第26講余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例1.C[解析]設(shè)一小時(shí)后,甲船到達(dá)C處,則AC=4,BC=6.設(shè)一小時(shí)后,乙船到達(dá)D處,則BD=6,如圖所示,因?yàn)镈在B的北偏東60°方向上,所以∠DBC=120°.又BC=BD,所以∠BCD=30°,即此時(shí)乙船在甲船的北偏東30°方向上,甲船在乙船的南偏西30°方向上.故選C.2.A[解析]設(shè)塔底為C,塔頂為D,過點(diǎn)A作CD的垂線,交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)B,則易得BD=AB·tan30°=BCtan60°·tan30°=2003×33=2003(m),所以CD=BC-BD=200-2003=3.A[解析]求A,B間的距離即求c的值.對(duì)于①,利用三角形的內(nèi)角和定理先求出角B,再利用正弦定理bsinB=csinC,解出c,c的值是唯一的;對(duì)于②,直接利用余弦定理cosC=a2+b2-c22ab,即可解出c,c的值是唯一的;對(duì)于③,利用正弦定理asinA=bsinB求出b,再利用余弦定理可求出c,c的值是唯一的;對(duì)于④,利用正弦定理asinA=bsinB,求角A,當(dāng)a>b,且sinA=asinBb<4.A[解析]由題意知∠AQB=45°,∠CQD=60°且AB=50m,因?yàn)樵贏處測(cè)得泰姬陵頂端C處的仰角為15°,所以∠CAQ=60°,則∠ACQ=45°,AQ=502m,則CQsin60°=AQsin45°,所以CQ=50222×32=503(m),故5.C[解析]根據(jù)題意,將各個(gè)位置的點(diǎn)表示出來,如圖所示.由圖可得,∠ACB=30°+15°=45°,∠CAB=180°-15°-60°=105°,∠ABC=180°-105°-45°=30°.在△ABC中,由正弦定理得AB=ACsin45°sin30°=2AC,所以BD=ABsin60°=AC×62≈24.5×2.6.C[解析]如圖,設(shè)甲最快在點(diǎn)C用ts捕獲乙,則AC=103tm,BC=102tm.由題意得B=180°-75°+15°=120°,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB,即3t2=2500(8-43)+2t2+50(23-2)t,即t2+(100-1003)t-10000(2-3)=(t-100)[t+100(2-3)]=0,解得t=100或t=-100(2-3)(舍去).故選C.7.ACD[解析]對(duì)于A,在△BCD中,利用三角形的內(nèi)角和為180°可求得∠CBD=π-∠BDC-∠BCD,再利用正弦定理ssin∠CBD=BCsin∠BDC,可求得BC,在△ABC中,AB⊥BC,則由tan∠ACB=ABBC,即可求得AB,故A正確;對(duì)于B,在△BCD中,已知s,∠BCD,無法解出此三角形,在△ABC中,已知∠ABC=90°,∠ACB,無法解出此三角形,在△ACD中,已知s,∠ACD,無法解出此三角形,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,在△ACD中,已知s,∠ACD,∠ADC,由三角形的內(nèi)角和為180°可求得∠CAD,由正弦定理可求得AC,在△ABC中,已知∠ACB,∠ABC=90°,利用sin∠ACB=ABAC,即可求得AB,故C正確;對(duì)于D,在△ABC中,已知∠ABC=90°,∠ACB,由tan∠ACB=ABBC,可用AB表示BC,由sin∠ACB=ABAC,可用AB表示AC,在△ACD中,已知∠ADC,s,用AB表示的AC,則利用余弦定理可用AB表示AD,在Rt△ABD中,利用勾股定理可用AB表示BD,在△BCD中,已知∠BCD,s,用AB表示的BD,用AB表示的BC,利用余弦定理可建立關(guān)于AB的方程,即可求解AB8.AD[解析]如圖,連接A1B2,依題意得,A1A2=25×1260=5(海里),因?yàn)锽2A2=5海里,∠A1A2B2=60°,所以△A1A2B2是正三角形,則∠A2A1B2=60°,A1B2=5海里.在△A1B1B2中,∠B1A1B2=45°,A1B1=52海里,由余弦定理得B1B2=A(52)2+52-2×52×5×22=5(海里),所以∠A1B1B2=45°,所以乙船的行駛速度是51260=25(海里/時(shí)),A正確,B不正確.延長(zhǎng)B1B2,使之與A1A2的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)O,顯然有∠A1B2B1=90°,即A1B2⊥OB1,OA1=10海里,OB2=53海里,OB1=5(3+1)海里,則甲船從出發(fā)到點(diǎn)O用了1025=25(小時(shí)),乙船從出發(fā)到點(diǎn)O用了5(3+1)25=9.1006[解析]由題意知,BC=CDtan30°=3CD,在△ABC中,∠BAC=30°,∠CBA=105°,則∠ACB=45°.在△ABC中,利用正弦定理有ABsin45°=3CDsin30°10.1.5[解析]如圖,記剛開始時(shí),甲在A點(diǎn),乙在B點(diǎn),設(shè)甲、乙相遇的地點(diǎn)是C,時(shí)間為ts,易得AB=10m,∠ABC=120°,AC=10t,BC=5t,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC,即100t2=100+25t2-2×10×5tcos120°,整理得3t2-2t-4=0,解得t=1+133或1-133(舍去),所以t=1+11.5010[解析]由題意得MM1=100,NN1=50,∠MPM1=30°,∠NPN1=45°,∠MPN=45°,在Rt△MPM1中,MP=2MM1=200,在Rt△NPN1中,NP=2NN1=502,在△MNP中,由余弦定理得MN2=MP2+NP2-2MP·NPcos∠MPN=2002+(502)2-2×200×502×22=25000,故MN=501012.12[解析]如圖,設(shè)O為樓腳,OP為樓高,直線AC為公路,則OP=60,∠OAP=45°,所以O(shè)A=60,又因?yàn)椤螼BP=45°,所以O(shè)B=60,所以O(shè)A=AB=OB=60,所以∠OBA=60°,所以∠OBC=120°.又因?yàn)锽C=60,所以在△OBC中,OC2=BC2+OB2-2BC·OBcos∠OBC=602+602-2×60×60×-12=10800,所以O(shè)C=603,故tanθ=POOC=60603=33,所以θ=13.解:(1)由題意知,在△ABC中,∠ABC=180°-70°+10°=120°,AB=(3-1)km,BC=2km,根據(jù)余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB×BC×cos∠ABC=(3-1)2+4+2(3-1)=6,所以AC=6km.(2)根據(jù)正弦定理可得ACsin∠ABC=即sin∠CAB=BCACsin∠ABC=2×326=又BC<AC,0°<∠CAB<180°,所以∠CAB=45°.所以應(yīng)沿北偏東25°的方向航行即可到達(dá)C處.14.解:(1)由題意設(shè)AC=xm,則BC=(x-40)m.在△ABC中,由余弦定理得BC2=B