奔馳定理一、引言：向量是重要的數(shù)學(xué)概念，既有大?。＃┯钟蟹较颍ń牵┑乃诖鷶?shù)和幾何的運(yùn)算中靈活多變，是數(shù)形結(jié)合的典型代表.當(dāng)向量和三角問(wèn)題結(jié)合時(shí),產(chǎn)生了一類重要的且有難度的問(wèn)題—“奔馳定理問(wèn)題”,此類題屬于選擇、填空題、解答題證明問(wèn)題中的壓軸類，雖然不一定是唯一的解法，但是運(yùn)用結(jié)論可以快速解題。二、定理原理：O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，△BOC，△AOC，△AOB的面積分別為SA，SB，SC，求證：SAOA+SBOB+SCOC=0.三、定理證明：如圖，延長(zhǎng)AO與BC相交于點(diǎn)D，BDDC=S△ABDS△ACD=S△BODS△COD=-S△BOD-S△COD=S△ABD-S△BODS△ACD-S又OD=|OD||OA|OA=SASB+SCOA，所以SASB四、常見(jiàn)命題方向和二級(jí)結(jié)論：1.奔馳定理和內(nèi)心，外心，垂心，重心的關(guān)系2.（1）：P是△ABC所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)(其中a，b，c分別為△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng))，O是△ABC的內(nèi)心?PO=aPA（2）：P是銳角△ABC所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，PO=PAsin2A+PBsin2B+PC3）P是△ABC(非直角三角形)所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，O是△ABC(非直角三角形)的垂心?PO=PAtanA+（4）：P是△ABC所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，PG=13(PA+PB+PC)?五、典例：例1.已知O為△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，△BOC，△AOC，△AOB的面積分別為SA，SB，SC，則SA?OA+SB?OB+SC?OC=0．因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志，所以稱為“奔馳定理”．已知O為A．23-8 B．-2 C．6解析：因?yàn)閍=3，b=23，c=5，所以cosB=因?yàn)镺為△ABC的內(nèi)心，設(shè)∠1=∠OBC,∠2=∠OBA，由題意∠1=∠2，則SA同理可得SA:SB所以aBA-BO所以BO?AC=例2.如圖，已知O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，△BOC，△AOC，△AOB的面積分別為SA，SB，SC，則SA?OA+SB?OB+SC?OC=①O是△ABC的垂心；②∠BOC+A<π③OA:OB解析：【思路】將OA?OB=OB?OC移項(xiàng)，并結(jié)合平面向量的減法和數(shù)量積的運(yùn)算法則，可得OB⊥CA，同理推出OA⊥CB，OC⊥AB，即可判斷①；根據(jù)①可知，∠OBC+C=π2，∠OCB+B=π【詳解】因?yàn)镺A?OB=OB?OC，所以O(shè)B?OA-OC=0，所以O(shè)B因?yàn)镺B⊥CA，OC⊥AB，所以∠OBC+C=π2，∠OCB+B=π又∠OBC+∠OCB+∠BOC=π，所以∠BOC=B+C，又A+B+C=π，所以由②知A=π-∠BOC，B=π-∠AOC，延長(zhǎng)CO交AB

所以cosA:cosB=cos=OP同理可得cosA:cosC=OA:OC，所以cosA:cosB:cosC=OA:OB:OC，所以O(shè)A:由SA=12=tan∠BOP:tan∠AOP=tanA:tanB，同理SB:S又SA?OA:S例3:奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知M是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，△BMC,△AMC,△AMB的面積分別為SA,SA．若SA:SB:B．若M為△ABC的內(nèi)心，則BC?C．若∠BAC=45°,∠ABC=60°，M為△ABC的外心，則SD．若M為△ABC的垂心，3MA+4解析：【思路】取BC的中點(diǎn)D，連接MD,AM，結(jié)合奔馳定理可得到2MD=-MA，進(jìn)而即可判斷A；設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，從而可用r表示出SA,SB,SC，再結(jié)合奔馳定理即可判斷B；設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，由圓心角和圓周角的關(guān)系可得∠BMC=90°,∠AMC=120°,∠AMB=150°，從而可用R表示出SA,SB,SC，進(jìn)而即可判斷C；延長(zhǎng)AM交BC于點(diǎn)D，延長(zhǎng)BM交AC【詳解】對(duì)于A：取BC的中點(diǎn)D，連接MD,AM，由SA:SB:所以A，M，D三點(diǎn)共線，且AM=設(shè)E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，同理可得CM=23CE，BM=對(duì)于B：由M為△ABC的內(nèi)心，則可設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，則有SA所以12r?BC?MA對(duì)于C：由M為△ABC的外心，則可設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，∠BAC=45°,∠ABC=60°，則有∠BMC=2∠BAC=90°,∠AMC=2∠ABC=120°,∠AMB=2∠ACB=150°，所以SA=1SC=1對(duì)于D：如圖，延長(zhǎng)AM交BC于點(diǎn)D，延長(zhǎng)BM交AC于點(diǎn)F，延長(zhǎng)CM交AB于點(diǎn)E，由M為△ABC的垂心，3MA+4MB+5MC=0，則SA:SB:SC=3:4:5，又S△ABC=SA【反思】解答D選項(xiàng)的關(guān)鍵是通過(guò)做輔助線（延長(zhǎng)AM交BC于點(diǎn)D，延長(zhǎng)BO交AC于點(diǎn)F，延長(zhǎng)CO交AB于點(diǎn)E，），根據(jù)題意，結(jié)合奔馳定理得到S△ABCSA=4，S△ABCSB=3，從而可設(shè)MD=x,MF=y，則例4:已知點(diǎn)G，O，H在△ABC所在平面內(nèi)，滿足GA+GB+GC=0，|OA|=|OB|=|OC|，AH·BH=BH·CH=CH·AH，則點(diǎn)G，O，H依次為△ABC的()A.重心、外心、內(nèi)心 B.重心、內(nèi)心、外心C.重心、外心、垂心 D.外心、重心、垂心解析：因?yàn)镚A+GB+GC=0，所以GA+GB=GC，設(shè)AB的中點(diǎn)為D，則GA+GB=2GD，所以GC=2GD，所以C，G，D三點(diǎn)共線，即G為△ABC的中線CD上的點(diǎn)，且GC=2GD，所以G為△ABC的重心；因?yàn)閨OA|=|OB|=|OC|，所以O(shè)A=OB=OC，所以O(shè)為△ABC的外心；因?yàn)锳H·BH=BH·CH=CH·AH，所以BH·(AHCH)=0，即HB·AC=0，所以HB⊥AC，同理可得HA⊥BC，HC⊥AB，所以H為△ABC的垂心.例5:若O是平面內(nèi)一定點(diǎn)，A，B，C是平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)，且平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=OA+λAB|AB|cosB+AC|AC|cosC，λ∈A.內(nèi)心 B.