專題04全等三角形模型之半角模型全等三角形在中考數(shù)學幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就半角模型進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。TOC\o"14"\h\z\u 1模型來源 1真題現(xiàn)模型 2提煉模型 3模型運用 5模型1.半角模型 6 16 首先阿基米德則通過物體旋轉(zhuǎn)時的力學規(guī)律研究，為旋轉(zhuǎn)幾何提供物理背景；隨著引入坐標系描述旋轉(zhuǎn)后點的位置變化，并深入研究旋轉(zhuǎn)對稱性，推動旋轉(zhuǎn)問題的量化分析；直到近代大三?核心旋轉(zhuǎn)模型逐漸的形成。這一方法從早期經(jīng)驗認知，歷經(jīng)阿拉伯數(shù)學家的理論發(fā)展，至近現(xiàn)代形成系統(tǒng)模型，最終成為幾何證明的標準化工具。?半角模型?：90°含45°、120°含60°等特殊旋轉(zhuǎn)，通過截長補短構(gòu)造全等三角形，解決角度和線段問題。1）半角模型條件：如圖1，四邊形ABCD是正方形，∠ECF=45°；（正方形型）結(jié)論：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周長=2AB；⑤CE、CF分別平分∠BEF和∠EFD。證明：將△CBE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△CDG，即△CBE≌△CDG，∴∠ECB=∠GCD，∠B=∠CDG=90°，BE＝DG，CE＝CG；∵ABCD是正方形，∴∠B=∠CDF=∠BCD=90°，BA＝DA；∴∠CDG+∠CDF=180°，故F、D、G共線?！摺螮CF=45°，∴∠BCE+∠DCF=45°，∴∠GCD+∠DCF=∠GCF=45°，∴∠ECF=∠GCF=45°，∵CF＝CF，∴△CEF≌△CGF，∴EF＝GF，∵GF＝DG＋DF，∴GF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF，∴AEF的周長=EF+AE＋AF=BE＋DF+AE＋AF=AB＋AD=2AB，過點C作CH⊥EF，則∠CHE=90°，∵△CEF≌△CGF，∴CD=CH（全等三角形對應(yīng)邊上的高相等），再利用HL證得：△CBE≌△CHE，∴∠HEC=∠CBE，同理可證：∠HFC=∠DFC，即CE、CF分別平分∠BEF和∠EFD。圖1圖2條件：如圖2，ABC是等腰直角三角形（∠BAC=90°，AB＝AC），∠DAE=45°；（等腰直角型）結(jié)論：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2；證明：將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ACG，即△BAD≌△CAG，∴∠BAD=∠CAG，∠B=∠GCA=45°，AD＝AG，BD＝CG；∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°，∴∠CAG+∠EAC=∠GAE=45°，∴∠DAE=∠GAE=45°，∵AE＝AE，∴△DAE≌△GAE，∴ED＝EG，∵ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，∴∠ECG=90°，∴GE2＝GC2＋EC2,∴DE2＝BD2＋EC2；條件：如圖3，ABC是等邊三角形，BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°；（等邊型12060）結(jié)論：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋CF；④AEF的周長=2AB；⑤DE、DF分別平分∠BEF和∠EFC。證明：將△DBE繞點D順時針旋轉(zhuǎn)120°至△DCG，即△BDE≌△CDG，∴∠EDB=∠GDC，∠DBE=∠DCG，BE＝GC，DE＝DG；∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=60°，∴∠GDC+∠CDF=∠GDF=60°，故∠GDF=∠EDF，∵DF＝DF，∴△EDF≌△GDF，∴EF＝GF，∵GF＝CG＋CF，∴GF＝BE＋CF，∴EF＝BE＋CF，∴AEF的周長=EF+AE＋AF=BE＋CF+AE＋AF=AB＋AC=2AB，過點D作DH⊥EF，DM⊥GF，則∠DHF=∠DMF=90°，∵△EDF≌△GDF，∴DM=DH（全等三角形對應(yīng)邊上的高相等），再利用HL證得：△DHF≌△DMF，∴∠HFD=∠MFD，同理可證：∠BED=∠FED，即DE、DF分別平分∠BEF和∠EFC。圖3圖4圖5條件：如圖4，ABC是等邊三角形，∠EAD=30°；（等邊型6030）證明：將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°至△ACF，即△BAD≌△CAF，∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠FCA=60°，AD＝AF，BD＝CF；∵∠DAE=30°，∴∠BAD+∠EAC=30°，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=30°，∴∠DAE=∠FAE=30°，∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE，∴ED＝EF，∵ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ECF=120°，過點F作FH⊥BC，∴∠FCH=60°，∠CFH=30°，∴CH=CF=BD，F(xiàn)H=CF=BD，∵在直角三角形中：FE2＝FH2＋EH2,∴DE2＝(BD＋EC)2+(BD)2；條件：如圖5，∠BAC=，AB=AC，∠DAE=；（任意型）結(jié)論：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°。證明：將△ABD繞點A逆時針°至△ACF，即△BAD≌△CAF，∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠BCA=∠FCA=90°，AD＝AF，BD＝CF；∴∠ECF=∠BCA+∠FCA=180°?！摺螧AC=，∠DAE=，∴∠BAD+∠EAC=，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=，∴∠DAE=∠FAE=，∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE。模型1.半角模型

A．②④ B．①②③ C．①③ D．①③④(2)按照小穎的思路，判斷圖（b）線段，，的數(shù)量關(guān)系，并完整證明．(3)【解決問題】當M在的延長線上，點N在線段上，其他條件不變，如圖（C）所示，第（2）問中的結(jié)論是否成立．如果成立，請證明．如果不成立，請說明理由．例5（2425八年級上·山東濟寧·期中）如圖，等邊△ABC中，在BC邊上取兩點D，E，使∠DAE＝30°．（1）當∠BAD＝15°時，如圖1，求證：△ADE為等腰三角形；（2）作D點關(guān)于直線AE的對稱點F，連接AF，CF，如圖2．求證：△ADF為等邊三角形；（3）求證：以BD，DE，CE為邊長的三角形為鈍角三角形．例6（2425·廣東深圳·八年級期末）如圖，△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，點D為BC邊上一點．點E為線段CD上一點，且CE＝2，AB＝，∠DAE＝60°，則DE的長為______．A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④A．①② B．③④ C．①②③ D．①③④9．（2025·河南周口·三模）在一堂平面幾何專題復(fù)習課上，劉老師先引導學生解決了以下問題：【問題解決】上述問題情境中，“①”處應(yīng)填：________；“②”處應(yīng)填：________；“③”處應(yīng)填：________；劉老師進一步談到：圖形的變化強調(diào)從運動變化的觀點來研究，只要我們抓住了變化中的不變量，就能以不變應(yīng)萬變．請你從中任選一種方法進行證明．15．（2425七年級下·安徽宿州·階段練習）閱讀下列學習內(nèi)容：則由探究結(jié)果可知，圖中線段、、之間的數(shù)量關(guān)系為________．16.（2024·四川樂山·中考真題