知能專(zhuān)練（十七）圓錐曲線的概念與性質(zhì)一、選擇題1．(2017·惠州調(diào)研)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率e＝eq\f(\r(13),2)，則它的漸近線方程為()A．y＝±eq\f(3,2)x B．y＝±eq\f(2,3)xC．y＝±eq\f(9,4)x D．y＝±eq\f(4,9)x解析：選A由雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率e＝eq\f(\r(13),2)，可得eq\f(c2,a2)＝eq\f(13,4)，∴eq\f(b2,a2)＋1＝eq\f(13,4)，可得eq\f(b,a)＝eq\f(3,2)，故雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(3,2)x.2．(2017·全國(guó)卷Ⅲ)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx－ay＋2ab＝0相切，則C的離心率為()A.eq\f(\r(6),3)B.eqB.q\f(\r(3),3)C.eqC.\f(\r(2),3)D.eqD.q\f(1,3)解析：選A以線段A1A2為直徑的圓的方程為x2＋y2＝a2，由原點(diǎn)到直線bx－ay＋2ab＝0的距離d＝eq\f(2ab,\r(b2＋a2))＝a，得a2＝3b2，所以C的離心率e＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\f(\r(6),3).3．(2017·全國(guó)卷Ⅰ)已知F是雙曲線C：x2－eq\f(y2,3)＝1的右焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，且PF與x軸垂直，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,3)，則△APF的面積為()A.eq\f(1,3)B.eqB.q\f(1,2)C.eqC.\f(2,3)D.eqD.q\f(3,2)解析：選D由題可知，雙曲線的右焦點(diǎn)為F(2,0)，當(dāng)x＝2時(shí)，代入雙曲線C的方程，得4－eq\f(y2,3)＝1，解得y＝±3，不妨取點(diǎn)P(2,3)，因?yàn)辄c(diǎn)A(1,3)，所以AP∥x軸，又PF⊥x軸，所以AP⊥PF，所以S△APF＝eq\f(1,2)|PF|·|AP|＝eq\f(1,2)×3×1＝eq\f(3,2).4．設(shè)AB是橢圓的長(zhǎng)軸，點(diǎn)C在橢圓上，且∠CBA＝eq\f(π,4)，若AB＝4，BC＝eq\r(2)，則橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離為()A.eq\f(4\r(6),3)B.eqB.q\f(2\r(6),3)C.eqC.\f(4\r(3),3)D.eqD.q\f(2\r(3),3)解析：選A不妨設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，如圖，由題意知，2a＝4，a＝2，∵∠CBA＝eq\f(π,4)，BC＝eq\r(2)，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(－1,1)，∵點(diǎn)C在橢圓上，∴eq\f(1,22)＋eq\f(1,b2)＝1，∴b2＝eq\f(4,3)，∴c2＝a2－b2＝4－eq\f(4,3)＝eq\f(8,3)，c＝eq\f(2\r(6),3)，則橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離為2c＝eq\f(4\r(6),3).5．(2017·全國(guó)卷Ⅱ)過(guò)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)F，且斜率為eq\r(3)的直線交C于點(diǎn)M(M在x軸的上方)，l為C的準(zhǔn)線，點(diǎn)N在l上且MN⊥l，則M到直線NF的距離為()A.eq\r(5) B．2eq\r(2)C．2eq\r(3) D．3eq\r(3)解析：選C法一：由題意，得F(1,0)，則直線FM的方程是y＝eq\r(3)(x－1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)x－1，,y2＝4x，))得x＝eq\f(1,3)或x＝3.由M在x軸的上方，得M(3,2eq\r(3))，由MN⊥l，得|MN|＝|MF|＝3＋1＝4.又∠NMF等于直線FM的傾斜角，即∠NMF＝60°，因此△MNF是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，所以點(diǎn)M到直線NF的距離為4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3).法二：依題意，得直線FM的傾斜角為60°，則|MN|＝|MF|＝eq\f(2,1－cos60°)＝4.又∠NMF等于直線FM的傾斜角，即∠NMF＝60°，因此△MNF是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，所以點(diǎn)M到直線NF的距離為4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3).6．(2018屆高三·湘中名校聯(lián)考)過(guò)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，與雙曲線的漸近線交于C，D兩點(diǎn)，若|AB|≥eq\f(3,5)|CD|，則雙曲線離心率e的取值范圍為()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，＋∞))B.eqB.q\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(5,3)))D.eqD.q\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(5,4)))解析：選B將x＝c代入eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1得y＝±eq\f(b2,a)，不妨取Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，－\f(b2,a)))，所以|AB|＝eq\f(2b2,a).將x＝c代入雙曲線的漸近線方程y＝±eq\f(b,a)x，得y＝±eq\f(bc,a)，不妨取Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(bc,a)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，－\f(bc,a)))，所以|CD|＝eq\f(2bc,a).因?yàn)閨AB|≥eq\f(3,5)|CD|，所以eq\f(2b2,a)≥eq\f(3,5)×eq\f(2bc,a)，即b≥eq\f(3,5)c，則b2≥eq\f(9,25)c2，即c2－a2≥eq\f(9,25)c2，即eq\f(16,25)c2≥a2，所以e2≥eq\f(25,16)，所以e≥eq\f(5,4)，故選B.二、填空題7．設(shè)F1，F(xiàn)2為雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,16)＝1(a>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線C右支上一點(diǎn)，如果|PF1|－|PF2|＝6，那么雙曲線C的方程為_(kāi)_______，離心率為_(kāi)_______．解析：由雙曲線定義可得2a＝|PF1|－|PF2|＝6，a＝3，所以曲線C的方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1.又b＝4，所以c＝eq\r(a2＋b2)＝5，則離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,3).答案：eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1eq\f(5,3)8．已知拋物線x2＝4y，則其焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為_(kāi)_______，若M是拋物線上一點(diǎn)，|MF|＝4，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則∠MFO＝________.解析：拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)坐標(biāo)F(0,1)．設(shè)M(x，y)，由拋物線定義可得|MF|＝y(tǒng)＋1＝4，則y＝3，代入拋物線方程解得一個(gè)M(2eq\r(3)，3)，則eq\o(FM,\s\up7(→))＝(2eq\r(3)，2)，eq\o(FO,\s\up7(→))＝(0，－1)，所以cos∠MFO＝eq\f(eq\o(FM,\s\up7(→))·eq\o(FO,\s\up7(→)),|eq\o(FM,\s\up7(→))||eq\o(FO,\s\up7(→))|)＝－eq\f(1,2)，所以∠MFO＝eq\f(2π,3).答案：(0,1)eq\f(2π,3)9．(2018屆高三·廣東五校聯(lián)考)已知橢圓C：eq\f(x2,2)＋y2＝1的兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P(x0，y0)滿(mǎn)足0<eq\f(x\o\al(2,0),2)＋yeq\o\al(2,0)<1，則|PF1|＋|PF2|的取值范圍是________．解析：由點(diǎn)P(x0，y0)滿(mǎn)足0<eq\f(x\o\al(2,0),2)＋yeq\o\al(2,0)<1，可知P(x0，y0)一定在橢圓內(nèi)(不包括原點(diǎn))，因?yàn)閍＝eq\r(2)，b＝1，所以由橢圓的定義可知|PF1|＋|PF2|<2a＝2eq\r(2)，又|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|＝2，故|PF1|＋|PF2|的取值范圍是[2,2eq\r(2))．答案：[2,2eq\r(2))三、解答題10．設(shè)橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)(0,4)，離心率為eq\f(3,5).(1)求C的方程；(2)求過(guò)點(diǎn)(3,0)且斜率為eq\f(4,5)的直線被C所截線段的中點(diǎn)坐標(biāo)．解：(1)將(0,4)代入C的方程得eq\f(16,b2)＝1，解得b＝4.又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,5)，得eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(9,25)，即1－eq\f(16,a2)＝eq\f(9,25)，則a＝5.所以C的方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.(2)過(guò)點(diǎn)(3,0)且斜率為eq\f(4,5)的直線方程為y＝eq\f(4,5)(x－3)．設(shè)直線與C的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，將直線方程y＝eq\f(4,5)(x－3)代入C的方程，得eq\f(x2,25)＋eq\f(x－32,25)＝1，即x2－3x－8＝0，所以x1＋x2＝3.設(shè)AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，則x0＝eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(3,2)，y0＝eq\f(y1＋y2,2)＝eq\f(2,5)(x1＋x2－6)＝－eq\f(6,5)，即中點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(6,5))).11．已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，拋物線C與直線l1：y＝－x的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為8.(1)求拋物線C的方程；(2)不過(guò)原點(diǎn)的直線l2與l1垂直，且與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A，B，若線段AB的中點(diǎn)為P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面積．解：(1)易知直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(8，－8)，∴(－8)2＝2p×8，∴2p＝8，∴拋物線方程為y2＝8x.(2)直線l2與l1垂直，故可設(shè)l2：x＝y(tǒng)＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直線l2與x軸的交點(diǎn)為M.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝8x，,x＝y(tǒng)＋m，))得y2－8y－8m＝0，Δ＝64＋32m>0，∴m2.y2.1＋y2＝8，y1y2＝－8m，∴x1x2＝eq\f(y1y22,64)＝m2.由題意可知OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝m2－8m＝0，∴m＝8或m＝0(舍去)，∴l(xiāng)2：x＝y(tǒng)＋8，M(8,0)．故S△FAB＝S△FMB＋S△FMA＝eq\f(1,2)·|FM|·|y1－y2|＝3eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝24eq\r(5).12．(2018屆高三·浙江名校聯(lián)考)橢圓C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于圓C2：x2＋y2＝4的直徑，且C1的離心率等于eq\f(1,2).直線l1和l2是過(guò)點(diǎn)M(1,0)，且互相垂直的兩條直線，l1交C1于A，B兩點(diǎn)，l2交C2于C，D兩點(diǎn)．(1)求C1的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)四邊形ACBD的面積為eq\f(12,7)eq\r(14)時(shí)，求直線l1的斜率k(k>0)．解：(1)由題意得2a＝4，即a＝2.∵eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，∴c＝1，∴b＝eq\r(3)，∴橢圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)直線AB：y＝k(x－1)，則直線CD：y＝－eq\f(1,k)(x－1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,3x2＋4y2＝12，))得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝\f(8k2,3＋4k2)，,x1x2＝\f(4k2－12,3＋4k