山東省聊城市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知向量，，若，則（

）A．4 B．2 C． D．2．下列函數(shù)中，以為最小正周期的奇函數(shù)為（

）A． B． C． D．3．若復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．1254．在平行四邊形ABCD中，M為CD的中點(diǎn)，記，，則（

）A． B． C． D．5．已知，，，則（

）A． B． C． D．6．若，則（

）A．－2 B．－1 C．1 D．27．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）

A． B． C． D．8．記的面積為S，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．設(shè)，則（

）A．z不可能為純虛數(shù) B．z在復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)可以在第三象限C．時(shí)， D．時(shí)，z與是方程的兩個(gè)根10．已知函數(shù)，將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變，然后再將所得圖象向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，則（

）A．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱 B．的圖象關(guān)于y軸對稱C．與在上的單調(diào)性相同 D．當(dāng)時(shí)，11．“水城之眼”摩天輪與“水城明珠”大劇場是聊城市東昌湖畔的兩大文化地標(biāo)，其中摩天輪是全球首座建筑與摩天輪結(jié)合的城市地標(biāo)。摩天輪最低點(diǎn)距地面20米，最高點(diǎn)距地面168米，轉(zhuǎn)一周大約需要30分鐘，開啟后按順時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)；明珠劇場可近似看作是直徑約80米的半球形．某同學(xué)乘坐摩天輪觀賞聊城的“湖光水色”，該同學(xué)在摩天輪最底部上車，由于建筑物遮擋經(jīng)7分鐘到A處開始觀測到明珠劇場的穹頂B，共可觀測15.5分鐘．則下列說法正確的是（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．明珠劇場體積約為13.4萬立方米B．上車5分鐘后，該同學(xué)距離地面的高度為84米C．該同學(xué)坐上摩天輪開始，轉(zhuǎn)動t分鐘后距離地面的高度為H米，則D．水城之眼中心在地面的投影與明珠劇場的球心距離大約為952米三、填空題12．已知向量，則向量在向量上的投影向量為.13．已知，，，點(diǎn)C在線段AB的延長線上，且，則的值為．14．已知函數(shù)，若在區(qū)間上恰有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為．四、解答題15．設(shè)是虛數(shù)，是實(shí)數(shù)，且．（1）求|z1|的值以及z1的實(shí)部的取值范圍．（2）若，求證：為純虛數(shù)．16．已知，，．(1)求在上的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若，，求的值．17．如圖，平行四邊形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，ED與AC交于點(diǎn)R．(1)用向量方法證明：；(2)若，，求的值．18．記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求A；(2)D為BC的中點(diǎn)．（i）證明：；（ii）若，求的周長．19．我們可以把平面向量坐標(biāo)的概念推廣為“復(fù)向量”，即可將有序復(fù)數(shù)對視為一個(gè)向量，記作．兩個(gè)復(fù)向量，的線性運(yùn)算定義為：；兩個(gè)復(fù)向量，相等定義為：，；兩個(gè)復(fù)向量，的積記作，定義為；復(fù)向量的模定義為；若復(fù)向量與滿足，則稱復(fù)向量與平行．已知．(1)若復(fù)向量，，且．（i）求m，n的值；（ii）判斷與是否平行，并說明理由；(2)若復(fù)向量，且與平行，求．題號12345678910答案CBBDDAABACDBC題號11答案ACD1．C由進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】由有：，故選：C.2．B根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷選項(xiàng).【詳解】對于A，是偶函數(shù)，故不成立，對于B，是奇函數(shù)，且最小正周期，故成立，對于C，是奇函數(shù)，且最小正周期為，故不成立，對于D，是偶函數(shù)，故不成立.故選：B3．B據(jù)復(fù)數(shù)的模長結(jié)合乘法運(yùn)算可得復(fù)數(shù)，再由共軛復(fù)數(shù)的概念和模長公式即可求解.【詳解】，則，則，則.故選：B.4．D結(jié)合圖形，利用向量的線性運(yùn)算公式，即可求解.【詳解】，即.故選：D5．D由誘導(dǎo)公式有，，，最后利用的單調(diào)性即可求解.【詳解】由，，，又，因?yàn)樵趩握{(diào)遞減，所以，即，所以.故選：D.6．A利用二倍角正切公式化簡即可.【詳解】由，利用降冪公式化簡，得，即，即，解得：.故選：A.7．A首先根據(jù)函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，求解函數(shù)的解析式，再代入求值.【詳解】由圖象可知，，，則，且，得，則，.故選：A8．B由，即，利用正弦定理和求解和，最后利用兩角差的余弦公式即可求解.【詳解】由題意有，所以，由正弦定理有，又，，所以，又因?yàn)?，所以，又，所以，所以，故選：B.9．ACD根據(jù)復(fù)數(shù)的性質(zhì)計(jì)算判斷A，應(yīng)用幾何意義判斷B，根據(jù)模長判斷C，根據(jù)復(fù)數(shù)根的性質(zhì)判斷D.【詳解】因?yàn)?，若z為純虛數(shù)，則且不等于0，無解，所以z不可能為純虛數(shù)，A選項(xiàng)正確；若z在復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)在第三象限，所以，無解，所以z在復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)不可以在第三象限，B選項(xiàng)錯誤；時(shí)，，C選項(xiàng)正確；方程的兩個(gè)根，時(shí)，z與是方程的兩個(gè)根，D選項(xiàng)正確；故選：ACD.10．BC根據(jù)圖像變換先求出函數(shù)的解析式，再根據(jù)函數(shù)的對稱性、單調(diào)性、函數(shù)值大小比較等性質(zhì)逐一分析各選項(xiàng)即可得出結(jié)論.【詳解】代入得，所以的圖象不關(guān)于點(diǎn)中心對稱，故選項(xiàng)A錯誤；函數(shù)為橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模粗芷谧優(yōu)樵瓉淼囊话耄?，得?再向右平移個(gè)單位，得到;化簡得.，故是偶函數(shù)，選項(xiàng)B正確；時(shí)，，在上單調(diào)遞增；時(shí)，時(shí)，，在上單調(diào)遞增，因此兩函數(shù)單調(diào)性相同，選項(xiàng)C正確.令,取，則：，

因此存在點(diǎn)使，即,選項(xiàng)D錯誤.故選：BC11．ACD根據(jù)已知結(jié)合球的體積公式計(jì)算，即可判斷A；設(shè)轉(zhuǎn)動t分鐘后距離地面的高度為H米，.根據(jù)已知計(jì)算得出，即可判斷C項(xiàng)；代入，即可驗(yàn)證B項(xiàng)；作出大致圖象，結(jié)合題中給的數(shù)值，結(jié)合三角形相似推得，進(jìn)而在三角形中得出，進(jìn)而化簡求值即可判斷D項(xiàng).【詳解】對于A項(xiàng)，由已知明珠劇場可近似看作是直徑約80米的半球形可得，明珠劇場體積約為.故A正確；對于C項(xiàng)，由已知可設(shè)該同學(xué)坐上摩天輪開始，轉(zhuǎn)動t分鐘后距離地面的高度為H米，則.則由已知可得，，，，所以，，，.所以，.又，所以，.又，所以，所以，.故C正確；對于B項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，.故B錯誤；對于D項(xiàng)，如圖，設(shè)半球的圓心為，連接，過點(diǎn)作截面圓的切線，分別過點(diǎn)作的垂線.過點(diǎn)作，且滿足，垂足為.易知因?yàn)?，所以，，故，，，則..所以，，即，解得.又，所以，，故D正確.故選：ACD.12．設(shè)，利用數(shù)量級的坐標(biāo)運(yùn)算得的坐標(biāo)，再利用投影向量的公式求解即可.【詳解】解：設(shè)，因?yàn)樗运詣t向量在向量上的投影向量為：.故答案為：.13．18先求出，的坐標(biāo)，由可得，進(jìn)而代值計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋?，，所以，由，則，則，解得，則.故答案為：18.14．首先求的范圍，再根據(jù)端點(diǎn)的基本范圍，結(jié)合零點(diǎn)的情況，列式求解.【詳解】由，則，，此時(shí)，若函數(shù)的三個(gè)零點(diǎn)都在軸的負(fù)半軸，則，不等式的解集為，若函數(shù)的零點(diǎn)有2個(gè)負(fù)零點(diǎn)，1個(gè)是原點(diǎn)，則，不等式的解集為，若函數(shù)的零點(diǎn)1個(gè)是負(fù)零點(diǎn)，1個(gè)是原點(diǎn)，1個(gè)正零點(diǎn)，則，不等式的解集為，若函數(shù)的零點(diǎn)1個(gè)是原點(diǎn)，2個(gè)正零點(diǎn)，則，得.所以的取值范圍是.故答案為：15．（1）；（2）略【詳解】分析：（1）設(shè)z1=a+bi，（a，b∈R，且b≠0），則=（a+）+（b﹣），由z1是實(shí)數(shù)，得a2+b2=1，由此求出z1的實(shí)部的取值范圍為[﹣，]．（2）ω====，由此能證明ω=是純虛數(shù)．詳解：(1)解:設(shè).則,因?yàn)?所以，又，所以.所以.所以,又,即.解得.所以的實(shí)部的取值范圍的取值范圍為.(2)證明:,因?yàn)?所以,所以為純虛數(shù).16．(1)，(2)【詳解】（1）有題意有．因?yàn)椋?，?dāng)或，即或，單調(diào)遞增，所以在上的單調(diào)遞增區(qū)間為，．（2）由（1）知，，因?yàn)?，所以，即．因?yàn)?，所以，所以，所以．即?7．(1)證明見解析(2)-6（1）存在，使得，利用向量的線性運(yùn)算可得，又由點(diǎn)R，A，C三點(diǎn)共線，且，可得，解得值，從而得證.（2）由題設(shè)得四邊形ABCD是菱形，，數(shù)形結(jié)合，作于點(diǎn)H，利用投影向量的概念即可得在上的投影向量為，由向量的線性運(yùn)算即可求解．【詳解】（1）證明：因?yàn)镽在ED上，所以存在，使得，故，又因?yàn)辄c(diǎn)R在AC上，且，，所以，得，所以，所以．（2）因?yàn)椋头謩e是和方向上的單位向量，設(shè)，，則以，為鄰邊的平行四邊形是菱形，是該菱形的對角線，，所以與垂直，所以，可得，所以平行四邊形ABCD是菱形，所以，，作于點(diǎn)H，又因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，所以在上的投影向量為，所以．18．(1)(2)（i）證明見解析；（ii）（1）利用正弦定理和兩角和的正弦公式即可求解；（2）（i）在中由余弦定理有，在中由余弦定理有，利用即可得證；（ii）由余弦定理得得，由代入（i）得即可求,進(jìn)而得的周長.【詳解】（1）由，得，所以由正弦定理得，因?yàn)橹?，，所以，即，所以，又因?yàn)橹?，，所以，因?yàn)椋裕?）（i）證明：因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，所以在中，由余弦定理得；在中，由余弦定理得，因?yàn)?所以，所以，即．（ii）當(dāng)時(shí)，在中，由余弦定理得，所以，又由（i）知，，所以，所以，解得，所以的周長為．19．(1)（i）；（ii）平行，理由見解析(2)（1）（?。└鶕?jù)復(fù)