專題08三角形60道壓軸題型專訓(xùn)（15大題型）題型一三角形折疊中的角度問題題型二與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題題型三三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用題型四構(gòu)成三角形的條件題型五確定第三邊的取值范圍題型六三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用題型七根據(jù)三角形中線求面積題型八倍長中線模型題型九靈活選用判定方法證全等題型十全等三角形綜合問題題型十一與平行線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題題型十二添加條件使三角形全等題型十三用SSS間接證明三角形全等題型十四用SAS間接證明三角形全等題型十五全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合【經(jīng)典例題一三角形折疊中的角度問題】

A．只有甲答的對(duì) B．甲、乙答案合在一起才完整C．乙、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整【答案】B故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的折疊與平行的結(jié)合，幾何圖形折疊后對(duì)應(yīng)角相等和兩直線平行同位角內(nèi)錯(cuò)角相等是解題的關(guān)鍵．【答案】D【詳解】解：如圖，連接、，∵是的垂直平分線，將沿（E在上，在上）折疊，點(diǎn)與點(diǎn)恰好重合，故選∶D．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)、等腰三角形三線合一的性質(zhì)、等邊對(duì)等角的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，作輔助線，構(gòu)造出等腰三角形是解題的關(guān)鍵．【答案】54【分析】本題考查了基本圖形變換折疊，三角形的內(nèi)角和定理，換元的思想方法，關(guān)鍵是利用換元的思想方法，使分析思路更清晰．故答案為：54．4．（2324八年級(jí)上·山西大同·階段練習(xí)）綜合與探究【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題二與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題】【答案】C故選：C．【答案】D【分析】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)，熟練學(xué)握角平分線的定義和三角形的外角性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵。，故A正確，不符合題意；故B正確，不符合題意；取的延長線與點(diǎn)M，的延長線與點(diǎn)N，如圖：故C正確，不符合題意；故D項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意．故選：D．【答案】①②③④設(shè)與交于點(diǎn)O，如圖，綜上可知①②③④正確．故答案為：①②③④．8．（2324七年級(jí)下·甘肅蘭州·期末）在蘇科版義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)七下曾經(jīng)研究過雙內(nèi)角平分線的夾角和內(nèi)外角平分線夾角問題．聰聰在研究完上面的問題后，對(duì)這類問題進(jìn)行了深入的研究，他的研究過程如下：【分析】此題主要考查了角平分線定義，平行線性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，準(zhǔn)確識(shí)圖，熟練掌握角平分線定義，平行線性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理是解決問題的關(guān)鍵，分類討論是解決問題的難點(diǎn)．（3）分三種情況討論如下：①當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)E左側(cè)時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)D，E之間時(shí)；③當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)D的右側(cè)，根據(jù)角平分線定義結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可得出和α，β之間的數(shù)量關(guān)系，綜上所述即可得出答案．（3）∵點(diǎn)F在直線上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)F不與E，D兩點(diǎn)重合），∴有以下三種情況：①當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)E左側(cè)時(shí)，如圖所示：【經(jīng)典例題三三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用】A．①②③ B．②③ C．③ D．②【答案】B【詳解】解：①設(shè)與相交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，如圖所示：而根據(jù)已知條件，無法與無法證明相等結(jié)論①錯(cuò)誤；結(jié)論②正確；結(jié)論③正確．綜上所述：正確的結(jié)論是②③．故選：B．A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④【答案】D∴假設(shè)不成立，即結(jié)論③錯(cuò)誤；綜上，結(jié)論正確的是①②④，故選：D．【詳解】解：如圖：【答案】(1)30°，是【分析】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理、“靈動(dòng)三角形”的概念，用分類討論的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵．（2）根據(jù)“靈動(dòng)三角形”的概念證明即可；故答案為；是；∴此種情況不存在，∵點(diǎn)與點(diǎn)不重合，∴此種情況不成立，∴此種情況不存在，【經(jīng)典例題四構(gòu)成三角形的條件】13．（2425七年級(jí)下·江蘇·期末）三角形的兩邊長分別是2和3，則第三邊的邊長可以是（

）A．1 B．3 C．5 D．6【答案】B【分析】本題考查了三角形的三邊關(guān)系定理，即構(gòu)成三角形的條件—“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理，求得第三邊的取值范圍，再進(jìn)一步找到符合條件的數(shù)值．【詳解】解：設(shè)這個(gè)三角形的第三邊長為，在四個(gè)選項(xiàng)的數(shù)值中，只有數(shù)值3符合，故選：B．A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【分析】本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，即三角形的兩邊之和大于第三邊，理解題意、列出每段鐵絲的長度是解題關(guān)鍵．根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，設(shè)最小的長度為，又因任意三小段都不能拼成三角形，得每段長度是，，，，，，，，，，，依此類推，總和不大于即可求解．若要盡可能的大，則每段的長度盡可能的小，每段的長度不小于，且其中任意三小段都不能拼成三角形，這些小段的長度只可能分別是，，，，，，，，，，，小段的長度分別為，，，，，，，，，，的最大值為．故選：B．【答案】即這個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)小的數(shù)之和都不大于大的數(shù)，即每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)之和，則這一組數(shù)中任意選出三個(gè)數(shù)一定有兩個(gè)小的數(shù)之和不大于大的數(shù)，這一組數(shù)中任意選出三個(gè)數(shù)都不能構(gòu)成三角形三邊長，滿足條件的的最小值是．(1)若得到的三根木條能組成等邊三角形，求的值；(2)若得到的三根木條能組成三角形，寫出的取值范圍．【答案】(1)【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)及三角形的三邊關(guān)系的綜合應(yīng)用，能夠熟練運(yùn)用三角形三邊關(guān)系列出不等式，并能夠考慮多種情況下不等式的求解是解決本題的關(guān)鍵．（1）抓住等邊三角形三條邊相等的性質(zhì)，通過簡單的方程即可求解．（2）根據(jù)三角形三邊關(guān)系，列出不等式，然后根據(jù)不同情況分別求解化簡，最終得出x的取值范圍即可．等邊三角形的三條邊相等．即的值為．三角形任意兩邊之和大于第三邊；三角形任意兩邊之差小于第三邊．【經(jīng)典例題五確定第三邊的取值范圍】17．（2324九年級(jí)下·浙江紹興·自主招生）定義：三邊長度都是整數(shù)的三角形叫做整數(shù)邊三角形．則最長邊長為的整數(shù)邊三角形的個(gè)數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了構(gòu)成三角形的條件，三角形的三邊關(guān)系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊；設(shè)三角形的另外兩邊分別為，(a≤b≤20且，為整數(shù))，然后根據(jù)三邊關(guān)系來確定，的取值組合，從而得出整數(shù)邊三角形的個(gè)數(shù)．【詳解】解：設(shè)三角形的另外兩邊分別為，(a≤b≤20且，為整數(shù))，又因?yàn)閍≤b≤20，則a可以為或或或或或或，此時(shí)有種情況滿足題意；20+18+16+14+12+10+8+6+4+2=110，共有種情況滿足題意，故選：C．A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查三角形三邊關(guān)系，關(guān)鍵是掌握三角形三邊關(guān)系定理；【詳解】解：連接，故選：D．【答案】3【分析】本題考查了代入消元法解二元一次方程，三角形三邊關(guān)系，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．解題時(shí)首先求出的值，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系：任意兩邊之和大于第三邊；任意兩邊之差小于第三邊，即可得出第三邊的取值范圍，最后取整，看有幾種情況，即可得出答案．∴第三邊長，∵第三邊長為整數(shù)，∴這樣的三角形有個(gè)．故答案為：．(3)變式：把圖②中的、、變成在一直線上時(shí)，如圖③，其它條件不變，則的取值范圍為_________．【答案】(1)見解析(4)【分析】（1）通過取邊上中點(diǎn)，連接，根據(jù)三角形中位線定理、三角形三邊關(guān)系即可求解；（2）連接，取中點(diǎn)，連接、，根據(jù)三角形中位線定理、三角形三邊關(guān)系即可求解；（3）連接，取中點(diǎn)，連接、，根據(jù)三角形中位線定理、三角形三邊關(guān)系即可求解；【詳解】（1）解：如圖，取邊上的中點(diǎn)，連接，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，（2）解：如圖，連接，取中點(diǎn)，連接、，又、分別為、中點(diǎn)，（3）解：如圖，連接，取中點(diǎn)，連接、，又、分別為、中點(diǎn)，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三角形中位線定理、三角形三邊關(guān)系、等腰三角形的“三線合一”、含的直角三角形特征，解題關(guān)鍵是熟練掌握三角形中位線定理解三角形的三邊關(guān)系．【經(jīng)典例題六三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用】A．3 B．4 C．5 D．8【答案】D【詳解】解：如圖所示，連接，當(dāng)折疊F落在時(shí)，此時(shí)為最小值，故選：D．【答案】C故選C．∴是的垂直平分線，24．（2425八年級(jí)上·福建廈門·期中）新定義：如果兩個(gè)三角形不全等但面積相等，那么這兩個(gè)三角形叫做積等三角形．【初步嘗試】【理解運(yùn)用】【綜合應(yīng)用】【答案】(1)證明見解析(2)【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中線的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．∴兩個(gè)三角形不全等【經(jīng)典例題七根據(jù)三角形中線求面積】A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】B∵是中線，綜上所述，正確的結(jié)論有①②④，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中線，高，角平分線的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】解：連接，如圖所示：

點(diǎn)、、分別是、、的中點(diǎn)，故選：B．【答案】21故答案為：21．【答案】【分析】本題主要考查了求三角形面積，弄清楚三角形間的面積關(guān)系成為解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題八倍長中線模型】【答案】C故選：C．A． B． C．2 D．【答案】A【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線的性質(zhì)，利用平行線+中點(diǎn)模型構(gòu)造全等三角形，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，故選：A．【答案】

故答案為∶．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，掌握相關(guān)的判定方法及性質(zhì)，并能根據(jù)題意t添加恰當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．32．（2526八年級(jí)上·廣東廣州·開學(xué)考試）【發(fā)現(xiàn)問題】方法總結(jié)：解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”、“中線”字樣，可以考慮倍長中線構(gòu)造全等三角形【問題拓展】【分析】本題考查了倍長中線型全等問題，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．是的中點(diǎn)，（3）如圖，【經(jīng)典例題九靈活選用判定方法證全等】A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，平行線分線段成比例，掌握正方形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，平行線分線段成比例是解題的關(guān)鍵．A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【答案】D∴和邊上的高相等，即點(diǎn)到和的距離相等，

故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵.【答案】【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的面積等知識(shí)，由面積相等可得相應(yīng)等式，作出三角形的高，作出輔助線構(gòu)造三角形全等，證明三角形全等是是解題的關(guān)鍵．故答案為：．【答案】(1)見詳解(3)見詳解【詳解】（1）證明：連接，過點(diǎn)F，G分別作，的平行線相交于點(diǎn)H，①當(dāng)與重合時(shí)，取得最大值，②當(dāng)在線段上時(shí)，取得最小值，平行線之間的距離處處相等，在直線上運(yùn)動(dòng)，以為圓心長為半徑畫弧交于、，如圖，作的垂直平分線交于，【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的判定，線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握平行線的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的判定，線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題十全等三角形綜合問題】A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A【分析】此題重點(diǎn)考查等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確地作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．故①正確；故②正確；，∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，故③正確，故選：A；A．①②③④ B．②③④⑤ C．①③④⑤ D．①②④⑤【答案】C故①結(jié)論正確；故②結(jié)論錯(cuò)誤；故③結(jié)論正確；故④結(jié)論正確；故⑤結(jié)論正確；即正確結(jié)論的是①③④⑤，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形判定和的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，平行線的判定，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．∴△AFB≌△EFBASA∴AC=AG+CG=6+10=16，∴319∴AN=3【答案】(1)（2）解：根據(jù)題意作圖如下：連接，，，∴點(diǎn)F在的垂直平分線上．連接，∴點(diǎn)E在的垂直平分線上，∴是的垂直平分線，取的中點(diǎn)G，連接，∵點(diǎn)G是的中點(diǎn)，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，連接，，∵點(diǎn)G是的中點(diǎn)，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的判定及性質(zhì)，垂直平分線的判定，勾股定理，三角形中位線定理，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，綜合運(yùn)用相關(guān)知識(shí)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題十一與平行線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題】A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】C故正確；故正確；故正確；故正確；故錯(cuò)誤；綜上所述，結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是.故選：C．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】先根據(jù)AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，∠EAM和∠EDN的平分線交于點(diǎn)F，由三角形內(nèi)角和定理以及平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵AB⊥BC，AE⊥DE，∴∠1+∠AEB=90°，∠DEC+∠AEB=90°，∴∠1=∠DEC，又∵∠1+∠2=90°，∴∠DEC+∠2=90°，∴∠C=90°，∴∠B+∠C=180°，∴AB∥CD，故①正確；∴∠ADN=∠BAD，∵∠ADC+∠ADN=180°，∴∠BAD+∠ADC=180°，又∵∠AEB≠∠BAD，∴AEB+∠ADC≠180°，故②錯(cuò)誤；∵∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°，而∠3=∠1，∴∠2=∠4，∴ED平分∠ADC，故③正確；∵∠1+∠2=90°，∴∠EAM+∠EDN=360°90°=270°．∵∠EAM和∠EDN的平分線交于點(diǎn)F，∴∠EAF+∠EDF=×270°=135°．∵AE⊥DE，∴∠3+∠4=90°，∴∠FAD+∠FDA=135°90°=45°，∴∠F=180°（∠FAD+∠FDA）=18045°=135°，故④正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定、三角形內(nèi)角和定理、直角三角形的性質(zhì)及角平分線的計(jì)算，熟知三角形的內(nèi)角和等于180°是解答此題的關(guān)鍵．【答案】∵折疊∵折疊，故答案為：【答案】(1)【分析】本題考查平行線性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，外角和定理，等積法等．（1）根據(jù)題意利用平行線性質(zhì)列出等式，繼而得到本題答案；②由題意畫圖如下：

【經(jīng)典例題十二添加條件使三角形全等】45．（2324八年級(jí)上·天津東麗·期末）如圖，點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E在同一條直線上，點(diǎn)A，D在直線BE的兩側(cè)，AB∥DE，BF＝CE，添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件后，仍不能使得△ABC≌△DEF（）A．AC＝DF B．AC∥DF C．∠A＝∠D D．AB＝DE【答案】A【分析】根據(jù)AB∥DE證得∠B＝∠E，又已知BF＝CE證得BC＝EF，即已具備兩個(gè)條件：一邊一角，再依次添加選項(xiàng)中的條件即可判斷.【詳解】∵AB∥DE，∴∠B＝∠E，∵BF＝CE，∴BF+FC＝CE+FC，∴BC＝EF，若添加AC＝DF，則不能判定△ABC≌△DEF，故選項(xiàng)A符合題意；若添加AC∥DF，則∠ACB＝∠DFE，可以判斷△ABC≌△DEF（ASA），故選項(xiàng)B不符合題意；若添加∠A＝∠D，可以判斷△ABC≌△DEF（AAS），故選項(xiàng)C不符合題意；若添加AB＝DE，可以判斷△ABC≌△DEF（SAS），故選項(xiàng)D不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查三角形全等的判定定理，熟練掌握定理，并能通過定理去判斷條件是否符合全等是解決此題的關(guān)鍵.【答案】B【分析】根據(jù)已知條件，分別添加選項(xiàng)進(jìn)行排查，即可完成解答；注意BD是公用邊這個(gè)條件.【詳解】解：A.若添加AB=CD,根據(jù)AB∥CD，則∠ABD=∠CDB，依據(jù)SAS可得△ABD≌△CDB，故A選項(xiàng)正確；B.若添加AD=BC,根據(jù)AB∥CD，則∠ADB=∠CBD，不能判定△ABD≌△CDB，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.若添加∠A=∠C，根據(jù)AB∥CD，則∠ABD=∠CDB，且BD公用，能判定△ABD≌△CDB，故D選項(xiàng)正確；故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定：全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對(duì)應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對(duì)應(yīng)相等，則必須再找一組對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個(gè)角的另一組對(duì)應(yīng)鄰邊.【答案】(1)見講解；【分析】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，同角的補(bǔ)角相等，平角的定義，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)，找到條件證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．得證；得證．【經(jīng)典例題十三用SSS間接證明三角形全等】D．的最小值是的長【答案】B【詳解】解：連接，，故A選項(xiàng)正確，不符合題意，B選項(xiàng)不正確，符合題意；故C選項(xiàng)正確，不符合題意；即的最小值是的長，故D選項(xiàng)正確，不符合題意．故選：B．【答案】C【分析】此題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì).【詳解】解：取的中點(diǎn)O，連接并延長交于點(diǎn)E，并連接，故選：C【答案】4【分析】本題考查全等三角形的判定，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法．由“邊邊邊”可證明圖中4對(duì)三角形全等．【詳解】解：、、是的四等分點(diǎn)，圖中的全等三角形共有4對(duì)．故答案為：4．(1)寫出圖1所示鷂形的兩個(gè)性質(zhì)（定義除外）：①_______；②_______；【答案】(1)鷂形的一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；鷂形的一組對(duì)角相等；(2)見解析(3)【詳解】（1）解：垂直平分，即：鷂形的一條對(duì)角線平分一組對(duì)角，鷂形的一組對(duì)角相等；故答案為：鷂形的一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；鷂形的一組對(duì)角相等；故答案為：．【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了菱形的性質(zhì)和判定，三