2025年德州中國精算師職業(yè)資格考試（準精算師精算模型與數(shù)據(jù)分析）模擬試題及答案一、單項選擇題（每題2分，共30分）1.已知某風險的損失分布為指數(shù)分布，其概率密度函數(shù)為\(f(x)=\lambdae^{-\lambdax},x>0\)，且\(E(X)=5\)，則\(\lambda\)的值為（）A.0.1B.0.2C.0.5D.1對于指數(shù)分布\(X\simExp(\lambda)\)，期望\(E(X)=\frac{1}{\lambda}\)。已知\(E(X)=5\)，即\(\frac{1}{\lambda}=5\)，解得\(\lambda=0.2\)。所以答案選B。2.在一個二項分布\(B(n,p)\)中，已知\(E(X)=4\)，\(Var(X)=2.4\)，則\(n\)和\(p\)的值分別為（）A.\(n=10,p=0.4\)B.\(n=20,p=0.2\)C.\(n=5,p=0.8\)D.\(n=8,p=0.5\)對于二項分布\(X\simB(n,p)\)，期望\(E(X)=np\)，方差\(Var(X)=np(1-p)\)。由\(E(X)=np=4\)，\(Var(X)=np(1-p)=2.4\)，將\(np=4\)代入\(np(1-p)=2.4\)中，得到\(4(1-p)=2.4\)，解得\(1-p=0.6\)，則\(p=0.4\)。再把\(p=0.4\)代入\(np=4\)，可得\(n=\frac{4}{0.4}=10\)。所以答案選A。3.設(shè)\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自正態(tài)總體\(N(\mu,\sigma^{2})\)的樣本，\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)為樣本均值，\(S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^{2}\)為樣本方差，則\(\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\)服從（）A.標準正態(tài)分布\(N(0,1)\)B.\(t\)分布\(t(n)\)C.\(t\)分布\(t(n-1)\)D.\(F\)分布\(F(n,n-1)\)根據(jù)抽樣分布的知識，當\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自正態(tài)總體\(N(\mu,\sigma^{2})\)的樣本時，\(\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\)服從自由度為\(n-1\)的\(t\)分布，即\(t(n-1)\)。所以答案選C。4.在時間序列分析中，自回歸模型\(AR(1)\)的形式為\(X_t=\varphiX_{t-1}+\epsilon_t\)，其中\(zhòng)(\epsilon_t\)是白噪聲序列。若該模型平穩(wěn)，則\(\varphi\)的取值范圍是（）A.\(\vert\varphi\vert<1\)B.\(\vert\varphi\vert>1\)C.\(\varphi=1\)D.\(\varphi=-1\)對于自回歸模型\(AR(1)\)：\(X_t=\varphiX_{t-1}+\epsilon_t\)，其平穩(wěn)的充要條件是特征方程\(1-\varphiz=0\)的根\(z=\frac{1}{\varphi}\)的模大于1，即\(\vert\frac{1}{\varphi}\vert>1\)，也就是\(\vert\varphi\vert<1\)。所以答案選A。5.已知某保險標的的損失次數(shù)\(N\)服從泊松分布\(P(\lambda)\)，且\(P(N=0)=0.2\)，則\(\lambda\)的值為（）A.\(\ln5\)B.\(\ln0.2\)C.\(5\)D.\(0.2\)對于泊松分布\(P(\lambda)\)，概率質(zhì)量函數(shù)為\(P(N=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^{k}}{k!}\)，當\(k=0\)時，\(P(N=0)=e^{-\lambda}\)。已知\(P(N=0)=0.2\)，即\(e^{-\lambda}=0.2\)，兩邊取自然對數(shù)可得\(-\lambda=\ln0.2\)，則\(\lambda=-\ln0.2=\ln5\)。所以答案選A。6.在多元線性回歸模型\(Y=\beta_0+\beta_1X_1+\beta_2X_2+\cdots+\beta_pX_p+\epsilon\)中，\(\epsilon\)是（）A.解釋變量B.被解釋變量C.隨機誤差項D.回歸系數(shù)在多元線性回歸模型\(Y=\beta_0+\beta_1X_1+\beta_2X_2+\cdots+\beta_pX_p+\epsilon\)中，\(Y\)是被解釋變量，\(X_1,X_2,\cdots,X_p\)是解釋變量，\(\beta_0,\beta_1,\cdots,\beta_p\)是回歸系數(shù)，\(\epsilon\)是隨機誤差項。所以答案選C。7.若兩個隨機變量\(X\)和\(Y\)的協(xié)方差\(Cov(X,Y)=0\)，則下列說法正確的是（）A.\(X\)和\(Y\)相互獨立B.\(X\)和\(Y\)不相關(guān)C.\(X\)和\(Y\)一定有線性關(guān)系D.\(X\)和\(Y\)的聯(lián)合分布是正態(tài)分布根據(jù)協(xié)方差的性質(zhì)，若\(Cov(X,Y)=0\)，則稱\(X\)和\(Y\)不相關(guān)。但不相關(guān)并不一定意味著相互獨立，只有當\(X\)和\(Y\)服從二維正態(tài)分布時，不相關(guān)才等價于相互獨立。所以答案選B。8.已知某風險的損失分布的矩母函數(shù)為\(M(t)=\frac{1}{1-2t}\)，\(t<\frac{1}{2}\)，則該損失分布的方差為（）A.2B.4C.8D.16對于矩母函數(shù)\(M(t)\)，一階導(dǎo)數(shù)\(M^\prime(t)=\frac{2}{(1-2t)^{2}}\)，二階導(dǎo)數(shù)\(M^{\prime\prime}(t)=\frac{8}{(1-2t)^{3}}\)。期望\(E(X)=M^\prime(0)=2\)，\(E(X^{2})=M^{\prime\prime}(0)=8\)。根據(jù)方差公式\(Var(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}\)，可得\(Var(X)=8-4=4\)。所以答案選B。9.在風險度量中，風險價值\(VaR_{\alpha}(X)\)表示（）A.以概率\(\alpha\)覆蓋的最大損失B.以概率\(1-\alpha\)覆蓋的最大損失C.以概率\(\alpha\)覆蓋的最小損失D.以概率\(1-\alpha\)覆蓋的最小損失風險價值\(VaR_{\alpha}(X)\)是指在一定的置信水平\(1-\alpha\)下，某一金融資產(chǎn)或投資組合在未來特定的一段時間內(nèi)的最大可能損失。即\(P(X\leqVaR_{\alpha}(X))=1-\alpha\)，也就是以概率\(1-\alpha\)覆蓋的最大損失。所以答案選B。10.設(shè)\(X\)和\(Y\)是兩個隨機變量，且\(X+Y=10\)，已知\(E(X)=3\)，則\(E(Y)\)等于（）A.3B.7C.10D.13根據(jù)期望的線性性質(zhì)\(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\)，已知\(X+Y=10\)，則\(E(X+Y)=E(10)=10\)，又\(E(X)=3\)，所以\(E(Y)=E(X+Y)-E(X)=10-3=7\)。所以答案選B。11.在非壽險精算中，對于賠付率法厘定費率，若原費率為\(r_0\)，預(yù)期賠付率為\(E\)，實際賠付率為\(A\)，則新費率\(r_1\)的計算公式為（）A.\(r_1=r_0\times\frac{E}{A}\)B.\(r_1=r_0\times\frac{A}{E}\)C.\(r_1=r_0\times(A-E)\)D.\(r_1=r_0\times(E-A)\)賠付率法厘定費率的公式為新費率\(r_1=r_0\times\frac{E}{A}\)，其中\(zhòng)(r_0\)是原費率，\(E\)是預(yù)期賠付率，\(A\)是實際賠付率。所以答案選A。12.已知一組數(shù)據(jù)\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)的均值為\(\overline{x}\)，方差為\(s^{2}\)，若將這組數(shù)據(jù)每個都加上常數(shù)\(a\)，得到新數(shù)據(jù)\(y_i=x_i+a\)，\(i=1,2,\cdots,n\)，則新數(shù)據(jù)的均值和方差分別為（）A.\(\overline{x}+a,s^{2}\)B.\(\overline{x},s^{2}+a\)C.\(\overline{x}+a,s^{2}+a\)D.\(\overline{x},s^{2}\)設(shè)原數(shù)據(jù)\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)的均值\(\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i\)，新數(shù)據(jù)\(y_i=x_i+a\)，則新數(shù)據(jù)的均值\(\overline{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i+a)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i+a=\overline{x}+a\)。方差\(s_y^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(y_i-\overline{y})^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}[(x_i+a)-(\overline{x}+a)]^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^{2}=s^{2}\)。所以答案選A。13.在精算模型中，對于聚合風險模型\(S=\sum_{i=1}^{N}X_i\)，其中\(zhòng)(N\)是損失次數(shù)，\(X_i\)是每次損失的金額，若\(N\)與\(X_i\)相互獨立，則\(E(S)\)等于（）A.\(E(N)E(X_1)\)B.\(E(N)+E(X_1)\)C.\(E(N)[E(X_1)]^{2}\)D.\([E(N)]^{2}E(X_1)\)根據(jù)期望的性質(zhì)，對于聚合風險模型\(S=\sum_{i=1}^{N}X_i\)，當\(N\)與\(X_i\)相互獨立時，\(E(S)=E[E(S|N)]\)。已知\(E(S|N)=N\timesE(X_1)\)，則\(E(S)=E[N\timesE(X_1)]=E(N)E(X_1)\)。所以答案選A。14.已知某回歸模型的判定系數(shù)\(R^{2}=0.8\)，則說明（）A.解釋變量對被解釋變量的解釋程度為80%B.被解釋變量對解釋變量的解釋程度為80%C.隨機誤差項對被解釋變量的影響為80%D.解釋變量與被解釋變量之間的線性關(guān)系不顯著判定系數(shù)\(R^{2}\)表示回歸模型中解釋變量對被解釋變量的解釋程度。\(R^{2}=0.8\)意味著解釋變量對被解釋變量的解釋程度為80%。所以答案選A。15.在生存分析中，生存函數(shù)\(S(t)\)表示個體在時間\(t\)之后仍然生存的概率，若\(S(t)=e^{-0.05t}\)，則危險率函數(shù)\(\lambda(t)\)為（）A.0.05B.\(0.05e^{-0.05t}\)C.\(-0.05\)D.\(e^{-0.05t}\)危險率函數(shù)\(\lambda(t)=\frac{-S^\prime(t)}{S(t)}\)，對\(S(t)=e^{-0.05t}\)求導(dǎo)，\(S^\prime(t)=-0.05e^{-0.05t}\)，則\(\lambda(t)=\frac{-(-0.05e^{-0.05t})}{e^{-0.05t}}=0.05\)。所以答案選A。二、多項選擇題（每題3分，共15分）1.下列分布中，屬于離散型分布的有（）A.泊松分布B.二項分布C.指數(shù)分布D.正態(tài)分布E.負二項分布泊松分布、二項分布和負二項分布的隨機變量取值是離散的，屬于離散型分布；指數(shù)分布和正態(tài)分布的隨機變量取值是連續(xù)的，屬于連續(xù)型分布。所以答案選ABE。2.在時間序列分析中，常用的平穩(wěn)性檢驗方法有（）A.自相關(guān)函數(shù)檢驗B.偏自相關(guān)函數(shù)檢驗C.單位根檢驗D.卡方檢驗E.\(F\)檢驗自相關(guān)函數(shù)檢驗、偏自相關(guān)函數(shù)檢驗和單位根檢驗是時間序列分析中常用的平穩(wěn)性檢驗方法；卡方檢驗主要用于擬合優(yōu)度檢驗、獨立性檢驗等；\(F\)檢驗常用于方差分析、回歸模型的顯著性檢驗等。所以答案選ABC。3.關(guān)于風險度量指標，以下說法正確的有（）A.方差可以衡量風險的大小B.標準差是方差的平方根，也可衡量風險C.風險價值\(VaR\)可以直觀地給出在一定置信水平下的最大損失D.條件風險價值\(CVaR\)考慮了超過\(VaR\)的損失情況E.期望損失是損失的期望值，也是一種風險度量方差和標準差都可以衡量隨機變量取值的離散程度，從而衡量風險大??；風險價值\(VaR\)能直觀給出在一定置信水平下的最大損失；條件風險價值\(CVaR\)是在超過\(VaR\)的條件下的期望損失，考慮了超過\(VaR\)的損失情況；期望損失是損失的期望值，也是一種風險度量。所以答案選ABCDE。4.在多元線性回歸分析中，可能存在的問題有（）A.多重共線性B.異方差性C.自相關(guān)性D.樣本容量過小E.解釋變量選擇不當在多元線性回歸分析中，可能存在多重共線性（解釋變量之間存在高度線性相關(guān)）、異方差性（隨機誤差項的方差不是常數(shù)）、自相關(guān)性（隨機誤差項之間存在相關(guān)關(guān)系）、樣本容量過小導(dǎo)致估計不準確以及解釋變量選擇不當?shù)葐栴}。所以答案選ABCDE。5.在非壽險精算中，費率厘定的方法主要有（）A.純保費法B.賠付率法C.增減法D.經(jīng)驗估費法E.分類法非壽險精算中，費率厘定的方法主要有純保費法、賠付率法、增減法、經(jīng)驗估費法和分類法等。所以答案選ABCDE。三、簡答題（每題10分，共30分）1.簡述線性回歸模型中最小二乘法的基本原理。最小二乘法是一種用于估計線性回歸模型參數(shù)的方法。在線性回歸模型\(Y=\beta_0+\beta_1X_1+\beta_2X_2+\cdots+\beta_pX_p+\epsilon\)中，我們的目標是找到一組參數(shù)\(\hat{\beta}_0,\hat{\beta}_1,\cdots,\hat{\beta}_p\)，使得模型對樣本數(shù)據(jù)的擬合效果最好。設(shè)樣本數(shù)據(jù)為\((x_{i1},x_{i2},\cdots,x_{ip},y_i)\)，\(i=1,2,\cdots,n\)，對于每個樣本點，模型的預(yù)測值為\(\hat{y}_i=\hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1x_{i1}+\hat{\beta}_2x_{i2}+\cdots+\hat{\beta}_px_{ip}\)，實際值為\(y_i\)，則誤差為\(e_i=y_i-\hat{y}_i\)。最小二乘法的基本原理是使誤差的平方和\(Q=\sum_{i=1}^{n}e_i^{2}=\sum_{i=1}^{n}(y_i-\hat{\beta}_0-\hat{\beta}_1x_{i1}-\hat{\beta}_2x_{i2}-\cdots-\hat{\beta}_px_{ip})^{2}\)達到最小。通過對\(Q\)分別關(guān)于\(\hat{\beta}_0,\hat{\beta}_1,\cdots,\hat{\beta}_p\)求偏導(dǎo)數(shù)，并令偏導(dǎo)數(shù)等于0，得到一個方程組，解這個方程組就可以得到參數(shù)的估計值\(\hat{\beta}_0,\hat{\beta}_1,\cdots,\hat{\beta}_p\)。2.說明泊松分布在精算中的應(yīng)用場景及特點。泊松分布在精算中有廣泛的應(yīng)用，主要應(yīng)用場景如下：-保險理賠次數(shù)：在保險業(yè)務(wù)中，某一時間段內(nèi)保險標的發(fā)生理賠的次數(shù)通?？梢杂貌此煞植紒斫啤＠?，在一年中某一地區(qū)車輛發(fā)生交通事故的次數(shù)、某一健康保險人群中患特定疾病的人數(shù)等。-風險評估：可以幫助精算師評估風險的發(fā)生頻率，從而合理確定保險費率。泊松分布的特點有：-離散性：泊松分布是離散型概率分布，其隨機變量取值為非負整數(shù)\(0,1,2,\cdots\)。-單參數(shù)性：只由一個參數(shù)\(\lambda\)決定，\(\lambda\)表示單位時間（或空間）內(nèi)事件發(fā)生的平均次數(shù)，同時\(\lambda\)也是該分布的期望和方差，即\(E(X)=Var(X)=\lambda\)。-無記憶性：在不重疊的時間段內(nèi)，事件的發(fā)生是相互獨立的。也就是說，某一時間段內(nèi)事件發(fā)生的情況不影響其他時間段內(nèi)事件發(fā)生的概率。3.簡述生存分析中生存函數(shù)、死亡函數(shù)和危險率函數(shù)之間的關(guān)系。設(shè)\(T\)表示個體的生存時間，生存函數(shù)\(S(t)=P(T>t)\)，表示個體在時間\(t\)之后仍然生存的概率；死亡函數(shù)\(F(t)=P(T\leqt)=1-S(t)\)，表示個體在時間\(t\)之前死亡的概率。危險率函數(shù)\(\lambda(t)=\frac{-S^\prime(t)}{S(t)}\)，它表示在個體已經(jīng)生存到時間\(t\)的條件下，在\(t\)時刻的瞬時死亡概率。從危險率函數(shù)可以推導(dǎo)出生存函數(shù)，通過對\(\lambda(t)\)進行積分：\(S(t)=\exp\left(-\int_{0}^{t}\lambda(u)du\right)\)。而死亡函數(shù)\(F(t)=1-S(t)=1-\exp\left(-\int_{0}^{t}\lambda(u)du\right)\)。反過來，也可以由生存函數(shù)求出危險率函數(shù)，即\(\lambda(t)=\frac{-S^\prime(t)}{S(t)}\)。四、計算題（每題15分，共25分）1.已知某保險標的的損失次數(shù)\(N\)服從泊松分布\(P(\lambda=3)\)，每次損失的金額\(X\)服從指數(shù)分布\(Exp(\mu=2)\)，且\(N\)與\(X\)相互獨立。求聚合風險模型\(S=\sum_{i=1}^{N}X_i\)的期望和方差。首先，對于泊松分布\(N\simP(\lambda=3)\)，有\(zhòng)(E(N)=\lambda=3\)，\(Var(N)=\lambda=3\)。對于指數(shù)分布\(X\simExp(\mu=2)\)，其期望\(E(X)=\frac{1}{\mu}=\frac{1}{2}\)，方差\(Var(X)=\frac{1}{\mu^{2}}=\frac{1}{4}\)。根據(jù)聚合風險模型\(S=\sum_{i=1}^{N}X_i\)，當\(N\)與\(X_i\)相互獨立時：-期望\(E(S)=E(N)E(X)\)，將\(E(N)=3\)，\(E(X)=\frac{1}{2}\)代入，可得\(E(S)=3\times\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\)。-方差\(Var(S)=E(N)Var(X)+Var(N)[E(X)]^{2}\)，將\(E(N)=3\)，\(Var(N)=3\)，\(Var(X)=\frac{1}{4}\)，\(E(X)=\frac{1}{2}\)代入，得到\(Var(S)=3\times\frac{1}{4}+3\times(\frac{1}{2})^{2}=\frac{3}{4}+\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\)。所以，聚合風險模型\(S\)的期望為\(\frac{3}{2}\)，方差為\(\frac{3}{2}\)。2.某保險公司對某類風險進行承保，現(xiàn)有一組樣本數(shù)據(jù)，記錄了10個保單的索賠金額（單位：萬元）：\(2,3,5,7,8,10,12,15,18,20\)。（1）計算樣本均值、樣本方差和樣本標準差。（2）若該類風險的索賠金額服從正態(tài)分布\(N(\mu,\sigma^{2})\)，求\(\mu\)和\(\sigma^{2}\)的極大似然估計值。（1）-