華陰市2025～2026學年度第一學期課后綜合作業(yè)（一）八年級數(shù)學（人教版）考生注意：本試卷共6頁，滿分120分，時間120分鐘．一、選擇題（共8小題，每小題3分，計24分．每小題只有一個選項是符合題目要求的）1.如圖，下面以為邊的三角形是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了三角形的認識．根據(jù)三角形的邊的含義可得答案．【詳解】解：以為邊的三角形有，，．故選：A2.如圖，墻上置物架的底側(cè)一般會各設(shè)計一根斜桿，與水平和豎直方向的支架構(gòu)成三角形進行加固，這里面蘊含的數(shù)學原理是（）A.三角形兩邊的和大于第三邊 B.三角形的內(nèi)角和等于180°C.三角形的穩(wěn)定性 D.三角形的全等性【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了三角形穩(wěn)定性的應用，根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性，即可進行解答．【詳解】解：墻上置物架的底側(cè)一般會各設(shè)計一根斜桿，與水平和豎直方向的支架構(gòu)成三角形，這是利用三角形的穩(wěn)定性．故選：C．3.若三角形的兩條邊分別為和，則此三角形的第三邊可能是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，首先設(shè)第三邊長為，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得，再解不等式即可求解．【詳解】解：設(shè)第三邊長為，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得：，解得：．觀察選項，只有選項D符合題意．故選：D．4.如圖，，和，和是對應邊，則的對應角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，準確識圖，理解全等三角形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：∵，∴的對應角是．故選：B．5.如圖，在中，，是邊上的高，則圖中與互為余角的角有（）A.0個 B.1個 C.2個 D.3個【答案】C【解析】【分析】本題考查了余角、直角三角形兩銳角互余的知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握余角和直角三角形兩銳角互余性質(zhì)，從而完成求解．根據(jù)若兩個角之和等于，則這兩個角互為余角；結(jié)合題意，即可找到互為余角的個數(shù)．【詳解】解：∵，∴，∵是邊上的高，∴，∴，即與互余的角有：，共2個．故選：C．6.如圖，和是的角平分線，且，則的度數(shù)為（）

A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形角平分線的定義，由三角形內(nèi)角和定理可得，由三角形角平分線的定義可得，，即得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解，掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，∵和是的角平分線，∴，，∴，∴，故選：．7.如圖，已知，，若用“”判定，還需補充一個條件，可以是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．根據(jù)斜邊和一條直角邊分別對應相等的兩個直角三角形全等求解即可．【詳解】解：由題意可知，，即兩直角三角形斜邊相等，若用“”判定和全等，則還需一組直角邊相等，即或，只有B選項符合.故選：B．8.如圖，G為三邊中線，，的交點，，則陰影部分的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】此題考查三角形的中線．根據(jù)三角形的中線把三角形的面積分成相等的兩部分，知的面積即為陰影部分的面積的3倍．【詳解】解：∵G為三邊中線，，的交點，∴，，∴，∵，，∴，∴，同理，∵，∴，∴，故選：A．二、填空題（共6小題，每小題3分，計18分）9.如圖，，，圖中等腰三角形有__________個．【答案】##三【解析】【分析】本題考查的是等腰三角形的定義，根據(jù)等腰三角形的定義可得答案．詳解】解：∵，∴是等腰三角形，∵，∴，是等腰三角形，綜上：圖中的等腰三角形有個．故答案為：10.在中，一個銳角為，另一個銳角的度數(shù)為______．【答案】【解析】【分析】本題考查直角三角形的性質(zhì)，熟記直角三角形兩個銳角互余是解決問題的關(guān)鍵．在中，由直角三角形兩個銳角互余直接求解即可得到答案．【詳解】解：在中，一個銳角為，另一個銳角的度數(shù)為，故答案為：．11.如圖，，若，，則的長為__________．【答案】【解析】【分析】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得．【詳解】解：∵，，∴．故答案為：12.如圖，在中，為中線，和分別為和的一條高．若，，，則__________．【答案】2【解析】【分析】由題意，△ABC中，AD為中線，可知△ABD和△ADC的面積相等；利用面積相等，問題可求．【詳解】解：∵△ABC中，AD為中線，∴BD=DC，∴S△ABD=S△ADC，∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AB=3，AC=4，DF=1.5，∴?AB?ED=?AC?DF，∴×3×ED=×4×1.5，∴ED=2，故答案為：2．【點睛】此題考查三角形的中線，三角形的中線把三角形的面積分成相等的兩部分．本題的解答充分利用了面積相等這個點．13.如圖，點D，E分別在線段，上，連接，相交于點F，若，，，則的度數(shù)為________．【答案】【解析】【分析】本題考查三角形外角的性質(zhì)．根據(jù)，求解即可．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴．故答案：．14.如圖，在中，是中線，直線于F，于E，若，，則中線的長是_______．【答案】12【解析】【分析】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，垂線定義，證明是解題的關(guān)鍵．證明，得出，即可得出答案．【詳解】解：∵，，∴，∵在中，是中線，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴．故答案為：12．三、解答題（共12小題，計78分．解答應寫出過程）15.已知一個等腰三角形的一邊長為，另一邊長為，求這個等腰三角形第三邊的長x．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了等腰三角形的定義、三角形的構(gòu)成條件等知識，解題的關(guān)鍵是需要注意的是，涉及到三角形三邊時，要考慮三角形的構(gòu)成條件．根據(jù)三角形的構(gòu)成條件可得到的取值范圍，根據(jù)該三角形是等腰三角形可得到的值，【詳解】解：該三角形是等腰三角形，或2．根據(jù)三角形的構(gòu)成條件可得：，即．綜上：這個等腰三角形第三邊的長．16.求圖中x的值．【答案】【解析】【分析】本題考查的是三角形外角的性質(zhì)，一元一次方程的應用，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可得：，再解方程即可．【詳解】解：由題意可得：，∴，解得：．17.如圖，把繞點A旋轉(zhuǎn)，得到．點D在邊上，，，求的長．【答案】5【解析】【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，然后根據(jù)線段的和差關(guān)系求解即可．【詳解】解：∵將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，點恰好落在邊上．，，∴，∴.18.如圖，在中，點D是邊延長線上一點，，．利用直尺和圓規(guī)在直線上求作一點P，使點P到和的距離相等．（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】作圖見解析【解析】【分析】本題考查的是作已知角的平分線，角平分線的性質(zhì)，作的角平分線與交于點，可得點即為所求.【詳解】解：如圖，點即為所求.19.如圖，點B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，，，，求證：．【答案】見解析．【解析】【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．根據(jù)得到，然后利用證明，即可得出結(jié)論．【詳解】證明：∵，∴，即．在和中，，∴，∴．20.如圖，在中，是邊上的高，E是邊上一點，交于點M，且．求證：是直角三角形．【答案】見解析【解析】【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)與判定；由是邊上的高，得；再由，即可得結(jié)論成立．【詳解】解：∵是邊上的高，∴，∴．∵，∴，∴是直角三角形．21.某校數(shù)學學習小組開展活動——測量某雕塑底部的寬度AB．由于雕塑底部中間無法到達，無法直接測量，需要借助一些工具來測量，比如自制的直角三角形硬紙板、米尺、測角儀、平面鏡等，甚至還可以利用無人機．確定方法后，先畫出測量示意圖，然后進行實地測量，并得到具體數(shù)據(jù)，從而計算雕塑底部的寬度．下面是同學們進行交流展示時的一種測量方案：測量某雕塑底部的寬度方案測量示意圖測量說明如上圖，測量員在地面上找一點C，在連線的中點D處做好標記，從點C出發(fā)，沿著與平行的直線向前走到點E處，使得點E與點A，D在一條直線上，測出的長度．測量結(jié)果，，請根據(jù)方案計算雕塑底部的寬度．【答案】雕塑底部的寬度為．【解析】【分析】本題考查是全等三角形的應用，熟記全等三角形的判定方法與全等三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵；先證明，結(jié)合，，可得，再利用全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】解：∵，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴雕塑底部的寬度為．22.如圖，已知，點B，F(xiàn)，C，E在同一條直線上．（1）若，，求線段的長．（2）請判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）（2），理由見解析【解析】【分析】本題考查全等三角形的性質(zhì)；

（1）根據(jù)全等三角形的對應邊相等得到，再根據(jù)，求出，最后根據(jù)線段的和差求解即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，即可判定．【小問1詳解】解：∵，

∴，∵，，∴，∴∴．【小問2詳解】解：．理由如下：∵，∴，∴．23.如圖，在中，的平分線與的外角的平分線相交于點．（1）若，，求的度數(shù)；（2）求證：點到三邊所在直線的距離相等．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（）利用角平分線的定義求出和，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)解答即可；（）過作于，于，于，由角平分線的性質(zhì)可得，，即得，進而即可求證；本題考查了角平分線的定義，三角形的外角性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【小問1詳解】解：∵平分，，∴，∵平分，，∴，∴；【小問2詳解】證明：過作于，于，于，∵平分，平分，∴，，∴，∴點到三邊所在直線的距離相等．24.如圖，已知，，，．（1）求證：；（2）若，，求的度數(shù)．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由證明即可；（2）由全等三角形的性質(zhì)得，再由三角形內(nèi)角和定理得，然后由平行線的性質(zhì)得，即可解決問題．【小問1詳解】解：與全等，理由如下：∵，∴，即，在與中，，∴；【小問2詳解】解：由()可知，，∴，∴，∵，∴，∴，即的度數(shù)為．25.在探究三角形內(nèi)角和定理的課堂上，王老師引導同學們根據(jù)拼合過程，思考如何作出輔助線證明．（1）小明經(jīng)過觀察、思考之后發(fā)現(xiàn)過的頂點A作，那么由平行線的性質(zhì)與平角的定義就能證明“三角形的內(nèi)角和等于”這個定理，請你完成這個證明．如圖，已知．求證：；（2）王老師繼續(xù)引導探究“頂點A這個位置比較特殊，如果將頂點A的位置一般化，你能否得到其他的證明方法呢？”如圖，在中，點P是邊上的任意一點．請用和（1）中不同的方法，求證：．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是靈活運用這些知識．（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)以及平角的定義即可證明；（2）過點分別作，，分別交、于點、，由平行線的性質(zhì)以及平角的定義即可證明．【小問1詳解】證明：，，，，；【小問2詳解】證明：過點分別作，，分別交，于點，．，，，，，，，，．26.綜合與實踐問題情境：如圖1，學校有一塊三角形空地，其中米，米，米．點在邊上，點在邊上，米，米，在范圍內(nèi)種植谷物．思考探究：（1）種植谷物面積為_________平方米．方案設(shè)計：現(xiàn)需要在剩余空地上分割出一塊三角形空地種植玉米（為種植玉米三角形空地的一個頂點），其面積與種植谷物的面積相同．（2）可以利用全等三角形面積相等的方法設(shè)計方案．①欣欣的方案：如圖2，在邊上選取一點，在邊上選取點，當時，即可使種植玉米的面積與種植谷物的面積相同，求此時的長．②彤彤認為還有其他全等情況也符合設(shè)計要求，請直接寫出其他符合設(shè)計要求的方案中的長．（點在邊上，點在邊上）（3）暢暢想到了利用中線分割的方法，如圖3，選取的中點，連接，選取的中點，連接，則即為符合條件的種植玉米的三角形空地．請說明暢暢的想法是否正確，并說明理由．【答