專題13.3命題與證明（舉一反三講義） 【滬科版2024】TOC\o"13"\h\u【題型1判斷是否是命題】 2【題型2寫出命題的題設(shè)與結(jié)論】 4【題型3判斷命題真假】 5【題型4舉反例】 9【題型5逆命題】 10【題型6定理與證明】 12【題型7寫出一個命題的已知、求證及證明】 14【題型8已知證明過程填寫理論依據(jù)】 17【題型9根據(jù)給出的論斷組命題并證明】 22【題型10演繹推理】 27知識點1命題1.判斷某一件事情的語句叫命題．2.命題的定義包含兩層含義（1）命題必須是一個完整的句子，常為陳述句；（2）命題必須對某件事情作出肯定或否定的判斷．知識點2命題的組成與分類1.許多命題由條件和結(jié)論兩部分組成．條件是已知的事項；結(jié)論是由已知事項推出的事項．這樣的命題通?？蓪懗伞叭绻?，那么……”的形式．用“如果”開始的部分是條件，用“那么”開始的部分就是結(jié)論．2.命題分真假命題，正確的命題稱為真命題，不正確的命題稱為假命題．要判斷一個命題是真命題，可以用演繹推理加以論證；而要判斷一個命題是假命題，只要舉出一個例子，說明該命題不成立，即只要舉出一個符合該命題條件而不符合該命題結(jié)論的例子就可以了．在數(shù)學中，這種方法稱為“舉反例”．知識點3定義我們需要用不同的語句來說明我們學過的許多名詞各自所包含的確切意義，例如，我們用“在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線”來說明“平行線”所包含的意義．這樣的語句叫做這些名詞的定義．知識點4定理公認的真命題稱為基本事實．數(shù)學中，有些命題可以從基本事實或其他真命題出發(fā)，用邏輯推理的方法判斷它們是正確的，并且可以作為進一步判斷其他命題真假的依據(jù)，這樣的真命題叫做定理．對于基本事實，它是不需要推理論證的真命題，它可以作為判斷其他命題真假的依據(jù)，它是經(jīng)過證明的真命題，但并不是所有的真命題都是定理，定理可以作為進一步判斷其他命題真假的依據(jù)．知識點5原命題與逆命題將命題“如果p,那么q”中的條件與結(jié)論互換，使得到一個新命題“如果q,那么p”，我們把這樣的兩個命題稱為互逆命題，其中一個叫作原命題，另一個就叫作原命題的逆命題．知識點6證明及證明的一般步驟1.根據(jù)條件、定義以及基本事實、定理等，經(jīng)過演繹推理，來判斷一個命題是否正確，這樣的推理過程叫做證明．2.證明的一般步驟根據(jù)題設(shè)、結(jié)論，結(jié)合圖形，寫出已知、求證，經(jīng)過分析找出由已知推出結(jié)論的途徑，寫出證明過程，并注明依據(jù)．【題型1判斷是否是命題】【例1】（2425七年級下·四川德陽·期中）下列語句是命題的有（）個．①你喜歡數(shù)學嗎？②熊貓沒有翅膀；③任何一個三角形一定有直角；④作線段AB=CD；⑤無論n是怎樣的自然數(shù)，式子n2?n+11的值都是質(zhì)數(shù)；A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【詳解】本題考查命題，判斷事件的語句叫命題．掌握對事件是否作出了判斷是解題的關(guān)鍵。根據(jù)命題的定義逐一分析是否對事件作出了判斷，即可得出答案．【分析】①是疑問句，沒有對事件作出判斷，不是命題；②對事件作出了判斷（熊貓確實無翅膀），是命題；③對事件作出了判斷（三角形一定有直角），是命題；④沒有對事件作出判斷，只是描述了事件，不是命題；⑤對事件作出了判斷（式子n2⑥對事件作出了判斷（這兩條直線也互相平行），是命題．綜上，②、③、⑤、⑥為命題，共4個，故選B．【變式11】（2526八年級上·全國·單元測試）下列語句是命題的是（

）A．作AB∥CD B．若∠1=∠2，∠2=∠3C．兩條直線被第三條直線所截 D．一條鐵路的兩根鐵軌是平行的嗎【答案】B【分析】本題考查了命題．熟練掌握命題的定義是解題的關(guān)鍵．判斷一件事情的語句叫做命題．命題必須具有判斷性，即對一件事情作出“肯定”或“否定”的判斷，不論其判斷的結(jié)果是否正確．根據(jù)命題的定義判斷即可，注意命題必須具有判斷性．【詳解】A.作AB∥CD，不是命題，因為它不是判斷性語句，是敘述一個過程的語句；B.若∠1=∠2，∠2=∠3，則C.兩條直線被第三條直線所截，不是命題，因為它不是判斷性語句；D.一條鐵路的兩根鐵軌是平行的嗎，不是命題，因為它不是判斷性語句，是疑問句．故選：B．【變式12】（2526八年級上·全國·隨堂練習）下列選項中不是命題的是（

）A．正數(shù)大于負數(shù) B．過直線外一點作直線的平行線C．三角形的任意兩邊之和大于第三邊 D．如果a=b,a=c，那么b=c【答案】B【分析】本題考查了命題的定義：判斷一件事情的語句叫命題．命題必須是一個完整的句子，它必須對某一件事情作出肯定或否定的判斷，命題一般為陳述句，疑問句與作圖語句（祈使句）、感嘆句等都不是命題．判斷一件事情的語句，叫做命題．根據(jù)定義判斷即可．【詳解】解：A．正數(shù)大于負數(shù)，是可以判斷真假的陳述句，是命題，不符合題意；B．過直線外一點作直線的平行線是作圖語言，不是可以判斷真假的陳述句，不是命題，符合題意；C．三角形的任意兩邊之和大于第三邊，是可以判斷真假的陳述句，是命題，不符合題意；D．如果a=b,a=c，那么b=c，是可以判斷真假的陳述句，是命題，不符合題意；故選：B．【變式13】給出下列語句：①畫出已知角等于兩個已知角的和；②鈍角總大于直角；③過點A畫直線AB∥CD；④相等且互補的兩個角都是直角．其中是命題的是（

）A．只有④ B．①②④ C．②④ D．①②③④【答案】C【分析】根據(jù)命題的定義：可以判斷真假的陳述句，結(jié)合題中語句逐項判斷即可得到答案．【詳解】解：①不是陳述句，不是命題；②是命題；③不是陳述句，不是命題；④是命題；故選：C．【點睛】本題考查命題的定義，熟記可以判斷真假的陳述句叫命題是解決問題的關(guān)鍵．【題型2寫出命題的題設(shè)與結(jié)論】【例2】（2425七年級下·黑龍江齊齊哈爾·階段練習）“垂線段最短”的題設(shè)是，結(jié)論是．【答案】連接直線外一點與直線上一點的所有線段垂線段最短【分析】本題考查了命題的組成（題設(shè)和結(jié)論），解題的關(guān)鍵是理解命題的結(jié)構(gòu)，準確分離出題設(shè)和結(jié)論部分．將“垂線段最短”改寫成“如果……，那么……”的形式，“如果”后面的是題設(shè)，“那么”后面的是結(jié)論．【詳解】解：命題“垂線段最短”可以改寫為：如果從直線外一點到這條直線的所有線段中存在垂線段，那么垂線段最短．所以題設(shè)是從直線外一點到這條直線的所有線段中存在垂線段；結(jié)論是垂線段最短．故答案為：連接直線外一點與直線上一點的所有線段；垂線段最短．【變式21】（2526七年級上·全國·課后作業(yè)）命題“度數(shù)之和為90°的兩個角互為余角”的條件是（

）A．90° B．兩個角 C．度數(shù)之和為90° D．度數(shù)之和為90°的兩個角【答案】D【分析】本題考查了命題的條件與結(jié)論，命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項，結(jié)論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成“如果…那么…”形式，題設(shè)寫在如果的后面，把結(jié)論寫在那么的后面．命題的題設(shè)與結(jié)論部分，一個命題可以寫成“如果…那么…”形式，如果的后面是條件，那么的后面是題設(shè)．【詳解】解：命題“度數(shù)之和為90°的兩個角互為余角”寫成：如果兩個角的度數(shù)之和等于90°，那么這兩個角互為余角，∴命題“度數(shù)之和為90°的兩個角互為余角”的條件是度數(shù)之和為90°的兩個角．故選：D．【變式22】（2526八年級上·全國·隨堂練習）如果∠A>∠B,∠B>∠C，那么∠A>∠C，這個命題的條件是，結(jié)論是．【答案】∠A>∠B,∠B>∠C∠A>∠C【分析】本題考查了命題的結(jié)果，掌握命題是由題設(shè)（條件）和結(jié)論組成是關(guān)鍵，根據(jù)命題的結(jié)果判定即可求解．【詳解】解：如果∠A>∠B,∠B>∠C，那么∠A>∠C，∴這個命題的條件是∠A>∠B,∠B>∠C，結(jié)論是∠A>∠C，故答案為：①∠A>∠B,∠B>∠C，②∠A>∠C．【變式23】（2425七年級下·上海金山·期末）將命題“在三角形中，大邊對大角”改寫成“如果……，那么……”的形式是．【答案】如果一個三角形中一邊大于另一邊，那么該邊所對的角大于另一邊所對的角【分析】本題主要考查的知識點是如何將原命題寫成條件與結(jié)論的形式，“如果”后面是命題的條件，“那么”后面是條件的結(jié)論，解題關(guān)鍵是找到命題中相應(yīng)的條件和結(jié)論．命題中的條件是一個三角形中一邊大于另一邊，放在“如果”的后面，結(jié)論是該邊所對的角大于另一邊所對的角，應(yīng)放在“那么”的后面．【詳解】解：如果一個三角形中一邊大于另一邊，那么該邊所對的角大于另一邊所對的角故答案為：如果一個三角形中一邊大于另一邊，那么該邊所對的角大于另一邊所對的角．【題型3判斷命題真假】【例3】（2425七年級下·江蘇蘇州·期末）如圖，線段AC,BD相交于點O，連接AD,BC，并延長AD至點E，∠BCA的平分線與∠BDE的平分線相交于點M．①若∠A=2∠BCM，則AE∥BC；②若∠M=2∠BDM，則AE∥MC；③若∠A=∠B，則∠EDM+∠BCM=90°；④若∠ADO=∠BCO，則A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)角平分線的定義得到∠ACB=2∠BCM，由∠A=2∠BCM可得∠A=∠ACB，利用平行線的判定得到AE∥BC，可判斷①；根據(jù)角平分線的定義得到∠BDE=2∠BDM，由∠M=2∠BDM可得∠M=∠BDE，再根據(jù)平行線的判定可判斷②；利用三角形內(nèi)角和定理推出∠ADB=∠ACB，再利用角平分線的定義求出∠EDM+∠BCM=90°，可判定③；延長CM交BD于點F，利用角平分線的定義求出∠BDM+∠BCM=90°，利用三角形外角的性質(zhì)得到∠CMD=∠CFD+∠BDM，∠CFD=∠B+∠BCM，進而得到【詳解】解：∵CM平分∠ACB，∴∠ACB=2∠BCM，∵∠A=2∠BCM，∴∠A=∠ACB，∴AE∥∵DM平分∠BDE，∴∠BDE=2∠BDM，∵∠M=2∠BDM，∴∠M=∠BDE，由∠M=∠BDE無法證明AE∥∵∠A=∠B，∠AOD=∠BOC，∴∠ADB=∠ACB，∵∠BDE+∠ADB=180°，∴∠BDE+∠ACB=180°，∵CM平分∠ACB，DM平分∠BDE，∴∠EDM+∠BCM===90°，∴∠EDM+∠BCM=90°，故③是真命題；如圖，延長CM交BD于點F，∵∠ADO=∠BCO，∠BDE+∠ADO=180°，∴∠BDE+∠BCO=180°，∵CM平分∠ACB，DM平分∠BDE，∴∠BDM+∠BCM===90°，∵∠CMD=∠CFD+∠BDM，∠CFD=∠B+∠BCM，∴∠CMD=∠B+∠BDM+∠BCM=∠B+90°，∴∠CMD?∠B=90°，故④是真命題；∴真命題的個數(shù)是3．故選：C．【點睛】本題考查了判斷命題真假、平行線的判定、三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)、角平分線的定義，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．【變式31】（2425七年級下·湖南長沙·期末）命題“互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等”是命題（真/假）．【答案】真【分析】本題主要考查了命題，掌握相反數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)判斷一件事情的語句，叫做命題．正確的命題是真命題進行分析即可．【詳解】解：命題“互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等”的條件是兩個數(shù)互為相反數(shù)，結(jié)論是這兩個數(shù)絕對值相等，這是一個真命題．故答案為：真．【變式32】（2526八年級上·全國·課前預(yù)習）命題：①對頂角相等；②相等的角是對頂角；③垂直于同一條直線的兩條直線平行；④平行于同一條直線的兩條直線平行．其中是真命題的有．（請?zhí)顚懶蛱枺敬鸢浮竣佗?④①【分析】考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解對頂角的性質(zhì)、平行線的判定等知識，根據(jù)對頂角的性質(zhì)、平行線的判定判斷即可．【詳解】解：①對頂角相等，是真命題；②相等的角不一定是對頂角，原命題是假命題；③在同一平面上，垂直于同一條直線的兩條直線平行，原命題是假命題；④平行于同一條直線的兩條直線平行，是真命題；其中是真命題的有①④；故答案為：①④．【變式33】（2425七年級下·內(nèi)蒙古通遼·期末）如圖，在三角形ABC中，點D，E，F(xiàn)分別在邊BC，AC，AB上，連接DE，DF．下列四個命題中，是真命題的是（

）①若∠BFD=∠A，則DF∥②若∠EDF=∠DEC，則DF∥③若∠A+∠AED=180°，則④若∠B=∠EDF，則AB∥A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④【答案】C【分析】本題考查平行線的判定定理，本題中每組條件都可判斷直線平行，但是有三個不能判斷題目所需的直線平行，所以依據(jù)平行線的判定定理，要找準截線和被截線．先觀察已知角的位置關(guān)系，根據(jù)平行線的判定定理判斷通過已知角可得哪兩條直線平行，可得出結(jié)論．【詳解】解：①∠BFD=∠A，則DF∥②若∠EDF=∠DEC，則DF∥③若∠A+∠AED=180°，則④若∠B=∠EDF，無法判斷AB∥故選：C．【題型4舉反例】【例4】（2425七年級下·陜西西安·期末）能說明命題“兩個銳角的和一定是鈍角”是假命題的反例是（

）A．∠1=82°，∠2=40° B．∠1=89°，∠2=2°C．∠1=65°，∠2=30° D．∠1=30°，∠2=20°【答案】D【分析】本題考查命題與定理，要說明命題“兩個銳角的和一定是鈍角”是假命題，需找到兩個銳角的和不是鈍角的例子，即可判斷．【詳解】解：A、82°+40°=122°，是鈍角，不符合題意；B、89°+2°=91°，是鈍角，不符合題意；C、65°+30°=95°，是鈍角，不符合題意；D、30°+20°=50°，是銳角，說明兩銳角的和可能不是鈍角，符合題意．故選：D．【變式41】為說明命題“如果a=b，那么a=b”是假命題，你舉出的一個反例是【答案】a=1，b=?1（答案不唯一）【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)可得當a=b，得出a=b或【詳解】解：∵a=∴a=b或a=?b，例如：a=1，b=?1時，a=∴命題“如果|a|=|b|，那么a=b”是假命題，故答案為：a=1，b=?1（答案不唯一）．【點睛】題目主要考查絕對值的性質(zhì)，深刻理解絕對值的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式42】（2425七年級下·湖北宜昌·期末）對于命題“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2”，能說明它是假命題的反例是（

）A．∠1=45°,∠2=45° B．∠1=30°,∠2=60°C．∠1=60°,∠2=60° D．∠1=30°,∠2=40°【答案】A【分析】本題考查舉反例，要說明命題“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2”是假命題，需找到滿足∠1+∠2=90°但∠1=∠2的反例．【詳解】解：A、∠1=45°,∠2=45°，和為90°，且∠1=∠2，滿足反例條件．B、∠1=30°,∠2=60°，和為90°，但∠1≠∠2，支持原命題．C、∠1=60°,∠2=60°，和為120°，不滿足條件．D、∠1=30°,∠2=40°，和為70°，不滿足條件．故選A．【變式43】（2425七年級下·全國·課后作業(yè)）判斷命題“如果0<n<1，那么n2?1>0”是假命題，只需舉出一個反例，反例中的值可以是【答案】12【分析】只要從滿足條件的數(shù)中找到一個數(shù)，使結(jié)論不成立，就可以說明命題是假命題．本題考查了舉反例判斷假命題，只要從符合0<n<1中找出一個數(shù)，能使n2【詳解】解：當n=13n=1但n2∴命題“如果0<n<1，那么n2同樣當n=13時，也可以判斷命題“如果0<n<1，那么故答案為：12（也可以是1【題型5逆命題】【例5】（2425七年級下·江蘇無錫·期末）下列命題中：①相等的角是對頂角；②直角三角形兩個銳角互余；③如果a=b，則a=④如果一個點是這條線段的中點，那么這個點到線段兩端的距離相等．逆命題是真命題的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題考查了命題與逆命題，判斷命題真假，分別寫出四個命題的逆命題，并逐一判斷其真假即可，掌握命題與逆命題是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：命題①的逆命題：“對頂角相等”，對頂角一定相等，故逆命題為真；命題②的逆命題：“兩個銳角互余的三角形是直角三角形”，若兩銳角之和為90°，則第三個角為90°，故三角形為直角三角形，逆命題為真；命題③的逆命題：“若a=b，則a=b”，絕對值相等時，a與命題④的逆命題：“到線段兩端距離相等的點是中點”，該點可能在線段的垂直平分線上而非線段上，故逆命題為假；綜上，逆命題為真的有2個，故選：B．【變式51】下列命題：①如果a＞b，那么a+c＞b+c；②如果a≥0，b＜0，那么ab≤0；③直角三角形有兩個銳角.其中原命題與其逆命題都是真命題的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．0個【答案】A【分析】運用不等式的基本性質(zhì)即可判斷①的原命題和逆命題是否正確；運用不等式的基本性質(zhì)先判斷出②的原命題是否正確，再判斷逆命題“如果ab≤0，那么a≥0，b＜0”是否正確；運用直角三角形的性質(zhì)判斷③的原命題正確與否，再判斷逆命題“如果一個三角形有兩個銳角，那么這個三角形是直角三角形”正確與否，問題即可解答.【詳解】①：原命題“如果a＞b，那么a+c＞b+c”是真命題；逆命題“如果a+c＞b+c，那么a＞b”是真命題.②：原命題“如果a≥0，b＜0，那么ab≤0”是真命題；逆命題“如果ab≤0，那么a≥0，b＜0”是假命題，可能還存在a＞0，b≤0，或a＜0，b≥0，或a≤0，b＞0的情況.③：原命題“直角三角形有兩個銳角”是真命題；逆命題“如果一個三角形有兩個銳角，那么這個三角形是直角三角形”是假命題，如鈍角三角形.故只有①的原命題與其逆命題都是真命題.故選A.【點睛】本題考查判斷原命題與逆命題正確與否的問題，首先判斷原命題的條件及結(jié)論，將其對調(diào)即可寫出其逆命題是解題的關(guān)鍵.【變式52】（2425八年級下·福建三明·期中）以下命題的逆命題中，屬于真命題的是（

）A．如果a>0，b>0，則a+b>0 B．直角都相等C．兩直線平行，同位角相等 D．若a=b，則a【答案】C【分析】本題考查逆命題，逆命題的真假識別，掌握逆命題把原命題的題設(shè)變?yōu)榻Y(jié)論，把結(jié)論變?yōu)轭}設(shè)，逆命題的真假識別方法是解題關(guān)鍵．首先明確各個命題的逆命題，再分別分析各逆命題的題設(shè)是否能推出結(jié)論得出答案．【詳解】解：A．逆命題為：如果a+b>0，則a>0，b>0，反例3+?2=1>0，a=3>0，B．逆命題為：相等角是直角，反例∠A=∠B=30°，但不是直角，故該選項的逆命題是假命題，不符合題意；C．逆命題為：同位角相等，兩直線平行，根據(jù)平行線判定定理知其是真命題，故該選項的逆命題是真命題，符合題意；D．逆命題為：a2=b2，則a=b，反例故選：C．【變式53】（2425八年級下·江西萍鄉(xiāng)·期中）命題“等腰直角三角形的兩個銳角相等”，請寫出它的逆命題．該逆命題是（填“真”或“假”）命題．【答案】有兩個角相等的三角形是等腰直角三角形假【分析】本題考查了命題與定理：判斷事物的語句叫命題；正確的命題稱為真命題，錯誤的命題稱為假命題；經(jīng)過推理論證的真命題稱為定理．也考查了逆命題．根據(jù)給出的命題將其結(jié)論與條件互換即得到其逆命題，然后分析其真假即可．【詳解】解：逆命題為有兩個角相等的三角形是等腰直角三角形，該逆命題是假命題，故答案為：有兩個角相等的三角形是等腰直角三角形，假．【題型6定理與證明】【例6】請舉出一個關(guān)于角相等的定理：．【答案】兩直線平行，同位角相等【分析】任意寫出一個角相等的定理即可．【詳解】解：關(guān)于角相等的定理：兩直線平行，同位角相等故答案為：兩直線平行，同位角相等（答案不唯一）．【點睛】本題考查角相等的定理，如同位角、內(nèi)錯角或?qū)斀牵瑢懗鱿鄳?yīng)的定理即可．【變式61】下列語句中，是定義的是（

）A．若兩角之和為90°，則這兩個角互余 B．相等的角是對頂角C．同角的余角相等 D．延長BC至D使CD=BC【答案】B【分析】本題考查了全是與定理的知識，利用定義的定義分別判斷后即可確定正確的選項．【詳解】解：A.若兩角之和為90°，則這兩個角互余，不是定義，不符合題意；B.相等的角是對頂角，是定義，符合題意；C.同角的余角相等，不是定義，不符合題意；D.延長BC至D使CD=BC，不是定義，不符合題意；故選：B【變式62】（2425七年級下·全國·課后作業(yè)）定理可以作為證明后續(xù)命題的，根據(jù)，可以得到推論：三角形的外角等于與它不相鄰的的和．【答案】依據(jù)三角形內(nèi)角和定理及平角的定義兩個內(nèi)角【分析】本題考查定理和命題，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理以及平角的定義推出三角形的外角的性質(zhì)，作答即可．【詳解】解：定理可以作為證明后續(xù)命題的依據(jù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及平角的定義，可以得到推論：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；故答案為：依據(jù)，三角形內(nèi)角和定理及平角的定義，兩個內(nèi)角【變式63】下列命題可以作定理的有個．①2與6的平均值是8；②能被3整除的數(shù)能被6整除；③5是方程12x+7=9x+2【答案】2/兩【分析】本題考查了命題與定理：判斷事物的語句叫命題；正確的命題稱為真命題，錯誤的命題稱為假命題，舉一個反例即可說明；經(jīng)過推理論證的真命題稱為定理．首先利用定理的定義先判斷命題是否是真命題，然后再看是否經(jīng)過推理論證；經(jīng)過判斷可以得到①、②、③是假命題，④、⑤是真命題，是經(jīng)過推理論證的，據(jù)此可以解決問題．【詳解】解：①2與6的平均值是4，故此命題是假命題，不是定理；②能被3整除的數(shù)，不一定能被6整除，故此命題是假命題，不是定理；③把5代入方程12④三角形的內(nèi)角和為180°，是經(jīng)過證明的是真命題，故是定理；⑤等式兩邊加上同一個數(shù)仍是等式，符合等式的性質(zhì)，是定理；綜上所述：③和④是定理，共2個．故答案為：2．【題型7寫出一個命題的已知、求證及證明】【例7】命題：直角三角形的兩銳角互余．

(1)將此命題寫成“如果…，那么…”：________________________；(2)請判斷此命題的真假．若為假命題，請說明理由；若為真命題，請根據(jù)所給圖形寫出已知、求證和證明過程．【答案】(1)如果一個三角形是直角三角形，那么它的兩個銳角互余(2)該命題是真命題，詳見解析【分析】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，逆命題的概念：（1）根據(jù)逆命題的概念寫出原命題的逆命題；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算，即可證明．【詳解】（1）解：如果一個三角形是直角三角形，那么它的兩個銳角互余；故答案為：如果一個三角形是直角三角形，那么它的兩個銳角互余（2）解：該命題是真命題已知：如圖，在△ABC中，∠B=90°求證：∠A+∠C=90°證明：∵∠A+∠B+∠C=180°∴∠A+∠C=180°?∠B∵∠B=90°∴∠A+∠C=180°?90°=90°．【變式71】（2425七年級下·江蘇南京·期末）請將三角形內(nèi)角和定理的推論補充完整并加以證明．定理：三角形的外角等于_____________________的和．已知：求證：【答案】見解析【分析】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角等于與其不相鄰的兩個內(nèi)角的和，據(jù)此補全定理，再寫出對應(yīng)的已知和求證，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和平角的定義證明即可．【詳解】定理：三角形的外角等于與其不相鄰的兩個內(nèi)角的和．已知：∠ACD是△ABC的一個外角．求證：∠ACD=∠A+∠B．證明：如圖所示，在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°，∵∠ACB+∠ACD=180°，∴∠ACD=∠A+∠B．【變式72】證明：平行于同一條直線的兩條直線平行．已知：____________．求證：____________．證明：【答案】見解析【分析】寫出已知，求證，利用平行線的判定定理證明即可．【詳解】已知：如圖，直線a、b、c中，

求證：a∥證明：作直線a、b、c的截線

∵a∥∴∠1=∠2，∵b∥∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴a∥【點睛】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．【變式73】（2425七年級下·山東泰安·期中）證明三角形的內(nèi)角和為180°．要求：根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合畫出的圖形寫出已知和求證，并嘗試證明．【答案】見解析【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和的證明，平行線的性質(zhì)，利用平行線的性質(zhì)，將三角形的三個內(nèi)角集中到同一個頂點，再由平角為180°，證明即可．【詳解】解：已知：如圖，△ABC，求證：∠A+∠B+∠C=180°；證明：過點A作EF∥BC，如圖，∵EF∥BC，∴∠B=∠1,∠C=∠2，∵∠1+∠BAC+∠2=180°，∴∠A+∠B+∠C=180°，∴三角形內(nèi)角和180°．【題型8已知證明過程填寫理論依據(jù)】【例8】（2425七年級下·吉林長春·期末）【教材呈現(xiàn)】下面是華師版七年級下冊數(shù)學教材習題8.1第6題部分內(nèi)容．如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線與∠ACB的外角平分線相交于點D．試找出∠D與△ABC的內(nèi)角∠A之間的關(guān)系．（1）小明閱讀題目后，沒有發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系與解題思路，于是嘗試代入∠A的度數(shù)，即可求∠D的度數(shù)．①當∠A=60°時，∠D=___________度；當∠A=120°時，∠D=___________度；②于是小明猜想∠D與∠A之間的數(shù)量關(guān)系為___________；（2）以下是小明完成猜想證明的部分過程：證明：∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABD=1∵CD平分∠ACE，∴∠DCE=∠ACD=1證明過程缺失請你補全缺失的證明過程．【結(jié)論應(yīng)用】（3）如圖，在四邊形ABCD中，BF平分∠ABC,CG平分外角∠DCE，連結(jié)FG．若∠A=140°，∠D=90°，則∠F+∠G=___________度．【答案】（1）①30；60；②∠D=1【分析】本題考查三角形的外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線定義，關(guān)鍵是靈活應(yīng)用三角形的外角性質(zhì)．（1）①當∠A分別是60度和120度時，得到∠D的度數(shù)；②猜想得到∠D=1（2）由角平分線定義得到∠DBC=12∠ABC，∠DCE=12（3）延長BA和CD交于M，延長BE和CG交于N，由三角形的外角性質(zhì)求出∠M=50°，由（2）的結(jié)論即可求出∠N=12×50°=25°【詳解】（1）解：①當∠A=60°時，設(shè)∠ABC=2α，則∠ACE=2α+60°，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，∴∠DBC=∠ABD=12∠ABC=α∴∠D=∠DCE?∠DBC=α+30°?α=30°；當∠A=120°時，設(shè)∠ABC=2β，則∠ACE=2β+120°，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，∴∠DBC=∠ABD=12∠ABC=β∴∠D=∠DCE?∠DBC=β+60°?β=60°；故答案為：30，60；②于是小明猜想∠D與∠A之間的數(shù)量關(guān)系為∠D=1故答案為：∠D=1（2）證明：∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABD=1∵CD平分∠ACE，∴∠DCE=∠ACD=1∵∠DCE=∠D+∠DBC，∴12∵∠ACE=∠A+∠ABC，∴12∴∠D=1（3）如圖，延長BA和CD交于M，延長BE和CG交于N，∵BF平分∠ABC，CG平分外角∠DCE，∴∠N=1∵∠ADC=90°，∴∠ADM=180°?90°=90°，∴∠M=∠BAD?∠ADM=140°=90°=50°，∴∠N=1∵∠BFG=∠N+∠FGN，∠CGF=∠N+∠NFG，∴∠BFG+∠CGF=∠N+∠FGN+∠N+∠NFG=180°+25°=205°，故答案為：205．【變式81】補全下列推理過程：如圖，EF⊥BC，AD⊥BC，∠1=∠2，試說明DG∥BA．解：∵EF⊥BC，AD⊥BC，（已知），∴∠BFE=∠BDA=90°（垂直的定義），∴EF∥AD（____________）．∴∠2=∠3（____________）．∵∠1=∠2（已知），∴____________（等量代換）．∴DG∥AB（____________）．【答案】答案見詳解；【分析】本題考查證明補充條件，根據(jù)條件與結(jié)論因果關(guān)系直接填寫即可得到答案；【詳解】解：∵EF⊥BC，AD⊥BC（已知），∴∠BFE=∠BDA=90°（垂直的定義），∴EF∥AD（同位角相等，兩直線平行），∴∠2=∠3（兩直線平行，同位角相等），∵∠1=∠2（已知），∴∠1=∠3（等量代換），∴DG∥AB（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．【變式82】（2425七年級下·湖南衡陽·期末）如圖，D是△ABC邊BC上的一點，∠B=∠BAD，∠ADC=70°．(1)求∠B的度數(shù)：請在解答過程的空白處填上適當?shù)膬?nèi)容．（理由或數(shù)學式）解：（1）∵∠ADC是△ABD的外角，∠ADC=70°（已知），∴∠B+______=∠ADC=70°（______）．又∵∠B=∠BAD（已知），∴∠B=______°．（等量代換）(2)若AD平分∠BAC，求∠C的度數(shù)．（請寫出完整的解答過程）【答案】(1)答案見解析(2)75°【分析】本題考查三角形的外角性質(zhì)、角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理等知識．熟記三角形的外角性質(zhì)、角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理等知識，并靈活運用是解決問題的關(guān)鍵．（1）由∠ADC是△ABD的外角，利用“三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和”，可求出∠B的度數(shù)；（2）利用角平分線的定義和“三角形的內(nèi)角和等于180°”，可求出∠C的度數(shù)．【詳解】（1）解：∵∠ADC是△ABD的外角，∠ADC=70°（已知），∴∠B+∠BAD=∠ADC=70°（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）．又∵∠B=∠BAD（已知），∴∠B=35°．（等量代換）；（2）解：∵AD平分∠BAC，∠BAD=35°（已知），∴∠BAC=2×35°=70°（角平分線的定義）．∵在△ABD中，∠B=35°，∠BAC=70°（已證），∴∠C=180°?35°?70°=75°（三角形的內(nèi)角和定理）．【變式83】（2425七年級下·廣東茂名·階段練習）如圖，∠1=∠2，∠3+∠4=180°．試說明：AC∥請你完成下列推理過程（括號內(nèi)寫出理由）：解：因為∠1=∠2，（已知）所以∥．（因為∠3+∠4=180°，（已知）所以∥，（所以AC∥【答案】AC；DE；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；DE；FG；DE∥【分析】本題考查了平行線的判定，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行可得出AC∥DE，根據(jù)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行可得出【詳解】解：因為∠1=∠2，（已知）所以AC∥因為∠3+∠4=180°，（已知）所以DE∥所以AC∥故答案為：AC；DE；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；DE；FG；DE∥【題型9根據(jù)給出的論斷組命題并證明】【例9】如圖，直線a，b，c被直線m，n所截，有下列命題：①∠BAC=∠BDC；②∠AFE=∠FED；③m∥n．從①②③中選出兩個作為條件，第三個作為結(jié)論，寫出一個真命題，并說明理由．【答案】見解析【分析】本題考查命題的證明，根據(jù)命題的定義，選擇條件和結(jié)論，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)，進行證明即可．【詳解】從題干中選出其中的兩個作為條件，第三個作為結(jié)論，可以構(gòu)造出3個命題，分別為：①②?③；②③?①；①③?②．以上3個命題都是真命題，①②?③，∵∠AFE=∠FED，∴b∥c，∴∠CAB+∠ABD=180°，∵∠BAC=∠BDC，∴∠ABD+∠BDC=180°，∴m∥n；②③?①，∵∠AFE=∠FED，∴b∥c，∴∠CAB+∠ABD=180°，∵m∥n，∴∠ABD+∠BDC=180°，∴∠BAC=∠BDC；①③?②，∵m∥n，∴∠ABD+∠BDC=180°，∵∠BAC=∠BDC，∴∠BAC+∠ABD=180°，∴b∥c，∴∠AFE=∠FED．【變式91】如圖，現(xiàn)有以下3個論斷：①AB∥CD；②∠B＝

(1)請寫出所有的真命題；(2)請選擇其中一個命題加以證明．【答案】(1)見詳解(2)見詳解【分析】（1）分別以其中2個論斷為條件，第3個論斷為結(jié)論可寫出3個命題；（2）根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)對命題進行證明即可．【詳解】（1）解：命題1：由①②得到③；命題2：由①③得到②；命題3：由②③得到①；（2）命題1證明如下：∵AB∥∴∠B＝∵∠B＝∴∠C＝∴CE∥∴∠E＝命題2證明如下：∵AB∥∴∠B＝∵∠E＝∴CE∥∴∠C＝∴∠B＝命題3證明如下：∵∠E＝∴CE∥∴∠C＝∵∠B＝∴∠B＝∴AB∥【點睛】本題主要考查命題與定理知識，平行線的判定與性質(zhì)，熟練運用平行線的判定與性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．【變式92】【閱讀】在證明命題“如果a>b>0，c<0，那么a2證明：∵a>b>0，∴a2>．∴a2∵a>b，c<0，∴bc>．∴ab+bc>．∴a2【問題解決】(1)請將上面的證明過程填寫完整；(2)有以下幾個條件：①a>b，②a<b，③a<0，④b<0．請從中選擇兩個作為已知條件，得出結(jié)論a>b．你選擇的條件序號是【答案】(1)見解析(2)②④，證明見解析【分析】（1）根據(jù)a>b>0，可得a2>ab．從而得到a2+bc>ab+bc．再由a>b，c<0，可得bc>ac．從而得到ab+bc>（2）選擇②④．理由：根據(jù)a<b，b<0，可得a<0．再由絕對值的性質(zhì)可得a=?a，b=?b．然后根據(jù)a<b，可得【詳解】（1）證明：∵a>b>0，∴a2>ab∴a2+bc>∵a>b，c<0，∴bc>ac．∴ab+bc>ab+ac．∴a2（2）解∶選擇②④．證明如下：∵a<b，b<0，∴a<0．∴a=?a，b∵a<b，∴?a>?b．∴a>【點睛】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，絕對值的性質(zhì)，熟練掌握不等式的性質(zhì)，絕對值的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式93】如圖，已知直線EF∥GH，給出下列信息：①AC⊥BC；②BC平分∠DCH；③∠ACD=∠DAC．(1)請在上述3條信息中選擇其中兩條作為條件，其余的一條信息作為結(jié)論組成一個真命題，你選擇的條件是，結(jié)論是(只要填寫序號)，并說明理由．(2)在（1）的條件下，若∠ACG比∠BCH的2倍少3度，求∠DAC的度數(shù)．【答案】(1)①②；③；理由見解析(2)59°【分析】（1）由角平分線的定義可得∠BCD=∠BCH，再根據(jù)等角的余角相等可得出∠ACD=∠ACG，再由平行線的性質(zhì)可得∠ACG=∠DAC，從而結(jié)論得證；（2）由（1）得：∠ACG+∠BCH=90°，根據(jù)∠ACG比∠BCH的2倍少3度，可得關(guān)系式∠ACG=2∠BCH?3°，求得∠BCH=31°，∠ACG=59°，再根據(jù)∠DAC=∠ACG即可得到∠DAC的度數(shù)．【詳解】（1）解：條件：①②，結(jié)論：③．理由如下：∵BC平分∠DCH，∴∠BCD=∠BCH，∵AC⊥BC，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠ACG+∠BCH=90°，∴∠ACD=∠ACG，∵EF∥GH，∴∠ACG=∠DAC，∴∠ACD=∠DAC．故答案為：①②；③．（2）由（1）得：∠ACG+∠BCH=90°，∵∠ACG比∠BCH的2倍少3度，∴∠ACG=2∠BCH?3°，∴2∠BCH?3°+∠BCH=90°，解得：∠BCH=31°，∴∠ACG=90°?∠BCH=59°，∴∠DAC=∠ACG=59°．∴∠DAC的度數(shù)59°．【點睛】本題考查了角平分線的定義，等角的余角相等，平行線的性質(zhì)，解方程組等知識．理解和掌握平行線的性質(zhì)，等角的余角相等是解題的關(guān)鍵．【題型10演繹推理】【例10】（2025·山東濟寧·二模）某班級到勞動實踐基地參加活動，基地指導(dǎo)老師讓同學排成一列縱隊后，按照從前到后的順序四人一組，根據(jù)李明和張雪的對話給出以下四個結(jié)論：①如果李明和趙偉同一組，那么張雪和王凱也同一組；②如果李明和趙偉不同一組，那么張雪和王凱也不同一組；③如果張雪和王凱同一組，那么李明和趙偉也同一組；④如果張雪和王凱不同一組，那么李明和趙偉也不同一組．上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（

）A．①② B．②③ C．①④ D．①②③【答案】C【分析】本題考查了推理，列舉法求試驗結(jié)果，根據(jù)題意舉出反例或列舉是解題的關(guān)鍵．設(shè)中間隔著的人用x代替，令右為前，左為后，則排序為：?，x，x，王凱，x，張雪，x，趙偉，x，x，李明，x，x，?，然后再根據(jù)選項分析即可．【詳解】解：依題意，設(shè)中間隔著的人用x代替，令右為前，左為后，則排序為：?，x，x，王凱，x，張雪，x，趙偉，x，x，李明，x，x，?對于①，如果李明和趙偉同一組，滿足四人一組，則有（趙偉，x，x，李明）這樣排列，那么（王凱，x，張雪，x）為一組，故①正確；對于②，如果李明和趙偉不同一組，那么可以排列（李明，x，x，x），（x，趙偉，x，x），則（x，王凱，x，張雪），故張雪和王凱可能在同一組，故②錯誤；對于③，如果張雪和王凱同一組，那么可以排列（x，王凱，x，張雪），則（x，趙偉，x，x），故李明和趙偉可能不在同一組，故③錯誤；對于④，如果張雪和王凱不同一組，可以排列（x，x，x，王凱），（x，張雪，x，趙偉），（x，x，李明，x），符合題意李明和趙偉也不同一組；或者可以排列（x，x，王凱，x），（張雪，x，趙偉，x），（x，李明，x，x），符合題意李明和趙偉也不同一組，故④正確，故選：C．【變式101】（2025·湖南長沙·一模）有三張牌，分別為紅心A、紅心2、紅心8，將這三張牌按任意左右順序排列，再根據(jù)下列步驟操作：第一步：將紅心2與左邊的牌互換，如果紅心2已經(jīng)在最左邊，則不動；第二步：將紅心8與右邊的牌互換，如果紅心8已經(jīng)在最右邊，則不動；第三步：將紅心A與左邊的牌互換，如果紅心A已經(jīng)在最左邊，則不動．經(jīng)過以上三步操作后，請問最右邊的牌是（

）A．紅心A B．紅心2C．紅心8 D．紅心A、紅心2、紅心8都有可能【答案】C【分析】本題主要考查了簡單的邏輯推理，三張牌的所有排列組合共有6種：A，2，8，A，8，2，2，A，8，2，8，A，8，A，2，8，2，A，據(jù)此分6種情況分別求出三步操作后最右邊的牌即可得到答案．【詳解】解：首先，三張牌的所有排列組合共有6種：A，2，8，A，8，2，2，A，8，2，8，A，8，A，2，8，2，A，第一種初始排列：A，2，8，第一步：紅心2的位置是中間，左邊是A．所以紅心2與左邊的A互換位置，變?yōu)?，A，8，第二步：處理紅心8的位置，此時排列是2，A，8．紅心8在最右邊，所以不動．第三步：處理紅心A，此時紅心A在中間位置，左邊是2，所以A與左邊的2互換位置，得到A，2，8．，所以第三步結(jié)束后的排列是A，2，8．所以最右邊是8．第二種初始排列：A，8，2，第一步：紅心2的位置是右邊第三位，即最右邊，所以紅心2在初始排列的最右邊，左邊是8．所以第一步需要把紅心2和左邊的8互換位置，得到A，2，8．第二步處理紅心8的位置．此時排列是A，2，8，紅心8在最右邊，所以不動．第三步處理紅心A，此時紅心A在第一位，已經(jīng)是最左邊，所以不動．最終排列還是A，2，8，最右邊是8．第三種初始排列：2，A，8，第一步：紅心2已經(jīng)在最左邊，所以不動，排列還是2，A，8，第二步：紅心8在最右邊，所以不動，排列還是2，A，8，第三步：紅心A在中間位置，左邊是2，所以紅心A與2互換位置，得到A，2，8．最右邊還是8．第四種初始排列：2，8，A，第一步：紅心2在第一位，不動，排列保持2，8，A，第二步：紅心8在中間位置，右邊是A．所以將紅心8與右邊的A互換位置，得到2，A，8，第三步：處理紅心A的位置，此時紅心A在中間，左邊是2，所以互換，得到A，2，8．最右邊是8．第五種初始排列：8，A，2，第一步：紅心2在最右邊，所以需要將紅心2與左邊的A互換位置，得到8，2，A，第二步：處理紅心8的位置，此時紅心8在第一位，左邊沒有牌，右邊是2．但紅心8的操作是與右邊的牌互換．所以紅心8現(xiàn)在在第一位，右邊是2．將紅心8與右邊的2互換，得到2，8，A，第三步：處理紅心A的位置，此時排列是2，8，A．紅心A在最右邊，左邊是8．所以需要將A與左邊的8互換位置，得到2