§10.1計數(shù)原理課標要求1.理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理.2.會用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理分析和解決一些簡單的實際問題．知識梳理兩個計數(shù)原理(1)分類加法計數(shù)原理：完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法．分類加法計數(shù)原理的推廣：完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，……，在第n類方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法．(2)分步乘法計數(shù)原理：完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法．分步乘法計數(shù)原理的推廣：完成一件事需要n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法．自主診斷1．判斷下列結(jié)論是否正確．(請在括號中打“√”或“×”)(1)在分類加法計數(shù)原理中，某兩類不同方案中的方法可以相同．(×)(2)在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事．(√)(3)在分步乘法計數(shù)原理中，只有各步驟都完成后，這件事情才算完成．(√)(4)在分步乘法計數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的．(√)2．(選擇性必修第三冊P11練習(xí)T3改編)已知某公園有4個門，從一個門進，另一個門出，則不同的走法的種數(shù)為()A．16B．13C．12D．10答案C解析將4個門編號為1,2,3,4，從1號門進入后，有3種出門的方式，共3種走法，從2,3,4號門進入，同樣各有3種走法，不同走法共有4×3＝12(種)．3.由于用具簡單、趣味性強，象棋成為流行性極為廣泛的棋藝活動．某棋局的一部分如圖所示，若不考慮這部分以外棋子的影響，且“馬”和“炮”不動，“兵”只能往前走或左右走，每次只能走一格，從“兵”吃掉“馬”的最短路線中隨機選擇一條路線，其中也能把“炮”吃掉的可能路線有()A．10條B．8條C．6條D．4條答案C解析由題意可知，“兵”吃掉“馬”的最短路線需橫走三步，豎走兩步；其中也能把“炮”吃掉的路線可分為兩步：第一步，橫走兩步，豎走一步，有Ceq\o\al(2,3)種走法；第二步，橫走一步，豎走一步，有Ceq\o\al(1,2)種走法．所以所求路線共有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,2)＝6(條)．4．(選擇性必修第三冊P5例3改編)書架的第1層放有4本不同的語文書，第2層放有5本不同的數(shù)學(xué)書，第3層放有6本不同的體育書．從書架上任取1本書，不同的取法種數(shù)為________，從第1,2,3層各取1本書，不同的取法種數(shù)為________．答案15120解析由分類加法計數(shù)原理知，從書架上任取1本書，不同的取法種數(shù)為4＋5＋6＝15.由分步乘法計數(shù)原理知，從1,2,3層各取1本書，不同的取法種數(shù)為4×5×6＝120.題型一分類加法計數(shù)原理例1(1)某同學(xué)有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋友，每位朋友一本，則不同的贈送方法共有()A．4種B．10種C．18種D．20種答案B解析贈送1本畫冊，3本集郵冊，需從4人中選取1人贈送畫冊，其余贈送集郵冊，有4種方法；贈送2本畫冊，2本集郵冊，只需從4人中選出2人贈送畫冊，其余2人贈送集郵冊，有6種方法．由分類加法計數(shù)原理可知，不同的贈送方法共有4＋6＝10(種)．(2)橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(m>0，n>0)的焦點在x軸上，且m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，則這樣的橢圓的個數(shù)為()A．10B．12C．20D．35答案A解析因為焦點在x軸上，所以m>n，以m的值為標準分類，由分類加法計數(shù)原理，可分為四類：第一類：當(dāng)m＝5時，n有4種選擇；第二類：當(dāng)m＝4時，n有3種選擇；第三類：當(dāng)m＝3時，n有2種選擇；第四類：當(dāng)m＝2時，n有1種選擇．故符合條件的橢圓共有10個．延伸探究在本例(2)中，若m∈{1,2，…，k}，n∈{1,2，…，k}(k∈N*)，其他條件不變，這樣的橢圓有多少個？解因為m>n，當(dāng)m＝k時，n＝1,2，…，k－1.當(dāng)m＝k－1時，n＝1,2，…，k－2.…當(dāng)m＝3時，n＝1,2.當(dāng)m＝2時，n＝1.所以共有1＋2＋…＋(k－1)＝eq\f(kk－1,2)(個)橢圓．思維升華使用分類加法計數(shù)原理的兩個注意點(1)根據(jù)問題的特點確定一個合適的分類標準，分類標準要統(tǒng)一，不能遺漏．(2)分類時，注意完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類，不能重復(fù)．跟蹤訓(xùn)練1(1)某學(xué)生去書店，發(fā)現(xiàn)3本好書，決定至少買其中一本，則購買方式共有()A．3種B．5種C．7種D．9種答案C解析分三類：買1本、買2本或買3本，各類購買方式依次有3種、3種、1種，故購買方式共有3＋3＋1＝7(種)．(2)設(shè)I＝{1,2,3,4}，A與B是I的子集，若A∩B＝{1,2}，則稱(A，B)為一個“理想配集”．若將(A，B)與(B，A)看成不同的“理想配集”，則符合此條件的“理想配集”有________個．答案9解析對子集A分類討論：當(dāng)A＝{1,2}時，B可以為{1,2,3,4}，{1,2,4}，{1,2,3}，{1,2}，共4種情況；當(dāng)A＝{1,2,3}時，B可以為{1,2,4}，{1,2}，共2種情況；當(dāng)A＝{1,2,4}時，B可以為{1,2,3}，{1,2}，共2種情況；當(dāng)A＝{1,2,3,4}時，B可以為{1,2}，有1種情況．根據(jù)分類加法計數(shù)原理可知，共有4＋2＋2＋1＝9(種)結(jié)果，即符合此條件的“理想配集”有9個．題型二分步乘法計數(shù)原理例2(1)一次時裝表演中，有7頂不同款式的帽子，12件不同款式的上衣和8條不同款式的褲子．一位模特要從這些帽子、上衣和褲子中各選1款穿戴，則有________種不同的選法．答案672解析模特完成穿戴需要分三步：第一步，選擇帽子，共有7種選擇；第二步，選擇上衣，共有12種選擇；第三步，選擇褲子，共有8種選擇，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知，共有7×12×8＝672(種)不同的選法．(2)(多選)高二年級安排甲、乙、丙三位同學(xué)到A，B，C，D，E五個社區(qū)進行暑期社會實踐活動，每位同學(xué)只能選擇一個社區(qū)進行活動，且多個同學(xué)可以選擇同一個社區(qū)進行活動，下列說法正確的有()A．所有可能的方法有35種B．如果社區(qū)A必須有同學(xué)選擇，則不同的安排方法有61種C．如果同學(xué)甲必須選擇社區(qū)A，則不同的安排方法有25種D．如果甲、乙兩名同學(xué)必須在同一個社區(qū)，則不同的安排方法共有20種答案BC解析對于選項A，安排甲、乙、丙三位同學(xué)到A，B，C，D，E五個社區(qū)進行暑期社會實踐活動，每位同學(xué)只能選擇一個社區(qū)進行活動，且多個同學(xué)可以選擇同一個社區(qū)進行活動，故有5×5×5＝53(種)選擇方案，A錯誤；對于選項B，如果社區(qū)A必須有同學(xué)選擇，則不同的安排方法有53－43＝61(種)，B正確；對于選項C，如果同學(xué)甲必須選擇社區(qū)A，則不同的安排方法有52＝25(種)，C正確；對于選項D，如果甲、乙兩名同學(xué)必須在同一個社區(qū)，再分為丙與甲、乙兩名同學(xué)在一起和不在一起兩種情況，則不同的安排方法共有5＋5×4＝25(種)，D錯誤．思維升華利用分步乘法計數(shù)原理解題的策略(1)明確題目中的“完成這件事”是什么，確定完成這件事需要幾個步驟，且每步都是獨立的．(2)將這件事劃分成幾個步驟來完成，各步驟之間有一定的連續(xù)性，只有當(dāng)所有步驟都完成了，整個事件才算完成．跟蹤訓(xùn)練2(1)從－1,0,1,2這四個數(shù)中選三個不同的數(shù)作為函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的系數(shù)，則可組成________個不同的二次函數(shù)，其中偶函數(shù)有________個(用數(shù)字作答)．答案186解析一個二次函數(shù)對應(yīng)著a，b，c(a≠0)的一組取值，a的取法有3種，b的取法有3種，c的取法有2種，由分步乘法計數(shù)原理知，共有3×3×2＝18(個)不同的二次函數(shù)．若二次函數(shù)為偶函數(shù)，則b＝0，同上可知共有3×2＝6(個)偶函數(shù)．(2)甲、乙、丙3人站到共有7級的臺階上，若每級臺階最多站2人，同一級臺階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數(shù)是________(用數(shù)字作答)．答案336解析甲有7種站法，乙有7種站法，丙有7種站法，故不考慮限制共有7×7×7＝343(種)站法，其中三個人站在同一級臺階上有7種站法，故符合本題要求的不同站法有343－7＝336(種)．題型三兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用命題點1涂色、種植問題例3中國是世界上最早發(fā)明雨傘的國家，傘是中國勞動人民一個重要的創(chuàng)造．如圖所示的雨傘，其傘面被傘骨分成8個區(qū)域，每個區(qū)域分別印有數(shù)字1,2,3，…，8，現(xiàn)準備給該傘面的每個區(qū)域涂色，要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰兩個區(qū)域所涂顏色不能相同，對稱的兩個區(qū)域(如區(qū)域1與區(qū)域5)所涂顏色相同．若有7種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有()A．1050種 B．1260種C．1302種 D．1512種答案C解析由題意可得，只需確定區(qū)域1,2,3,4的顏色，即可確定整個傘面的涂色．先涂區(qū)域1，有7種選擇；再涂區(qū)域2，有6種選擇．當(dāng)區(qū)域3與區(qū)域1涂的顏色不同時，區(qū)域3有5種選擇，剩下的區(qū)域4有5種選擇．當(dāng)區(qū)域3與區(qū)域1涂的顏色相同時，剩下的區(qū)域4有6種選擇．故不同的涂色方案有7×6×(5×5＋6)＝1302(種)．命題點2與幾何有關(guān)的問題例4如果一條直線與一個平面平行，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“平行線面組”．在一個長方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“平行線面組”的個數(shù)是()A．60B．48C．36D．24答案B解析長方體的6個表面構(gòu)成的“平行線面組”的個數(shù)為6×6＝36，另含4個頂點的6個面(非表面)構(gòu)成的“平行線面組”的個數(shù)為6×2＝12，故符合條件的“平行線面組”的個數(shù)是36＋12＝48.命題點3排數(shù)與排隊問題例5用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000大的偶數(shù)共有()A．144個B．120個C．96個D．72個答案B解析①當(dāng)萬位數(shù)字為5，個位數(shù)字為0時，有4×3×2＝24(個)；②當(dāng)萬位數(shù)字為5，個位數(shù)字為2時，有4×3×2＝24(個)；③當(dāng)萬位數(shù)字為5，個位數(shù)字為4時，有4×3×2＝24(個)；④當(dāng)萬位數(shù)字為4，個位數(shù)字為0時，有4×3×2＝24(個)；⑤當(dāng)萬位數(shù)字為4，個位數(shù)字為2時，有4×3×2＝24(個)．由分類加法計數(shù)原理，得共有24＋24＋24＋24＋24＝120(個)．思維升華完成一件事的方法種數(shù)的計算步驟(1)審清題意，弄清要完成的事件是怎樣的．(2)分析完成這件事應(yīng)采用分類、分步、先分類后分步、先分步后分類這四種方法中的哪一種．(3)弄清在每一類或每一步中的方法種數(shù)．(4)根據(jù)分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理計算出完成這件事的方法種數(shù)．跟蹤訓(xùn)練3(1)(2023·樂清模擬)一個圓的圓周上均勻分布6個點，在這些點與圓心共7個點中，任取3個點，這3個點能構(gòu)成不同的等邊三角形的個數(shù)為__________．答案8解析如圖1，由圓上相鄰兩個點和圓心可構(gòu)成等邊三角形，共有6個；如圖2，由圓上相間隔的三點可構(gòu)成等邊三角形，共有2個，所以在這7個點中，任取3個點，這3個點能構(gòu)成不同的等邊三角形的個數(shù)為6＋2＝8.(2)用0,1,2,3,4,5,6這7個數(shù)字可以組成________個無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)(用數(shù)字作答)．答案420解析當(dāng)個位數(shù)字為0時，有6×5×4＝120(個)無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)；當(dāng)個位數(shù)字為2,4,6中的一個時，千位數(shù)字不能為0，有3×5×5×4＝300(個)無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)．根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，共有120＋300＝420(個)無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)．(3)某學(xué)校有一塊綠化用地，其形狀如圖所示．為了讓效果更美觀，要求在四個區(qū)域內(nèi)種植花卉，且相鄰區(qū)域花卉顏色不同．現(xiàn)有五種不同顏色的花卉可供選擇，則不同的種植方案共有________種．(用數(shù)字作答)答案180解析先在A中種植，有5種不同的種植方法，再在B中種植，有4種不同的種植方法，再在C中種植，有3種不同的種植方法，最后在D中種植，有3種不同的種植方法，所以不同的種植方案共有5×4×3×3＝180(種)．課時精練一、單項選擇題1．一個電路中含有(1)(2)兩個零件，零件(1)含有A，B兩個元件，零件(2)含有C，D，E三個元件，每個零件中有一個元件能正常工作則該零件就能正常工作，則該電路能正常工作的線路條數(shù)為()A．9B．8C．6D．5答案C解析由分步乘法計數(shù)原理易得，該電路能正常工作的線路條數(shù)為2×3＝6.2．高二1,2,3班各有升旗班同學(xué)人數(shù)分別為1,3,3人，現(xiàn)從中任選2人參加升旗，則2人來自不同班的選法種數(shù)為()A．12B．15C．20D．21答案B解析依題意，選中高二1班的同學(xué)有1×6種方法，高二1班的同學(xué)沒選中有3×3種方法，所以2人來自不同班的選法種數(shù)為1×6＋3×3＝15.3．記a，b，c，d為1,2,3,4的任意一個排列，則使得(a＋b)(c＋d)為奇數(shù)的排列個數(shù)為()A．8B．12C．16D．18答案C解析由已知得前兩位a和b一奇一偶，有2×2×2＝8(種)排法，后兩位c和d一奇一偶，有2種排法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，使得(a＋b)(c＋d)為奇數(shù)的排列個數(shù)為8×2＝16.4．已知兩條異面直線a，b上分別有5個點和8個點，則這13個點可以確定不同的平面?zhèn)€數(shù)為()A．40B．16C．13D．10答案C解析分兩類情況討論：第一類，直線a分別與直線b上的8個點可以確定8個不同的平面；第二類，直線b分別與直線a上的5個點可以確定5個不同的平面．根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，共可以確定8＋5＝13(個)不同的平面．5．從數(shù)字1,2,3,4中取出3個數(shù)字(允許重復(fù))組成三位數(shù)，各位數(shù)字之和等于6，則這樣的三位數(shù)的個數(shù)為()A．7B．9C．10D．13答案C解析其中各位數(shù)字之和等于6的三位數(shù)可分為以下情形：①由1,1,4三個數(shù)字組成的三位數(shù)：114,141,411，共3個；②由1,2,3三個數(shù)字組成的三位數(shù)：123,132,213,231,312,321，共6個；③由2,2,2三個數(shù)字可以組成1個三位數(shù)，即222.所以共有3＋6＋1＝10(個)．6．有4件不同顏色的襯衣，3件不同花樣的裙子，另有2套不同樣式的連衣裙．需選擇一套服裝參加“五一”勞動節(jié)歌舞演出，則不同的選擇方式種數(shù)為()A．24B．14C．10D．9答案B解析第一類：一件襯衣，一件裙子搭配一套服裝有4×3＝12(種)選擇方式；第二類：選2套連衣裙中的一套服裝有2種選擇方式，由分類加法計數(shù)原理可知，共有12＋2＝14(種)選擇方式．7.在如圖所示的五個區(qū)域中，現(xiàn)有四種顏色可供選擇，要求每一個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為()A．24 B．48C．72 D．96答案C解析分兩類情況：(1)A，C不同色，先涂A有4種，C有3種，E有2種，B，D有1種，有4×3×2＝24(種)涂法．(2)A，C同色，先涂A有4種，E有3種，C有1種，B，D各有2種，有4×3×2×2＝48(種)涂法．綜上，不同的涂色方法共有48＋24＝72(種)涂法．8．過三棱柱中任意兩個頂點連線作直線，在所有這些直線中能構(gòu)成異面直線的對數(shù)為()A．18B．30C．36D．54答案C解析如圖，分以下幾類：棱柱側(cè)棱與底面邊之間所構(gòu)成的異面直線有3×2＝6(對)；棱柱側(cè)棱與側(cè)面對角線之間所構(gòu)成的異面直線有3×2＝6(對)；底面邊與側(cè)面對角線之間所構(gòu)成的異面直線有6×2＝12(對)；底面邊與底面邊之間所構(gòu)成的異面直線有3×2＝6(對)，側(cè)面對角線與側(cè)面對角線之間所構(gòu)成的異面直線有eq\f(6×2,2)＝6(對)，所以共有6＋6＋12＋6＋6＝36(對)．二、多項選擇題9．現(xiàn)有5幅不同的國畫，2幅不同的油畫，7幅不同的水彩畫，下列說法正確的有()A．從中任選一幅畫布置房間，有14種不同的選法B．從這些國畫、油畫、水彩畫中各選一幅布置房間，有70種不同的選法C．從這些畫中選出兩幅不同種類的畫布置房間，有59種不同的選法D．要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，共有12種不同的掛法答案ABC解析對于選項A，根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有5＋2＋7＝14(種)不同的選法，故A正確；對于選項B，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有5×2×7＝70(種)不同的選法，故B正確；對于選項C，可分為三類：第一類是一幅選自國畫，一幅選自油畫．由分步乘法計數(shù)原理知，有5×2＝10(種)不同的選法；第二類是一幅選自國畫，一幅選自水彩畫，有5×7＝35(種)不同的選法；第三類是一幅選自油畫，一幅選自水彩畫，有2×7＝14(種)不同的選法，所以共有10＋35＋14＝59(種)不同的選法，故C正確；對于選項D，可以分兩個步驟完成：第一步，從3幅畫中選1幅掛在左邊墻上，有3種選法；第二步，從剩下的2幅畫中選1幅掛在右邊墻上，有2種選法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，知不同掛法的種數(shù)是N＝3×2＝6，故D錯誤．10．現(xiàn)有4個數(shù)學(xué)課外興趣小組，第一、二、三、四組分別有7人、8人、9人、10人，則下列說法正確的是()A．選1人為負責(zé)人的選法種數(shù)為34B．每組選1名組長的選法種數(shù)為5400C．若推選2人發(fā)言，這2人需來自不同的小組，則不同的選法種數(shù)為420D．若另有3名學(xué)生加入這4個小組，加入的小組可自由選擇，且第一組必須有人選，則不同的選法有37種答案AD解析對于A,4個數(shù)學(xué)課外興趣小組共有7＋8＋9＋10＝34(人)，故選1人為負責(zé)人的選法共有34種，故A對；對于B，分四步：第一、二、三、四步分別為從第一、二、三、四組中各選1名組長，所以不同的選法共有7×8×9×10＝5040(種)，故B錯；對于C，分六類：從第一、二組中各選1人，有7×8種不同的選法；從第一、三組中各選1人，有7×9種不同的選法；從第一、四組中各選1人，有7×10種不同的選法；從第二、三組中各選1人，有8×9種不同的選法；從第二、四組中各選1人，有8×10種不同的選法；從第三、四組中各選1人，有9×10種不同的選法．所以不同的選法共有7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(種)，故C錯；對于D，若不考慮限制條件，每個人都有4種選法，共有43＝64(種)選法，其中第一組沒有人選，每個人都有3種選法，共有33＝27(種)選法，所以不同的選法有64－27＝37(種)，故D對．三、填空題11．從班委會5名成員中選出3名，分別擔(dān)任班級學(xué)習(xí)委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙兩人不能擔(dān)任文娛委員，則不同的選法共有________種(用數(shù)字作答)．答案36解析第一步，先選出文娛委員，因為甲、乙不能擔(dān)任，所以從剩下的3人中選1人擔(dān)任文娛委員，有3種選法．第二步，從剩下的4人中選學(xué)習(xí)委員和體育委員，又可分兩步進行：先選學(xué)習(xí)委員有4種選法，再選體育委員有3種選法．由分步乘法計數(shù)原理可得，不同的選法共有3×4×3＝36(種)．12．從2,3,4,5,6,7,8,9這8個數(shù)中任取2個不同的數(shù)分別作為一個對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，則可以組成不同對數(shù)值的個數(shù)為________．答案52解析在8個數(shù)中任取2個不同的數(shù)共可組成8×7＝56(個)對數(shù)值，但在這56個數(shù)值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94重復(fù)了4個數(shù)值，要減去4，即滿足條件的對數(shù)值共有56－4＝52(個)．13.(2023·佛山聯(lián)考)某小區(qū)物業(yè)在該小區(qū)的一個廣場布置了一個如圖所示的圓形花壇，花壇分為5個區(qū)域．現(xiàn)有6種不同的花卉可供選擇，要求相鄰的區(qū)域(有公共邊)不能布置相同的花卉，且每個區(qū)域只布置一種花卉，則不同的布置方案有()A．720種 B