第01講勾股定理知識點1：勾股定理知識點2：勾股定理的證明注意：（1）勾股定理揭示了一個直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.利用勾股定理，當設(shè)定一條直角邊長為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線段長可以建立方程求解，這樣就將數(shù)與形有機地結(jié)合起來，達到了解決問題的目的.理解勾股定理的一些變式：運用：1.已知直角三角形的任意兩條邊長，求第三邊；2.用于解決帶有平方關(guān)系的證明問題；3.利用勾股定理，作出長為的線段【題型1用勾股定理解三角形】【典例1】如圖，在△ABC中，AB=20，AC=12，∠C=90°【變式1】已知直角三角形ABC，∠C=90°，【變式2】如圖，BC⊥AB，CD⊥AC，且AB=4，BC=3，CD=12，則線段AD的長為．

【變式3】如圖，在四邊形ABCD中，△ABE≌△BCD，AE⊥BD，若DE=1,AE=4，則BC的長為（）A．5 B．6 C．7 D．8【題型2以直角三角形三邊為邊長的圖形面積】【典例2】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分別以AC，BC為邊作正方形．若AB=6，則正方形ADEC和正方形BCFG的面積和為（

A．64 B．36 C．12 D．6【變式1】如圖，在△CDE中，∠CDE=90°，DE=12cm，CE=13cm，以CD為邊作正方形ABCD，則正方形ABCD的面積是（A．12cm2 B．25cm2 C．【變式2】以直角三角形三邊為邊做三個正方形的面積如圖，正方形A的面積為（

）A．164 B．36 C．100 D．64【變式3】如圖所示是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面積分別為2，5，1，2，則最大的正方形E的面積是（

）A．7 B．10 C．20 D．34【題型3利用勾股定理求兩條線段的平方和(差)】【典例3】在Rt△ABC中，斜邊AB=10，則AB2A．100 B．200 C．300 D．400【變式1】在Rt△ABC中，斜邊BC=4，則AB2A．12 B．22 C．32 D．無法計算【變式2】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，則正方形ADEC與正方形BCFG的面積之和為．【變式3】對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對角線AC、BD交于點O．若AD=2，BC=4，則AB2【題型4利用勾股定理證明線段平方關(guān)系】【典例4】如圖，在△ABC中，∠C=90°,M是BC的中點，MD⊥AB于點D，試說明：AD【變式1】在△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c，若∠C=90°，如圖1，則有a2+b2=c2；若△ABC為銳角三角形時，小明猜想：a2+b2>c2，理由如下：如圖2，過點A作∵a>0,x>0,∴2ax>0,∴a2+b2(1)請你猜想，如圖3，當△ABC為鈍角三角形時，a2+b(2)證明你猜想的結(jié)論是否正確．【變式2】問題提出（1）如圖1，在△ABC中，AD⊥BC．若AB=5，BD=3，CD=6，則AC=______．問題探究（2）如圖2，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，且AC⊥BD．求證：BC問題解決（3）如圖3，△ABC是某小區(qū)的局部示意圖，其中∠B=90°，AB=600米，AD，DE是兩條小道，D為BC的中點，DE⊥AC于點E．該小區(qū)物業(yè)計劃在AC的下方修一條騎行小道AF，且滿足EF=EC，∠AFE=90°．請根據(jù)上述條件，求騎行小道AF的長．方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.圖（1）中，所以.方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.圖（2）中，所以.方法三：如圖（3）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形.，所以.【題型5勾股定理的證明方法】【典例5】勾股定理在數(shù)學和許多其他領(lǐng)域中都有廣泛的應(yīng)用，勾股定理是一個非常重要的數(shù)學定理，它在幾何學、三角學、物理學、工程學等多個領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用．關(guān)于勾股定理的證明方法到現(xiàn)在為止有500多種，勾股定理常見的一些證明方法是：幾何證明、代數(shù)證明、向量證明、復數(shù)證明、面積證明等．當兩個全等的直角三角形按圖1或圖2擺放時，都可以用“面積法”來證明．(1)以下是利用圖1證明勾股定理的過程，請將證明過程補充完整：將兩個全等的直角三角形按圖1所示擺放，其中∠DAB=90°，求證：a證明：連結(jié)BD，過點D作BC邊上的高DF⊥BC于點F，則DF=EC=b?a．∵S又∵S∴______________________∴a(2)請參照上述證明方法，利用圖2完成下面的證明．將兩個全等的直角三角形按圖2所示擺放，其中∠DAB=90°，求證：a2【變式1】“趙爽弦圖”巧妙利用面積關(guān)系證明了勾股定理．在世界數(shù)學史上具有獨特的貢獻和地位．現(xiàn)用四個全等的直角三角形拼成如圖所示的“弦圖”．設(shè)直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b（a>b），斜邊為c，請利用這個圖形解決下列問題：(1)試說明：a(2)如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是3，求a+b2【變式2】【探究發(fā)現(xiàn)】我國三國時期的數(shù)學家趙爽利用四個全等的直角三角形拼成如圖1所示圖形，其中四邊形ABED和四邊形CFGH都是正方形，巧妙地用面積法得出了直角三角形三邊長a，b，c之間的一個重要結(jié)論：a【深入思考】如圖2，在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，以AB為直角邊在AB的右側(cè)作等腰直角△ABD，其中AB=BD，∠ABD=90°，過點D作DE⊥CB，垂足為點E．(1)求證：DE=a，BE=b．(2)請你用兩種不同的方法表示梯形ACED的面積，并證明：a【變式3】著名的趙爽弦圖（如圖1，其中四個直角三角形較大的直角邊長都為a，較小的直角邊長都為b，斜邊長都為c），大正方形的面積可以表示為c2，也可以表示為4×12ab+a?b2，由此推導出重要的勾股定理：如果直角三角形的兩條直角邊長為a、(1)如圖2為美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”，請你利用圖2推導勾股定理；(2)如圖3，在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個取水點A、B，AB=AC，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點H（A、H、B在同一條直線上），并新修一條路CH，且CH⊥AB．測得CH=0.8千米，HB=0.4千米，求新路CH比原路CA短多少千米？【題型6以弦圖為背景的計算題】【典例6】如圖1是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的．若AC=6，BC=5，將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到圖2所示的“數(shù)學風車”，則這個風車的外圍周長是（

）A．52 B．48 C．72 D．76【變式1】“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成一個大正方形，設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若ab=18，大正方形的面積為100，則小正方形的邊長為（

）A．9 B．8 C．7 D．6【變式2】如圖，我國漢代趙爽在注解《周脾算經(jīng)》時給出的由四個全等的直角三角形可以圍成一個大的正方形，人們稱它為“趙爽弦圖”．若一個直角三角形兩直角邊和為17，小正方形的面積為49，則圖中大正方形的邊長為（

）A．17 B．15 C．13 D．10【變式3】如圖，2002年8月在北京召開的國際數(shù)學家大會會標其原型是我國古代數(shù)學家趙爽的《勾股弦圖》，它是由四個全等的直角三角形拼接而成，如果大正方形的面積是18，直角三角形的直角邊長分別為a,b，且a2+b【題型7用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題】【典例7】把15只空油桶（每只油桶底面直徑均為50cm）如圖所示堆在一起，求這堆油桶的最高點距地面的高度．【變式1】在我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》“勾股”章有一題：“今有開門去閫（kǔn）一尺，不合二寸，問門廣幾何．”大意是說：如圖，推開兩扇門（AD和BC），門邊緣D，C兩點到門檻AB的距離為1尺（1尺=10寸），兩扇門間的縫隙CD為2寸，AD=BC=AO=BO，那么門的寬度即AB的長為【變式2】如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A0,8、B4,0，點C在x軸的負半軸上，連接AB，AC．若AC=BC，則點C的坐標是【變式3】探究與理解【思考探究】學習了勾股定理之后，小林同學對勾股定理的數(shù)學表達公式a2+b2=c2（其中a【理解分析】小林這樣認為：如果乘法公式中的a，b表示直角三角形的兩條直角邊的邊長，那么根據(jù)以上兩個公式可以得出另外的等式：a+b2=c2+2ab，在這個等式里，可以將a+b【解決問題】(1)在一直角三角形中：①已知兩條直角邊長的和為7，積為12，求斜邊的長；②已知兩條直角邊的平方和為169，且兩條直角邊的乘積為60，求該直角三角形的周長；(2)如圖，在四邊形ACBD中，已知∠C=∠D=90°，AC+BC=3，AD2+B 1．如圖，要在門上方的墻上點A處裝一個由傳感器控制的燈，點A離地面4.5m，任何東西只要移至該燈5m及5m內(nèi)范圍，燈就自動發(fā)光．已知小軍身高1.5m，若他走到A．5m B．4m C．32．已知直角三角形的兩條直角邊的長分別為15和8，則斜邊的長為（

）A．23 B．17 C．18 D．193．如圖，一木桿在離地面3m處折斷，木桿頂端落在離木桿底端4m處．木桿折斷之前的高度是（

）A．7m B．8m C．9m D．10m4．如圖，字母B所代表的正方形的面積是（

）A．9 B．10 C．15 D．415．“勾股定理”被稱為“千古第一定理”，其證明的方法多種多樣．中國漢代數(shù)學家在注釋《周髀算經(jīng)》時給出一個圖形，后來人們稱它為“趙爽弦圖”．這個圖形是（

）A． B． C． D．6．如圖是我國古代數(shù)學家趙爽為《周髀算經(jīng)》作注解時給出的“弦圖”，它解決的數(shù)學問題是（

）A．勾股定理 B．三角形內(nèi)角和定理C．三角形全等 D．中心對稱圖形7．如圖，在水塔O的東北方向15m處有一抽水站A，在水塔O的東南方向8m處有一建筑工地B．若要在AB之間修建一條直水管，則水管的長為m．8．用三邊長分別為3、4、5的四個直角三角形拼成如圖的弦圖，則中間小正方形的面積為．9．如圖，BD垂直BC和AD．如果AB=52,BC=21,AD=48，那么DC的長為．10．如圖所示，是一塊由花園小道圍成的邊長為12米的正方形綠地，在離C處5米的綠地旁邊B處有健身器材，為保護綠地，不直接穿過綠地從A到B，而是沿小道從A→C→B，這樣多走了米．11．如圖，是我國古代弦圖變形得到的數(shù)學風車，是由四個全等的直角三角形和中間的正方形組成，直角三角形的斜邊AB=10，直角邊BC=1，點D在AC上，AD=1，則中間正方形的面積為12．如圖，這是一個可近似看作等腰三角形的衣架，其腰長為26cm，底邊上的高為10cm，則底邊BC=13．如圖，是長為40cm，寬為30c