y軸的正半軸交于A,B兩點，O(1)求直線l的一般式方程；(2)已知點M?3,1,Q為直線l上一動點，求試從①直線l的方向向量為v=?2,1；②直線l經(jīng)過2x+3y?8=0與x?y?4=0的交點；③4．已知m∈R，若過定點A的動直線l1:x?my+m?2=0和過定點B的動直線l2:mx+y?4+2m=0交于點P（P與A，A．B點的坐標為?2,4 B．PA2C．S△PAB最大值為252 D．25．已知△ABC的頂點A1,2,AB邊上的中線CM所在直線的方程為x+2y?1=0,∠ABC的平分線BH所在直線的方程為(1)求直線BC的方程和點C的坐標；(2)求△ABC的面積．6．已知△ABC頂點A3,3，邊AC上的高BH所在直線方程為x?y+6=0，邊AB上的中線CM所在的直線方程為5x?3y?14=0(1)求直線AC的方程：(2)求△ABC的面積.7．（1）已知△ABC的頂點A2,1，AB邊上的中線CM所在的直線方程為2x+y?1=0，AC邊上的高BH所在直線方程為x?y=0，求直線BC（2）求經(jīng)過點A2,1，且在x軸上的截距和y8．過點P3,0作一條直線l，它夾在兩條直線l1：2x?y?2=0和l2：x+y+3=0之間的線段恰被點P平分，則直線lA．8x+y?24=0 B．8x?y?24=0C．8x+y+24=0 D．x+8y+24=09．在ΔABC中，A(?1,2)，邊AC上的高BE所在的直線方程為7x+4y?46=0，邊AB上中線CM所在的直線方程為2x?11y+54=0.（1）求點C坐標；（2）求直線BC的方程.2.3直線的交點及距離公式【知識儲備】1．兩條直線的交點坐標(1)兩條直線的交點坐標2．兩點間的距離公式3．點到直線的距離公式(1)定義：點P到直線l的距離，就是從點P到直線l的垂線段PQ的長度，其中Q是垂足.實質(zhì)上，點到直線的距離是直線上的點與直線外該點的連線的最短距離.(2)公式：4．兩條平行直線間的距離公式(1)定義兩條平行直線間的距離是指夾在兩條平行直線間的公垂線段的長.(2)公式5．中點坐標公式公式：6．點關于點的對稱7．直線關于點的對稱8．兩點關于某直線對稱9．直線關于直線的對稱【題型精講】【題型一直線的綜合運用】例1．（1）“a=0”是“直線(a?2)x+y+1=0與直線2x?(a+1)y?2=0互相平行”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)直線平行的條件建立方程求出a，再檢驗即可得解.【詳解】若直線(a?2)x+y+1=0與2x?(a+1)y?2=0互相平行，則?a?2a+1=2，解得a=0當a=0時，符合題意；當a=1時，兩直線重合，不符合題意；故選：C.（2）直線l1：ax?y+2025=0，l2：3a?2x+ay?2a=0，若l1⊥A．0 B．1 C．0或1 D．13【答案】C【分析】根據(jù)兩直線垂直的公式A1【詳解】因為l1：ax?y+2025=0，l2：所以a3a?2解得a=0或a=1，將a=0，a=1代入方程，均滿足題意，所以當a=0或a=1時，l1故選：C.例2．當A?C>0,B?C<0時，直線l:Ax+By+C=0必經(jīng)過（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】ABC【分析】分別求得直線在y軸上的截距和在x軸上的截距，從而可判斷.【詳解】令x=0，得直線在y軸上的截距為?CB；令y=0，得直線在x軸上的截距為因為A?C>0,B?C<0，所以?C所以該直線過第一、二、三象限，不過第四象限．故選：ABC例3．瑞士數(shù)學家歐拉在《三角形的幾何學》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上．這條直線被稱為歐拉線．已知△ABC的頂點A?3,0，B3,0，C3,3，若直線l：ax+a2?3y?9=0A．－2 B．－1 C．－1或3 D．3【答案】B【分析】根據(jù)三角形頂點坐標得出重心與外心，求出三角形歐拉線，根據(jù)直線平行得解.【詳解】由△ABC的頂點A?3,0，B3,0，△ABC重心為?3+3+33,0+0+3又三角形為直角三角形，所以外心為斜邊中點?3+32,0+3所以可得△ABC的歐拉線方程y?1x?1=1?因為ax+a2?3所以a1解得a=?1，故選：B（1）當直線l在兩坐標軸上的截距相等時，求直線l方程；【題型精練】1．“m=3”是“直線l1:mx+y+m=0與l2A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)直線平行的條件，判斷“m=3”和“直線l1:mx+y+m=0與【詳解】當m=3時，直線l1:3x+y+3=0與當直線l1:mx+y+m=0與有m(m?2)?3=0且?3m?m(m?2)≠0，解得m=3，故“m=3”是“直線l1:mx+y+m=0與故選：C2．已知直線l1：a?1x+2y?1=0，直線l2：6x+ay+2?a=0，若l1//l2A．4 B．?3 C．34 【答案】BC【分析】根據(jù)兩直線平行、垂直的充要條件得到方程，解得即可.【詳解】因為直線l1：a?1x+2y?1=0，直線l2若l1⊥l2，則若l1//l2，則aa?1當a=?3時直線l1：4x?2y+1=0與直線l2：當a=4時直線l1：3x+2y?1=0與直線l2：綜上可得,a=34或故選：BC.3．直線2a+1x+ay+1=0和直線ax?3y+3=0垂直，則a的值為（

A．1 B．0或1 C．0或1 D．1【答案】B【分析】由兩直線垂直A1【詳解】由兩直線垂直可知(2a+1)?a+a?(?3)=0，解得a=0或a=1，故選：B.4．已知直線l:(a2+a+1)x?y+1=0A．當a=?1時，直線l與直線x+y=0垂直B．若直線l與直線x?y=0平行，則a=0C．直線l過定點(0,1)D．當a=0時，直線l在兩坐標軸上的截距相等【答案】AC【分析】計算直線斜率判斷A；由平行求出參數(shù)值判斷B；求出直線過的定點判斷C；求出直線的截距判斷D.【詳解】對于A，當a=?1時，直線l的方程為x?y+1=0，其斜率為1，而直線x+y=0的斜率為?1，因此當a=?1時，直線l與直線x+y=0垂直，A正確；對于B，若直線l與直線x?y=0平行，則a2+a+1=1，解得a=0或?qū)τ贑，當x=0時，y=1，與a無關，則直線l過定點(0,1)，C正確；對于D，當a=0時，直線l的方程為x?y+1=0，在兩坐標軸上的截距分別是?1，1，不相等，D錯誤.故選：AC5．已知直線l1：ax+a+1y+2=0，l2：A．l1恒過點2,?2 B．若l1C．若l1⊥l2，則a2【答案】AD【分析】應用求定點方法判斷A選項,根據(jù)兩直線平行求參判斷B選項,根據(jù)兩直線垂直求參判斷C選項,把直線不過第三象限轉化為截距關系判斷D選項.【詳解】因為l1：ax+a+1y+2=0可得x+y=l1恒過點2,?2因為l1//l2,所以a2因為l1⊥l2，所以因為l2則直線與坐標軸不垂直時，l2在x軸截距大于等于0,l2在l2：1?ax+ay?1=0，令x=0令y=0，則x=11?a≥0,當a=0,l2當a=1,l2所以l2不經(jīng)過第三象限，則0≤a≤1故選：AD.6．如果AB<0，BC<0，那么直線Ax+By+C=0經(jīng)過（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】ABC【分析】確定直線Ax+By+C=0在x軸、y軸上截距的正負，數(shù)形結合可知直線Ax+By+C=0所經(jīng)過的象限.【詳解】直線Ax+By+C=0在x軸上的截距為?CA=?BCAB如下圖所示：由圖象可知，直線Ax+By+C=0經(jīng)過第一、二、三象限.故選：ABC.7．若abc≠0，a+b+c≠0，且a+bc=b+ca=A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】ABC【分析】根據(jù)題意可得a+b=ck，b+c=ak，a+c=bk，進而轉化為2a+b+c=a+b+c【詳解】∵abc≠0，a+b+c≠0，且a+bc∴a+b=ck，b+c=ak，a+c=bk，∴2a+b+c=a+b+c則直線kx?y+k=0，即2x?y+2=0，即y=2x+2，故直線不經(jīng)過第四象限．故選：ABC．8．數(shù)學家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直線上，這條直線后人稱之為三角形的歐拉線.已知ΔABC的頂點A(0,0),B(0,2),C(?6,0)，則其歐拉線的一般式方程為（

A．3x+y=1 B．3x?y=1 C．x+3y=0 D．x?3y=0【答案】C【分析】根據(jù)題意得出△ABC為直角三角形，利用給定題意得出歐拉線，最后點斜式求出方程即可.【詳解】顯然△ABC為直角三角形，且BC為斜邊，所以其歐拉線方程為斜邊上的中線，設BC的中點為D，由B(0,2),C(?6,0)，所以D?3,1，由所以AD的方程為y=?1所以歐拉線的一般式方程為x+3y=0.故選：C.9．瑞士著名數(shù)學家歐拉在1765年證明了定理：三角形的外心?重心?垂心位于同一條直線上，這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”.已知平面直角坐標系中△ABC各頂點的坐標分別為A(0,0)，B(8,0)，C(0,6)，則其“歐拉線”的方程為.【答案】3x?4y=0【分析】由題意知△ABC是直角三角形，即可寫出垂心、外心的坐標，進而可得“歐拉線”的方程.【詳解】由題設知：△ABC是直角三角形，則垂心為直角頂點A(0,0)，外心為斜邊BC的中點M(4,3)，∴“歐拉線”的方程為3x?4y=0.故答案為：3x?4y=0.10．已知直線方程為(2?m)x+(2m+1)y+3m+4=0，其中m∈R.(1)求直線恒過定點的坐標.當m變化時，求點Q3,4(2)若直線分別與x軸?y軸的負半軸交于A,B兩點，求△AOB面積的最小值及此時的直線方程.【答案】(1)直線恒過定點?1,?2，213，(2)4，2x+y+4=0【分析】（1）把直線方程整理成關于m的方程，由恒等式知識可得定點P坐標，點Q3,4到直線的距離的最大時一定有PQ（2）求出直線與兩坐標軸交點坐標，得三角形面積，然后由基本不等式得最小值及參數(shù)值．【詳解】（1）直線方程為(2?m)x+(2m+1)y+3m+4=0，可化為(2x+y+4)+m(?x+2y+3)=0對任意m都成立，所以?x+2y+3=02x+y+4=0，解得x=?1y=?2，所以直線恒過定點設定點為P(?1,?2)，當m變化時，PQ⊥l時，點Q(3,4)到直線的距離最大，可知點Q與定點P(?1,?2)的連線的距離就是所求最大值，即(3+1)2+(4+2)2=213，此時直線∴?2?m2m+1??2?4?1?3=?1（2）由于直線l經(jīng)過定點P(?1,?2).直線l的斜率k存在且k≠0，可設直線方程為y+2=k(x+1)可得與x軸?y軸的負半軸交于A2k?1,0，B(0,k?2)兩點∴2?kk<0∴S當且僅當k=?2時取等號，面積的最小值為4，此時直線l的方程為：y+2=?2(x+1)，即：2x+y+4=0.11．已知直線l的方程為：2m+1(1)求證：不論m為何值，直線必過定點M；(2)過點M引直線l1，使它與兩坐標軸的正半軸所圍成的三角形面積最小，求l【答案】(1)證明見解析(2)x+3y?6=0【分析】（1）將直線方程改寫成m2x+y?7+x+y?4=0形式，解方程組（2）設出直線l1的方程，分別令x=0、y=0求出相對于的y值、x【詳解】（1）證明：由2m+1x+m+1y?7m?4=0令2x+y?7=0x+y?4=0所以直線l過定點M3,1（2）由（1）知，直線l1恒過定點M所以設直線l1的方程為y=k令x=0，則y=1?3k；令y=0，則x=3?1所以S=121?3k當且僅當?9k=1?k，即此時l1的方程為x+3y?6=012．已知直線l:(2m+2)x+(1?4m)y?2m?7=0(1)證明：無論m為何值，直線l與直線x?2y?1=0總相交；(2)求點Q(2,4)到直線l距離的最大值；(3)若O為坐標原點，直線l與x，y軸的正半軸分別交于A，B兩點，求△AOB面積的最小值．【答案】(1)證明見解析(2)10(3)6【分析】（1）化簡直線l，得到l的必過點(3,1)，得證；（2）根據(jù)直線l過點P3,1可得點Q(2,4)到直線l距離的最大值為PQ（3）設l:xa+yb【詳解】（1）對于l:(2m+2)x+(1?4m)y?2m?7=0，化簡得2m令x?2y?1=0對于點(3,1)，直線l與直線x?2所以，無論m為何值，直線l與直線x?2（2）由（1）可得直線l過點P3,1故點Q(2,4)到直線l距離的最大值為PQ=當直線l⊥PQ取到.（3）設l:xa+yb∴S=12ab=因為a>0,b>0，則(ab)2≥12ab，得ab≥12，（當且僅當3b2∴S≥6，△OAB面積的最小值為6.【題型二直線的交點問題】A．1 B．2 C．1或2 D．1（2）已知直線l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x＋2y﹣5＝0，l3：x﹣ay﹣3＝0不能圍成三角形，則實數(shù)a的取值不可能為（

）A．1 B．13 C．﹣2 【題型精練】1．已知直線l1：x+y4=0，l2：xy+2=0和直線l3：axy+1(1)若存在一個三角形，它的三條邊所在的直線分別是l1，l2，l3(2)若直線l經(jīng)過l1和l2的交點，且點M?1,2到l【答案】(1)a≠?23(2)x=1或3x+4y?15=0【分析】（1）求得l1與l2的交點A的坐標，然后由直線l3不過點A，不與直線l（2）考慮斜率不存在的直線是否滿足題意，在斜率存在時設出直線方程，由點到直線距離公式求得參數(shù)值得直線方程．【詳解】（1）由x+y?4=0x?y+2=0可得：x=1y=3，∴l(xiāng)1和l2的交點當l3過點A時，a?3+1?4a=0?a=?此時不存在三角形滿足題意，為滿足題意，必有a≠?2當l3∥l1或l3∥l2時，由于l1的斜率為1，l2此時也不存在三角形滿足題意，為滿足題意，必有a≠±1，綜上可知：a≠?23且（2）直線l經(jīng)過l1和l2的交點A1,3，當l⊥x軸時，l點M?1,2到l當l與x軸不垂直時，設l的方程為：y?3=k(x?1)，即kx?y+3?k=0，由于點M?1,2到l的距離為2，所以?2k+1此時l的方程為：3x+4y?15=0，綜上可知，直線l的方程為：x=1或3x+4y?15=0.2．若直線l1:3x+y=4,??l2A．23 B．?23 C．2【答案】ABD【分析】分l1//?l3,?【詳解】因為直線l1所以存在l1//?l3,?當l1//?l3當l2//?l3當l3過l1與l2的交點，則聯(lián)立3x+y=4x?y=0，解得x=1y=1，代入l綜上：m=?29或m=2故選：ABD.【題型三直線的三種距離】（2）（最值問題）過定點A的直線a+1x?y+2=0與過定點B的直線x+a+1y?5a?2=0交于點P（P與A?BA．4 B．92 C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)方程可得定點A、B，并且可判斷兩直線垂直，然后利用基本不等式可得.【詳解】動直線a+1x?y+2=0化為y=a+1x+2動直線x+a+1y?5a?2=0化為ay?5解得y=5,x=?3，可知定點B?3,5又(a+1)×1?1×(a+1)=0，所以直線a+1x?y+2=0與直線x+a+1y?5a?2=0∴PA⊥PB,∴PA則S△PAB=1即△PAB面積的最大值為92故選：B.（3）（兩點間距離公式的幾何意義）設直線l:3x+2y?6=0，Pm,n為直線l上動點，則m?12+A．913 B．313 C．313【答案】A【分析】利用m?12【詳解】m?12+n2表示點該距離的最小值為點A1,0到直線l的距離，即3?6則m?12+n故選：A.【點睛】關鍵點點睛：本題考查點到線的距離公式，利用兩點之間距離的幾何意義，通過數(shù)形結合是解題的關鍵，屬于基礎題.A． B． C． D．【例5】已知a<0，若直線l1：ax+2y+1=0與直線l2：x+a+1A．724 B．522 C．5 【題型精練】A．0 B．2 C．4 D．3．已知點P2,3，點Q是直線上l：3x+4y+2=0的動點，則PQ的最小值為【答案】4【分析】PQ的最小值即為點P到直線l的距離，再根據(jù)點到直線的距離公式即可得解.【詳解】PQ的最小值即為點P到直線l的距離，故PQ的最小值為3×2+4×3+23故答案為：4.4．已知函數(shù)fx（1）求不等式fx（2）若fx的最小值為m，且實數(shù)a，b滿足3a?4b=2m，求a?2【答案】（1）xx<?1或x>1；（2）1【解析】（1）先將函數(shù)解析式化為fx=?3x?1,x≤?2?x+3,?2<x<123x+1,x≥（2）先由（1）得到m=52，得出3a?4b?5=0，根據(jù)【詳解】本題考查絕對值不等式的解法和點到直線的距離公式，考查分類討論思想和轉化思想.（1）fx由fx>4，可得x≤?2?3x?1>4，或?2<x<解得x≤?2或?2<x<?1或x>1.所以不等式的解集為xx<?1或x>1（2）由（1）易求得fxmin=f所以3a?4b=2m=5，即3a?4b?5=0.a?22+b+12表示點又點a,b在直線3x?4y?5=0上.因為點2,?1到直線3x?4y?5=0的距離d=2×3?4×所以a?22+b+1【點睛】本題考查絕對值不等式的解法和點到直線的距離公式，考查分類討論思想和轉化思想,屬于中檔題.5．在平面直角坐標系中，定義dP,Q=x1?x2+y1?y2為Px1,y1，Qx2,【答案】2【分析】由題意設Mx,y，可知0≤x≤2，0≤y≤1，根據(jù)點M到點O，B的“折線距離”相等，可得x+y=【詳解】

設Mx,y，因為點M在矩形OABC則0≤x≤2，0≤y≤1，因為點M到點O，B的“折線距離”相等，所以x?0+y?0=則x+y=3當y=0時，x=3當y=1時，x=1設D32,0，E12故點M的軌跡長度為DE=故答案為：2.【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是設出點Mx,y，根據(jù)折線距離的計算公式列出相關的式子，由x，y6．美術繪圖中常采用“三庭五眼”作圖法.三庭：將整個臉部按照發(fā)際線至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下頦的范圍分為上庭、中庭、下庭，各占臉長的13，五眼：指臉的寬度比例，以眼形長度為單位，把臉的寬度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如圖，假設三庭中一庭的高度為2cm，五眼中一眼的寬度為1cm，若圖中提供的直線AB近似記為該人像的劉海邊緣，且該人像的鼻尖位于中庭下邊界和第三眼的中點，則該人像鼻尖到劉海邊緣的距離約為（

A．524 C．924 【答案】B【分析】建立平面直角坐標系，求出直線AB的方程，利用點到直線距離公式進行求解.【詳解】如圖，以鼻尖所在位置為原點O，中庭下邊界為x軸，垂直中庭下邊界為y軸，建立平面直角坐標系，則A1直線AB:y?42?4原點O到直線距離為72故選：B7．已知點A在直線x+2y?1=0上，點B在直線x+2y+3=0上，線段AB的中點為P(x0,y0A．(?12,?15) B．(?【答案】A【詳解】∵直線x+2y?1=0與直線x+2y+3=0平行，線段AB的中點為P(x∴|x0∵y0>設y0x0∵0<?1x0故選：A【題型四對稱問題】【例6】（點關于點對稱）點A（5，8），B（4，1），則A點關于B點的對稱點C的坐標為_________．【例10】一條光線從點A2,4射出，傾斜角為60°，遇x軸后反射，則反射光線的直線方程為（A．3x?y+4?23=0C．3x+y+4?23=0【題型精練】2．已知直線l1:y=kx?2k+1與直線l2關于點1,0對稱，則lA．2,1 B．2,?1 C．0,?1 D．?1,?1【答案】C【分析】求出直線l1所過定點A的坐標，求出點A關于點1,0的對稱點B【詳解】直線l1的方程可化為kx?2+1?y=0，由x?2=0所以，直線l1過定點A2,1，點A2,1關于點1,0因此，直線l2恒過的定點0,?1故選：C.5.（2023春·山東東營·高二?？奸_學考試）已知：A0,4，B0,?4，C4,0，E0,2，F(xiàn)0,?2，一束光線從F點出發(fā)射到BC上的D點經(jīng)BC反射后，再經(jīng)AC反射，落到線段AEA．?∞,?14 B．?14【題型四綜合運用】【例11】我們在初中都接觸過用來表示直線的一次函數(shù)，我們稱形如y=kx+bk≠0的方程稱為直線的斜截式方程，其中，我們稱k為直線的斜率；特別地，若兩條直線的斜率k1，k2的乘積為?1，則稱這兩條直線互相垂直，進一步的，還可以將斜截式方程轉化為直線的一般式方程Ax+By+C=0（A，B不同時為0）或者點斜式方程y?y0=kx?x0k≠0，此時方程表示斜率為k的直線恒過定點x0,y0，若已知直線上兩點坐標x1,y1、x2,y2，則有兩點間距離s=x【答案】(1,3)5【分析】先求出兩條直線經(jīng)過的定點，然后根據(jù)兩條直線的斜率可判斷它們垂直，從而PA⊥PB，在利用勾股定理和基本不等式即可得解.【詳解】顯然x+my=0過定點A(0,0)，直線mx?y?m+3=0可化成y=m(x?1)+3，則經(jīng)過定點B(1,3)，當m≠0時，x+my=0的斜率為?1此時?1當m=0時，x+my=0為x=0；mx?y?m+3=0為y=3，顯然兩直線垂直；綜上，直線x+my=0和直線mx?y?m+3=0垂直，又P為兩條直線的交點，則PA⊥PB，

又AB=由勾股定理和基本不等式，PA2則PA?PB≤5所以PA?PB的最大值是故答案為：(1,3)；5.【例12】已知點M是直線y=x+1上一點，A(1,0),B(2,1)，則|AM|+|BM|的最小值為（

）A．2 B．22 C．1+2 【答案】D【分析】先求出點A1,0關于直線y=x+1的對稱點A'?1,2【詳解】解析：設A1,0關于直線y=x+1的對稱點為A′a,b解得:a=?1b=2，所以：A當A',M,B三點共線時有最小值：所以：AM+BM的最小值等于故選：D.【例13】（中線）已知△ABC的頂點A4,2，頂點C在x軸上，AB邊上的高所在的直線方程為x+2y+m=0(1)求直線AB的方程；(2)若AC邊上的中線所在的直線方程為x?y?4=0，求m的值.【答案】(1)2x?y?6=0(2)?6.【分析】（1）求出直線AB的斜率，利用點斜式可得出直線AB的方程；（2）設點Ct,0，利用AC的中點在直線x?y?4=0上，求出t值，再由點C在直線x+2y+m=0上求出m【詳解】（1）依題意，由AB邊上的高所在的直線的斜率為?12，得直線AB的斜率為又A4,2，所以直線AB的方程為y?2=2x?4，即（2）由C點在x軸上，設Ct,0，則線段AC的中點D(由點D在直線x?y?4=0上，得t+42?1?4=0，得t=6，即又點C在直線x+2y+m=0上，因此6+m=0，解得m=?6，所以m的值為?6.（角平分線）已知△ABC的頂點A(1,2)，B(?3,2)，直線AC(1)求過點A，且在兩坐標軸上截距相等的直線的一般式方程；(2)求角A的角平分線所在直線的一般式方程．【答案】(1)2x?(2)x?3【分析】（1）分直線過原點和不過原點兩種情況討論求解即可；（2）根據(jù)題意，分點C位于直線AB上方和點C位于直線AB下方兩種情況討論求解即可.【詳解】（1）解：當所求直線過原點時，設直線方程為y=因為直線過點A，所以2=k，故方程為2當所求直線不過原點時，因為所求直線在兩坐標軸上截距相等，所以，設所求直線方程為xa因為直線過點A，所以1a+2所以所求直線方程為x綜上，滿足條件的直線方程為2x?y（2）解：因為△ABC的頂點A(1,2)，B(?3,2)，直線AC所以，直線AB方程為y=2，直線AC的傾斜角為6根據(jù)題意，作出其圖形，如圖，當點C位于直線AB下方時，∠BAC=60角平分線AE的傾斜角為∠AEO所以，角平分線AE方程為y?2=33當點C位于直線AB上方時，∠BAC=120角平分線AD的傾斜角為∠AFx所以，角平分線AD方程為y?2=?3x所以，角A的角平分線所在直線的一般式方程為x?3（高線）已知△ABC頂點A0,2，邊AC上中線BD所在直線方程為x?3y+2=0，邊AB上的高所在直線方程為x+y?2=0(1)B點和C點的坐標：(2)在邊AC上是否存在一點P，使得BP平分∠ABC，若存在請求出點P坐標，若不存在，請說明理由.【答案】(1)B?2,0，(2)存在，P【分析】（1）根據(jù)B在直線BD上以及kAB與AB邊上高所在直線斜率的關系，列出方程組求解出B點坐標；根據(jù)AC的中點在中線BD上以及AB邊上的高經(jīng)過C求解出C（2）假設P存在，根據(jù)∠ABC的大小確定出BP所在直線的傾斜角，從而kBP可知，分別求解出BP,AC【詳解】（1）設Ba,b，因為BD:x?3y+2=0，所以a?3b+2=0又因為AB上的高所在直線方程為x+y?2=0，所以kAB所以b?2a?0所以a?3b+2=0a=b?2，解得a=?2b=0，所以設Cm,n，因為邊AC上中線BD所在直線方程為x?3y+2=0所以m+02?3×n+2又因為邊AB上的高經(jīng)過C點，所以m+n?2=0，所以m+n?2=0m?3n?2=0，解得m=2n=0，所以（2）設存在P滿足條件，如圖所示，因為tan∠ABC=22因為BP平分∠ABC，所以kBP因為tanπ4=2tan所以kBP=2?1，所以又因為A0,2，C2,0，所以AC:y=0?2所以2?1x?y+22綜上所述，存在P2【題型精練】1．已知點A4,0，B0,4，從點P2,0射出光線經(jīng)直線AB反射后，再射到直線OB上，最后又經(jīng)直線OB反射回點PA．10 B．25 C．210 【答案】C【分析】求出P關于直線AB的對稱點Q和它關于y軸的對稱點T，則QT的長就是所求路程．【詳解】由題意直線AB方程為x+y=4，設P關于直線AB的對稱點Q(a,b)，則ba?2=1a+22+b2=4，解得a=4b=2QT=故選：C2．臺球賽的一種得分戰(zhàn)術手段叫做“斯諾克”：在白色本球與目標球之間，設置障礙，使得本球不能直接擊打目標球.如圖，某場比賽中，某選手被對手做成了一個“斯諾克”，本球需經(jīng)過邊BC，CD兩次反彈后擊打目標球N，點M到CD,BC的距離分別為200cm,60cm，點N到CD,BC的距離分別為80cm,120cm，將M，N看成質(zhì)點，本球在M點處，若擊打成功，則tanθ=【答案】9【分析】以C為原點，DC,BC邊分別為x軸，y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，寫出M,N的坐標，求出N關于x軸的對稱點N′的坐標，N′關于y軸的對稱點N′【詳解】以C為原點，DC,BC邊分別為x軸，y軸建立平面直角坐標系，如圖，則N(?120,?80),M(?60,?200)，N關于x軸的對稱點為N′(?120,80),N′關于直線MN故tan(π2故答案為：9143．已知直線l經(jīng)過點P2,1，且與x軸?y軸的正半軸交于A,B兩點，O(1)求直線l的一般式方程；(2)已知點M?3,1,Q為直線l上一動點，求試從①直線l的方向向量為v=?2,1；②直線l經(jīng)過2x+3y?8=0與x?y?4=0的交點；③【答案】(1)x+2y?4=0(2)26【分析】（1）利用三種不同的條件，求出直線l的斜率，得出直線的點斜式方程，在轉化為一般式即可.（2）設點M?3,1關于直線l的對稱點為M′a,b【詳解】（1）解：若選①，由直線l的方向向量為v=?2,1得，直線l的斜率為所以直線l的方程為y?1=?1所以直線l的一般式方程為x+2y?4=0.若選②，直線l經(jīng)過2x+3y?8=0與x?y?4=0的交點，聯(lián)立2x+3y?8=0x?y?4=0，解得x=4所以交點坐標為4,0，直線l的斜率為1?02?4所以直線l的方程為y?1=?1所以直線l的一般式方程為x+2y?4=0.若選③，由題意設直線l的方程為y?1=kx?2(k<0)S所以直線l的一般式方程為x+2y?4=0.（2）解：設點M?3,1關于直線l的對稱點為M由題意得，a?32+2?b+1所以M′MQ4．已知m∈R，若過定點A的動直線l1:x?my+m?2=0和過定點B的動直線l2:mx+y?4+2m=0交于點P（P與A，A．B點的坐標為?2,4 B．PA2C．S△PAB最大值為252 D．2【答案】ABD【分析】根據(jù)直線方程求出定點A,B的坐標，利用兩直線垂直的判斷方法，勾股定理，基本不等式，以及三角函數(shù)輔助角求最值即可判斷各選項.【詳解】因為l1:x?my+m?2=0可以轉化為故直線恒過定點A2,1又因為l2:mx+y?4+2m=0，即恒過定點B?2,4由l1:x?my+m?2=0和滿足1×m+?m×1=0，所以l1所以PA2而S△PAB當且僅當PA=所以S△PAB最大值為25因為PA⊥PB，設∠PAB=θ，θ為銳角,則PA=5cosθ所以2PA+PB所以當sinθ+φ=1時，2PA故選：ABD.5．已知△ABC的頂點A1,2,AB邊上的中線CM所在直線的方程為x+2y?1=0,∠ABC的平分線BH所在直線的方程為(1)求直線BC的方程和點C的坐標；(2)求△ABC的面積．【答案】(1)2x?3y?1=0，(5(2)107【分析】（1）設點B的坐標是(m,m)，由AB的中點在直線CM上，求得點B的坐標，再求出點A關于直線y=x的對稱點即可求得直線BC的方程，聯(lián)立方程組求出點C坐標.（2）利用兩點間距離公式及點到直線距離公式求出三角形面積.【詳解】（1）由點B在y=x上，設點B的坐標是(m,m)，則AB的中點(m+12,于是m+12+2×m+22?1=0設A關于直線y=x的對稱點為A′