第23章旋轉?23.1圖形的旋轉思維導圖思維導圖一．旋轉內(nèi)容旋轉在平面內(nèi)，把一個平面圖形繞著平面內(nèi)某一點O轉動一個角度，就叫做圖形的旋轉，點O叫做旋轉中心，轉動的角叫做旋轉角.我們把旋轉中心、旋轉角度、旋轉方向稱為旋轉的三要素.題型一生活中的旋轉現(xiàn)象題型一生活中的旋轉現(xiàn)象例1電影《哪吒之魔童鬧?！返臒嵊?，推動了我國國產(chǎn)動畫電影發(fā)展，提升了中國文化影響力．對下列哪吒圖片的變換順序描述正確的是（例1A．平移，旋轉B．旋轉，旋轉C．軸對稱，旋轉D．平移，軸對稱【答案】C【分析】本題考查幾何變換的類型，解題的關鍵是讀懂圖象信息．根據(jù)平移變換，旋轉變換，軸對稱變換的定義判斷即可．【詳解】解：觀察圖片可知，第一幅圖片和第二幅圖片為軸對稱變換，第二幅圖片和第三幅圖片為旋轉變換，故變換順序是軸對稱，旋轉．故選：C．變1下列現(xiàn)象中不屬于旋轉的是（）變1【答案】D【分析】本題考查了判斷生活中的旋轉現(xiàn)象，熟練掌握旋轉的定義是解題的關鍵：旋轉是圍繞一點旋轉一定角度的圖形變換，因而旋轉一定有旋轉中心和旋轉角，且旋轉前后圖形能夠重合，這是判斷旋轉的關鍵．根據(jù)旋轉的定義逐項分析判斷即可得出答案．【詳解】故選：．變2有下列現(xiàn)象：①高層公寓電梯的上升；②翻動書頁；③方向盤的轉動；④傳送帶的移動．其中屬于旋轉的有_______.（寫出序號）變2【答案】②③【分析】本題考查了旋轉,平移的定義．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握．根據(jù)旋轉，平移的定義進行判斷即可．【詳解】解：①高層公寓電梯的上升，是平移，故不符合要求；②翻動書頁，是旋轉，故符合要求；③方向盤的轉動，是旋轉，故符合要求；④傳送帶的移動，是平移，故不符合要求．故答案為：②③．題型二旋轉成圖題型二旋轉成圖例1北京冬奧會將于2022年2月4日在北京和張家口聯(lián)合舉行，如圖是冬奧會的吉祥物“冰墩墩”，將圖片按順時針方向旋轉90°后得到的圖片是（例1A．B．C．【答案】D【分析】此題主要考查了生活中的旋轉現(xiàn)象，正確掌握旋轉方向是解題關鍵．直接利用旋轉的性質(zhì)得出對應圖形即可．【詳解】解：如圖所示：“冰墩墩”圖片按順時針方向旋轉90°后得到的圖片是：故選：D例2將如圖圖形繞點順時針旋轉，得到的圖形是（）例2A．B．C．D．【答案】C【分析】本題考查了旋轉，根據(jù)旋轉的定義即可求解，掌握旋轉的定義是解題的關鍵．【詳解】解：將如圖圖形繞點順時針旋轉，得到的圖形是，故選：．變1如圖，沿圖中的右邊緣所在的直線為軸將該圖形向右翻折180°后，再將翻折后的正方形繞它的右下頂點按順時針方向旋轉90°，所得到的圖形是（）變1A．B．C．D．【答案】C【分析】首先根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出翻折后圖形，再利用旋轉對稱圖形的概念得出即可．【詳解】解：以圖的右邊緣所在的直線為軸將該圖形向右翻轉180°后，圓在右上角，再按順時針方向旋轉90°，圓在右下角．故選C．變2觀察圖，圖形②是圖形①（）得到的.變2A．先向右平移3個格，再繞C點逆時針旋轉B．先繞C點逆時針旋轉，再向右平移2個格C．先向右平移2個格，再繞B點逆時針旋轉D．先繞A點順時針旋轉，再向右平移3個格【答案】B【分析】本題考查了旋轉，平移的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關鍵．根據(jù)旋轉，平移的特點解答即可．【詳解】解：根據(jù)題意，得先繞C點逆時針旋轉再向右平移2個格，得到題意圖，故選：B．二．旋轉的性質(zhì)性質(zhì)如圖所示，將△ABC繞點C旋轉60°至△DCE，則：性質(zhì)1：△ABC≌△DCE，對應邊、對應角相等.性質(zhì)2：對應邊的旋轉角都等于旋轉角.如AC與EC、BC與DC、AB與ED的夾角都等于旋轉角60°.性質(zhì)3：旋轉后，會產(chǎn)生等腰三角形.題型三旋轉的性質(zhì)題型三旋轉的性質(zhì)例1例1A．1個B．2個C．3個D．4個【答案】C【分析】根據(jù)旋轉的性質(zhì)即可得到結論．【詳解】解：①對應點到旋轉中心的距離相等，故本說法符合題意；②對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角，故本說法符合題意；③旋轉前、后圖形的對應線段相等，故本說法符合題意；④旋轉前、后圖形的位置不一定會改變，也可能重合，故本說法不符合題意；故選：C．變1如圖，△ABC繞點C旋轉，點B轉到點E的位置，則下列說法正確的是（）變1A．點B與點D是對應點B．∠BCD等于旋轉角C．點A與點E是對應點D．△ABC≌△DEC【答案】D【分析】利用旋轉的性質(zhì)即可求解【詳解】解：∵△ABC繞點C旋轉，點B轉到點E的位置，∴△ABC≌△DEC，點B與點E是對應點，點A與點D是對應點，∠ACD與∠BCE是旋轉角，故選：D．變2在圖形的旋轉中，下列說法不正確的是（）變2A．旋轉前和旋轉后的圖形一樣B．圖形上的每一個點到旋轉中心的距離都相等C．圖形上的每一個點旋轉的角度都相同D．圖形上可能存在不動的點【答案】B【分析】根據(jù)旋轉的性質(zhì)對A、B、C進行判斷；利用旋轉中心為圖形上一點的情況可D進行判斷．【詳解】解：A、旋轉前和旋轉后的圖形全等，故A選項不符合題意；B、在圖形上的對應點到旋轉中心的距離相等，故B選項符合題意；C、圖形上每一點移動的角度相同，都等于旋轉角，故C選項不符合題意；D、圖形上可能存在不動的點，故D選項不符合題意．故選：B．題型四根據(jù)旋轉的性質(zhì)求角度題型四根據(jù)旋轉的性質(zhì)求角度例1如圖，△ABC中，∠BAC=55°，將△ABC逆時針旋轉α（0°<α<55°）得到△ADE，DE交AC于F．當α=40°時，點D恰好落在BC上，此時∠AFE等于（例1A．80°B．85°C．90°D．95°【答案】B【解析】故選：B．A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】B【解析】故選：B．變1如圖，將△ABC繞點C順時針方向旋轉一定角度得到△EDC，A，B的對應點分別是E，D；若點D恰好落在AB邊上，AC與DE相交于點F，∠BCD=40°，且AD=CD，則∠E的度數(shù)為______．變1【答案】##度【解析】【詳解】解：如圖，故答案為：．變2如圖，把Rt△ABC繞點A逆時針旋轉40°，得到Rt△AB′C′，點C′恰好落在邊AB上，連接BB′，則∠BB′C′=______°．變2【答案】20【解析】【詳解】∵Rt△ABC繞點A逆時針旋轉40°得到Rt△AB′C′，∴AB=AB′，∠BAB′=40°．在△ABB′中，∠ABB′=（180°﹣∠BAB′）=（180°﹣40°）=70°．∴∠BB′C′=90°﹣∠ABB′=90°﹣70°=20°．A．B．C．D．【答案】B【分析】本題主要考查了旋轉的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理等知識點，解題的關鍵是熟練掌握旋轉的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)．故選B．題型五根據(jù)旋轉求坐標題型五根據(jù)旋轉求坐標【答案】B【分析】此題主要考查了坐標與圖形變換旋轉．建立平面直角坐標系，作出旋轉后的圖形，然后根據(jù)圖形寫出點Q的坐標即可．

故選：B．例2如圖，將線段先繞原點按逆時針方向旋轉，再向下平移4個單位，得到線段，則點的對應點的坐標是（）例2【答案】D【分析】本題考查坐標與圖形變化旋轉，平移變換等知識，解題的關鍵是正確作出圖形．根據(jù)題意畫出圖形，即可可得結論．故選：D．【答案】B故選：．【答案】D【分析】此題主要考查了旋轉變換以及平移變換，利用平移的性質(zhì)得出對應點位置，再利用關于原點對稱點的性質(zhì)直接得出答案．故選：D．題型六根據(jù)旋轉作圖題型六根據(jù)旋轉作圖【答案】(1)作圖見解析；本題考查作圖軸對稱變換，旋轉變換，軸對稱最短問題等知識，解題的關鍵是掌握軸對稱變換和旋轉變換的性質(zhì)，正確作出圖形．（1）按下列要求作圖：（2）在（1）②中，求點在旋轉過程中所經(jīng)過的路徑長．【答案】(1)①答案見詳解；②答案見詳解(2)【分析】本題主要考查了圖形平移變換和旋轉變換的作圖，圖形平移和旋轉的性質(zhì)，弧長的計算，利用平移和旋轉的性質(zhì)作出正確的圖形是解答本題的關鍵．（2）由圖形的旋轉過程可知，旋轉中心為點，旋轉角為，即點的所經(jīng)過的路徑是一段弧，利用弧長公式計算即可得到答案．變1如圖，在平面直角坐標系中xOy，已知△ABC三個頂點的坐標分別為A1,3，B?1,1變1（1）畫出△ABC繞原點O順時針旋轉90°得到的△（2）在y軸上取點P，使△ABP的面積是△ABC面積的倍，求點P【答案】(1)見解析(2)0,?1或0,5【分析】此題主要考查了旋轉變換，坐標與圖形：（1）根據(jù)旋轉的性質(zhì)找出點A、B、C的對應點A1（2）設AB交y軸于點D，則點D0,2，先求出S△ABC=2，可得S【詳解】（1）解：如圖，△A（2）解：設AB交y軸于點D，則點D0,2S△ABC∵△ABP的面積是△ABC面積的32∴S△ABP∴12∴DP=3，∴點P的坐標為0,?1或0,5．（3）求出點旋轉到點的路徑長．【答案】(1)見解析【分析】（1）利用平移變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對應點，，即可；（2）利用旋轉變換的性質(zhì)分別作出，的對應點，即可；（3）利用弧長公式求解即可．題型七旋轉中的規(guī)律問題題型七旋轉中的規(guī)律問題【答案】A【詳解】解：如圖．在第一象限的角平分線上，葉片每秒繞原點順時針轉動，點的坐標以每4秒為一個周期依次循環(huán)，故選：．例2如圖Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，且AC在直線l上，將△ABC繞點A順時針旋轉到①，可得到點P1，此時AP1＝2；將位置①的三角形繞點P1順時針旋轉到位置②，可得到點P2，此時AP2＝2+；將位置②的三角形繞點P2順時針旋轉到位置③，可得到點P3，此時AP3＝3+；…按此規(guī)律繼續(xù)旋轉，直到點P2020為止，則AP2020等于．例2

【分析】根據(jù)題意，發(fā)現(xiàn)將Rt△ABC繞點A順時針旋轉，每旋轉一次，AP的長度依次增加2，，1，且三次一循環(huán)，按此規(guī)律即可求解．【詳解】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，∴AB＝2，BC＝，∴將Rt△ABC繞點A順時針旋轉，每旋轉一次，AP的長度依次增加2，，1，且三次一循環(huán)，∵2020÷3＝673…1，∴AP2020＝673（2＋＋1）＋2＝2021＋673，故答案為：2021＋673.【答案】D【詳解】解：過點B作BD⊥OA于D，過點O作OF⊥AB于F，BD與OF相交于點E，則點E是等邊三角形的中心．∵等邊三角形OAB的邊長為∴OD=，∠AOF=依題意可知：OE每次逆時針旋轉，那么每6次又回到原位置．故選：D【分析】先根據(jù)伸長的變化規(guī)律求出OP2019的長度，再根據(jù)每8次變化為一個循環(huán)組，求出點P2019是第幾組第幾次的變化，然后確定出所在的位置即可解決問題．【詳解】解：由題意，可得···，∵每一次都旋轉45°，360°÷45°＝8，∴每8次變化為一個循環(huán)組，2019÷8＝252…3，點是第組的第次變換對應的點，在軸的負半軸上課后強化課后強化1.下列說法中，正確的是（）A．“麗麗把教室的門打開”屬于平移現(xiàn)象B．“火箭沖向空中”屬于旋轉現(xiàn)象C．“小明在蕩秋千”屬于旋轉現(xiàn)象D．“鐘表的鐘擺在擺動”屬于平移現(xiàn)象【答案】C【分析】本題考查用數(shù)學知識解決問題，理解旋轉定義、平移定義是解決問題的關鍵．【詳解】解：A、“麗麗把教室的門打開”屬于旋轉現(xiàn)象，原說法錯誤，不符合題意；B、“火箭沖向空中”屬于平移現(xiàn)象，原說法錯誤，不符合題意；C、“小明在蕩秋千”屬于旋轉現(xiàn)象，說法正確，符合題意；D、“鐘表的鐘擺在擺動”屬于旋轉現(xiàn)象，原說法錯誤，不符合題意；故選：C．2.如圖為蕪湖市軌道交通，將其按順時針方向旋轉后得到的圖片是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】本題考查了尋轉的性質(zhì)，根據(jù)旋轉下判斷即可．【詳解】根據(jù)題意，旋轉變化后的圖片應是，故選：B．3.如圖，以下圖形變化能使圖形甲和圖形乙重合的是（）A．將甲繞點順時針旋轉B．將乙繞點逆時針旋轉C．將甲繞著和中垂線的交點順時針旋轉D．將甲先向下平移至點和重合，再繞點逆時針旋轉【答案】C【分析】本題考查了旋轉的性質(zhì)，由旋轉的性質(zhì)可得將甲繞著和中垂線的交點順時針旋轉，圖形甲和圖形乙重合．【詳解】解：A、將甲繞點順時針旋轉，圖形甲和圖形乙不能重合，不符合題意；B、將乙繞點逆時針旋轉，圖形甲和圖形乙不能重合，不符合題意；C、將甲繞著和中垂線的交點順時針旋轉，圖形甲和圖形乙重合，符合題意；D、將甲先向下平移至點和重合，再繞點逆時針旋轉，圖形甲和圖形乙不能重合，不符合題意．故選：C．4.在圖形的旋轉中，下列說法不正確的是（）A．旋轉前和旋轉后的圖形全等B．圖形上的每一個點到旋轉中心的距離都相等C．對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角D．圖形上可能存在不動的點【答案】B【分析】根據(jù)旋轉的性質(zhì)可對A、B、C進行判斷；利用旋轉中心為圖形上一點的情況可對D進行判斷．【詳解】解：A、旋轉前和旋轉后的圖形全等，故A選項正確，不符合題意；B、在圖形上的對應點到旋轉中心的距離相等，故B選項錯誤，符合題意；C、對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角，故C選項正確，不符合題意；D、圖形上可能存在不動的點，故D選項正確，不符合題意；故選：B．

A．B．C．15°D．【答案】D故選：D．A．70°B．40°C．50°D．80°【答案】B故選：B．【答案】C【分析】本題考查坐標與圖形變化旋轉、坐標與圖形變化平移，結合平移的性質(zhì)、旋轉的性質(zhì)先畫出圖形，即可得答案．故選：C．

9.將正方體骰子（相對面上的點數(shù)1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如圖1.在圖2中，將骰子向右翻滾90°，然后在桌面上按逆時針方向旋轉90°，則完成一次變換，若骰子的初始位置為圖1所示的狀態(tài)，那么按上述規(guī)則連續(xù)完成4次變換后，骰子朝上一面的點數(shù)是（）A．6B．5C．3D．1【答案】B【分析】由題意結合圖形判斷出每次變換后，骰子朝上一面的點數(shù)，即可得出結論．【詳解】解：由題意結合圖形可知：完成1次變換后，骰子朝上一面的點數(shù)為5；完成2次變換后，骰子朝上一面的點數(shù)為6；完成3次變換后，骰子朝上一面的點數(shù)為3；完成4次變換后，骰子朝上一面的點數(shù)為5．故選B．10.如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的頂點A，B分別在y軸正半軸、x軸正半軸上，頂點C，D在第一象限，已知OA=OB=1，BC=22，將矩形ABCD繞點O逆時針旋轉，每次旋轉90°，則第2025次旋轉結束時，點A．3,2B．?2,3C．?3,?2D．?3,2【答案】B【分析】過點C作CE⊥x軸于點E，連接OC，求出點C坐標，矩形ABCD繞點O逆時針旋轉，每次旋轉90°，360°÷90°=4，得到每循環(huán)4次與原圖形重合，根據(jù)2025÷4=506?1，得到第2025旋轉結束時，點C的坐標與第1旋轉結束時點C的坐標相同．根據(jù)矩形繞點O逆時針旋轉1，即線段OC繞點O逆時針旋轉90°，得到線段OC′，其中點C′本題考查坐標系下圖形的旋轉，點的規(guī)律探究．解題的關鍵是確定旋轉過程中點的坐標規(guī)律．【詳解】解：如圖，過點C作CE⊥x軸于點E，連接OC，∵OA=OB=1，∴∠ABO=45°，∵∠ABC=90°，∴∠CBE=45°，∴∠BCE=45°，∵CE∴2CE∴CE=BE=2，∴OE=3，∴C(3,2)．∵