§7.3空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系課標(biāo)要求1.借助長方體，在直觀認(rèn)識(shí)空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的定義.2.了解四個(gè)基本事實(shí)和一個(gè)定理，并能應(yīng)用定理解決問題．知識(shí)梳理1．基本事實(shí)1：過不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．基本事實(shí)2：如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)．基本事實(shí)3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線．基本事實(shí)4：平行于同一條直線的兩條直線平行．2．“三個(gè)”推論推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面．推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面．3．空間中直線與直線的位置關(guān)系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(相交直線：在同一平面內(nèi)，有且只有,一個(gè)公共點(diǎn)；,平行直線：在同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；)),異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn).))4．空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系圖形語言符號(hào)語言公共點(diǎn)直線與平面相交a∩α＝A1個(gè)平行a∥α0個(gè)在平面內(nèi)a?α無數(shù)個(gè)平面與平面平行α∥β0個(gè)相交α∩β＝l無數(shù)個(gè)5.等角定理如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．6．異面直線所成的角(1)定義：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O分別作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線a′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．(2)范圍：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).常用結(jié)論1．過平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，與平面內(nèi)不過該點(diǎn)的直線是異面直線．2．分別在兩個(gè)平行平面內(nèi)的直線平行或異面．自主診斷1．判斷下列結(jié)論是否正確．(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)沒有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線．(×)(2)直線與平面的位置關(guān)系有平行、垂直兩種．(×)(3)如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合．(×)(4)兩兩相交的三條直線共面．(×)2．(必修第二冊(cè)P147例1改編)已知正方體ABCD－A1B1C1D1，直線BD1與直線AA1所成角的余弦值是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(\r(6),3) D.eq\f(\r(3),3)答案D解析連接BD(圖略)，由于AA1∥DD1，所以∠DD1B即為直線BD1與直線AA1所成的角，不妨設(shè)正方體的棱長為a，則BD＝eq\r(2)a，BD1＝eq\r(D1D2＋BD2)＝eq\r(3)a，所以cos∠DD1B＝eq\f(DD1,D1B)＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3).3．在空間四邊形ABCD各邊AB，BC，CD，DA上分別取E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)，如果EF，GH相交于點(diǎn)P，那么()A．點(diǎn)P必在直線AC上B．點(diǎn)P必在直線BD上C．點(diǎn)P必在平面DBC內(nèi)D．點(diǎn)P必在平面ABC外答案A解析如圖，因?yàn)镋F?平面ABC，而GH?平面ADC，且EF和GH相交于點(diǎn)P，所以點(diǎn)P在兩平面的交線上，因?yàn)锳C是兩平面的交線，所以點(diǎn)P必在直線AC上．4.如圖，在三棱錐A－BCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，則：(1)當(dāng)AC，BD滿足條件________時(shí)，四邊形EFGH為菱形；(2)當(dāng)AC，BD滿足條件________時(shí)，四邊形EFGH為正方形．答案(1)AC＝BD(2)AC＝BD且AC⊥BD解析(1)由題意知，EF∥AC，EH∥BD，且EF＝eq\f(1,2)AC，EH＝eq\f(1,2)BD，∵四邊形EFGH為菱形，∴EF＝EH，∴AC＝BD.(2)∵四邊形EFGH為正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH，∴AC＝BD且AC⊥BD.題型一基本事實(shí)的應(yīng)用例1已知在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1C1，C1B1的中點(diǎn)，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求證：(1)D，B，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面；(2)若A1C交平面DBFE于點(diǎn)R，則P，Q，R三點(diǎn)共線；(3)DE，BF，CC1三線交于一點(diǎn)．證明(1)如圖所示，連接B1D1.因?yàn)镋F是△C1D1B1的中位線，所以EF∥B1D1.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD確定一個(gè)平面，即D，B，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面．(2)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，連接A1C，設(shè)A1，C，C1確定的平面為α，又設(shè)平面BDEF為β.因?yàn)镼∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β，所以Q是α與β的公共點(diǎn)，同理，P是α與β的公共點(diǎn)．所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.則R∈PQ，故P，Q，R三點(diǎn)共線．(3)因?yàn)镋F∥BD且EF<BD，所以DE與BF相交，設(shè)交點(diǎn)為M，則由M∈DE，DE?平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1，同理，M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，所以M∈CC1.所以DE，BF，CC1三線交于一點(diǎn)．思維升華共面、共線、共點(diǎn)問題的證明(1)共面：先確定一個(gè)平面，然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi)．(2)共線：先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上．(3)共點(diǎn)：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過該點(diǎn)．跟蹤訓(xùn)練1在如圖所示的空間幾何體中，四邊形ABEF與ABCD都是梯形，BC∥AD且BC＝eq\f(1,2)AD，BE∥AF且BE＝eq\f(1,2)AF，G，H分別為AF，F(xiàn)D的中點(diǎn)．(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；(2)C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)是否共面？為什么？(1)證明由題設(shè)知，因?yàn)镚，H分別為AF，F(xiàn)D的中點(diǎn)，所以GH∥AD且GH＝eq\f(1,2)AD，又BC∥AD且BC＝eq\f(1,2)AD，故GH∥BC且GH＝BC，所以四邊形BCHG是平行四邊形．(2)解C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面．理由如下：由BE∥AF且BE＝eq\f(1,2)AF，G是AF的中點(diǎn)知BE∥GF且BE＝GF，所以四邊形EFGB是平行四邊形，所以EF∥BG.由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH.故EC，F(xiàn)H共面．又點(diǎn)D在直線FH上，所以C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面．題型二空間位置關(guān)系的判斷例2(1)(多選)下列推斷中，正確的是()A．M∈α，M∈β，α∩β＝l?M∈lB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝ABC．l?α，A∈l?A?αD．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共線?α，β重合答案ABD解析對(duì)于A，因?yàn)镸∈α，M∈β，α∩β＝l，由基本事實(shí)3可知M∈l，故A正確；對(duì)于B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，故直線AB?α，AB?β，即α∩β＝AB，故B正確；對(duì)于C，若l∩α＝A，則有l(wèi)?α，A∈l，但A∈α，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，有三個(gè)不共線的點(diǎn)在平面α，β中，α，β重合，故D正確．(2)(2023·龍巖模擬)若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關(guān)系是()A．異面或平行 B．異面或相交C．異面 D．相交、平行或異面答案D解析如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，①若直線AA1記為直線a，直線BC記為直線b，直線B1A1記為直線c，此時(shí)a和c相交；②若直線AA1記為直線a，直線BC記為直線b，直線DD1記為直線c，此時(shí)a和c平行；③若直線AA1記為直線a，直線BC記為直線b，直線C1D1記為直線c，此時(shí)a和c異面．思維升華判斷空間直線的位置關(guān)系一般有兩種方法：一是構(gòu)造幾何體(如長方體、空間四邊形等)模型來判斷．二是排除法．特別地，對(duì)于異面直線的判定常用到結(jié)論：“平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點(diǎn)B的直線是異面直線．”跟蹤訓(xùn)練2(1)空間中有三條線段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直線AB與CD的位置關(guān)系是()A．平行B．異面C．相交或平行D．平行或異面或相交均有可能答案D解析根據(jù)條件作出示意圖，容易得到以下三種情況，由圖可知AB與CD有相交、平行、異面三種情況．(2)(多選)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點(diǎn)，以下四個(gè)選項(xiàng)正確的是()A．直線AM與CC1是相交直線B．直線AM與BN是平行直線C．直線BN與MB1是異面直線D．直線AM與DD1是異面直線答案CD解析因?yàn)辄c(diǎn)A在平面CDD1C1外，點(diǎn)M在平面CDD1C1內(nèi)，直線CC1在平面CDD1C1內(nèi)，CC1不過點(diǎn)M，所以直線AM與CC1是異面直線，故A錯(cuò)誤；取DD1的中點(diǎn)E，連接AE(圖略)，則BN∥AE，但AE與AM相交，所以AM與BN不平行，故B錯(cuò)誤；因?yàn)辄c(diǎn)B1與直線BN都在平面BCC1B1內(nèi)，點(diǎn)M在平面BCC1B1外，BN不過點(diǎn)B1，所以BN與MB1是異面直線，故C正確；同理D正確．題型三異面直線所成的角例3(1)如圖，圓柱的軸截面ABCD為正方形，E為弧BC的中點(diǎn)，則異面直線AE與BC所成角的余弦值為()A.eq\f(\r(3),3)B.eq\f(\r(5),5)C.eq\f(\r(30),6)D.eq\f(\r(6),6)答案D解析如圖，過點(diǎn)E作圓柱的母線交下底面于點(diǎn)F，連接AF，易知F為的中點(diǎn)，設(shè)四邊形ABCD的邊長為2，則EF＝2，AF＝eq\r(2)，所以AE＝eq\r(22＋\r(2)2)＝eq\r(6).連接ED，則ED＝eq\r(6).因?yàn)锽C∥AD，所以異面直線AE與BC所成的角即為∠EAD(或其補(bǔ)角)．在△EAD中，cos∠EAD＝eq\f(6＋4－6,2×2×\r(6))＝eq\f(\r(6),6).所以異面直線AE與BC所成角的余弦值為eq\f(\r(6),6).(2)四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，PA⊥底面ABCD，異面直線AC與PD所成角的余弦值為eq\f(\r(10),5)，則四棱錐外接球的表面積為()A．48πB．12πC．36πD．9π答案D解析如圖，將其補(bǔ)成長方體．設(shè)PA＝x，x>0，連接AB1，B1C，則異面直線AC與PD所成的角就是∠ACB1或其補(bǔ)角．則cos∠ACB1＝eq\f(\r(10),5)＝eq\f(8＋x2＋4－x2－4,2×2\r(2)×\r(x2＋22))，解得x＝1(舍去負(fù)值)，所以外接球的半徑為eq\f(1,2)×eq\r(12＋22＋22)＝eq\f(3,2)，所以該四棱錐外接球的表面積為4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2＝9π.思維升華異面直線所成角的求法方法解讀平移法將異面直線中的某一條平移，使其與另一條相交，一般采用圖中已有的平行線或者作平行線，形成三角形求解補(bǔ)形法在該幾何體的某側(cè)補(bǔ)接上一個(gè)幾何體，在這兩個(gè)幾何體中找異面直線相應(yīng)的位置，形成三角形求解跟蹤訓(xùn)練3(1)(2023·莆田模擬)若正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面邊長為1，高為eq\r(6)，則直線AE1和EF所成角的大小為()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(π,2)答案C解析如圖所示，EF∥E1F1，則∠AE1F1即為所求．∵AF＝EF＝1，EE1＝eq\r(6)，且∠AFE＝eq\f(2π,3)，∴AE＝eq\r(AF2＋EF2－2AF·EF·cos

\f(2π,3))＝eq\r(3)，∴AE1＝eq\r(AE2＋EE\o\al(2,1))＝3，AF1＝eq\r(AF2＋FF\o\al(2,1))＝eq\r(7)，∴cos∠AE1F1＝eq\f(AE\o\al(2,1)＋E1F\o\al(2,1)－AF\o\al(2,1),2AE1·E1F1)＝eq\f(9＋1－7,2×3×1)＝eq\f(1,2)，∴∠AE1F1＝eq\f(π,3)，即直線AE1和EF所成角的大小為eq\f(π,3).(2)平面α過正方體ABCD－A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，則m，n所成角的正弦值為()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(1,3)答案A解析如圖所示，過點(diǎn)A補(bǔ)作一個(gè)與正方體ABCD－A1B1C1D1相同棱長的正方體，易知平面α為平面AF1E，則m，n所成的角為∠EAF1.∵△AF1E為正三角形，∴sin∠EAF1＝sin60°＝eq\f(\r(3),2).課時(shí)精練一、單項(xiàng)選擇題1．(2023·蕪湖模擬)下列說法正確的是()A．三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面B．一條直線和一個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面C．四邊形是平面圖形D．兩條相交直線可以確定一個(gè)平面答案D解析對(duì)于A，不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)可以確定一個(gè)平面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，空間四邊形不是平面圖形，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由基本事實(shí)(公理)推論可知，經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面，故D正確．2．已知空間中不過同一點(diǎn)的三條直線l，m，n.“l(fā)，m，n共面”是“l(fā)，m，n兩兩相交”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案B解析由m，n，l在同一平面內(nèi)，可能有m，n，l兩兩平行，所以m，n，l可能沒有公共點(diǎn)，所以不能推出m，n，l兩兩相交．由m，n，l兩兩相交且m，n，l不經(jīng)過同一點(diǎn)，可設(shè)l∩m＝A，l∩n＝B，m∩n＝C，且A?n，所以點(diǎn)A和直線n確定平面α，而B，C∈n，所以B，C∈α，所以l，m?α，所以m，n，l在同一平面內(nèi)．3．已知平面α∩平面β＝l，點(diǎn)A，C∈α，點(diǎn)B∈β，且B?l，又AC∩l＝M，過A，B，C三點(diǎn)確定的平面為γ，則β∩γ是()A．直線CM B．直線BMC．直線AB D．直線BC答案B解析已知過A，B，C三點(diǎn)確定的平面為γ，則AC?γ.又AC∩l＝M，則M∈γ，又平面α∩平面β＝l，則l?α，l?β，又因?yàn)锳C∩l＝M，所以M∈β，因?yàn)锽∈β，B∈γ，所以β∩γ＝BM.4．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，則()A．B1D與A1E相交，且B1D＝A1EB．B1D與A1E相交，且B1D≠A1EC．B1D與A1E是異面直線，且B1D＝A1ED．B1D與A1E是異面直線，且B1D≠A1E答案D解析如圖所示，因?yàn)锳1E∩平面AA1B1B＝A1，B1D?平面AA1B1B，A1?B1D，所以B1D與A1E是異面直線，B1D＝eq\r(BB\o\al(2,1)＋\f(1,4)AB2)，A1E＝eq\r(AA\o\al(2,1)＋\f(1,4)AC2).因?yàn)锳A1＝BB1，AB≠AC，所以B1D≠A1E.5．(2021·全國乙卷)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為B1D1的中點(diǎn)，則直線PB與AD1所成的角為()A.eq\f(π,2)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,6)答案D解析方法一如圖，連接C1P，因?yàn)锳BCD－A1B1C1D1是正方體，且P為B1D1的中點(diǎn)，所以C1P⊥B1D1，又C1P⊥BB1，BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1?平面B1BD1，所以C1P⊥平面B1BP.又BP?平面B1BP，所以C1P⊥BP.連接BC1，則AD1∥BC1，所以∠PBC1為直線PB與AD1所成的角．設(shè)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，則在Rt△C1PB中，C1P＝eq\f(1,2)B1D1＝eq\r(2)，BC1＝2eq\r(2)，sin∠PBC1＝eq\f(PC1,BC1)＝eq\f(1,2)，所以∠PBC1＝eq\f(π,6).方法二如圖所示，連接BC1，A1B，A1P，PC1，則易知AD1∥BC1，所以直線PB與AD1所成的角等于直線PB與BC1所成的角(或其補(bǔ)角)．根據(jù)P為正方形A1B1C1D1的對(duì)角線B1D1的中點(diǎn)，易知A1，P，C1三點(diǎn)共線，且P為A1C1的中點(diǎn)．易知A1B＝BC1＝A1C1，所以△A1BC1為等邊三角形，所以∠A1BC1＝eq\f(π,3)，又P為A1C1的中點(diǎn)，所以可得∠PBC1＝eq\f(1,2)∠A1BC1＝eq\f(π,6).6.如圖，圓柱的軸截面為矩形ABCD，點(diǎn)M，N分別在上、下底面圓上，＝2，＝2，AB＝2，BC＝3，則異面直線AM與CN所成角的余弦值為()A.eq\f(3\r(30),10) B.eq\f(3\r(30),20)C.eq\f(\r(3),5) D.eq\f(\r(3),4)答案B解析如圖，在上取點(diǎn)E，使＝2，連接NE，AN，NB，BE，EA.易知四邊形ANBE為矩形，所以NB∥AE，且NB＝AE.連接MN，CM.因?yàn)镸N∥BC，且MN＝BC，所以四邊形MNBC為平行四邊形，所以CM∥NB，且CM＝NB.連接CE，則AE∥CM，且AE＝CM，所以四邊形AECM為平行四邊形，所以AM∥CE，所以∠NCE(或其補(bǔ)角)是異面直線AM與CN所成的角．在Rt△ABN中，＝2，AB＝2，BN＝eq\r(3)，AN＝1，在Rt△BNC中，BC＝3，BN＝eq\r(3)，所以CN＝eq\r(32＋\r(3)2)＝2eq\r(3).在Rt△BCE中，BC＝3，BE＝1，所以CE＝eq\r(32＋12)＝eq\r(10).又NE＝AB＝2，在△NCE中，由余弦定理得cos∠NCE＝eq\f(10＋12－4,2×\r(10)×2\r(3))＝eq\f(3\r(30),20).二、多項(xiàng)選擇題7.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是DB的中點(diǎn)，直線A1C交平面C1BD于點(diǎn)M，則下列結(jié)論正確的是()A．C1，M，O三點(diǎn)共線 B．C1，M，O，C四點(diǎn)共面C．C1，O，B1，B四點(diǎn)共面 D．D1，D，O，M四點(diǎn)共面答案AB解析∵O∈AC，AC?平面ACC1A1，∴O∈平面ACC1A1.∵O∈BD，BD?平面C1BD，∴O∈平面C1BD，∴O是平面ACC1A1和平面C1BD的公共點(diǎn)，同理可得，點(diǎn)M和點(diǎn)C1都是平面ACC1A1和平面C1BD的公共點(diǎn)，∴點(diǎn)C1，M，O在平面C1BD與平面ACC1A1的交線上，即C1，M，O三點(diǎn)共線，故A，B正確；根據(jù)異面直線的判定定理可得BB1與C1O為異面直線，故C1，O，B1，B四點(diǎn)不共面，故C不正確；根據(jù)異面直線的判定定理可得DD1與MO為異面直線，故D1，D，O，M四點(diǎn)不共面，故D不正確．8．(2024·濱州模擬)如圖，矩形ABCD是底面直徑為2，高為1的圓柱OO1的軸截面，四邊形OO1DA繞OO1逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ(0≤θ≤π)到OO1D1A1，則()A．圓柱OO1的側(cè)面積為4πB．當(dāng)0<θ<π時(shí)，異面直線DD1與A1C所成的角為eq\f(π,2)C．當(dāng)θ＝eq\f(π,3)時(shí)，異面直線A1D與OO1所成的角為eq\f(π,4)D．△A1CD面積的最大值為eq\r(3)答案BC解析對(duì)于A，圓柱OO1的側(cè)面積為2π×1×1＝2π，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，如圖，連接D1C，因?yàn)?<θ<π，所以DD1⊥D1C，又DD1⊥A1D1，A1D1∩D1C＝D1，A1D1，D1C?平面A1D1C，所以DD1⊥平面A1D1C，所以DD1⊥A1C，所以異面直線DD1與A1C所成的角為eq\f(π,2)，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)锳1D1∥OO1，所以∠DA1D1就是異面直線A1D與OO1所成的角，因?yàn)椤螪O1D1＝eq\f(π,3)，所以△DO1D1為正三角形，所以DD1＝A1D1＝1，因?yàn)锳1D1⊥DD1，所以∠DA1D1＝eq\f(π,4)，故C正確；對(duì)于D，作D1E⊥DC，垂足為E，連接A1E，所以DC⊥平面A1D1E，所以A1E⊥DC.在Rt△A1D1E中，A1E＝eq\r(A1D\o\al(2,1)＋D1E2)＝eq\r(1＋D1E2)≤eq\r(1＋D1O\o\al(2,1))＝eq\r(2)，＝eq\f(1,2)×DC×A1E≤eq\f(1,2)×2×eq\r(2)＝eq\r(2)，所以()max＝eq\r(2)，故D錯(cuò)誤．三、填空題9．已知α，β是不同的平面，l，m，n是不同的直線，P為空間中一點(diǎn)．若α∩β＝l，m?α，n?β，m∩n＝P，則點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系用符號(hào)表示為________．答案P∈l解析∵m?α，n?β，m∩n＝P，∴P∈α且P∈β，又α∩β＝l，∴點(diǎn)P在直線l上，即P∈l.10．(2023·南陽模擬)如圖，AB和CD是異面直線，AB＝CD＝3，E，F(xiàn)分別為線段AD，BC上的點(diǎn)，且eq\f(AE,ED)＝eq\f(BF,FC)＝eq\f(1,2)，EF＝eq\r(7)，則AB與CD所成角的大小為________．答案60°解析在平面ABD中，過E作EG∥AB，交DB于點(diǎn)G，連接GF，如圖，∵eq\f(AE,ED)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(BG,GD)＝eq\f(1,2)，又eq\f(BF,FC)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(BG,GD)＝eq\f(BF,FC)，則GF∥CD，∴∠EGF(或其補(bǔ)角)即為AB與CD所成的角，在△EGF中，EG＝eq\f(2,3)AB＝2，GF＝eq\f(1,3)CD＝1，EF＝eq\r(7)，∴cos∠EGF＝eq\f(22＋12－\r(7)2,2×2×1)＝－eq\f(1,2)，∴∠EGF＝120°，∴AB與CD所成角的大小為60°.四、解答題11.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝2，AC＝AA1＝4，∠ABC＝90°.(1)求三棱柱ABC－A1B1C1的表面積S；(2)求異面直線A1B與AC所成角的余弦值．解(1)在△ABC中，∵AB＝2，AC＝4，∠ABC＝90°，∴BC＝2eq\r(3)，S△ABC＝eq\f(1,2)AB·BC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3)，∴S＝2S△ABC＋S側(cè)＝4eq\r(3)＋(2＋2eq\r(3)＋4)×4＝24＋12eq\r(3).(2)連接BC1，∵AC∥A1C1，∴∠BA1C1(或其補(bǔ)角)就是異面直線A1B與AC所成的角．∵三棱柱ABC－A1B1C1為直三棱柱，∴側(cè)面均為矩形，∴∠A1AB＝∠C1CB＝90°，∴A1B＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5)，BC1＝eq\r(2\r(3)2＋42)＝2eq\r(7)，又∵A1C1＝AC＝4，∴在△A1BC1中，由余弦定理可得cos∠BA1C1＝eq\f(2\r(5)2＋42－2\r(7)2,2×2\r(5)×4)＝eq\f(\r(5),10)，∴異面直線A1B與AC所成角的余弦值為eq\f(\r(5),10).12.如圖，在四棱錐P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，四邊形ABCD是直角梯形，AD⊥DC，AB∥DC，AB＝2AD＝2CD＝2，點(diǎn)E是PB的中點(diǎn)．(1)線段PA上是否存在一點(diǎn)G，使得點(diǎn)D，C，E，G共面？若存在，請(qǐng)證明，若不存在，請(qǐng)說明理由；(2)若PC＝2，求三棱錐P－ACE的體積．解(1)存在．當(dāng)G為PA的中點(diǎn)時(shí)滿足條件．如圖，連接GE，GD，則GE是△PAB的中位線，所以GE∥AB.又AB∥DC，所以GE∥DC，所以G，E，C，D四點(diǎn)共面．(2)因?yàn)镋是PB的中點(diǎn)，所以V三棱錐P－ACE＝V三棱錐B－ACE＝eq\f(1,2)V三棱錐P－ACB.又S△ABC＝eq\f(1,2)AB·AD＝eq\f(1,2)×2×1＝1，V三棱錐P－ACB＝eq\f(1,3)PC·S△ABC＝eq\f(2,3)，所以V三棱錐P－ACE＝eq\f(1,3).13.(多選)如圖，在棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)P在線段BC1上運(yùn)動(dòng)，則下列判斷中正確的是()A．DP∥平面AB1D1B．三棱錐C－AD1P的體積為定值C．平面PB1D⊥平面ACD1D．異面直線DP與AD1所成角的范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))答案ABC解析對(duì)于A，連接DB，C1D，AB1，D1B1，因?yàn)锽C1∥AD1，BC1?平面AB1D1，AD1?平面AB1D1，所以BC1∥平面AB1D1，因?yàn)镈B∥D1B1，DB?平面A