緒論本章主要敘述課題的研究背景、研究問題、研究方法與研究現(xiàn)狀。1.1研究背景一元一次方程應用題是初中數(shù)學的重要內(nèi)容，也是學習其他方程應用題的基礎，更是學生從算術思維逐漸過渡到代數(shù)思維的開始。雖然在小學時學生已經(jīng)學習過方程，但很多學生的思維還停留在算術思維，不能夠用方程的方法去解決問題。此外，與小學的應用題相比，方程應用題對學生的閱讀能力和思維能力也有一定的要求。因此，一元一次方程應用題也起著承前啟后的作用，是小學和初中數(shù)學的銜接點之一，讓學生可以逐漸適應初中數(shù)學抽象性和復雜性，為后續(xù)學習更高層次的數(shù)學打好基礎。所以，研究一元一次方程教學有助于促進學生發(fā)展代數(shù)思維和提高數(shù)學建模素養(yǎng)。在數(shù)學教學中，根據(jù)學生的認知特點和認知發(fā)展階段采取相應的教學方法和內(nèi)容，可以更好的促進學生的學習和發(fā)展。在教學中合理運用皮亞杰認知發(fā)展理論，可以更好的把握學生的認知發(fā)展規(guī)律和特點，根據(jù)學生的實際情況調(diào)整教學策略和內(nèi)容，實現(xiàn)教育價值最大化，提高數(shù)學教學的針對性和有效性。綜上所述，一元一次方程應用題的教學是初中數(shù)學學習的重中之重，起著承前啟后的作用，對后續(xù)內(nèi)容的學習至關重要，皮亞杰認知發(fā)展理論也為數(shù)學教學提供了重要的理論知識和實踐指導。把皮亞杰認知發(fā)展理論應用于一元一次方程應用題的教學之中，可以更好地制定適應學生認知發(fā)展階段和特點的教學策略，有針對性地高效地促進學生學習和掌握一元一次方程應用題。1.2研究問題在教學中，一元一次方程應用題的教學對老師來說存在困難，對學生來說也有種種阻礙。本文通過文獻、調(diào)查問卷、訪談、學生作業(yè)等內(nèi)容，了解并研究一元一次方程應用題的教學情況和學習情況，然后根據(jù)皮亞杰認知發(fā)展理論與現(xiàn)狀提出相應的教學策略來改進教學。1.3研究方法1.3.1文獻研究法通過閱讀與一元一次方程應用題和皮亞杰認知發(fā)展理論等相關方面文獻和書籍，梳理相關研究成果；通過總結(jié)歸納研究成果，把握研究現(xiàn)狀，完善文章的理論基礎；通過總結(jié)歸納已有調(diào)查研究，了解一元一次方程應用題的教學現(xiàn)狀和學生學習情況，為文章的進一步研究打下基礎。1.3.2訪談法訪談對象為初中數(shù)學教師和七年級學生。通過教師訪談，了解一元一次方程應用題的教學現(xiàn)狀以及教學經(jīng)驗。通過學生訪談，了解學生一元一次方程應用題的學習情況以及學習訴求。1.3.3調(diào)查研究法通過調(diào)查與研究某校部分七年級學生關于一元一次方程應用題的解題現(xiàn)狀，了解學生學習一元一次方程應用題的現(xiàn)狀，為文章的研究提供參考。1.4研究現(xiàn)狀王偉敏通過總結(jié)Mayer、吳學榮、Green和Riley等國內(nèi)外學者的研究，把一元一次方程應用題分為：等積、打折銷售、義演、行程（相遇、追及）、工程、航行、匹配、數(shù)學、贏不足、調(diào)配問題，并總結(jié)了每種題型的常見解題錯誤。杜夢思參照《義務教育數(shù)學課程標準(2022年版)》、參考數(shù)學教材中的練習題、總結(jié)王日和王昊男學者的研究，在一元一次方程應用題的題型分為：行程、數(shù)字、分配、銷售、工程、年齡、方案以及生活中的問題，并總結(jié)了每種題型的常見解題錯誤。陳會新老師結(jié)合自己在教學中的實踐經(jīng)驗及一元一次方程在初中數(shù)學課堂的應用，在《初中數(shù)學一元一次方程教學透析》中提出，要培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力，讓學生大膽的提出自己的看法，用一元一次方程解決實際問題，且這在教學的時候并不是立刻就能看出效果的，需要學生長久的去努力。黃思鑾老師在《中學數(shù)學應用題教學三部曲》中強調(diào)，中學數(shù)學應用題的教學要幫助學生“闖關閱讀這個關、爬過建模這個坡、越過運算這個坎”，即要培養(yǎng)學生的閱讀能力、建模能力和運算能力。趙越和楊兆娜在《皮亞杰理論對培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)的啟示》中強調(diào)，將皮亞杰的認知發(fā)展理論、認知發(fā)展階段理論和建構主義學習理論融入數(shù)學教學中，不僅能夠提高數(shù)學教學的質(zhì)量和教學效率，還能培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，促進學生的全面發(fā)展。2一元一次方程應用題2.1一元一次方程只含有一個未知數(shù)（元），并且未知數(shù)的次數(shù)都是1（次）的方程，叫做一元一次方程（linearequationwithoneunknown）。能使方程兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做方程的解（solutionofequation）。求方程的解的過程叫做解方程（solvingequation）。一般地，解一元一次方程的步驟是：去分母、去括號、移項、合并同類項、未知數(shù)系數(shù)化為1。2.2一元一次方程應用題解決問題的方法在小學的時候，學生已經(jīng)學習了解決問題的方法，常見的方法有：窮舉法、推理法、表格法、模擬操作法等。由于小學學習的應用題較為簡單，學生只會進行簡單的推理，且學習大部分方法只適用于簡單的應用題。一元一次方程應用題是學生學習方程應用題的開端，也是學生的思維逐步從具體過渡到抽象的開始。因此，通過一元一次方程應用題學習解決方程應用題的方法尤為重要。在解一元一次方程應用題時，部分簡單的問題可以直接用分析法建立數(shù)學模型，而較難的問題則需要學生找到合適的建模方法。根據(jù)對相關研究、教材及教輔材料的梳理、概括、歸納、總結(jié)，常見的建立一元一次方程數(shù)學模型的方法有以下幾種：2.2.1列表的建模方法列表是最常見的建模方法之一，大部分一元一次方程應用題都可以嘗試運用列表的建模方法來解決。在可以利用表格作為建模方法時，畫表格時通常先填寫已知量，然后填寫所設未知量，最后根據(jù)問題中數(shù)量之間的相等關系填寫剩余的內(nèi)容，并根據(jù)相等關系列出方程。2.2.2畫線形示意圖的建模方法畫線形示意圖也是一種常見的建模方法，尤其是在解決行程問題時經(jīng)常被使用。線形示意圖通常可以畫成直線圖或環(huán)形圖，用線段的長或曲線的長來表示某些量，并根據(jù)這些線段或曲線的長度關系列出方程。2.2.3畫圖表示意圖的建模方法畫圖表示意圖的建模方法在解決一元一次方程應用題時，沒有列表和畫線形示意圖的方法常見。但是，在解決更為復雜的方程應用題時，圖表的方法可以運用視覺化的方法將復雜的數(shù)據(jù)信息和關系進行簡化和清晰化，提高建立方程模型的效率。常見的圖表示意圖有：柱狀示意圖、餅狀示意圖、折線示意圖等。2.2.4綜合運用多種建模方法綜合運用多種建模方法建立方程模型，可以幫助學生更好地應對較為復雜多變的問題，可以幫助學生從多個角度理解和分析問題，找尋問題中的隱藏細節(jié)和關系，使復雜的問題變得簡單，提高學生解決問題的能力。從不同的建模方法思考建立方程模型，可以提高學生思維的靈活性和創(chuàng)新性，提高學生的創(chuàng)新能力。雖然解決一元一次方程應用題時，往往一種建模方法就能幫助學生建立一元一次方程模型，但是綜合運用多種建模方法進行建立方程模型的方法可以提高學生解決問題的能力和拓寬學生解決問題的思路，為學生以后面對更為復雜的方程應用題打下基礎。2.3一元一次方程應用題的常見題型根據(jù)對相關研究、教材及教輔材料的梳理、概括、歸納、總結(jié)，可把常見的題目主要分為以下幾類：2.3.1比例問題【問題1】甲車間原有人，乙車間原有人，現(xiàn)將新增的人分往這兩個車間，結(jié)果甲車間人數(shù)為乙車間人數(shù)的倍。分往甲、乙兩車間各多少？【解答】方法：表格示意圖分析：這個問題中數(shù)量之間的相等關系是：甲車間現(xiàn)有人數(shù)乙車間現(xiàn)有人數(shù)設甲車間新增人，可以列出表格：表2.1問題1的表格示意圖車間原有人數(shù)新增人數(shù)現(xiàn)有人數(shù)甲乙解：設甲車間新增人，乙車間新增人。根據(jù)題意，得解這個方程，得答：甲車間新增人，乙車間新增人。2.3.2配套問題【問題2】某車間有名工人，生產(chǎn)某種由個螺栓配個螺母的產(chǎn)品。如果每名工人每天平均生產(chǎn)螺栓個或螺母個，那么應分配多少人生產(chǎn)螺栓、多少人生產(chǎn)螺母，才能使生產(chǎn)出來的產(chǎn)品剛好配套?【解答】方法：表格示意圖分析：這個問題中數(shù)量之間的相等關系是：螺栓的個數(shù)螺母的個數(shù)設分配人生產(chǎn)螺栓，可以列出表格：表2.2問題2的表格示意圖產(chǎn)品生產(chǎn)該產(chǎn)品的人數(shù)個數(shù)螺栓螺母解：設分配人生產(chǎn)螺栓,人生產(chǎn)螺母。根據(jù)題意，得解這個方程，得答：分配人生產(chǎn)螺栓、人生產(chǎn)螺母，才能使生產(chǎn)出來的產(chǎn)品剛好配套。2.3.3盈不足問題【問題3】用火車運送一批貨物，若每節(jié)車廂裝t，則還剩t未裝；若每節(jié)車廂裝t，則還可以多裝t?；疖囉卸嗌俟?jié)車廂，這批貨物有多少噸?【解答】方法一：線形示意圖分析：這個問題中貨物總量是不變的。設火車有節(jié)車廂，可以畫出直線圖：圖2.1問題3的直線示意圖解：設火車有節(jié)車廂。根據(jù)題意，得解這個方程，得答：火車有節(jié)車廂，這批貨物有噸。方法二：表格示意圖分析：這個問題中火車車廂節(jié)數(shù)是不變的。設這批貨物有噸，可以列出表格：表2.3問題3的表格示意圖貨物總量/t火車能裝的貨物/t火車車廂節(jié)數(shù)每節(jié)車廂裝t時每節(jié)車廂裝t時解：設這批貨物有噸。根據(jù)題意，得解這個方程，得答：火車有節(jié)車廂，這批貨物有噸。2.3.4行程問題【問題4】一隊學生去校外進行軍訓，他們以km/h的速度行進，走了min后，學校要將一個緊急通知傳給隊長。通信員從學校出發(fā)，以km/h的速度騎自行車沿原路追上去，通信員需要用多長時間才能追上學生隊伍？【解答】方法：表格示意圖或線形示意圖分析：這個問題中數(shù)量之間的相等關系是：通訊員追趕的路程學生行走的路程注意單位的統(tǒng)一性：minh設通信員需要用h才能追上學生隊伍，可以列出表格：表2.4問題4的表格示意圖人員速度/（km/h）時間/h路程/km通訊員學生也可以畫直線圖：圖2.2問題4的直線示意圖解：設通信員需要用h才能追上學生隊伍。根據(jù)題意，得解這個方程，得hmin答：通信員需要用min才能追上學生隊伍.【問題5】甲、乙兩人在長km的環(huán)形公路上跑步，甲的速度為m/min，乙的速度為m/min。（1）若兩人同時同地同向出發(fā)，則多少分鐘后兩人首次相遇?（2）若兩人同時同地反向出發(fā)，則多少分鐘后兩人首次相遇?【解答】方法：表格或線形示意圖分析：這個問題中數(shù)量之間的相等關系是：甲跑的路程乙跑的路程km注意單位的統(tǒng)一性：kmm設分鐘后兩人首次相遇，可以列出表格：表2.5問題5（1）的表格示意圖人員速度/（m/min）時間/min路程/m甲乙也可以畫出直線圖：圖2.3問題5（1）的直線示意圖還可以畫出環(huán)形圖：圖2.4問題5（1）的環(huán)形示意圖解：設分鐘后兩人首次相遇。kmm根據(jù)題意，得解這個方程，得答：若兩人同時同地同向出發(fā)，則分鐘后兩人首次相遇。分析：這個問題中數(shù)量之間的相等關系是：甲跑的路程乙跑的路程km注意單位的統(tǒng)一性：kmm設分鐘后兩人首次相遇，可以列出表格：表2.6問題5（2）的表格示意圖人員速度/（m/min）時間/min路程/m甲乙也可以畫出直線圖：圖2.5問題5（2）的直線示意圖還可以畫出環(huán)形圖：圖2.6問題5（2）的環(huán)形示意圖解：設分鐘后兩人首次相遇。kmm根據(jù)題意，得解這個方程，得答：若兩人同時同地同向出發(fā)，則分鐘后兩人首次相遇。2.3.5分段問題【問題6】某航空公司規(guī)定：乘坐飛機普通艙旅客一人最多可免費攜帶kg行李，超過部分每千克按飛機票價的購買行李票。某旅客帶了kg行李乘機，機票連同行李費共付了元。該旅客的機票票價是多少?【解答】方法：線形示意圖分析：這個問題中數(shù)量之間的相等關系是：機票票價行李費元設該旅客的機票票價是元，可以畫出直線圖：圖2.7問題6的直線示意圖由于該旅客帶了kg行李乘機，故有kg行李要付行李費；由于該旅客的機票票價是元，故每千克行李的行李票為元。解：設該旅客的機票票價是元。根據(jù)題意，得解這個方程，得答：設該旅客的機票票價是元。2.3.6工程問題【問題7】挖土機挖一座山頭，甲機單獨挖需天挖完，乙機單獨挖需天挖完?，F(xiàn)兩臺挖土機合作若干天后，再由乙機單獨挖天完成。甲機挖了多少天?【解答】方法：表格示意圖或圖表示意圖分析：這個問題中數(shù)量之間的相等關系是：甲、乙合作的工作量乙單獨做的工作量全部工作量如果把全部工作量看作，那么甲單獨天完成全部工作量的，甲單獨天完成全部工作量的，設甲機挖了天，可以列出表格：表2.7問題7的表格示意圖全部工作量甲、乙合作的工作量乙單獨做的工作量也可以畫圓形圖：圖2.8問題7的圓形示意圖解：設甲機挖了天。根據(jù)題意，得解這個方程，得答：甲機挖了天。2.3.7銷售問題【問題8】為了拓展銷路，商店對某商品的售價做了調(diào)整，按商品原價的折出售，此時的利潤是。若該商品進價為元，則該商品的原價是多少？【解答】方法：圖表示意圖分析：這個問題中數(shù)量之間的相等關系是：進價獲利售價設該商品的原價是元，可以畫柱狀圖：圖2.9問題8的柱狀示意圖解：設該商品的原價是元。根據(jù)題意，得解這個方程，得答：設該商品的原價是元。2.4一元一次方程應用題的教學內(nèi)容分析2.4.1教材分析圖2.10教材分析一元一次方程應用題是中學數(shù)學中的重要內(nèi)容，屬于代數(shù)領域的核心知識點。在數(shù)學教材中，一元一次方程應用題被放置在一元一次方程章節(jié)中的重要位置，是對一元一次方程概念的進一步深化和運用。一元一次方程應用題起著承前啟后的作用。小學的時候，學生已經(jīng)學習過簡單的方程應用題和解決問題的策略，但還是處于算術思維階段，一元一次方程應用題的學習是學生的思維從算術思維階段過渡到方程思維階段、從具體思維階段過渡到抽象思維階段的開始。同時，一元一次方程應用題也是后續(xù)學習一元二次方程應用題和二元一次方程組應用題等的知識基礎。一元一次方程應用題的學習，可以增強學生解決問題的能力，提高學生的數(shù)學思維能力，發(fā)展學生的代數(shù)思想、建模思想、化歸思想，促進學生的思維從具體過渡到抽象，提高學生數(shù)學學習的積極性。以蘇教版初中數(shù)學為例，用一元一次方程解決問題這一節(jié)分為6課時，主要學習了以下內(nèi)容：表2.8一元一次方程應用題課時分析課時教學目標第一課時知識技能：會分析簡單的數(shù)量關系，掌握列一元一次方程解應用題的一般步驟。數(shù)學思考：經(jīng)歷體會用方程法解決應用題的過程，感受從具體到抽象的變化，提高數(shù)學抽象、數(shù)學推理、數(shù)學運算和直觀想象能力，發(fā)展方程思想方法。問題解決：經(jīng)歷分析簡單的數(shù)量關系的過程，理解方程法解題的一般步驟，提高分析和解決問題的能力。情感態(tài)度：經(jīng)歷解決一元一次方程應用題的過程，感受方程法解題的優(yōu)越性，體會方程是刻畫現(xiàn)實世界的有效數(shù)學模型，用數(shù)學的眼光看待現(xiàn)實世界，體會數(shù)學的應用價值。第二課時知識技能：運用一元一次方程解決簡單的實際問題，能根據(jù)實際問題的意義檢驗所得結(jié)果是否合理，掌握運用表格構建數(shù)學模型的方法。數(shù)學思考：經(jīng)歷運用表格構建數(shù)學模型的過程，感受從具體到抽象的變化，提高數(shù)學抽象、數(shù)學推理、數(shù)學建模和數(shù)據(jù)分析的能力，發(fā)展化歸思想和建模思想。問題解決：經(jīng)歷運用表格分析較復雜的實際問題的數(shù)量關系的過程，理解表格在解決方程應用題時的作用，提高分析問題和解決問題的能力。情感態(tài)度：經(jīng)歷運用表格構建數(shù)學模型的過程，感受用列表方法解決問題的優(yōu)越性，用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，體會方程是刻畫現(xiàn)實世界的有效數(shù)學模型，體會數(shù)學的應用價值。第三課時知識技能：運用一元一次方程解決簡單的實際問題，能根據(jù)實際問題的意義檢驗所得結(jié)果是否合理，掌握運用線性示意圖構建數(shù)學模型的方法。數(shù)學思考：經(jīng)歷運用線性示意圖構建數(shù)學模型的過程，感受從具體到抽象的變化，提高數(shù)學抽象、數(shù)學推理、數(shù)學建模和數(shù)據(jù)分析的能力，發(fā)展化歸思想和建模思想。問題解決：經(jīng)歷運用線性示意圖尋求相等關系的過程，理解運用線性示意圖尋求相等關系的方法，形成解決問題的一些基本策略，提高分析和解決問題的能力。情感態(tài)度：經(jīng)歷運用線性示意圖構建數(shù)學模型的過程，感受用畫示意圖解決問題的優(yōu)越性，用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，體會方程是刻畫現(xiàn)實世界的有效數(shù)學模型，體會數(shù)學的應用價值。第四課時知識技能：理解列表、畫線性示意圖是分析數(shù)量關系、建立方程的有效策略，掌握運用表格和線性示意圖構建數(shù)學模型的方法。數(shù)學思考：經(jīng)歷綜合運用表格和線性示意圖構建數(shù)學模型的過程，感受從具體到抽象的變化，提高數(shù)學抽象、數(shù)學推理、數(shù)學建模和數(shù)據(jù)分析的能力，發(fā)展化歸思想和建模思想。問題解決：經(jīng)歷綜合運用表格和線性示意圖找等量關系的過程，感受列表和畫線性示意圖是分析數(shù)量關系和建立方程的有效方法，在用一元一次方程解決問題的過程中，不斷提高解決問題的能力。情感態(tài)度：經(jīng)歷綜合運用表格和線性示意圖構建數(shù)學模型的過程，用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，體會方程是刻畫現(xiàn)實世界的有效數(shù)學模型，體會數(shù)學的應用價值。第五課時知識技能：理解方程是刻畫現(xiàn)實世界的數(shù)學模型，能根據(jù)實際問題找尋合適的解決問題的策略，掌握運用圓形示意圖構建數(shù)學模型的方法。數(shù)學思考：經(jīng)歷“問題情境—建立數(shù)學模型—解釋、應用與拓展”的過程，感受從具體到抽象的變化，提高數(shù)學抽象、數(shù)學推理、數(shù)學建模和數(shù)據(jù)分析的能力，發(fā)展化歸思想和建模思想。問題解決：經(jīng)歷用方程解決實際問題的過程，感受找尋合適的解決問題的方法來分析數(shù)量關系和建立方程的重要性，不斷提高分析問題和解決問題的能力。情感態(tài)度：經(jīng)歷“問題情境—建立數(shù)學模型—解釋、應用與拓展”的過程，用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界，體會數(shù)學的應用價值。第六課時知識技能：理解方程是刻畫現(xiàn)實世界的數(shù)學模型，能根據(jù)實際問題找尋合適的解決問題的策略，掌握運用柱狀示意圖構建數(shù)學模型的方法。數(shù)學思考：經(jīng)歷“問題情境—建立數(shù)學模型—解釋、應用與拓展”的過程，感受從具體到抽象的變化，提高數(shù)學抽象、數(shù)學推理、數(shù)學建模和數(shù)據(jù)分析的能力，發(fā)展化歸思想和建模思想。問題解決：經(jīng)歷用方程解決實際問題的過程，感受找尋合適的解決問題的方法來分析數(shù)量關系和建立方程的重要性，不斷提高分析問題和解決問題的能力。情感態(tài)度：經(jīng)歷“問題情境—建立數(shù)學模型—解釋、應用與拓展”的過程，用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界，體會數(shù)學的應用價值。2.4.2教學主線在2001年《國家基礎教育課程改革綱要》頒布前，我國的一元一次方程應用題始終以方程問題的題型為主線進行教學；在2001年《國家基礎教育課程改革綱要》頒布后，大部分教材開始以解決問題的方法為主線進行教學。這兩種一元一次方程應用題的教學模式各有優(yōu)缺點。以方程問題的題型為主線進行一元一次方程應用題教學，分門別類地教會學生解一元一次方程應用題，可以通過總結(jié)歸納各類問題的解題模式，對學生特別是對中等生進行強化訓練，提高考試分數(shù)，但忽略了“方程是刻畫現(xiàn)實世界的一個有效的教學模型”和學生建模能力的培養(yǎng)。以解決問題的方法為主線進行一元一次方程應用題教學，強調(diào)解決方程應用題的根本思想方法——尋找相等關系，并不斷滲透建模思想，更加突出對學生抽象能力、建模能力及建模意識、應用意識的培養(yǎng)，但這種教學模式的教學效果不是立竿見影的，而是需要學生進行長久地努力，逐步提高自身能力?！读x務教育數(shù)學課程標準(2022年版)》中強調(diào)，學生要學會“用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界”。以解決問題的方法為主線進行教學，能更好地培養(yǎng)學生解決問題的能力，培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)，因此選擇以解決問題的方法為主線進行教學更加符合新課標中的要求。但是，由于中考升學的壓力和對學習成績的焦慮等原因，部分教師還是習慣運用以方程問題的題型為主線進行一元一次方程應用題教學，對學生抽象能力、建模能力及建模意識、應用意識的培養(yǎng)。基于武海娟和齊麗的研究以及訪談的內(nèi)容，可以發(fā)現(xiàn)：老教師和部分新教師更傾向于以方程問題的題型為主線進行一元一次方程應用題教學。老教師是因為習慣以方程問題的題型為主線進行一元一次方程應用題教學，改變較為困難；新教師教學經(jīng)驗不足，而以解決問題的方法為主線進行教學對教師的能力要求較高，因此為了求穩(wěn)，選擇以方程問題的題型為主線進行教學。綜上所述，雖然以解決問題的方法為主線對教師的教學能力的要求較高，且教學效果需要長久地努力才能見效，但為了更好地提高學生的解決問題的能力，發(fā)展學生的數(shù)學思想方法，在教學時選擇以解決問題的方法為主線進行一元一次方程應用題教學更符合數(shù)學核心素養(yǎng)要求。

3一元一次方程應用題教學現(xiàn)狀分析3.1學生調(diào)查問卷為了了解學生學習一元一次方程應用題時遇到的困難，現(xiàn)對蘇州某中學七年級學生進行了問卷調(diào)查，截止2024年3月10日共回收171份調(diào)查問題，并隨機對10位同學進行了訪談。經(jīng)過分析，可以學生在學習一元一次方程應用題時，存在以下問題：3.1.1用算術方法作答圖3.1解題方法的統(tǒng)計圖從圖中可以看出，僅有27.49%的學生習慣運用方程法進行解題，訪談時部分學生也認為算術法更加簡單。由于小學時，學生處于算數(shù)思維階段，習慣運用算術法解題，而到初一階段，學生的思維還沒轉(zhuǎn)變過來，處于算數(shù)思維到代數(shù)思維的過渡之中，沒有特別感受到方程法的優(yōu)越性，喜歡運用算術法解題，對學生學習運用方程法解題存在一定阻礙。3.1.2缺乏學習興趣圖3.2對一元一次方程應用題的喜歡程度的統(tǒng)計圖從圖中可以看出，對一元一次方程應用題抱有喜歡的情緒的人僅有52.04%，訪談時部分學生認為學習數(shù)學是因為家長和老師的要求。興趣是最好的老師，由于缺乏學習一元一次方程應用題的興趣，學生會在學習過程中缺乏主動性，會對學生學習一元一次方程應用題產(chǎn)生影響。3.1.3找不到等量關系圖3.3找尋等量關系的難易程度的統(tǒng)計圖從圖中可以看出，僅有23.39%的學生認為找尋題目中等量關系比較容易，訪談時學生也認為在運用一元一次方程解決問題時，常常找不到等量關系，這為學生解題帶來了一定的困難。其中，讀不懂題目也是大部分學生找不到等量關系的重要原因，能完全理解一元一次方程應用題題意的學生僅有18.13%。圖3.4理解題意程度的統(tǒng)計圖3.1.4計算錯誤圖4.5計算錯誤出現(xiàn)情況的統(tǒng)計圖從圖中可以看出，很少出現(xiàn)計算錯誤的學生僅有13.45%，訪談時部分學生也表明在去括號、移項和去分母等步驟會出現(xiàn)錯誤。學生的計算能力也是影響學生解決一元一次方程應用題的重要因素。3.2教師訪談3.2.1教師訪談為了從老師的角度了解學生的一元一次方程應用的學習情況和教學情況，于2022年1和2月隨機對泰州和蘇州共13位初中數(shù)學教師進行了訪談。其中，4位教師為教齡3-5年左右的年輕教師、7位教師為教齡6-10年左右的教師、2位教師為教齡10年以上的經(jīng)驗豐富的教師。訪談問題主要為：①很多學生在解一元一次方程應用題時經(jīng)常毫無頭緒，請問您覺得導致這種情況的原因是什么？針對這種情況，您在教學中有什么比較好的教學方法嗎？②在一元一次方程應用題方面，您認為小學的學習對初中的學習有哪些影響？③您認為進行一元一次方程應用題教學時要特別注意什么方面？④您總結(jié)和分析過學生應用題的常見錯誤嗎？若分析過，請您列舉一些例子。⑤對于一元一次方程應用題的教學，有的教師傾向于以實際問題的類型為主線進行教學，有的教師傾向于以解決問題的策略為主線進行教學，請問您認為這兩種教學各有什么優(yōu)缺點？3.2.2教師訪談研究（1）學生學習一元一次方程應用題時存在的問題通過研究教師訪談，可以發(fā)現(xiàn)學生學習一元一次方程應用題存在以下問題：①對于一元一次方程的概念理解不夠透徹；②解決問題的方法存在不足；③擁有經(jīng)驗和知識存在局限性；④問題分析和建模能力較為薄弱；⑤缺乏學習興趣、學習的主動性較差。（2）學生解一元一次方程應用題時的典型錯誤通過研究教師訪談，可以發(fā)現(xiàn)學生解一元一次方程應用題存在以下典型錯誤：①方程計算錯誤；②設元錯誤；③理解題意存在困難；④讀題時忽視部分條件。（3）教師教授一元一次方程應用題時的教學策略通過研究教師訪談，可以發(fā)現(xiàn)一元一次方程應用題常用的教學策略有：①提高學生的課堂參與度，發(fā)揮其主動性；②講課時對重點內(nèi)容進行強調(diào)；③要求學生背誦重要的概念和法則；④加強練習，反復糾錯，增加題感；⑤引導學生學會解決一元一次方程的策略。3.3一元一次方程應用題的學生學習情況分析3.3.1學生學習一元一次方程應用題的數(shù)學基礎以及常見困難在學習一元一次方程應用題之前，學生已經(jīng)掌握了一元一次方程的基本概念和解法。他們了解了一元一次方程的形式和性質(zhì)，能夠解一元一次方程；在小學時，學生已經(jīng)學習了簡單的解決問題的策略，能用算術的方法和簡單的方程解決簡單的應用題，但是由于對于方程解法的優(yōu)越性的認知的匱乏，學生普遍喜歡運用算術法解題。一元一次方程應用題不僅涉及到方程的設立和解法，還需要學生具備一定的實際情境理解能力和問題轉(zhuǎn)化能力。一些學生可能對實際問題的背景和情境不夠熟悉，導致無法正確地設立方程。除了應用能力，一元一次方程應用題還要求學生具備一定的邏輯思維和推理能力。在面對復雜的問題情境時，學生需要分析問題、找出關鍵信息、設立方程并求解。這一過程需要學生具備一定的邏輯推理和分析問題的能力。3.3.2學生解一元一次方程應用題的典型解題錯誤及成因分析結(jié)合泰州某中學七年級學生的作業(yè)情況、蘇州某中學七年級調(diào)查問卷情況、初中教師訪談內(nèi)容及文獻研究，學生解一元一次方程應用題的典型解題錯誤以下幾種：（1）找不到等量關系應用題是在現(xiàn)實基礎上進行一定數(shù)學加工的題目，可能會脫離實際生活，學生對于較長文字的閱讀能力比較薄弱，不能有效地提取有用的數(shù)學信息，分析問題的能力也相對較差。因此，部分學生可能由于因為題目復雜而不理解題意、因為粗心而忽略部分條件等原因，找不到等量關系。（2）表述不規(guī)范設元不規(guī)范、設元的過程忘記寫單位名稱、忘記寫解和答等問題都表明學生在解決一元一次方程應用題時的書寫不夠規(guī)范，造成了不必要的失分。（3）計算錯誤由于粗心大意、知識不牢固等問題，學生在解決一元一次方程應用題時，計算錯誤的情況也常常發(fā)生，如：移項錯誤、去括號錯誤、單位轉(zhuǎn)換錯誤。（4）用算術法作答由于小學時，運用算術方法解決應用題往往較為便利，學生習慣運用算術法進行解題。

4認知發(fā)展理論4.1皮亞杰認知發(fā)展理論4.1.1主客體相互作用皮亞杰認為，在人的認知過程中，主體為了建立新的認知結(jié)構，通過發(fā)揮主體的主觀能動性，能動地進行內(nèi)、外部協(xié)調(diào)，將主體與客體聯(lián)系起來，把客體內(nèi)化到主體的認知結(jié)構當中，從而產(chǎn)生新的個體知識經(jīng)驗。新知識的學習，需要主體與客體不斷地相互作用，主客體的相互作用受個體主觀能動性的調(diào)節(jié)。學生需要發(fā)揮主觀能動性，積極地探索新的知識，將新知識進行一定的重組，使新舊知識之間產(chǎn)生相互關系，理解新的知識。教師需要營造良好的學習氛圍，精心設計教學情境，聯(lián)系新舊知識，使學生對知識產(chǎn)生興趣，幫助學生對知識進行內(nèi)化與雙向構建，使學生更好地把新知識同化于已有的知識結(jié)構之中。初一學生在小學時已經(jīng)學習了簡單的解決問題的策略與運用方程解決簡單的實際問題，但對于較為復雜的問題，大部分學生則不能抽象出等量關系，建立一元一次方程模型。因此，在教師需要引導學生積極與能動地探索建立一元一次方程模型的方法，使建模方法與學生已學的解決問題的策略相聯(lián)系，使知識進行重組、內(nèi)化、構建，掌握建立一元一次模型、解決一元一次方程應用題的方法。4.1.2動態(tài)平衡觀皮亞杰用圖式、同化、順應、平衡四個概念來解釋認知發(fā)展的過程。圖式是人類認識事物的基本認知結(jié)構。同化是主體把客體納入自己的圖式中，引起圖式的量的變化。順應是主體改造已有的圖式以適應新的情境，引起圖式的質(zhì)的變化。平衡，指由同化和順應過程均衡所導致的主體結(jié)構同客體結(jié)構之間的某種相對穩(wěn)定的適應狀態(tài)。他認為，智力發(fā)展的本質(zhì)是打破原有的平衡，建立新的平衡的過程。學生在解決問題時，大多喜歡利用原有圖式進行解決，但遇到原有圖式解決不了的問題時，就不得不改造原有圖式來解決問題。教師需要進行問題設計，使問題與學生認知產(chǎn)生認知沖突，以打破原有平衡狀態(tài)，使學生對知識產(chǎn)生興趣，發(fā)揮主觀能動性，學習新知識，并通過同化和順應過程建立新的平衡狀態(tài)，使低一級水平的圖式不斷完善達到高一級水平的圖式。小學階段，學生已經(jīng)學習了運用方程方法解決實際問題，但由于小學階段的應用題較為簡單，學生不能感受到運用方程方法解決問題比運用算術方法更為便利，因此還是習慣運用原有圖式——算術方法解決實際問題。因此，教師要通過問題設計，使學生發(fā)現(xiàn)算術方法不能解決某些實際問題，以打破原有平衡狀態(tài)，并使學生通過同化解決問題的策略與順應建立一元一次方程模型的方法，從算術的方法過渡到代數(shù)的方法，使學生感受到一元一次方程解決問題的便利性，以達到一個新的平衡狀態(tài)。4.2皮亞杰認知發(fā)展階段理論皮亞杰將兒童從出生后到15歲的認知發(fā)展劃分為4個階段，在不同的階段，兒童表現(xiàn)出不同的認知特點。①感知運動階段（0～2歲）。此時兒童的思維具有客體永恒性，思維處于萌芽期。進行教學時，教師應提供豐富的感知刺激，如使用各種教具和實物。②前運算階段（2～7歲）。此時兒童的思維具有自我中心化及不可逆性，以表象思維為主。進行教學時，教師應鼓勵兒童通過模仿、游戲等方式進行符號操作，以促進其概念的形成。③具體運算階段（7～11歲）。此時兒童的思維具有去自我中心化及可逆性，可進行簡單的邏輯推理。進行教學時，教師應注重實際操作和直觀教學，幫助學生建立具體形象的概念。④形式運算階段（11歲以后）。此時兒童的思維具有抽象性及系統(tǒng)性，可以進行假設演繹推理。進行教學時，教師應強調(diào)解決問題的策略和培養(yǎng)學生批判性思維。兒童認知發(fā)展的四個階段是連續(xù)發(fā)生、緊密銜接在一起的。每一階段都是前一階段的延伸，是在新的水平上把前一階段進行改組，并以不斷增長的程度超越前一階段，各個階段之間存在著質(zhì)的差異。皮亞杰的認知發(fā)展階段理論也符合兒童認知發(fā)展的一般規(guī)律，即：順序性、階段性、不平衡性、個體互補性、個體差異性、整體性。教師在進行教學時，教育內(nèi)容要符合學生的年齡特點，抓住學生學習該內(nèi)容的最佳期，把學生當做復雜的整體的同時，不能忽視學生個體差異性，要因材施教。初一學生大部分處于從具體運算階段到形式運算階段過渡的階段，學生的思維需要具體事物的支撐，但開始擺脫對具體事物的依賴，逐步從具體思維轉(zhuǎn)換到抽象思維，并且邏輯推理能力也日趨成熟，可以進行假設演繹推理。由于兒童認知發(fā)展受到遺傳與環(huán)境因素的影響，不同學生抽象思維發(fā)展水平不同，有的學生可能還處在具體運算階段，有的學生介于具體運算階段和形式運算階段之間，有的學生已處于形式運算階段。因此，在教學時，教師要給出具體的問題情境，可以聯(lián)系學生已學的解決問題的策略，由易到難，引導學生從具體到抽象，逐步抽象出等量關系，并且找到建立一元一次方程模型的策略。在教學內(nèi)容上，教師要考慮到大部分學生的發(fā)展水平，教學難度要適中，但也要考慮到學生個別差異性，因材施教。

5基于認知發(fā)展理論的一元一次方程解決問題的教學策略5.1發(fā)揮學生的主動性，體現(xiàn)學生的主體地位皮亞杰認為，個體在認知發(fā)展過程中是主動的，而不是被動的，兒童認知發(fā)展的過程始終離不開主體能動的調(diào)節(jié)作用。在皮亞杰認知發(fā)展理論中，由于主客體是相互作用的，即在學生學習知識、發(fā)展思維的過程中，作為主體的學生與外部環(huán)境的不斷相互作用，加快了知識的學習和思維的發(fā)展。在這種相互作用的過程中，學生構成了矛盾的主要方面，是活的主體。主體在認知發(fā)展過程中的不斷調(diào)節(jié)，也促進了認知發(fā)展的不斷更新與螺旋前進。因此，在教學中，教師應該引導學生主動參與到一元一次方程應用題的解決過程中，以激發(fā)學生的學習興趣，充分發(fā)揮學生的主觀能動性。教育應該教授學生學習策略，“授人以漁”而不是“授人以魚”。為了發(fā)揮學生的主動性，教師可以通過創(chuàng)設與生活實際相關的情境，激發(fā)學生的學習興趣；教師可以采取合適的教學方法，啟發(fā)學生思考，鼓勵學生表達自己的觀點和想法；教師可以鼓勵學生自主探究問題解決方案，讓學生互相交流、互相學習，引導學生嘗試不同的方法，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維、合作交流和解決問題的能力。5.2教學內(nèi)容要適應學生的發(fā)展水平皮亞杰認為，兒童的認知發(fā)展階段是漸進的，每個階段都有其特定的特征和發(fā)展任務，發(fā)展是不斷構建的過程，在前一階段發(fā)展的基礎上才可能出現(xiàn)進一步的發(fā)展。因此，教學不能超過學生的認知發(fā)展階段，要符合學生思維發(fā)展特點。初一學生大部分處于從具體運算階段到形式運算階段過渡的階段，學生的思維需要具體事物的支撐，但開始擺脫對具體事物的依賴，逐步從具體思維轉(zhuǎn)換到抽象思維，并且邏輯推理能力也日趨成熟，可以進行假設演繹推理。因此，在教學時，教師要給出具體的問題情境，聯(lián)系學生已學知識，由易到難，引導學生從具體到抽象，逐步抽象出等量關系，并且找到建立一元一次方程模型的策略。5.3注意教學活動的設計的重要性和合理性皮亞杰認為，活動是聯(lián)結(jié)主客體的橋梁，認知的形成是活動的內(nèi)化作用。在課堂教學中，應把活動放在第一位。教師可以利用多種教學方法，為學生提供廣闊的活動空間，充分調(diào)動學生的各個感官。因此，教學活動的設計十分重要。皮亞杰認為，智力發(fā)展的本質(zhì)是打破原有的平衡，建立新的平衡的過程。學生在解決問題時，習慣于運用已有經(jīng)驗進行解答，但遇到原有經(jīng)驗解決不了的問題時，就不得不學習新經(jīng)驗、改造原有經(jīng)驗來解決問題。教師需要合理地進行活動設計，一方面要提供與學生已有經(jīng)驗相關的內(nèi)容，另一方面又要提供與已有經(jīng)驗相矛盾的內(nèi)容。教學活動既要讓學生可以原有知識和經(jīng)驗，又要打破學生原有知識平衡狀態(tài)，讓學生產(chǎn)生認知沖突，激發(fā)學生學習新知識和解決新矛盾的興趣，并最終獲得新的平衡狀態(tài)。因此，教學設計要注重合理性，創(chuàng)造學生認知沖突，發(fā)揮學生的主觀能動性，使教學活動更加有效。小學階段，學生習慣運用算術法解決實際問題。初一學生由于之前沒有感受過運用方法解題的便利性，因此他們更喜歡運用方程法進行解題。教師要通過設計教學情境，讓學生發(fā)現(xiàn)算術法解題的局限性，感受方程法解題的便利性，幫助學生解決問題時從算術的方法過渡到代數(shù)的方法，發(fā)展學生的建模思想和方程思想。5.4教學要注重學生的差異性，因材施教皮亞杰認為，影響兒童認知發(fā)展的因素有很多，兒童會按照自己的速度和興趣來學習。因此，每個兒童建構的方式和速度都不盡相同，這導致了個別差異性的產(chǎn)生。因此，教育者應充分理解并尊重兒童的個別差異性，為其提供適切的教育環(huán)境和發(fā)展機會，以更好地促進每個兒童的全面發(fā)展。教育者應因勢利導，根據(jù)兒童的興趣和能力傾向調(diào)整教學內(nèi)容和方法；因材施教，為不同的學習者制定個性化的學習計劃；創(chuàng)造多元的學習環(huán)境，滿足不同學習風格的需求。在進行一元一次方程應用題教學時，教師應該根據(jù)學生的學習層次適時地調(diào)整教學內(nèi)容和方法，并為不同學習層次的學生提供不同的的學習方法和計劃。

6教學設計6.1《用一元一次方程解決問題（1）》6.1.1教材分析本章主要內(nèi)容是學會運用一元一次方程解決問題，以解決問題的策略為主線進行教材編寫，展現(xiàn)了一元一次方程的廣泛而具體的應用和“問題情境——建立數(shù)學模型——解釋、應用與拓展”的過程，體現(xiàn)一元一次方程與生活的聯(lián)系和實用價值。學生通過學習一元一次方程解決問題，發(fā)展了建模思想、方程思想、轉(zhuǎn)化思想，提高了分析問題、解決問題的能力，為今后方程應用題的學習打下了基礎。本節(jié)課以蘇教版七年級上冊第4章第3節(jié)第1課時為基礎進行教學設計，主要內(nèi)容是掌握列一元一次方程解應用題的一般步驟。6.1.2教學目標知識技能：會分析簡單的數(shù)量關系，掌握列一元一次方程解應用題的一般步驟。數(shù)學思考：經(jīng)歷體會方程法解應用題的優(yōu)越性的過程，感受從具體到抽象的變化，提高數(shù)學抽象、推理、建模能力，發(fā)展方程思想方法。問題解決：經(jīng)歷分析簡單的數(shù)量關系的過程，理解方程法解題的一般步驟，提高分析、解決問題的能力。情感態(tài)度：經(jīng)歷解決一元一次方程應用題的過程，感受方程法解題的優(yōu)越性，體會方程是刻畫現(xiàn)實世界的有效數(shù)學模型，體會數(shù)學的應用價值。6.2.3教學重難點重點：掌握列一元一次方程解應用題的一般步驟難點：會分析簡單的數(shù)量關系教學過程設計一、情境引入【教師活動】活動一：PPT展示王寧和李欣玩猜年齡游戲：問題1：媽媽今年歲，比女兒年齡倍還多歲，你知道女兒今年多大嗎？問題2：外甥今年歲，小姨今年歲，多少年后小姨年齡是外甥年齡的兩倍？問題3：伯伯的年齡是他年前年齡的倍，你知道伯伯今年多大嗎？【學生活動】思考問題，在解題過程中感受算術法解題的復雜性和方程法解題的便利性；回答問題，口述解題方法?！驹O計意圖】皮亞杰認為，知識的學習是打破原有平衡狀態(tài)，建立新的平衡狀態(tài)的過程。在解應用題時，學生雖然已經(jīng)學習過方程法解題，但習慣運用算術法解題，并認為算術法解題簡單。方程法是順向思考，而算術法是逆向思考，算術法本身就較繁瑣。遇到較為復雜的問題時，用算術法解題較為困難，會讓學生產(chǎn)生認知沖突，激發(fā)學生運用方程法解題的興趣。問題1都可以運用算術法和方程法解答，讓學生可以先利用已同化知識——算術法進行作答，讓學生回顧已學知識，方便新知識同化、順應于舊知識結(jié)構之中；但問題2、問題3運用算術法解題較為困難，學生在解題時自己發(fā)現(xiàn)算術法解題較為復雜，發(fā)揮學生主動性的同時，讓學生產(chǎn)生認知沖突，打破學生認知平衡，從而讓學生感受到方程法解題的優(yōu)越性。二、新課講授【教師活動】活動二：PPT展示問題：一輛貨車裝滿時，可以裝袋水泥和kg沙子，或袋水泥和kg沙子，求一袋水泥的重量。提問：同學們，你們能用算術方法快速計算嗎？同學們，這道題中的等量關系是什么？我們應該如何列方程求解？除了設這個量為未知量外，我們還可以設哪些量為未知量？并根據(jù)學生回答，逐步板書部分分析過程和解題過程?！緦W生活動】思考并回答教師提問，經(jīng)過探索逐步感受從從具體問題中逐步抽象出等量關系的過程。【設計意圖】根據(jù)皮亞杰認知發(fā)展階段理論，初一學生大部分處于從具體運算階段到形式運算階段過渡的階段。學生在進行數(shù)學抽象時，需要有具體問題情境的支撐。教師要引導學生發(fā)揮主觀能動性，從具體問題中逐步抽象出等量關系，建立一元一次方程模型。提問①讓學生進一步體會到算術法解題的復雜性；提問②引導學生在列方程之前先找到等量關系，并感受從具體問題中抽象出數(shù)學模型的方法；提問③讓學生體會到設元的多樣性，發(fā)展學生發(fā)散性思維能力，并從多角度感受從具體問題中抽象出數(shù)學模型的方法，提高數(shù)學抽象和解決問題的能力?；顒尤骸窘處熁顒印縋PT展示問題：甲倉庫存煤t，乙倉庫存煤t，若甲倉庫每天運出煤t，乙倉庫每天運進煤t，多少天后乙倉庫存煤比甲倉庫多一倍？讓學生在練習本上自行寫出完整的解題過程。并在大部分學生解題完畢后，讓學生口述分析過程和解題過程，教師板演，并強調(diào)檢驗和作答。讓學生小組討論列方程解決實際問題的步驟，教師歸納并板書。列方程解決一元一次方程的步驟：①審題；②設未知數(shù)；③找等量關系；④列方程；⑤檢驗；⑥作答。【學生活動】思考等量關系并設未知數(shù)，在練習本上完整解題，并回答老師問題。學生參考解決活動二和活動三的問題的過程，互相探討用列方程解決實際問題的步驟?！驹O計意圖】皮亞杰提出“理解即發(fā)明”，讓學生理解題意并進行解題，對學生所學進行初步鞏固練習。不直接給出列方程解決實際問題的步驟，而是讓學生通對所學的理解與歸納，在生生之間相互交流下進行初步總結(jié)，并在師生之間的互動下進一步進行歸納。由學生自己探索歸納得出，使得學生這一主體對列方程解決實際問題的步驟這一客體有著全面的理解，發(fā)揮學生的主觀能動性，降低學生掌握新知識的難度，提高學生解決問題的能力，激發(fā)學生的內(nèi)部學習動機。三、鞏固練習【教師活動】PPT展示題目：1.小麥磨成面粉，原有質(zhì)量要損耗，現(xiàn)磨的面粉kg，需要小麥多少千克？2.足球表面是由許多黑色五邊形和白色六邊形皮塊圍成的，黑白皮塊的數(shù)目的比是，一個足球的表面共有個皮塊。黑色和白色的皮塊各有多少？3.一長方形游泳池的長是寬的倍。根據(jù)需要將它擴建，把它的長和寬各加長米后，它的長是寬的倍，求擴建前游泳池的周長。選取學生進行扮演【學生活動】學生自主練習，獨立完成?！驹O計意圖】讓學生進行鞏固練習，并感受順應用方程法解題的過程，達到一個新的平衡狀，并初步檢驗學生是否達到會運用方程法解決問題的平衡狀態(tài)。題目難度由易到難，考慮到學生的個別差異性，提高學生分析問題、解決問題的能力。四、小結(jié)思考【教師活動】引導學生談一談本節(jié)課的收獲與體會。幫助學生對所學知識進行歸納、總結(jié)，讓學生進一步體會到方程法解應用題的優(yōu)越性，理解列方程的實質(zhì)，初步掌握列方程的規(guī)律?！緦W生活動】討論并總結(jié)歸納【設計意圖】再次驗證學生是否達到會運用方程法解決問題的平衡狀態(tài)的同時，培養(yǎng)學生的概括性同化能力，并對本節(jié)課知識點進行梳理。五、作業(yè)布置1.如果，那么。2.甲、乙、丙3個數(shù)的比為2:3:7，這3個數(shù)的和為48，求這3個數(shù)。若設甲數(shù)為，乙數(shù)為，丙數(shù)為，可列方程。3.小明比他的叔叔小37歲，而他的叔叔兩年前的歲數(shù)是小明兩年后歲數(shù)的4倍，小明今年多少歲？4.在480公頃蔬菜地上分別種植青菜、西紅柿和芹菜，其中種青菜和西紅柿的面積的比是3:2，種西紅柿和芹菜的面積的比是2:7．這3種蔬菜各種了多少公頃？你能將本題的部分條件稍做改動，編一個新問題嗎？5.（選做）小明將一張正方形的紙片剪去一個寬為4cm的長條后，再從剩下的長方形紙片上剪去一個寬為5cm的長條.已知兩次剪下的長條面積正好相等，求最后剩下的陰影圖形的面積。6.（選做）粗蠟燭和細蠟燭的長