第40講2023屆高三數(shù)學(xué)新高考一卷考前模擬五一、單選題1．已知全集，，，則有A． B．C． D．【答案】A【分析】解指數(shù)不等式求得集合，進(jìn)而驗(yàn)證選項(xiàng)即可.【詳解】依題意，∵，∴，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查集合的關(guān)系與運(yùn)算，考查指數(shù)不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.2．已知，則的虛部是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡，由共軛復(fù)數(shù)定義得到，由虛部定義得到結(jié)果.【詳解】，，的虛部為.故選：D.3．已知，，則“”是“”成立的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】先化簡，然后判斷其充分性與必要性即可.【詳解】先化簡，構(gòu)造函數(shù)，所以有，顯然在單調(diào)遞增，所以；又因?yàn)椋?，所以由“”不能得出“”，由“”可得出“”，故“”是“”成立的必要不充分條件.故選：B4．2019年10月1日在慶祝中華人民共和國成立70周年大閱兵的徒步方隊中，被譽(yù)為“最強(qiáng)大腦”的院?？蒲蟹疥犼爢T分別由軍事科學(xué)院、國防大學(xué)、國防科技大學(xué)三所院校聯(lián)合抽組，已知軍事科學(xué)學(xué)院的甲、乙、丙三名同學(xué)被選上的概率分別為，，，這三名同學(xué)中至少有一名同學(xué)被選上的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出其對立事件“三名同學(xué)都沒有被選上”的概率即可得解.【詳解】由題：三名同學(xué)都沒有被選上的概率為，所以這三名同學(xué)中至少有一名同學(xué)被選上的概率為.故選：C【點(diǎn)睛】此題考查求獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率，涉及利用對立事件的概率關(guān)系求解概率，當(dāng)正面求解概率分類較多的時候可以考慮利用對立事件求概率.5．在中，角，，所對的邊分別為，，，若，，成等差數(shù)列，且，則邊上中線長的最小值是（

）A．2 B．4 C． D．【答案】C【解析】根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)，結(jié)合正弦定理化簡可得，設(shè)中點(diǎn)為D，再利用平面向量的線性運(yùn)算可得，再平方利用基本不等式求解即可.【詳解】，，成等差數(shù)列，，根據(jù)正弦定理有，，又，，可得，設(shè)中點(diǎn)為D，則邊上中線長為，平方可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故的最小值為12，即邊上中線長的最小值為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理邊角互化的運(yùn)用，同時也考查了利用基本不等式求最值的問題，同時在處理三角形中線的時候可以用平面向量表示從而簡化計算，屬于中檔題.6．函數(shù)的圖象如圖所示，為了得到的圖象，只需把的圖象上所有點(diǎn)（

）A．向右平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個長度單位 D．向左平移個長度單位【答案】A【解析】利用圖象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊點(diǎn)求出，從而確定解析式，再利用誘導(dǎo)公式與平移變換法則求解即可.【詳解】由圖可知周期滿足，故，∴，，，∴，即，所以將向右平移個單位，得到.故選：A.【點(diǎn)睛】由圖象求三角函數(shù)解析的方法：利用最值求出,利用圖象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊點(diǎn)求出，正確求是解題的關(guān)鍵.求解析時求參數(shù)是確定函數(shù)解析式的關(guān)鍵，由特殊點(diǎn)求時，一定要分清特殊點(diǎn)是“五點(diǎn)法”的第幾個點(diǎn).7．已知函數(shù)，其中，則在上有解的概率為（）A． B． C． D．0【答案】A【分析】由題意知本題是一個古典概型的概率,試驗(yàn)發(fā)生所包含的事件數(shù)是種結(jié)果,根據(jù)所給的的不同的值,列舉出有解的情況,得到概率.【詳解】由題意知本題是一個等可能事件的概率,試驗(yàn)發(fā)生所包含的事件數(shù)是種結(jié)果,當(dāng)時,,即,在無解；當(dāng),時,,即,即,在上有解；當(dāng)時,,即,在上無解；當(dāng),時,,即,在上有解,綜上可知有兩個有解,要求的概率是故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率公式,屬于中檔題.本題解題的關(guān)鍵是對于a,b的不同的值代入進(jìn)行檢驗(yàn),判斷有無解,這里的運(yùn)算比較繁瑣,需要認(rèn)真做題.8．定義，函數(shù)的圖象與軸有兩個不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的是（）A．或 B．或C．或 D．或【答案】A【分析】利用定義得解析式，可看作的圖象是由的圖象平移得到的，畫出的圖象，結(jié)合圖象可得答案.【詳解】由定義可得，的圖象是由的圖象平移得到的，的圖象與軸要有兩個不同的交點(diǎn)，結(jié)合圖象可得，或.故選：A.二、多選題9．2020年3月，為促進(jìn)疫情后復(fù)工復(fù)產(chǎn)期間安全生產(chǎn)，某醫(yī)院派出甲、乙、丙、丁4名醫(yī)生到，，三家企業(yè)開展“新冠肺炎”防護(hù)排查工作，每名醫(yī)生只能到一家企業(yè)工作，則下列結(jié)論正確的是（

）A．所有不同分派方案共種B．若每家企業(yè)至少分派1名醫(yī)生，則所有不同分派方案共36種C．若每家企業(yè)至少分派1名醫(yī)生，且醫(yī)生甲必須到企業(yè)，則所有不同分派方案共12種D．若企業(yè)最多派1名醫(yī)生，則所有不同分派方案共32種【答案】BC【分析】對于選項(xiàng)A：利用分步計數(shù)原理求解判斷；對于選項(xiàng)B：按1，1，2分組求解判斷；對于選項(xiàng)C：根據(jù)每家企業(yè)至少分派1名醫(yī)生，且醫(yī)生甲必須到企業(yè)，分A企業(yè)分2人和1人兩類求解判斷；對于選項(xiàng)D：分企業(yè)沒有派醫(yī)生去和派1名醫(yī)生兩類求解判斷.【詳解】對于選項(xiàng)A：所有不同分派方案共有34種，故錯誤；對于選項(xiàng)B：若每家企業(yè)至少分派1名醫(yī)生，則有種，故正確；對于選項(xiàng)C：若每家企業(yè)至少分派1名醫(yī)生，且醫(yī)生甲必須到企業(yè)，若A企業(yè)分2人，則有種；若A企業(yè)分1人，則有種，所以共有種，故正確；對于選項(xiàng)D：若企業(yè)沒有派醫(yī)生去，每名醫(yī)生有2種選擇，則共有種，若企業(yè)派1名醫(yī)生則有種，所以共有種，故錯誤；故選：BC．10．函數(shù)的圖象如圖所示，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，下列不等式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可對比切線斜率得到，將看作過和的割線的斜率，由圖象可得斜率的大小關(guān)系，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】由圖象可知，在x=2處的切線斜率大于在x=3處的切線斜率，且斜率為正，，，可看作過和的割線的斜率，由圖象可知，，故選：AB11．如圖，已知二面角的棱上有不同兩點(diǎn)和，若，，，，則（

）A．直線和直線為異面直線B．若，則四面體體積的最大值為2C．若，，，，，，則二面角的大小為D．若二面角的大小為，，，，則過、、、四點(diǎn)的球的表面積為【答案】ACD【分析】由異面直線的定義可判斷A；面且，此時四面體體積的最大值，求出即可判斷B；在平面內(nèi)過A作BD的平行線AE，且使得，連接，四邊形是一個矩形，是二面角的一個平面角，由余弦定理求出即可判斷C；取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，易知是二面角的一個平面角，則，過作平面的垂線和平面的垂線，交于點(diǎn)，即為外接球球心，求出，即可求出，可判斷D.【詳解】對于A，由異面直線的定義知A正確；對于B，要求四面體體積的最大值，則面且，此時四面體體積的最大值：,故B不正確；對于C，在平面內(nèi)過A作BD的平行線AE，且使得，連接，四邊形是一個矩形，是二面角的一個平面角，且面AEC，所以面AEC，從而.在中，由余弦定理可知：所以.故C正確；對于D，因?yàn)槎娼堑拇笮椋?，，，如下圖，所以平面與平面所成角的大小為，，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，為△△的外心，取的中點(diǎn)，連接，則所以是二面角的一個平面角，則，過作平面的垂線和過作平面的垂線，交于點(diǎn)，即為外接球球心，所以面，面，連接，，所以易證得：與全等，所以，所以在直角三角形，，，則過、、、四點(diǎn)的球的表面積為.故D正確.故選：ACD12．關(guān)于圓錐曲線下列敘述中正確的有（

）A．過雙曲線的右焦點(diǎn)且被雙曲線截得的弦長為10的直線共有3條B．設(shè)是兩個定點(diǎn)，k是非零常數(shù)，若，則動點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的一支C．雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)D．以過拋物線的焦點(diǎn)的一條弦為直徑作圓，則該圓與拋物線的準(zhǔn)線相切【答案】ACD【分析】求出雙曲線的通徑及實(shí)軸長判斷A；利用雙曲線定義判斷B；求出雙曲線、橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)判斷C；利用拋物線的定義判斷D作答.【詳解】對于A，雙曲線的實(shí)軸長為10，則過該雙曲線的右焦點(diǎn)與兩支相交的直線被雙曲線所截弦長為10的直線只有1條，雙曲線的通徑長為，則過該雙曲線的右焦點(diǎn)與一支相交的直線被雙曲線所截弦長為10的直線有2條，因此過雙曲線的右焦點(diǎn)且被雙曲線截得的弦長為10的直線共有3條，A正確；對于B，當(dāng)時，動點(diǎn)P的軌跡是一條射線，當(dāng)時，動點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的一支，B不正確；對于C，雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，C正確；對于D，不妨令拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)P，Q作準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為，如圖，令線段的中點(diǎn)為M，過點(diǎn)M作于，因此線段是直角梯形的中位線，則，即以線段為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，D正確.故選：ACD三、填空題13．已知函數(shù)，若過點(diǎn)存在三條直線與曲線相切，則的取值范圍為___________．【答案】【分析】設(shè)過M的切線切點(diǎn)為，求出切線方程，參變分離得，令，則原問題等價于y=g(x)與y=-m-2的圖像有三個交點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究g(x)的圖像即可求出m的范圍．【詳解】，設(shè)過點(diǎn)的直線與曲線相切于點(diǎn)，則，化簡得，，令，則過點(diǎn)存在三條直線與曲線相切等價于y=g(x)與y=-m-2的圖像有三個交點(diǎn)．∵，故當(dāng)x<0或x>1時，，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)0<x<1時，，g(x)單調(diào)遞減，又，，∴g(x)如圖，∴-2<-m-2<0，即．故答案為：﹒14．的展開式中的系數(shù)為__________．【答案】【分析】先求出的展開式的通項(xiàng)公式進(jìn)而結(jié)合多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)公式為，因此的展開式中的系數(shù)，故答案為：.15．下面這道填空題，由于一些原因造成橫線上的內(nèi)容無法認(rèn)清，現(xiàn)知結(jié)論，請在橫線上填寫原題的一個條件，題目：已知、均為銳角，且，______，則.【答案】【分析】注意到，將已知條件代入上式，求得的值，由此得出正確結(jié)論.【詳解】，，，，解得.故答案為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查兩角和的余弦公式，考查三角恒等變換，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.16．已知空間四面體中，，且四面體的外接球的表面積為，如果，則________．【答案】【詳解】試題分析：由題意得，四面體的外接球球心為線段中點(diǎn)與線段中點(diǎn)連線的中點(diǎn)，設(shè)外接球半徑為則,因此考點(diǎn)：四面體外接球【名師點(diǎn)睛】1.解答本題的關(guān)鍵是確定球心、圓錐底面圓心與兩圓錐頂點(diǎn)之間的關(guān)系，這需要根據(jù)球的對稱性及幾何體的形狀來確定．2．與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點(diǎn)”、“接點(diǎn)”作出截面圖，把空間問題化歸為平面問題．四、解答題17．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且；數(shù)列為等差數(shù)列，且，（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）若，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：【答案】（I）；（II）證明見解析.【分析】（I）將代入，求得；當(dāng)且時，利用可整理得，知為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求得結(jié)果；（II）利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求得，從而得到；利用錯位相減法求，可求得，進(jìn)而證得結(jié)論.【詳解】（I）由得：當(dāng)時，，又

當(dāng)且時，，即：

是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列（II）數(shù)列為等差數(shù)列

則整理可得：

，

【點(diǎn)睛】本題考查利用通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系求解數(shù)列的通項(xiàng)、等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、錯位相減法求解數(shù)列前項(xiàng)和的問題，考查了數(shù)列知識的綜合應(yīng)用能力，屬于常考題型.18．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，已知，，，(1)求b和的值；(2)求的值．【答案】(1)，(2)【解析】(1)在中，，故由，可得由已知及余弦定理，有，由正弦定理，得(2)由（1）及，得，，故.19．北京時間2022年4月16日09時56分，神舟十三號載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場成功著陸，神舟十三號載人飛行任務(wù)取得成圓滿成功.某校為了解本校學(xué)生對此新聞事件的關(guān)注度，從本校學(xué)生中隨機(jī)抽取了200名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查樣本中有80名女生.根據(jù)樣本的調(diào)查結(jié)果繪制成如圖所示的等高堆積條形圖.關(guān)注不關(guān)注合計男生女生合計(1)完成上面的2×2列聯(lián)表，并判斷能否有99.9%的把握認(rèn)為學(xué)生是否關(guān)注“神舟十三號飛船成功著陸”新聞事件與性別有關(guān).(2)從這200名學(xué)生里對“神舟十三號飛船成功著陸”新聞事件不關(guān)注的學(xué)生中，按性別采用分層抽樣的方法抽取6名學(xué)生，再從這6名學(xué)生中隨機(jī)選取2人參與該新聞事件的學(xué)習(xí).求這2名學(xué)生不全是男生的概率.附：，其中.0.0500.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828【答案】(1)答案見解析；(2)【分析】（1）利用條形圖進(jìn)行完成列聯(lián)表，根據(jù)所給的卡方公式，結(jié)合臨界值進(jìn)行求解判斷即可.（2）根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)，結(jié)合古典概型計算公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）女生中關(guān)注該新聞事件的人數(shù)為，不關(guān)注的女生人數(shù)為，男生中關(guān)注該新聞事件的人數(shù)為，不關(guān)注的男生人數(shù)為，列聯(lián)表如下：關(guān)注不關(guān)注合計男生6060120女生206080合計80120200因?yàn)?，所以有99.9%的把握認(rèn)為學(xué)生是否關(guān)注“神舟十三號飛船成功著陸”新聞事件與性別有關(guān)；（2）因?yàn)樵诓魂P(guān)注該新聞事件中男生與女生的人數(shù)一樣多，所以這6人中男生與女生的人數(shù)也相同，因此這6名學(xué)生中隨機(jī)選取2人參與該新聞事件的學(xué)習(xí).求這2名學(xué)生不全是男生的概率：.20．如圖，三棱柱的側(cè)棱⊥底面，，E是棱的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，.（1）求證：CF∥平面；（2）求三棱錐的高．【答案】(1)見證明；(2)【分析】(1)取的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，根據(jù)平行四邊形得到線線平行，進(jìn)而得到線面平行；（2）根據(jù)等體積轉(zhuǎn)化得到，進(jìn)而求解.【詳解】（1）取的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G．∵F，G分別是AB，的中點(diǎn)，∴，.∵E為側(cè)棱的中點(diǎn)，∴，∴四邊形FGEC是平行四邊形，∴，∵CF?平面，EG?平面，∴CF∥平面.（2）∵三棱柱的側(cè)棱⊥底面ABC，，∴⊥平面ABC．∵AC?平面ABC，∴，∵，∴，∵平面平面，∴AC⊥平面，∵平面，∴，∴.∵，∴.∵，∴三棱錐的高為.【點(diǎn)睛】這個題目考查了線面平行的證明，以及點(diǎn)面距離的求法，一般證明線面平行是從線線平行入手，通過構(gòu)造平行四邊形，三角形中位線，梯形底邊等，找到線線平行，再證線面平行．21．已知橢圓的長軸長為4，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，為中點(diǎn)，連接并延長交橢圓于點(diǎn)，記直線和的斜率為分別為和，且.(1)求橢圓方程；(2)是否存在點(diǎn)P，使得為直角？若存在，求的面積，否則，說明理由.【答案】(1)；(2)不存在.【分析】（1）設(shè)直線AB的方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，求出直線OP的斜率即可計算作答.（2）結(jié)合（1）求出直線PQ的方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，進(jìn)而求出，再判斷計算作答.