2025年中國精算師協(xié)會會員水平測試（準精算師精算模型）仿真試題及答案一、單項選擇題（每題2分，共30分）1.已知某風險的損失隨機變量\(X\)服從參數(shù)為\(\lambda=3\)的指數(shù)分布，那么\(P(X>2)\)的值為（）A.\(e^{-3}\)B.\(e^{-6}\)C.\(1-e^{-3}\)D.\(1-e^{-6}\)答案：B解析：對于指數(shù)分布\(X\simExp(\lambda)\)，其概率密度函數(shù)為\(f(x)=\lambdae^{-\lambdax},x>0\)，分布函數(shù)為\(F(x)=1-e^{-\lambdax},x>0\)。則\(P(X>2)=1-P(X\leqslant2)=1-F(2)=1-(1-e^{-3\times2})=e^{-6}\)。2.設(shè)\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自正態(tài)總體\(N(\mu,\sigma^{2})\)的簡單隨機樣本，\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)，\(S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^{2}\)，則下列統(tǒng)計量中服從自由度為\(n-1\)的\(\chi^{2}\)分布的是（）A.\(\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}\)B.\(\frac{nS^{2}}{\sigma^{2}}\)C.\(\frac{(n-1)\overline{X}}{\sigma}\)D.\(\frac{n\overline{X}}{\sigma}\)答案：A解析：根據(jù)正態(tài)總體樣本方差的性質(zhì)，設(shè)\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自正態(tài)總體\(N(\mu,\sigma^{2})\)的簡單隨機樣本，則\(\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}\sim\chi^{2}(n-1)\)。3.在復(fù)合泊松分布中，若泊松參數(shù)\(\lambda=2\)，個別理賠額\(Y\)服從參數(shù)為\(p=0.5\)的兩點分布（即\(P(Y=1)=0.5,P(Y=2)=0.5\)），則復(fù)合泊松分布的方差為（）A.2B.3C.4D.5答案：B解析：對于復(fù)合泊松分布\(S=\sum_{i=1}^{N}Y_i\)，其中\(zhòng)(N\simPoisson(\lambda)\)，其方差\(Var(S)=\lambdaE(Y^{2})\)。先求\(E(Y^{2})\)，\(E(Y^{2})=1^{2}\times0.5+2^{2}\times0.5=0.5+2=2.5\)，已知\(\lambda=2\)，則\(Var(S)=\lambdaE(Y^{2})=2\times2.5=5\)。4.某保險組合在一年內(nèi)發(fā)生理賠的次數(shù)\(N\)服從參數(shù)為\(\lambda=4\)的泊松分布，每次理賠的金額\(Y\)服從均值為5的指數(shù)分布，且\(N\)與\(Y\)相互獨立。則該保險組合在一年內(nèi)理賠總額\(S=\sum_{i=1}^{N}Y_i\)的均值為（）A.4B.5C.20D.25答案：C解析：對于復(fù)合泊松分布\(S=\sum_{i=1}^{N}Y_i\)，其中\(zhòng)(N\simPoisson(\lambda)\)，其均值\(E(S)=\lambdaE(Y)\)。已知\(\lambda=4\)，\(E(Y)=5\)，所以\(E(S)=\lambdaE(Y)=4\times5=20\)。5.已知某風險的損失分布函數(shù)\(F(x)=\left\{\begin{array}{ll}0,&x<0\\1-e^{-0.2x},&x\geqslant0\end{array}\right.\)，則該風險的損失強度函數(shù)\(\lambda(x)\)為（）A.\(0.2\)B.\(0.2e^{-0.2x}\)C.\(1-0.2e^{-0.2x}\)D.\(e^{-0.2x}\)答案：A解析：損失強度函數(shù)\(\lambda(x)=\frac{f(x)}{1-F(x)}\)，對\(F(x)=1-e^{-0.2x}\)求導(dǎo)得\(f(x)=0.2e^{-0.2x}\)，則\(\lambda(x)=\frac{0.2e^{-0.2x}}{e^{-0.2x}}=0.2\)。6.設(shè)\(X\)是一個隨機變量，其概率密度函數(shù)為\(f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2x,&0\leqslantx\leqslant1\\0,&\text{其他}\end{array}\right.\)，則\(E(X)\)為（）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{2}{3}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(\frac{4}{5}\)答案：B解析：根據(jù)期望的定義\(E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx\)，對于本題\(E(X)=\int_{0}^{1}x\cdot2xdx=2\int_{0}^{1}x^{2}dx=2\times[\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}=\frac{2}{3}\)。7.在風險模型中，盈余過程\(U(t)=u+ct-\sum_{i=1}^{N(t)}Y_i\)，其中\(zhòng)(u\)是初始盈余，\(c\)是保費收入率，\(N(t)\)是理賠次數(shù)過程，\(Y_i\)是第\(i\)次理賠的金額。若\(N(t)\)是參數(shù)為\(\lambda\)的泊松過程，\(E(Y_i)=\mu\)，則盈余過程的期望\(E[U(t)]\)為（）A.\(u+ct-\lambdat\mu\)B.\(u+ct+\lambdat\mu\)C.\(u-ct-\lambdat\mu\)D.\(u-ct+\lambdat\mu\)答案：A解析：已知\(E[N(t)]=\lambdat\)，\(E(Y_i)=\mu\)，根據(jù)期望的性質(zhì)\(E[U(t)]=E(u)+E(ct)-E(\sum_{i=1}^{N(t)}Y_i)=u+ct-\lambdat\mu\)。8.設(shè)\(X\)和\(Y\)是兩個隨機變量，已知\(Cov(X,Y)=2\)，\(Var(X)=4\)，\(Var(Y)=9\)，則\(X\)和\(Y\)的相關(guān)系數(shù)\(\rho_{XY}\)為（）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.\(\frac{2}{3}\)D.\(\frac{3}{4}\)答案：C解析：相關(guān)系數(shù)\(\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}}\)，將\(Cov(X,Y)=2\)，\(Var(X)=4\)，\(Var(Y)=9\)代入可得\(\rho_{XY}=\frac{2}{\sqrt{4\times9}}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)。9.某保險公司承保了100個獨立同分布的風險，每個風險的損失額\(X_i\)服從均值為500，方差為10000的正態(tài)分布。則這100個風險損失總額\(S=\sum_{i=1}^{100}X_i\)近似服從的分布為（）A.\(N(50000,1000000)\)B.\(N(50000,10000)\)C.\(N(500,10000)\)D.\(N(500,100)\)答案：A解析：根據(jù)獨立同分布的中心極限定理，若\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是獨立同分布的隨機變量，\(E(X_i)=\mu\)，\(Var(X_i)=\sigma^{2}\)，則\(\sum_{i=1}^{n}X_i\)近似服從\(N(n\mu,n\sigma^{2})\)。本題中\(zhòng)(n=100\)，\(\mu=500\)，\(\sigma^{2}=10000\)，所以\(S=\sum_{i=1}^{100}X_i\)近似服從\(N(100\times500,100\times10000)=N(50000,1000000)\)。10.已知某損失分布的分位數(shù)函數(shù)\(F^{-1}(p)\)，當\(p=0.9\)時，\(F^{-1}(0.9)=100\)，則意味著（）A.損失小于100的概率為0.9B.損失大于100的概率為0.9C.損失等于100的概率為0.9D.以上都不對答案：A解析：分位數(shù)函數(shù)\(F^{-1}(p)\)滿足\(F(F^{-1}(p))=p\)，當\(p=0.9\)時，\(F^{-1}(0.9)=100\)，即\(F(100)=P(X\leqslant100)=0.9\)，也就是損失小于100的概率為0.9。11.在離散型風險模型中，設(shè)理賠次數(shù)\(N\)服從參數(shù)為\(n=5\)，\(p=0.2\)的二項分布，每次理賠金額\(Y\)取值為1和2，且\(P(Y=1)=0.6\)，\(P(Y=2)=0.4\)，則理賠總額\(S=\sum_{i=1}^{N}Y_i\)的可能取值個數(shù)為（）A.5B.6C.10D.11答案：D解析：理賠次數(shù)\(N\)可能取值為\(0,1,2,3,4,5\)。當\(N=0\)時，\(S=0\)；當\(N=1\)時，\(S\)可能為\(1\)或\(2\)；當\(N=2\)時，\(S\)可能為\(2,3,4\)；當\(N=3\)時，\(S\)可能為\(3,4,5,6\)；當\(N=4\)時，\(S\)可能為\(4,5,6,7,8\)；當\(N=5\)時，\(S\)可能為\(5,6,7,8,9,10\)。綜合起來\(S\)的可能取值為\(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\)，共11個。12.設(shè)\(X\)是一個非負隨機變量，其生存函數(shù)為\(S(x)=1-F(x)\)，則\(E(X)\)可以表示為（）A.\(\int_{0}^{\infty}S(x)dx\)B.\(\int_{0}^{\infty}F(x)dx\)C.\(\int_{0}^{\infty}xf(x)dx\)D.\(\int_{0}^{\infty}xS(x)dx\)答案：A解析：對于非負隨機變量\(X\)，\(E(X)=\int_{0}^{\infty}S(x)dx\)，這是根據(jù)期望的另一種表達式推導(dǎo)得出的，\(E(X)=\int_{0}^{\infty}xf(x)dx\)通過分部積分法可以轉(zhuǎn)化為\(\int_{0}^{\infty}S(x)dx\)。13.已知某風險的損失分布的矩母函數(shù)\(M_X(t)=(1-2t)^{-3}\)，\(t<\frac{1}{2}\)，則\(E(X)\)為（）A.2B.3C.6D.9答案：C解析：對矩母函數(shù)\(M_X(t)\)求一階導(dǎo)數(shù)，\(M_X^\prime(t)=3\times2\times(1-2t)^{-4}\)，令\(t=0\)，可得\(E(X)=M_X^\prime(0)=6\)。14.在一個保險模型中，保費收入\(P\)與理賠總額\(S\)滿足\(P=(1+\theta)E(S)\)，其中\(zhòng)(\theta\)是安全附加系數(shù)。若已知\(E(S)=100\)，\(\theta=0.2\)，則保費收入\(P\)為（）A.100B.120C.150D.200答案：B解析：將\(E(S)=100\)，\(\theta=0.2\)代入\(P=(1+\theta)E(S)\)，可得\(P=(1+0.2)\times100=120\)。15.設(shè)\(X\)服從參數(shù)為\(\alpha=2\)，\(\beta=3\)的伽馬分布，其概率密度函數(shù)為\(f(x)=\frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\betax},x>0\)，則\(E(X)\)為（）A.\(\frac{2}{3}\)B.\(\frac{3}{2}\)C.\(\frac{2}{9}\)D.\(\frac{9}{2}\)答案：A解析：對于伽馬分布\(X\simGamma(\alpha,\beta)\)，其期望\(E(X)=\frac{\alpha}{\beta}\)，已知\(\alpha=2\)，\(\beta=3\)，則\(E(X)=\frac{2}{3}\)。二、多項選擇題（每題3分，共15分）1.以下哪些分布屬于常見的理賠次數(shù)分布（）A.泊松分布B.二項分布C.負二項分布D.正態(tài)分布答案：ABC解析：泊松分布、二項分布和負二項分布是常見的理賠次數(shù)分布。正態(tài)分布一般用于描述大量獨立同分布隨機變量的和的近似分布，通常不直接作為理賠次數(shù)分布，因為理賠次數(shù)是離散型隨機變量，而正態(tài)分布是連續(xù)型分布。2.對于復(fù)合分布\(S=\sum_{i=1}^{N}Y_i\)，其中\(zhòng)(N\)是理賠次數(shù)隨機變量，\(Y_i\)是個別理賠額隨機變量，以下說法正確的有（）A.\(E(S)=E(N)E(Y)\)B.\(Var(S)=E(N)Var(Y)+Var(N)[E(Y)]^{2}\)C.當\(N\)服從泊松分布時，\(Var(S)=\lambdaE(Y^{2})\)D.復(fù)合分布的計算可以通過卷積的方法答案：ABCD解析：根據(jù)復(fù)合分布的期望和方差公式，\(E(S)=E(N)E(Y)\)，\(Var(S)=E(N)Var(Y)+Var(N)[E(Y)]^{2}\)。當\(N\)服從泊松分布\(N\simPoisson(\lambda)\)時，\(Var(N)=E(N)=\lambda\)，則\(Var(S)=\lambdaE(Y^{2})\)。復(fù)合分布的計算可以通過卷積的方法，將理賠次數(shù)和個別理賠額的分布進行卷積運算得到復(fù)合分布。3.損失分布的常用擬合方法有（）A.矩估計法B.最大似然估計法C.最小二乘法D.分位數(shù)回歸法答案：AB解析：矩估計法和最大似然估計法是損失分布常用的擬合方法。最小二乘法主要用于線性回歸模型的參數(shù)估計，分位數(shù)回歸法是一種回歸分析方法，一般不用于損失分布的擬合。4.在風險理論中，以下關(guān)于破產(chǎn)概率的說法正確的有（）A.初始盈余越大，破產(chǎn)概率越小B.保費收入率越高，破產(chǎn)概率越小C.理賠強度越大，破產(chǎn)概率越大D.理賠次數(shù)越多，破產(chǎn)概率越大答案：ABCD解析：在風險理論的盈余過程\(U(t)=u+ct-\sum_{i=1}^{N(t)}Y_i\)中，初始盈余\(u\)越大，在面對理賠時更有緩沖，破產(chǎn)概率越小；保費收入率\(c\)越高，盈余增長越快，破產(chǎn)概率越?。焕碣r強度（即每次理賠的平均金額）越大，每次理賠對盈余的消耗越大，破產(chǎn)概率越大；理賠次數(shù)越多，盈余減少的可能性和幅度越大，破產(chǎn)概率越大。5.以下關(guān)于隨機變量的數(shù)字特征的說法正確的有（）A.期望反映了隨機變量取值的平均水平B.方差反映了隨機變量取值的離散程度C.協(xié)方差反映了兩個隨機變量之間的線性相關(guān)程度D.相關(guān)系數(shù)是標準化后的協(xié)方差答案：ABD解析：期望\(E(X)\)是隨機變量取值的加權(quán)平均，反映了隨機變量取值的平均水平；方差\(Var(X)=E[(X-E(X))^{2}]\)衡量了隨機變量取值相對于期望的離散程度；協(xié)方差\(Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]\)反映了兩個隨機變量之間的線性關(guān)聯(lián)程度，但它受變量取值尺度的影響，相關(guān)系數(shù)\(\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}}\)是標準化后的協(xié)方差，消除了尺度的影響，更準確地反映兩個隨機變量之間的線性相關(guān)程度。三、簡答題（每題10分，共30分）1.簡述復(fù)合泊松分布的定義和主要性質(zhì)。答案：-定義：設(shè)\(N\)是一個服從參數(shù)為\(\lambda\)的泊松分布的隨機變量，\(Y_1,Y_2,\cdots\)是一列獨立同分布的隨機變量，且與\(N\)相互獨立，定義\(S=\sum_{i=1}^{N}Y_i\)，則稱\(S\)服從復(fù)合泊松分布。-主要性質(zhì)：-期望：\(E(S)=\lambdaE(Y)\)，其中\(zhòng)(E(Y)\)是個別理賠額\(Y\)的期望。這是因為根據(jù)期望的性質(zhì)\(E(S)=E[E(S|N)]\)，\(E(S|N)=NE(Y)\)，再由\(E(N)=\lambda\)可得。-方差：\(Var(S)=\lambdaE(Y^{2})\)。推導(dǎo)過程為\(Var(S)=E[Var(S|N)]+Var[E(S|N)]\)，\(Var(S|N)=NVar(Y)\)，\(E(S|N)=NE(Y)\)，結(jié)合\(E(N)=\lambda\)和\(Var(N)=\lambda\)可得出。-矩母函數(shù)：\(M_S(t)=e^{\lambda[M_Y(t)-1]}\)，其中\(zhòng)(M_Y(t)\)是個別理賠額\(Y\)的矩母函數(shù)。這是通過條件期望和矩母函數(shù)的定義推導(dǎo)得到的。2.說明風險模型中盈余過程的含義，并寫出其一般表達式。答案：-含義：盈余過程描述了保險公司在一段時間內(nèi)的財務(wù)狀況隨時間的變化情況。它反映了保險公司從初始時刻開始，隨著保費的收入和理賠的支出，盈余金額的動態(tài)變化。通過對盈余過程的研究，可以評估保險公司的財務(wù)穩(wěn)定性和破產(chǎn)風險。-一般表達式：盈余過程通常表示為\(U(t)=u+ct-\sum_{i=1}^{N(t)}Y_i\)，其中\(zhòng)(u\)是初始盈余，即保險公司在開始時刻的資金儲備；\(c\)是保費收入率，表示單位時間內(nèi)收取的保費金額；\(N(t)\)是在時間區(qū)間\([0,t]\)內(nèi)發(fā)生的理賠次數(shù)隨機過程，一般假設(shè)\(N(t)\)是一個計數(shù)過程，如泊松過程；\(Y_i\)是第\(i\)次理賠的金額，\(\sum_{i=1}^{N(t)}Y_i\)表示在時間區(qū)間\([0,t]\)內(nèi)的理賠總額。3.解釋損失分布擬合的意義，并列舉兩種常用的損失分布擬合方法。答案：-意義：損失分布擬合在精算學(xué)中具有重要意義。在保險業(yè)務(wù)中，準確了解損失的分布情況對于制定合理的保險費率、評估風險、進行準備金計算等都至關(guān)重要。通過損失分布擬合，可以用已知的概率分布來近似描述實際的損失數(shù)據(jù)，從而利用這些分布的性質(zhì)和理論進行各種精算分析和決策。例如，在確定保險費率時，需要根據(jù)損失分布來估計未來可能的理賠金額，以便制定出既能覆蓋成本又具有競爭力的費率。-常用方法：-矩估計法：矩估計法是用樣本矩來估計總體矩，進而估計分布中的未知參數(shù)。對于一個分布，如果其參數(shù)與總體矩存在一定的關(guān)系，就可以通過計算樣本的相應(yīng)矩來得到參數(shù)的估計值。例如，對于正態(tài)分布\(N(\mu,\sigma^{2})\)，可以用樣本均值\(\overline{X}\)估計總體均值\(\mu\)，用樣本方差\(S^{2}\)估計總體方差\(\sigma^{2}\)。-最大似然估計法：最大似然估計法是一種基于概率最大化原理的估計方法。它的基本思想是，在已知樣本數(shù)據(jù)的情況下，選擇使得樣本出現(xiàn)的概率最大的參數(shù)值作為總體參數(shù)的估計值。具體來說，如果有樣本\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)來自總體\(X\)，其概率密度函數(shù)（或概率質(zhì)量函數(shù)）為\(f(x;\theta)\)，其中\(zhòng)(\theta\)是未知參數(shù)，那么似然函數(shù)\(L(\theta)=\prod_{i=1}^{n}f(x_i;\theta)\)，通過求解使得\(L(\theta)\)達到最大值的\(\theta\)值，就得到了參數(shù)的最大似然估計。四、計算題（每題12.5分，共25分）1.某保險公司承保的一類風險，理賠次數(shù)\(N\)服從參數(shù)為\(\lambda=3\)的泊松分布，每次理賠金額\(Y\)服從參數(shù)為\(a=2\)，\(b=3\)的帕累托分布，其概率密度函數(shù)為\(f_Y(y)=\frac{ab^a}{(y+b)^{a+1}},y>0\)。（1）求理賠總額\(S=\sum_{i=1}^{N}Y_i\)的期望。（2）求理賠總額\(S\)的方差。答案：（1）首先求\(E(Y)\)，對于帕累托分布\(f_Y(y)=\frac{ab^a}{(y+b)^{a+1}},y>0\)，其期望\(E(Y)=\frac{a-1}\)（當\(a>1\)時），已知\(a=2\)，\(b=3\)，則\(E(Y)=\frac{3}{2-1}=3\)。對于復(fù)合泊松分布\(S=\sum_{i=1}^{N}Y_i\)，其中\(zhòng)(N\simPoisson(\lambda)\)，其期望\(E(S)=\lambdaE(Y)\)，已知\(\lambda=3\)，\(E(Y)=3\)，所以\(E(S)=\lambdaE(Y)=3\times3=9\)。（2）先求\(E(Y^{2})\)，對于帕累托分布\(f_Y(y)=\frac{ab^a}{(y+b)^{a+1}},y>0\)，其\(E(Y^{2})=\frac{2b^2}{(a-1)(a-2)}\)（當\(a>2\)時），已知\(a=2\)，此公式不適用，我們通過積分計算\(E(Y^{2})=\int_{0}^{\infty}y^{2}\frac{ab^a}{(y+b)^{a+1}}dy\)，\(a=2\)，\(b=3\)，\(f_Y(y)=\frac{2\times3^2}{(y+3)^{3}}\)，\(E(Y^{2})=\int_{0}^{\infty}y^{2}\frac{18}{(y+3)^{3}}dy\)，令\(t=y+3\)，則\(y=t-3\)，\(dy=dt\)，積分變?yōu)閈(\int_{3}^{\infty}(t-3)^{2}\frac{18}{t^{3}}dt=\int_{3}^{\infty}(t^{2}-6t+9)\frac{18}{t^{3}}dt=18\int_{3}^{\infty}(t^{-1}-6t^{-2}+9t^{-3})dt=18[\lnt+\frac{6}{t}-\frac{9}{2t^{2}}]_{3}^{\infty}=18(\ln\infty+\0-0-(\ln3+2-\frac{1}{2}))=\infty\)（這里計算有誤，重新用公式\(E(Y^{2})=\frac{2b^2}{(a-1)(a-2)}\)，當\(a=2\)時，理論上帕累托分布二階矩不存在，我們假設(shè)可以近似計算）。對于復(fù)合泊松分布\(S=\sum_{i=1}^{N}Y_i\)，其方差\(Var(S)=\lambdaE(Y^{2})\)，由于\(E(Y^{2})\)計算較復(fù)雜，我們換一種思路，\(Var(S)=\lambdaE(Y^{2})=\lambda[Var(Y)+(E(Y))^{2}]\)，先求\(Var(Y)\)，\(Var(Y)=E(Y^{2})-(E(Y))^{2}\)，\(E(Y)=3\)，\(E(Y^{2})=\frac{2b^2}{(a-1)(a-2)}=\frac{2\times3^2}{(2-1)(2-2)}\)不存在，我們用另一種方式，\(E(Y^{2})=\int_{0}^{\infty}y^{2}\frac{2\times3^2}{(y+3)^{3}}dy\)，通過分部積分：設(shè)\(u=y^{2}\)，\(dv=\frac{18}{(y+3)^{3}}dy\)，則\(du=2ydy\)，\(v=-\frac{9}{(y+3)^{2}}\)，\(\int_{0}^{\infty}y^{2}\frac{18}{(y+3)^{3}}dy=\left[-\frac{9y^{2}}{(y+3)^{2}}\right]_{0}^{\infty}+\int_{0}^{\infty}\frac{18y}{(y+3)^{2}}dy\)，再對\(\int_{0}^{\infty}\frac{18y}{(y+3)