高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1貴州省遵義市播州區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.拋物線的準(zhǔn)線方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】拋物線的準(zhǔn)線方程是，拋物線的準(zhǔn)線方程是x=-1，故選：D.2.已知為虛數(shù)單位，則（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】故選：B.3.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)題意，，因?yàn)槭菧p函數(shù)，，由在上是增函數(shù)，所以，所以．故選：A.4.如圖，已知電路中3個(gè)開(kāi)關(guān)閉合的概率都是，且是相互獨(dú)立的，則燈亮的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】若燈亮，則需、閉合，閉合與否都可，故燈亮的概率為.故選：B.5.已知，是兩條不同直線，，是兩個(gè)不同平面，下列結(jié)論正確是（）A.，，則 B.，，，則C.，，則 D.，，，則【答案】C【解析】對(duì)A：由，，則或、異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：若，，，則或、異面，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：若，，則，故C正確；對(duì)D：若，，，則或、異面或、相交，故D錯(cuò)誤.故選：C.6.若角滿(mǎn)足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故選：C.7.設(shè)集合，集合，那么集合中滿(mǎn)足的元素的個(gè)數(shù)為（）A.12 B.18 C.22 D.24【答案】C【解析】集合中元素個(gè)數(shù)共有個(gè)，若，則有，則可能，共1種；或，或，共2種；或，或，共2種；故集合中滿(mǎn)足的元素的個(gè)數(shù)為.故選：C.8.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，有8個(gè)以正方體頂點(diǎn)為球心且半徑相等的部分球體，有1個(gè)以正方體體心為球心的球體，與均相切，則該9部分的體積和的范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】設(shè)球體的半徑為，半徑為，所以，即得，可得，所以，開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為，所以，該9部分的體積和為，所以.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，下列區(qū)間中存在函數(shù)零點(diǎn)的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】，，可得，由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可得存在函數(shù)零點(diǎn)的區(qū)間是，，可得，，可得，，可得，由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可得存在函數(shù)零點(diǎn)的區(qū)間是.故選：AD.10.已知是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.的最小值為6 B.的最大值為8C.的最小值為 D.的最大值為5【答案】CD【解析】對(duì)A：，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：的幾何意義為過(guò)點(diǎn)O0,0與的直線的斜率，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線為，則有，解得，故的最小值為，故C正確；對(duì)D：，故的最大值為5，故D正確.故選：CD.11.已知曲線，下列結(jié)論正確的是（）A.曲線關(guān)于對(duì)稱(chēng)B.曲線剛好經(jīng)過(guò)2個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）C.若點(diǎn)在曲線上，則D.曲線與直線有且只有一個(gè)交點(diǎn)【答案】ABC【解析】因?yàn)榍€的方程為，當(dāng)，時(shí)，曲線的方程為，當(dāng)，時(shí)，曲線的方程為，是焦點(diǎn)在軸上的等軸雙曲線右支的一部分.當(dāng)，時(shí)，曲線的方程為，是焦點(diǎn)在軸上的等軸雙曲線上支的一部分.作出曲線的圖象如圖：設(shè)點(diǎn)Mx,y為曲線上的點(diǎn)，則點(diǎn)Mx,y關(guān)于對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，代入方程成立，所以曲線關(guān)于對(duì)稱(chēng)，A正確；顯然曲線上有點(diǎn)2個(gè)整點(diǎn)，除此之外任意兩個(gè)整數(shù)的平方差都不可能等于1，B正確；由上可知直線為曲線中雙曲線部分的漸近線，設(shè)曲線中圓的部分切線為，即，則，解得或（舍），即，曲線位于直線與之間，所以若點(diǎn)在曲線上，則,所以，即，C正確；由于直線在下方，所以與曲線無(wú)交點(diǎn)，D錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則__________.【答案】【解析】根據(jù)題意，，所以.13.若雙曲線，滿(mǎn)足，則的離心率為_(kāi)_________.【答案】【解析】.14.已知定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足，且當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為_(kāi)_________.【答案】【解析】令，則，即，令，則，則，令，則，又定義域?yàn)椋蕿榕己瘮?shù)，設(shè)對(duì)任意，且，則，則，故，即，故在上單調(diào)遞增，，即，則有，解得且，故其解集.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.為了調(diào)查某廠2000名工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品的能力，隨機(jī)抽查了20名工人某天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量（單位：個(gè)），產(chǎn)品數(shù)量的分組區(qū)間為，，，，，頻率分布直方圖如圖所示.（1）估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)；（2）從產(chǎn)品數(shù)量在和的工人中用分層抽樣的方法抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行座談，則這3名工人在同一組的概率是多少.解：（1）由題可得，前三組頻率之和為，前四組頻率之和為，則樣本數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)在區(qū)間內(nèi)，設(shè)75%分位數(shù)為x，則有，解得，∴樣本數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為28.（2）由圖可得在內(nèi)的工人為人，在內(nèi)的工人為人，故在內(nèi)抽取4人，記為A，B，C，D；在內(nèi)抽取2人，記為X，Y，則從這6人中抽取3人的樣本空間有20個(gè)樣本點(diǎn)：，，且20個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性是相等的，其中3人在同一組的樣本點(diǎn)有共4個(gè)，設(shè)3人在同一組的概率為P，則有.綜上，3名工人在同一組的概率為.16.已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和原點(diǎn)，且圓心在直線上.（1）求圓的方程：（2）過(guò)點(diǎn)作圓的切線，求切線方程.解：（1）由題意知，設(shè)，則，解得，所以，半徑為，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）如圖所示，點(diǎn)在圓外，則過(guò)點(diǎn)的圓的切線方程有兩條.當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，即，設(shè)圓心到直線的距離為，而圓的半徑為r=1，則，解得，所以切線方程為；當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，則與圓相切.綜上，切線方程為x=2或.17.已知銳角三角形中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，向量，，.（1）求；（2）求的取值范圍.解：（1）由，則有，即，由為銳角三角形，故、，故，則有，即，即；（2）由正弦定理可得，由為銳角三角形，故，解得，故，則，則.18.如圖，已知等腰梯形中，，，，是的中點(diǎn)，，將梯形沿著翻折成，使.（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的正弦值；（1）證明：等腰梯形中，，是的中點(diǎn)，所以，所以四邊形為菱形，所以，即，又，所以，，所以，即，，平面，所以平面.（2）解：由（1）知平面，且，以為原點(diǎn)，以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，所以，，設(shè)面的法向量為，則，取，則，則，設(shè)面的法向量為，則，取，則，則，設(shè)平面與平面夾角為，則，所以.所以平面與平面夾角的正弦值為.19.已知橢圓，點(diǎn)為橢圓短軸的上端點(diǎn)，為橢圓上異于點(diǎn)的任一點(diǎn)，若點(diǎn)到點(diǎn)距離的最大值僅在點(diǎn)為短軸的另一端點(diǎn)時(shí)取到，則稱(chēng)此橢圓為“圓橢圓”，已知.（1）若離心率，判斷橢圓是否為“圓橢圓”；（2）若橢圓是“圓橢圓”，求的取值范圍；（3）若橢圓是“圓橢圓”，且取最大值，為關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，也異于點(diǎn)，直線、分別與軸交于、兩點(diǎn)，試問(wèn)以線段為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)，并說(shuō)明理由.解：（1）由題意可得A0,3，因?yàn)?，所以橢圓方程為，設(shè)，則，二次函數(shù)開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大