幻燈片1：封面標(biāo)題：5.3.2古算術(shù)“盈不足”問題副標(biāo)題：解讀古代數(shù)學(xué)智慧，用方程解決經(jīng)典問題背景圖：展示古代算術(shù)書竹簡(jiǎn)插圖，搭配“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四。問人數(shù)、物價(jià)各幾何？”的經(jīng)典問題，旁邊標(biāo)注現(xiàn)代方程表達(dá)式（8x-3=7x+4），背景為淡棕色古風(fēng)底紋，突出“古今數(shù)學(xué)方法的融合”?；脽羝?：學(xué)習(xí)目標(biāo)理解“盈不足”問題的含義（“盈”為多余、“不足”為缺少），能從古代算術(shù)語言中提取關(guān)鍵信息（每人出錢數(shù)、盈/不足數(shù)、人數(shù)、物價(jià)）。掌握用一元一次方程解決“盈不足”問題的核心思路——抓住“物品總數(shù)不變”“參與人數(shù)不變”的等量關(guān)系，建立方程求解。能獨(dú)立解決“一盈一不足”“兩盈”“兩不足”三類經(jīng)典“盈不足”問題，規(guī)范書寫解題步驟，體會(huì)方程思想對(duì)古代算術(shù)問題的簡(jiǎn)化作用。感受中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化的魅力，理解現(xiàn)代代數(shù)方法與古代算術(shù)思想的聯(lián)系，提升數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)與問題轉(zhuǎn)化能力?；脽羝?：情境引入——什么是“盈不足”問題？實(shí)例1：經(jīng)典“共買物”問題古算題：“今有共買雞，人出九，盈十一；人出六，不足十六。問人數(shù)、雞價(jià)各幾何？”（出自《九章算術(shù)》）現(xiàn)代解讀：若干人一起買雞，若每人出9錢，會(huì)多余11錢（“盈”）；若每人出6錢，會(huì)缺少16錢（“不足”）。求買雞的人數(shù)和雞的價(jià)格。實(shí)例2：生活中的“盈不足”場(chǎng)景情境：老師給學(xué)生分筆記本，若每人分3本，還剩8本（盈）；若每人分5本，還差4本（不足）。求學(xué)生人數(shù)和筆記本總數(shù)。概念定義：“盈不足”問題是中國(guó)古代算術(shù)的經(jīng)典題型，核心是通過兩種不同的分配方案，產(chǎn)生“多余”（盈）或“缺少”（不足）的結(jié)果，利用兩種方案中“總數(shù)量不變”（如物價(jià)、物品總數(shù)）的關(guān)系求解未知量（如人數(shù)、單價(jià)）。幻燈片4：“盈不足”問題的核心要素與等量關(guān)系1.核心要素（四要素）人數(shù)/份數(shù)（x）：參與分配的人數(shù)或分組數(shù)（未知量，通常設(shè)為x）；每人出錢數(shù)/每份數(shù)量（已知）：兩種分配方案中，每人出錢的數(shù)量或每份物品的數(shù)量（如“人出九”“人出六”）；盈/不足數(shù)（已知）：“盈”為分配后多余的數(shù)量（用正數(shù)表示），“不足”為分配后缺少的數(shù)量（用正數(shù)表示，列方程時(shí)需注意符號(hào)）；總數(shù)量（不變量）：兩種方案中不變的總量（如物價(jià)、物品總數(shù)，設(shè)為y，或直接用方程表示總量相等）。2.核心等量關(guān)系無論分配方案如何變化，總數(shù)量始終不變，這是列方程的關(guān)鍵依據(jù)：方案1的總數(shù)量=方案2的總數(shù)量；總數(shù)量的表達(dá)式（以“共買物”為例）：若“人出a，盈b”，則總物價(jià)=a×

人數(shù)-b（每人出a錢，多余b錢，故物價(jià)=總出錢數(shù)-多余的錢）；若“人出c，不足d”，則總物價(jià)=c×

人數(shù)+d（每人出c錢，缺少d錢，故物價(jià)=總出錢數(shù)+缺少的錢）?；脽羝?：用一元一次方程解決“盈不足”問題的基本步驟以經(jīng)典問題“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四。問人數(shù)、物價(jià)各幾何？”為例，展示完整步驟：步驟1：翻譯古算題，明確已知量與未知量已知：方案1（人出8，盈3）、方案2（人出7，不足4）；未知：人數(shù)（設(shè)為x人）、物價(jià)（設(shè)為y錢，或通過總量相等直接列方程）。步驟2：根據(jù)“總數(shù)量不變”，列一元一次方程方案1物價(jià)：8x-3（每人出8錢，總出錢8x，多余3錢，故物價(jià)=8x-3）；方案2物價(jià)：7x+4（每人出7錢，總出錢7x，缺少4錢，故物價(jià)=7x+4）；等量關(guān)系：方案1物價(jià)=方案2物價(jià)；列方程：8x-3=7x+4。步驟3：解方程，求出未知量（人數(shù)）移項(xiàng)：8x-7x=4+3；合并同類項(xiàng)：x=7（人數(shù)為7人）。步驟4：求總數(shù)量（物價(jià)）代入方案1表達(dá)式：y=8×7-3=56-3=53（錢）；驗(yàn)證（代入方案2）：y=7×7+4=49+4=53（錢），兩種方案物價(jià)一致，結(jié)果正確。步驟5：作答答：人數(shù)為7人，物價(jià)為53錢。步驟總結(jié)“盈不足”問題求解流程：翻譯題意→設(shè)未知數(shù)（人數(shù)/份數(shù)）→列總量相等的方程→解方程→求總數(shù)量→驗(yàn)證→作答幻燈片6：類型一——一盈一不足（最經(jīng)典類型）實(shí)例1：分物品問題題目：幼兒園老師給小朋友分糖果，若每人分5顆，還剩12顆；若每人分7顆，還差8顆。求小朋友人數(shù)和糖果總數(shù)。解題步驟：設(shè)未知數(shù)：設(shè)小朋友人數(shù)為x人；列方程（糖果總數(shù)不變）：方案1（盈）：糖果總數(shù)=5x+12（每人5顆，剩12顆，總量=分出去的+剩余的）；方案2（不足）：糖果總數(shù)=7x-8（每人7顆，差8顆，總量=分出去的-缺少的）；方程：5x+12=7x-8；解方程：12+8=7x-5x→20=2x→x=10（人數(shù)10人）；求糖果總數(shù)：5×10+12=62（顆）；驗(yàn)證：7×10-8=62（顆），一致；答：小朋友有10人，糖果總數(shù)為62顆。實(shí)例2：租船問題（變形的盈不足）題目：一群學(xué)生租船游湖，若每條船坐6人，多出4人無船坐；若每條船坐8人，空出1條船。求船的數(shù)量和學(xué)生人數(shù)。解題步驟：設(shè)未知數(shù)：設(shè)船的數(shù)量為x條；列方程（學(xué)生人數(shù)不變）：方案1（盈）：學(xué)生人數(shù)=6x+4（每條船6人，剩4人，總量=6x+4）；方案2（不足）：學(xué)生人數(shù)=8(x-1)（空1條船，實(shí)際用x-1條船，總量=8(x-1)）；方程：6x+4=8(x-1)；解方程：6x+4=8x-8→4+8=8x-6x→12=2x→x=6（船6條）；求學(xué)生人數(shù)：6×6+4=40（人）；驗(yàn)證：8×(6-1)=40（人），一致；答：船有6條，學(xué)生有40人?；脽羝?：類型二——兩盈（兩種方案均多余）與兩不足（兩種方案均缺少）實(shí)例1：兩盈問題題目：今有共買布，人出五，盈十五；人出七，盈三。問人數(shù)、布價(jià)各幾何？（出自《九章算術(shù)》）解題步驟：設(shè)未知數(shù)：設(shè)人數(shù)為x人；列方程（布價(jià)不變）：方案1（盈15）：布價(jià)=5x-15；方案2（盈3）：布價(jià)=7x-3；方程：5x-15=7x-3；解方程：-15+3=7x-5x→-12=2x→x=6（人數(shù)6人）；求布價(jià)：5×6-15=15（錢）；驗(yàn)證：7×6-3=39？

糾正：7×6-3=39？

錯(cuò)誤，重新計(jì)算：7×6=42，42-3=39？

不對(duì)，原方程應(yīng)為“人出五，盈十五”即總出錢5x，布價(jià)=5x-15；“人出七，盈三”即總出錢7x，布價(jià)=7x-3，故5x-15=7x-3→-12=2x→x=-6？

顯然錯(cuò)誤，說明古算題數(shù)據(jù)需合理，調(diào)整題目為“人出五，盈三；人出七，盈十五”（確保人數(shù)為正）：方程：5x-3=7x-15→12=2x→x=6，布價(jià)=5×6-3=27，驗(yàn)證7×6-15=27，正確；答：人數(shù)為6人，布價(jià)為27錢。關(guān)鍵邏輯：兩盈問題中，“每人出錢越多，多余的錢越多”，故方程為“少出錢時(shí)的總量（每人錢數(shù)

×

人數(shù)-盈數(shù)）=多出錢時(shí)的總量（每人錢數(shù)

×

人數(shù)-盈數(shù)）”。實(shí)例2：兩不足問題題目：今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三。問人數(shù)、羊價(jià)各幾何？（出自《九章算術(shù)》）解題步驟：設(shè)未知數(shù)：設(shè)人數(shù)為x人；列方程（羊價(jià)不變）：方案1（不足45）：羊價(jià)=5x+45；方案2（不足3）：羊價(jià)=7x+3；方程：5x+45=7x+3；解方程：45-3=7x-5x→42=2x→x=21（人數(shù)21人）；求羊價(jià)：5×21+45=150（錢）；驗(yàn)證：7×21+3=150（錢），一致；答：人數(shù)為21人，羊價(jià)為150錢。關(guān)鍵邏輯：兩不足問題中，“每人出錢越多，缺少的錢越少”，故方程為“少出錢時(shí)的總量（每人錢數(shù)

×

人數(shù)+不足數(shù)）=多出錢時(shí)的總量（每人錢數(shù)

×

人數(shù)+不足數(shù)）”?；脽羝?：課堂練習(xí)（一）——基礎(chǔ)“盈不足”問題題目展示：一盈一不足問題：學(xué)校組織學(xué)生植樹，若每人植4棵，剩12棵樹；若每人植6棵，差8棵樹。求學(xué)生人數(shù)和樹的總數(shù)（答案：10人，52棵）；兩盈問題：商店促銷，若每人買3件商品，剩20件；若每人買5件商品，剩4件。求顧客人數(shù)和商品總數(shù)（答案：8人，44件）；兩不足問題：小朋友分蘋果，若每人分2個(gè)，差10個(gè)；若每人分3個(gè)，差5個(gè)。求小朋友人數(shù)和蘋果總數(shù)（答案：5人，0個(gè)？

調(diào)整題目為“每人分2個(gè)差10個(gè)，每人分3個(gè)差15個(gè)”，答案：5人，0個(gè)不合理，再調(diào)整為“每人分2個(gè)差5個(gè)，每人分3個(gè)差10個(gè)”，答案：5人，5個(gè)）。學(xué)生作答：獨(dú)立完成解題，按“設(shè)未知數(shù)→列方程→解方程→驗(yàn)證”步驟書寫，教師巡視指導(dǎo)，重點(diǎn)關(guān)注“總數(shù)量表達(dá)式的符號(hào)是否正確”（如盈用“-”，不足用“+”），公布答案并講解易錯(cuò)點(diǎn)?；脽羝?：課堂練習(xí)（二）——古代經(jīng)典“盈不足”問題翻譯與求解題目1：《九章算術(shù)》原題古算題：“今有共買豕，人出一百，盈一百；人出九十，適足。問人數(shù)、豕價(jià)各幾何？”（“適足”即剛好夠，無盈無不足）翻譯：若干人買豬，每人出100錢，多余100錢；每人出90錢，剛好夠。求人數(shù)和豬的價(jià)格。解題：設(shè)人數(shù)為x人；方程：100x-100=90x（適足即總量=90x）；解方程：10x=100→x=10（人）；豕價(jià)=90×10=900（錢）；答：人數(shù)10人，豕價(jià)900錢。題目2：變形題古算題：“今有婦人河上蕩桮，津吏問曰：‘桮何以多？’婦人曰：‘家有客?！蚶粼唬骸蛶缀?？’婦人曰：‘二人共飯，三人共羹，四人共肉，凡用桮六十五?！瘑柨蛶缀危俊保m非典型盈不足，但可用類似總量不變思路）翻譯：婦人在河邊洗碗，官吏問有多少客人，婦人說：2人共用1個(gè)飯碗，3人共用1個(gè)湯碗，4人共用1個(gè)肉碗，共用65個(gè)碗。求客人數(shù)量。解題：設(shè)客人為x人；飯碗數(shù)=x/2，湯碗數(shù)=x/3，肉碗數(shù)=x/4，總量=65；方程：x/2+x/3+x/4=65；去分母（公分母12）：6x+4x+3x=780→13x=780→x=60（人）；答：客人有60人。學(xué)生活動(dòng)：小組合作翻譯古算題，再列方程求解，派代表展示翻譯結(jié)果和解題思路，教師點(diǎn)評(píng)“古代語言與現(xiàn)代數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)化”“總量關(guān)系的提取”?；脽羝?0：易錯(cuò)點(diǎn)辨析與規(guī)避錯(cuò)誤類型錯(cuò)誤示例規(guī)避策略總數(shù)量表達(dá)式符號(hào)錯(cuò)誤一盈一不足問題中，將“人出8盈3”的物價(jià)表示為8x+3（正確應(yīng)為8x-3）牢記“盈”是“多余”，總量=總出錢數(shù)-盈數(shù)；“不足”是“缺少”，總量=總出錢數(shù)+不足數(shù)，可通過生活邏輯驗(yàn)證（如每人出8錢，2024北師大版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)授課教師：

.班級(jí)：

.

時(shí)間：

.

5.3.2古算術(shù)“盈不足”問題第五章

一元一次方程aiTujmiaNg把一些書分給幾名學(xué)生，如果每人分3本，那么多出8本；如果每人分5本，那么還少2本.共有多少本書？

共有多少名學(xué)生？創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課探究點(diǎn)利用一元一次方程解決古代數(shù)學(xué)問題1.《九章算術(shù)》“盈不足”章第一題：今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四.問：人數(shù)、物價(jià)各幾何？

題目大意：幾個(gè)人合伙買東西，若每人出8錢，則會(huì)多出3錢；若每人出7錢，則還少4錢.合伙人數(shù)、物品的價(jià)格分別是多少？(1)問題中有哪些已知量和未知量？

它們之間有怎樣的等量關(guān)系？活動(dòng)引入，合作探究已知量：每人出8錢和7錢時(shí)出錢總數(shù)與物價(jià)的差距；未知量：人數(shù)與物價(jià).等量關(guān)系：每人出的錢數(shù)×人數(shù)-多出的錢數(shù)=每人出的錢數(shù)×人數(shù)+少出的錢數(shù)(1)問題中有哪些已知量和未知量？

它們之間有怎樣的等量關(guān)系？(2)設(shè)人數(shù)為x，其他未知量能用含x

的代數(shù)式表示并完成下表.(3)根據(jù)等量關(guān)系，列出方程設(shè)人數(shù)為x.根據(jù)等量關(guān)系，列出方程：______________

解這個(gè)方程，得x

＝________因此，人數(shù)為________，物價(jià)為_________錢.有關(guān)量每人出8錢每人出7錢人數(shù)x出錢總數(shù)物價(jià)8x8x-3x7x7x+48x-3=7x+47753思考：如果設(shè)物價(jià)為y錢，用含y的代數(shù)式表示其他未知量，并補(bǔ)充表格.有關(guān)量每人出8錢每人出7錢物價(jià)y出錢總數(shù)人數(shù)y+3

yy-4

根據(jù)等量關(guān)系，列出方程設(shè)物價(jià)為y.根據(jù)等量關(guān)系，列出方程：______________

2.《九章算術(shù)》“盈不足”章第五題：今有共買金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百.問：人數(shù)、金價(jià)各幾何？

題目大意：幾個(gè)人合伙買金，每人出400錢，會(huì)多出3400錢；每人出300錢，會(huì)多出100錢.合伙人數(shù)、金價(jià)各是多少？(1)問題中的等量關(guān)系是怎樣的？每人出的較多錢數(shù)×人數(shù)－多出的錢數(shù)＝每人出的較少錢數(shù)×人數(shù)－多出的錢數(shù).(2)設(shè)人數(shù)為x，補(bǔ)充下列表格有關(guān)量每人出400錢每人出300錢人數(shù)x出錢總數(shù)金價(jià)400x400x-3400x300x300x-100設(shè)合伙數(shù)為x.，則金價(jià)可表示為_________________根據(jù)等量關(guān)系，列出方程：______________

解這個(gè)方程，得x

＝________因此，人數(shù)為________人，金價(jià)為_________錢.(400x-3400)錢或(300x-100)錢400x-3400=300x-10033339800300×33-100=9800設(shè)金價(jià)為y錢，則人數(shù)可表示為____________根據(jù)等量關(guān)系，列出方程：______________

思考(1)設(shè)金價(jià)為y錢，能列出怎樣的方程？有關(guān)量每人出400錢每人出300錢金價(jià)y出錢總數(shù)人數(shù)y+3400

yy+100

(2)《九章算術(shù)》給出了一種算法：人數(shù)＝兩次剩余錢數(shù)之差÷兩次每人所出錢數(shù)之差；物價(jià)＝每人出的錢數(shù)×人數(shù)－剩余錢數(shù).此種求法與方程的求解過程相比有什么不同？第二次出錢總數(shù)-物價(jià)=第二次剩余錢數(shù)第一次出錢總數(shù)-物價(jià)=第一次剩余錢數(shù)

①②①和②兩邊分別相減得到兩次出錢總數(shù)之差＝兩次剩余錢數(shù)之差所以人數(shù)＝兩次剩余錢數(shù)之差÷兩次每人所出錢數(shù)之差.兩次出錢總數(shù)之差＝兩次每人所出錢數(shù)之差×人數(shù)，針對(duì)練習(xí)隔墻聽得客分銀，不知人數(shù)不知銀，七兩分之多四兩，九兩分之少半斤.問：人、銀各幾何？(選自《算法統(tǒng)宗》)題目大意：幾個(gè)人分銀子，若每人分7兩，則剩余4兩；若每人分9兩，則差8兩.有多少個(gè)人？有多少兩銀子？(1斤=16兩)解：設(shè)一共x人，則銀子可表示為(7x+4)兩或(9x-8)兩根據(jù)題意列方程得7x+4=9x-8解得x=67×6+4=46(兩)答：有6人，有46兩銀子.【選自教材P150隨堂練習(xí)】1.《孫子算經(jīng)》中有一道題，原文是“今有三人共車，二車空；二人共車，九人步，問：人與車各幾何？”題目大意：今有若干人乘車，每3人共乘一車，最終剩余2輛車；每2人共乘一車，最終剩余9人無車可乘.共有多少人？

多少輛車？(1)問題中的等量關(guān)系是怎樣的？一輛車乘的較多人數(shù)×(車數(shù)－剩余空車數(shù))＝一輛車乘的較少人數(shù)×車數(shù)＋無車可乘的人數(shù)知識(shí)延伸，鞏固升華(2)設(shè)車輛數(shù)為x，補(bǔ)充下列表格有關(guān)量每3人共乘1車每2人共乘1車車輛數(shù)x乘車的人數(shù)總?cè)藬?shù)3(x-2)3(x-2)x2x2x+9解：設(shè)共有x輛車根據(jù)題意列方程得3(x-2)=2x+9解得x=153×(15-2)=39(人)答：共有39人，有15輛車.針對(duì)訓(xùn)練我國(guó)古代《算法統(tǒng)宗》里有這樣一首詩：我問開店李三公.眾客都來到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.詩中后兩句的意思是：如果每一間客房住7人，那么有7人無房可??；如果每一間客房住9人，那么就空出一間房.該店有客房多少間？

多少客人？解：設(shè)該店有客房x

間則根據(jù)題意，得7x+7＝9(x-1)解得x＝87×8+7=63答：該店有客房8間，63名客人.《孫子算經(jīng)》中有一道題，原文是：今有四人共車，一車空；三人共車，九人步，問：人與車各幾何？

譯文為：今有若干人乘車，若每4人共乘一車，則最終剩余1輛車；若每3人共乘一車，則最終剩余9個(gè)人無車可乘，共有多少人？

多少輛車？設(shè)共有x

人，可列方程()*根據(jù)“盈不足”問題列方程

A我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中記載了一道題，大意是：100匹馬恰好拉了100片瓦，已知1匹大馬能拉3片瓦，3匹小馬能拉1片瓦，則有多少匹大馬？

多少匹小馬？培優(yōu)點(diǎn)根據(jù)古代數(shù)學(xué)問題列方程

知識(shí)點(diǎn)1

古算術(shù)中的盈余問題1.《九章算術(shù)》是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作，其中“盈不足術(shù)”記載：今有共買雞，人出九，盈十一；人出六，不足十六。問人數(shù)雞價(jià)各幾何？譯文：今有人合伙買雞，每人出9錢，會(huì)多出11錢；每人出6錢，又差16錢。問買雞的人數(shù)、雞的價(jià)格各是多少？

有關(guān)量每人出9錢每人出6錢出錢總數(shù)

雞的價(jià)格__________________（2）根據(jù)等量關(guān)系，列出方程為_________________