鴻鵠志鴻鵠志6應(yīng)用一元二次方程課題第1課時一元二次方程在實際問題中的應(yīng)用（1）授課類型新授課授課人教學(xué)內(nèi)容課本P52-53教學(xué)目標1.利用一元二次方程解決簡單的面積問題和動態(tài)幾何問題。2.經(jīng)歷分析具體問題中的數(shù)量關(guān)系、建立方程模型并解決問題的過程。3.在列方程解決實際問題的過程中，認識方程模型的重要性，并總結(jié)運用方程解決實際問題的般步驟。4.能根據(jù)具體問題的實際意義檢驗結(jié)果的合理性，增強數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和能力。教學(xué)重難點重點：利用一元二次方程解決簡單的面積問題和動態(tài)幾何問題。難點：分析具體問題中的數(shù)量關(guān)系、建立方程模型解決問題。教學(xué)準備多媒體課件。教與學(xué)互動設(shè)計（教學(xué)過程）設(shè)計意圖1.創(chuàng)設(shè)情景，導(dǎo)入新課教師活動：同學(xué)們還記得本章開始時梯子下滑的問題嗎？這節(jié)課我們就來學(xué)習(xí)一元二次方程在實際問題中的應(yīng)用。（教師板書課題：第1課時一元二次方程在實際問題中的應(yīng)用（1））如圖，一個長為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8m。（1）在這個問題中，梯子頂端下滑1m時，梯子底端滑動的距離大于1m，那么梯子頂端下滑幾米時，梯子底端滑動的距離和它相等呢？師生活動：安排學(xué)生小組合作，并思考下面三個問題。（1）梯子底端與墻面的水平距離是多少？怎么求？（2）此問題的已知量、未知量是什么？相等關(guān)系是什么？如何建立方程？（3）方程的解是否都符合題意？預(yù)設(shè)：解：設(shè)梯子頂端下滑xm，底端滑動xm。（8-x）2+（6+x）2=102。x2-2x=0。x1=0（舍去），x2=2。所以，梯子頂端下滑2m時，梯子底端滑動的距離和它相等。（2）如果梯子長度是13m，梯子頂端與地面的垂直距離為12m，那么梯子頂端下滑的距離與梯子底端滑動的距離可能相等嗎？如果相等，那么這個距離是多少？預(yù)設(shè)：解：設(shè)梯子頂端下滑xm，底端滑動xm。（12-x）2+（5+x）2=132。x2-7x=0。x1=0（舍去），x2=7。所以，梯子頂端下滑的距離與梯子底端滑動的距離相等。這個距離是7m。教師活動：引導(dǎo)學(xué)生思考：怎樣用一元二次方程解決實際問題？步驟是什么？預(yù)設(shè)：列一元二次方程解應(yīng)用題的步驟與列一元一次方程解應(yīng)用題的步驟類似，即：審、設(shè)、列、解、驗、答。（這里要特別注意，在列一元二次方程解應(yīng)用題時，由于所得的根一般有兩個，所以要檢驗這兩個根是否符合實際問題的要求。）以學(xué)生所熟悉的梯子下滑問題為素材，以前面所學(xué)的勾股定理中邊長的關(guān)系為切入點，用熟悉的情境激發(fā)學(xué)生解決問題的欲望，用學(xué)生已有的知識為支點，進一步讓學(xué)生體會數(shù)形結(jié)合的思想。2.實踐探究，學(xué)習(xí)新知【教材例題】例1如圖，某海軍基地位于A處，在其正南方向200nmile處有一重要目標B，在B的正東方向200nmile處有一重要目標C。小島D位于AC的中點，島上有一補給碼頭；小島F位于BC的中點。一艘軍艦從A出發(fā)，經(jīng)B到C勻速巡航，一艘補給船同時從D出發(fā)，沿南偏西方向勻速直線航行，欲將一批物品送達軍艦。已知軍艦的速度是補給船的2倍，軍艦在由B到C的途中與補給船相遇于E處，那么相遇時補給船航行了多少海里？（結(jié)果精確到0.1nmile）解決實際應(yīng)用問題的關(guān)鍵是審清題意，因此教學(xué)中教師要給學(xué)生充分的時間去審清題意，讓學(xué)生自己反復(fù)審題，弄清各量之間的關(guān)系，分析題目中的已知條件和要求解的問題，并在這個前提下抓住圖形中各條線段所表示的量，弄清它們之間的關(guān)系。在學(xué)生分析題意遇到困難時，教學(xué)中可設(shè)置問題串分解難點：（1）要求DE的長，需要如何設(shè)未知數(shù)？預(yù)設(shè)：一般求什么設(shè)什么，可設(shè)DE的長為xnmile。（2）怎樣建立含DE未知數(shù)的等量關(guān)系？從已知條件中能找到嗎？預(yù)設(shè)：根據(jù)已知條件，可考慮利用勾股定理建立等量關(guān)系。（3）利用勾股定理建立等量關(guān)系，如何構(gòu)造直角三角形？預(yù)設(shè)：連接DF，由三角形中位線得AB∥DF，從而DF⊥EF，構(gòu)造出Rt△DEF。（4）選定Rt△DEF后，三條邊長都是已知的嗎？DE，DF，EF分別是多少？預(yù)設(shè)：DF=100nmile，DE=xnmile，EF=AB+BF-（AB+BE）=（300-2x）nmile。學(xué)生活動：學(xué)生在問題串的引導(dǎo)下，逐層分析，在分組討論后找出題目中的等量關(guān)系，即：速度等量：V軍艦=2×V補給船；時間等量：t軍艦=t補給船；三邊數(shù)量關(guān)系：EF2+FD2=DE2。解：連接DF。∵AD=CD，BF=CF，∴DF是△ABC的中位線。∴DF∥AB，且DF=AB?！逜B⊥BC，AB=BC=200nmile，∴DF⊥BC，DF=100nmile，BF=100nmile。設(shè)相遇時補給船航行了xnmile，那么DE=xnmile，AB+BE=2xnmile，EF=AB+BF-（AB+BE）=（300-2x）nmile。在Rt△DEF中，根據(jù)勾股定理可得方程x2=1002+（300-2x）2，整理，得3x2-1200x+100000=0。解這個方程，得x1=200-≈118.4，x2=200+（不合題意，舍去）。所以，相遇時補給船大約航行了118.4nmile。【歸納總結(jié)】列一元二次方程解實際問題的一般步驟：（1）審題——了解問題的實際意義，分清已知條件和未知量之間的關(guān)系；（2）設(shè)未知數(shù)——一般情況下求什么設(shè)什么為未知數(shù)；（3）列方程——根據(jù)量與量之間的關(guān)系，找出相等關(guān)系，列出方程；（4）解方程——靈活運用一元二次方程的解法；（5）驗根——檢驗一元二次方程的根是否滿足題意；（6）答——作答。在例題的教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注列方程解應(yīng)用題的三個重要環(huán)節(jié)：其一是整體地、系統(tǒng)地弄懂題意；其二是把握問題中的等量關(guān)系；其三是正確求解方程并檢驗解的合理性。通過問題串的設(shè)立，將比較復(fù)雜、難以理解的題目分成多個小的題目去理解，使學(xué)生在不知不覺中克服困難。3.學(xué)以致用，應(yīng)用新知考點1面積問題例1我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在1275年提出一個問題：“直田積（矩形面積）八百六十四步（平方步），只云闊（寬）不及長一十二步（寬比長少一十二步），問闊（寬）幾步?！痹O(shè)闊為x步，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是（）A.2x+2（x+12）=864B.x（x-12）=864C.x+（x+12）=864D.x（x+12）=864答案：D變式訓(xùn)練如圖1，用籬笆靠墻圍成矩形花圃ABCD，一面利用舊墻，其余三面用籬笆圍，墻可利用的最大長度為15m，籬笆長為24m，設(shè)平行于墻的BC邊長為xm。（1）若圍成的花圃面積為40m2時，求BC的長；（2）如圖2，若計劃在花圃中間用一道籬笆隔成兩個小矩形，且花圃面積為50m2，請你判斷能否圍成花圃，如果能，求BC的長；如果不能，請說明理由。解：（1）根據(jù)題意，得AB=m，則·x=40，∴x1=20，x2=4?！?0>15，∴x=20舍去，∴x=4。答：BC的長為4m。（2）不能圍成花圃。理由如下：根據(jù)題意，得·x=50，方程可化為x2-24x+150=0，∵Δ=（-24）2-4×150=-24<0?！喾匠虩o實數(shù)解，∴不能圍成花圃?？键c2數(shù)字問題例2如圖，是某月的日歷表，在此日歷表上可以用一個矩形圈出3×3個位置相鄰的數(shù)（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）。如果圈出的9個數(shù)中，最小數(shù)x與最大數(shù)的積為161，那么根據(jù)題意可列方程為（）A.x（x+8）=161B.x（x+16）=161C.（x-8）（x+8）=161D.x（x-16）=161答案：B變式訓(xùn)練有一個兩位數(shù)，個位數(shù)字與十位數(shù)字之和為8，把它的個位數(shù)字與十位數(shù)字對調(diào)，得到一個新數(shù)，新數(shù)與原數(shù)之積為1855，則原兩位數(shù)是（）A.35B.53C.62D.35或53答案：D考點3動態(tài)幾何問題例3如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm，點P從點A開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC向點C以2cm/s的速度移動，當(dāng)點Q到達點C時，P，Q均停止運動，若△PBO的面積等于4cm2，則運動時間為（）A.1sB.4sC.1s或4sD.1s或s答案：A變式訓(xùn)練如圖，在矩形ABCD中，BC=20m，P，Q，M，N分別從A，B，C，D出發(fā)沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的邊上同時運動，當(dāng)有一個點先到達所在運動邊的另一個端點時即停止。已知在相同時間內(nèi)，若BO=xcm（x≠0），則AP=2xcm，CM=3xcm，DN=.x2cm。（1）當(dāng)x為何值時，AP，ND長度相等？（2）當(dāng)x為何值時，以PQ，MN為兩邊，以矩形的邊（AD或BC）的一部分為第三邊能構(gòu)成一個三角形？（3）當(dāng)x為何值時，以P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？解：（1）∵AP=2xcm∴AP=ND時，即2x=x解得x1=2或∴當(dāng)x為2時，AP，ND長度相等；（2）當(dāng)點P與點N重合或點Q與點M重合時，以PQ，MN為兩邊，以矩形的邊（AD或BC）的一部分為第三邊可能構(gòu)成一個三角形，①當(dāng)點P與點N重合時，由題意得，x2解得x1=21∵BQ+CM=x+3x=421此時點Q與點M不重合，∴x=21②當(dāng)點Q與點M重合時，由題意得，x+3x=20，解得x=5，此時DN=x∴點Q與點M不能重合。綜上所述，所求的值為x=21（3）∵當(dāng)N點到達A點時，x=20=25，此時M∴點Q只能在點M的左側(cè)，①當(dāng)點P在點N的左側(cè)時，由題意得，20-x+3x解得x1=0（舍去），當(dāng)x=2時四邊形PQMN是平行四邊形；②當(dāng)點P在點N的右側(cè)時，由題意得，20-x+3x解得x1=-10（舍去），當(dāng)x=4時，四邊形NQMP是平行四邊形。綜上所述，當(dāng)x=2或x=4時，以P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形。通過例題講解，鞏固學(xué)生應(yīng)用一元二次方程解決面積問題，一方面加強學(xué)生對知識的掌握，從而提高知識的應(yīng)用能力；另一方面可以差缺補漏。通過例題講解，鞏固學(xué)生應(yīng)用一元二次方程解決數(shù)字問題。通過例題講解，鞏固學(xué)生應(yīng)用一元二次方程解決動態(tài)幾何問題。4.隨堂訓(xùn)練，鞏固新知1.如圖，要把長4m、寬3m的矩形花壇四周擴展相同的寬度xm，得到面積為30m2的新矩形花壇，則x的值為（）A.4.5B.2C.1.5D.1答案：D2.如圖1，將一張長20cm，寬10cm的矩形硬紙片裁剪掉圖中陰影部分之后，恰好折成如圖2的有蓋紙盒，紙盒底面積為48cm2，則該有蓋紙盒的高為（）圖1圖2A.4cmB.3cmC.2cmD.1cm答案：C3.某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是157,每個支干長出的小分支數(shù)目為（）A.12B.11C.8D.7答案：A4.《九章算術(shù)》中“勾股”章有一個問題：今有戶高多于廣六尺八寸，兩隅相去適一丈（1丈=10尺，1尺=10寸），問戶高、廣各幾何？意思是：已知長方形門的高比寬多6尺8寸，門的對角線長1丈，那么門的高和寬各是多少？設(shè)門的寬為x尺，下列方程中正確的為（）A.x2+（x+6.8）2=102B.x2+（x-6.8）2=12C.x2+102=（x+6.8）2D.x2÷（x÷6.8）2=12答案：A5.如圖所示，A，B，C，D為矩形的四個頂點，AB=16cm，AD=8cm。動點P，Q分別從點A，C同時出發(fā)，點P以3cm/s的速度向B移動，一直到達B為止；點Q以2cm/s的速度向D移動。當(dāng)P，Q兩點從出發(fā)開始幾秒時，點P和點Q的距離是10cm。（若一點到達終點，另一點也隨之停止運動）（）A.2s或4.6sB.1s或4.4sC.4.4sD.2s或4.4s答案：D為學(xué)生提供自我檢測的機會，教師針對學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，及時調(diào)整授課，查缺補漏。5.課堂小結(jié)，自我完善1.列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是什么？2.列方程解應(yīng)用題的步驟是什么？3.列方程應(yīng)注意的哪些問題？讓學(xué)生在學(xué)習(xí)小組中進行回顧與反思后，進行組間交流發(fā)言。通過小結(jié)，使學(xué)生梳理本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，掌握本節(jié)課的核心內(nèi)容。6.布置作業(yè)課本P53-54習(xí)題2.9中的T1、T2、T3、T4。課后練習(xí)鞏固，讓所學(xué)知識得以運用，提高計算能力和做題效率。板書設(shè)計第1課時一元二次方程在實際問題中的應(yīng)用（1）