初二數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)專項(xiàng)提升訓(xùn)練講義開(kāi)篇引言親愛(ài)的同學(xué)們，初二階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，是承上啟下的關(guān)鍵時(shí)期。相較于初一的基礎(chǔ)認(rèn)知，這一年我們將接觸到更多抽象的概念、更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评硪约案咛魬?zhàn)性的綜合應(yīng)用。本講義旨在針對(duì)初二數(shù)學(xué)核心知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行專項(xiàng)梳理與強(qiáng)化訓(xùn)練，幫助大家夯實(shí)基礎(chǔ)，突破難點(diǎn)，提升解決復(fù)雜問(wèn)題的能力。請(qǐng)記住，數(shù)學(xué)的魅力在于其內(nèi)在的邏輯性與規(guī)律性，只要我們掌握正確的方法，持之以恒地思考與練習(xí)，就能逐步揭開(kāi)它神秘的面紗，感受其中的樂(lè)趣。第一部分：一次函數(shù)一、知識(shí)梳理與要點(diǎn)剖析函數(shù)是描述變量之間對(duì)應(yīng)關(guān)系的重要數(shù)學(xué)工具，而一次函數(shù)則是我們接觸到的第一種基本函數(shù)類型，它在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用。1.函數(shù)的概念：在一個(gè)變化過(guò)程中，如果有兩個(gè)變量x與y，并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說(shuō)x是自變量，y是x的函數(shù)。理解這一概念的關(guān)鍵在于“唯一確定”，即給定一個(gè)x，不能有兩個(gè)或多個(gè)不同的y與之對(duì)應(yīng)。2.一次函數(shù)的定義：一般地，形如y=kx+b（k，b是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)，叫做一次函數(shù)。當(dāng)b=0時(shí)，即y=kx（k是常數(shù)，k≠0），這時(shí)叫做正比例函數(shù)。可以說(shuō)，正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù)。3.一次函數(shù)的圖像：一次函數(shù)y=kx+b的圖像是一條直線。因此，畫(huà)一次函數(shù)的圖像，只需確定兩個(gè)點(diǎn)，通常選取與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)（當(dāng)x=0時(shí)，y=b，即(0,b)；當(dāng)y=0時(shí)，x=-b/k，即(-b/k,0)），然后過(guò)這兩點(diǎn)作直線即可。正比例函數(shù)y=kx的圖像是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)(0,0)的一條直線。4.一次函數(shù)的性質(zhì)：*k的作用：k決定了直線的傾斜方向和傾斜程度。當(dāng)k>0時(shí)，直線從左到右上升，y隨x的增大而增大；當(dāng)k<0時(shí)，直線從左到右下降，y隨x的增大而減小。|k|的值越大，直線越陡；|k|的值越小，直線越平緩。*b的作用：b是直線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，稱為截距。當(dāng)b>0時(shí)，直線與y軸交于正半軸；當(dāng)b=0時(shí)，直線過(guò)原點(diǎn)；當(dāng)b<0時(shí)，直線與y軸交于負(fù)半軸。5.一次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系：*一次函數(shù)y=kx+b的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，就是一元一次方程kx+b=0的解。*對(duì)于一次函數(shù)y=kx+b，當(dāng)y>0時(shí)，相應(yīng)x的取值范圍就是一元一次不等式kx+b>0的解集；當(dāng)y<0時(shí)，相應(yīng)x的取值范圍就是一元一次不等式kx+b<0的解集。二、典型例題精析例題1：函數(shù)概念的理解判斷下列關(guān)系式中，哪些y是x的函數(shù)？(1)y=3x-1(2)y2=x(3)y=|x|(4)等腰三角形中，頂角的度數(shù)y與底角的度數(shù)x解析：要判斷y是否為x的函數(shù)，關(guān)鍵看對(duì)于每一個(gè)確定的x值，是否有唯一確定的y值與之對(duì)應(yīng)。(1)對(duì)于任意給定的x，通過(guò)3x-1都能得到唯一的y，所以y是x的函數(shù)。(2)當(dāng)x=4時(shí)，y2=4，y=±2，即一個(gè)x值對(duì)應(yīng)兩個(gè)y值，所以y不是x的函數(shù)。(3)對(duì)于任意給定的x，|x|都有唯一確定的值，所以y是x的函數(shù)。(4)在等腰三角形中，頂角y與底角x的關(guān)系為y=180°-2x，且x的取值范圍是0°<x<90°。對(duì)于這個(gè)范圍內(nèi)的每一個(gè)x，都有唯一的y與之對(duì)應(yīng)，所以y是x的函數(shù)。例題2：一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)已知一次函數(shù)y=(m-1)x+m2-1。(1)若函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求m的值。(2)若函數(shù)圖像平行于直線y=2x，求m的值，并判斷該函數(shù)的增減性。(3)若函數(shù)圖像與y軸交于正半軸，且y隨x的增大而減小，求m的取值范圍。解析：(1)函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)(0,0)，將x=0,y=0代入函數(shù)關(guān)系式得：0=(m-1)*0+m2-1，即m2-1=0，解得m=±1。又因?yàn)橐淮魏瘮?shù)的一次項(xiàng)系數(shù)不能為0，即m-1≠0，所以m≠1。綜上，m=-1。(2)兩直線平行，則它們的k值相等。直線y=2x的k值為2，所以m-1=2，解得m=3。此時(shí)一次項(xiàng)系數(shù)k=2>0，所以該函數(shù)y隨x的增大而增大。(3)函數(shù)圖像與y軸交于正半軸，即當(dāng)x=0時(shí)，y=m2-1>0，解得m>1或m<-1。又因?yàn)閥隨x的增大而減小，所以k=m-1<0，即m<1。綜合以上兩個(gè)條件，m<-1。例題3：一次函數(shù)與方程、不等式的綜合應(yīng)用如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖像經(jīng)過(guò)A(-2,-1)和B(1,3)兩點(diǎn)。(1)求此一次函數(shù)的解析式。(2)求該函數(shù)圖像與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。(3)根據(jù)圖像，直接寫(xiě)出當(dāng)y>0時(shí)，x的取值范圍。解析：(1)將A(-2,-1)和B(1,3)代入y=kx+b，得到方程組：-1=-2k+b3=k+b用第二個(gè)方程減去第一個(gè)方程：3-(-1)=k+b-(-2k+b)，即4=3k，解得k=4/3。將k=4/3代入第二個(gè)方程：3=4/3+b，解得b=3-4/3=5/3。所以一次函數(shù)的解析式為y=(4/3)x+5/3。(2)求與x軸交點(diǎn)，令y=0，即(4/3)x+5/3=0，解得x=-5/4。所以與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(-5/4,0)。求與y軸交點(diǎn)，令x=0，得y=5/3，所以與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,5/3)。(3)觀察圖像（或根據(jù)(2)中與x軸交點(diǎn)），y>0表示函數(shù)圖像在x軸上方的部分，此時(shí)對(duì)應(yīng)的x值大于-5/4。所以x的取值范圍是x>-5/4。三、專項(xiàng)提升訓(xùn)練基礎(chǔ)鞏固1.下列函數(shù)中，哪些是一次函數(shù)？哪些是正比例函數(shù)？(1)y=-3x(2)y=1/x(3)y=2x2+1(4)y=-0.5x+32.已知一次函數(shù)y=-2x+4。(1)畫(huà)出該函數(shù)的圖像。(2)求出該函數(shù)圖像與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積。(3)當(dāng)x為何值時(shí)，y=0？當(dāng)x為何值時(shí)，y>0？能力提升3.已知一次函數(shù)y=kx+b的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,-1)，且與直線y=-2x+5沒(méi)有交點(diǎn)，求此一次函數(shù)的解析式。4.某商店準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)A、B兩種商品。已知購(gòu)進(jìn)A商品3件和B商品2件，共需120元；購(gòu)進(jìn)A商品5件和B商品4件，共需220元。(1)求A、B兩種商品每件的進(jìn)價(jià)分別是多少元？(2)若該商店準(zhǔn)備用不超過(guò)1000元購(gòu)進(jìn)這兩種商品，且A商品數(shù)量不少于B商品數(shù)量的2倍，問(wèn)最多能購(gòu)進(jìn)多少件A商品？（假設(shè)A、B商品均為整數(shù)件）參考答案與提示1.(1)一次函數(shù)，正比例函數(shù)；(2)不是；(3)不是；(4)一次函數(shù)。2.(2)與x軸交點(diǎn)(2,0)，與y軸交點(diǎn)(0,4)，面積為4；(3)x=2時(shí)y=0，x<2時(shí)y>0。3.提示：兩直線無(wú)交點(diǎn)則平行，k值相等，k=-2，再代入點(diǎn)(1,-1)求b。答案：y=-2x+1。4.(1)提示：列二元一次方程組求解。A商品20元/件，B商品30元/件；(2)提示：設(shè)購(gòu)進(jìn)A商品m件，B商品n件，根據(jù)題意列不等式組20m+30n≤1000，m≥2n，求m的最大值。答案：最多購(gòu)進(jìn)33件A商品（此時(shí)B商品16件）。第二部分：全等三角形一、知識(shí)梳理與要點(diǎn)剖析全等三角形是平面幾何的入門和基礎(chǔ)，是研究圖形性質(zhì)的重要工具。其核心在于“完全重合”，理解并熟練運(yùn)用全等三角形的判定和性質(zhì)，是解決幾何證明和計(jì)算問(wèn)題的關(guān)鍵。1.全等形與全等三角形的概念：能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形；能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，重合的角叫做對(duì)應(yīng)角。2.全等三角形的性質(zhì)：*全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等。*全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。*由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等和對(duì)應(yīng)角相等，可以推導(dǎo)出全等三角形的對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)角平分線也相等，周長(zhǎng)相等，面積相等。3.全等三角形的判定方法：*SSS（邊邊邊）：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。*SAS（邊角邊）：兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（注意：必須是“夾角”）*ASA（角邊角）：兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。*AAS（角角邊）：兩角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。*HL（斜邊、直角邊）：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。（僅適用于直角三角形）4.證明三角形全等的基本思路：*已知兩邊：①找?jiàn)A角（SAS）；②找第三邊（SSS）；③若有直角，可考慮HL。*已知一邊一角：①邊為角的對(duì)邊，找任一角（AAS）；②邊為角的鄰邊，找?jiàn)A這邊的另一角（ASA）或找這邊的對(duì)角（AAS）或找?jiàn)A這個(gè)角的另一邊（SAS）。*已知兩角：①找?jiàn)A邊（ASA）；②找其中一角的對(duì)邊（AAS）。5.全等三角形證明中的常用輔助線：*遇到中線，常加倍延長(zhǎng)中線，構(gòu)造全等三角形（“中線倍長(zhǎng)法”）。*遇到角平分線，常向兩邊作垂線，利用角平分線的性質(zhì)；或在角的兩邊截取相等線段，構(gòu)造全等三角形。*遇到線段的和差關(guān)系，常采用“截長(zhǎng)法”或“補(bǔ)短法”。二、典型例題精析例題1：全等三角形的性質(zhì)應(yīng)用如圖，△ABC≌△DEF，點(diǎn)A與點(diǎn)D，點(diǎn)B與點(diǎn)E是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)。若∠A=50°，∠B=60°，BC=15cm，求∠F的度數(shù)及DE的長(zhǎng)度。解析：在△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，∠C=180°-∠A-∠B=70°。因?yàn)椤鰽BC≌△DEF，點(diǎn)A與D，B與E對(duì)應(yīng)，所以點(diǎn)C與點(diǎn)F對(duì)應(yīng)。根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等。所以∠F=∠C=70°，DE=AB。題目中未直接給出AB的長(zhǎng)度，但給出了BC=15cm。由于BC的對(duì)應(yīng)邊是EF（因?yàn)锽對(duì)應(yīng)E，C對(duì)應(yīng)F），所以EF=BC=15cm。若想求DE=AB，題目信息似乎不足，可能原題中應(yīng)有AB的長(zhǎng)度或圖形中標(biāo)注。此處假設(shè)原題中AB=12cm（或根據(jù)圖形能得出AB長(zhǎng)度），則DE=12cm。（注：實(shí)際解題時(shí)需根據(jù)題目完整信息）例題2：全等三角形的判定已知：如圖，點(diǎn)B、E、C、F在同一條直線上，AB=DE，AC=DF，BE=CF。求證：△ABC≌△DEF。解析：要證明△ABC≌△DEF，已知兩組邊對(duì)應(yīng)相等：AB=DE，AC=DF。我們需要證明第三組邊也相等（SSS），或者證明這兩組邊的夾角相等（SAS）。觀察已知條件BE=CF，因?yàn)辄c(diǎn)B、E、C、F在同一直線上，所以BE+EC=CF+EC，即BC=EF。現(xiàn)在，在△ABC和△DEF中：AB=DE（已知）AC=DF（已知）BC=EF（已證）所以△ABC≌△DEF（SSS）。例題3：利用全等解決幾何證明與計(jì)算如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分線。求證：BD=CD，AD⊥BC。解析：要證明BD=CD和AD⊥BC，AD是∠BAC的平分線，所以∠BAD=∠CAD。在△ABD和△ACD中：AB=AC（已知）∠BAD=∠CAD（角平分線定義）AD=AD（公共邊）所以△ABD≌△ACD（SAS）。由全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BD=CD。由全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ADB=∠ADC。又因?yàn)椤螦DB+∠ADC=180°（平角定義），所以∠ADB=∠ADC=90°，即AD⊥BC。（本題實(shí)際上證明了等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)：頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。）三、專項(xiàng)提升訓(xùn)練基礎(chǔ)鞏固1.如圖，△AOB≌△COD，OA=OC，指出所有的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角。2.下列條件中，不能判定△ABC≌△DEF的是（）A.AB=DE，∠B=∠E，BC=EFB.AB=DE，∠A=∠D，AC=DFC.∠A=∠D，∠B=∠E，AC=DFD.AB=DE，BC=EF，∠C=∠F3.已知：如圖，AB=AD，AC=AE，∠1=∠2。求證：BC=DE。能力提升4.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E在AC上，且CD=CE，連接AD、BE交于點(diǎn)F。求證：AD=BE，AD⊥BE。5.已知：