高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1上海市閔行六校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1~6題每題4分，第7~12題每題5分）1.若點(diǎn)直線，且直線平面，則________.（填合適的符號）【答案】【解析】點(diǎn)直線，且直線平面，則，故答案為：.2.直線的一個(gè)法向量為______．【答案】【解析】直線的斜率為，故與其垂直的直線的斜率為，故直線的一個(gè)法向量為.3.如圖所示，是用斜二測畫法畫出的的直觀圖，其中，則的面積為_________.【答案】【解析】如圖，將直觀圖還原，則，的面積為.4.已知向量平行于向量，則________．【答案】【解析】因?yàn)?，故存在?shí)數(shù)，使得，故，故，故，故.5.直線與直線的夾角的大小是_____.【答案】【解析】線與直線的斜率分別為，由直線的夾角公式可得，又，所以.6.若正三棱柱的所有棱長均為，且其體積為，則________．【答案】【解析】，．7.如圖所示，在側(cè)棱長為的正三棱錐中，，過作截面，周長的最小值為_______．【答案】【解析】如圖，將三棱錐沿側(cè)棱剪開，并將其側(cè)面展開平鋪一個(gè)平面上，則線段的長即為所求的周長的最小值．取的中點(diǎn)，連接，則，.在中，，則，即周長的最小值為.8.某圓錐的底面半徑為1，沿該圓錐的母線把側(cè)面展開后可得到圓心角為的扇形.則該圓錐的側(cè)面積為_____.【答案】【解析】設(shè)圓錐的母線長為，則，解得，所以該圓錐的側(cè)面積為.9.在如圖所示的圓柱中，是底面圓的直徑，是圓柱的母線，且，點(diǎn)是底面圓周上的一點(diǎn)，且，則直線與平面所成的角的正切值為_____．【答案】【解析】由于點(diǎn)是底面圓周上的一點(diǎn)，故,又平面，平面，故平面，故平面，故為直線與平面所成的角，由于，，故,故,10.有下列命題：①棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形；②側(cè)棱垂直于底面的棱柱是直棱柱；③存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體；④棱臺的側(cè)棱延長后交于一點(diǎn)．其中，正確的命題是________．(填序號)【答案】②③④【解析】①不正確，根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，但不一定全等；②正確；③正確，如圖，正方體中的三棱錐C1ABC四個(gè)面都是直角三角形；④正確，由棱臺的概念可知．11.臺球運(yùn)動已有五六百年的歷史，參與者用球桿在臺上擊球．如圖，有一張長方形球臺，，現(xiàn)從角落沿角的方向把球打出去，球經(jīng)2次碰撞球臺內(nèi)沿后進(jìn)入角落的球袋中，若和光線一樣，臺球在球臺上碰到障礙物后也遵從反射定律，則的值為_____．【答案】1【解析】因?yàn)?，現(xiàn)從角落沿角的方向把球打出去，球經(jīng)2次碰撞球臺內(nèi)沿后進(jìn)入角落的球袋中；當(dāng)是圖一時(shí)，如圖：關(guān)于的對稱點(diǎn)為，關(guān)于的對稱點(diǎn)為；

如圖；根據(jù)直線的對稱性可得：；當(dāng)是圖2時(shí)，如圖：關(guān)于的對稱點(diǎn)為，關(guān)于的對稱點(diǎn)為，

如圖：根據(jù)直線的對稱性可得：；因?yàn)?，則，故只有.12.如圖，已知直四棱柱的底面是邊長為4的正方形，點(diǎn)M為CG的中點(diǎn)，點(diǎn)P為底面上的動點(diǎn)，若存在唯一的點(diǎn)P滿足，則________.【答案】4【解析】直四棱柱的底面是邊長為4的正方形，以線段為直徑構(gòu)造球，則點(diǎn)與球上任意一點(diǎn)（除外）均能構(gòu)成直角，因此該球與平面相切時(shí)存在唯一P點(diǎn)，使得，取線段中點(diǎn)，連接，則平面，而平面，于是，則，，在直角梯形中，,，，則，所以.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑．13.已知直線平面，則“直線”是“”的（）A.充分但不必要條件 B.必要但不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】B【解析】若直線平面，，則直線平面或；若直線平面，直線，則，所以“”是“”的必要不充分條件．故選：B．14.若直線與直線平行，則它們之間的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依題意可得，解得，則直線方程，而方程，即，所以兩條平行線間的距離為.故選：B.15.正方體中，為線段，上的一個(gè)動點(diǎn)，則下列錯(cuò)誤的是（）A. B.平面C.三棱錐的體積為定值 D.直線直線.【答案】D【解析】．在正方體中，，，，面，面，，正確．．平面，平面成立．即正確．．三棱錐的底面為定值，錐體的高為定值，錐體體積為定值，即正確．．，直線錯(cuò)誤．故選．16.在正方體中，若點(diǎn)（異于點(diǎn)）是棱上一點(diǎn)，則滿足和所成的角為45°的點(diǎn)有（）A.6個(gè) B.4個(gè) C.3個(gè) D.2個(gè)【答案】C【解析】如圖，將正方體的各個(gè)頂點(diǎn)（除點(diǎn)外）分類，規(guī)定當(dāng)頂點(diǎn)與的連線與直線所成的角大于等于時(shí)為一類，小于時(shí)為一類顯然與所成角的正切值為，故大于，與所成角的為，大于，與所成角的余弦值為，角大于，與所成角的正切值為，小于，當(dāng)點(diǎn)從運(yùn)動到時(shí)，角度從大于變化到小于，一定經(jīng)過一個(gè)點(diǎn)滿足；依此類推，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動時(shí)，都經(jīng)歷過角度從小于到大于的變化，故滿足條件的點(diǎn)共有個(gè).故選：.三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟．17.如圖，在直三棱柱中，，，且、分別是、的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）求二面角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）（1）證明：由于三棱柱為直三棱柱，且、分別是、的中點(diǎn)，故平面，故平面，故，又，故,平面，故平面，又平面，故（2）解：由于，，故，即，取中點(diǎn)為，連接,由（1）知平面，故平面，故，又故，平面，故平面，平面，故，因此為二面角的平面角，由于,故，結(jié)合為銳角，故,18.已知直線傾斜角為，，且這條直線經(jīng)過點(diǎn).（1）求直線的方程；（2）直線恒過定點(diǎn)，求點(diǎn)到直線距離.解：（1）由題可得，，則，，∴直線的斜率，且直線過點(diǎn)，∴由直線的點(diǎn)斜式方程得，即；（2）∵直線化簡得：，令，解得，∴定點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離，∴到直線的距離為.19.如圖，四面體的各棱長均為2，，分別為棱，的中點(diǎn)，設(shè)，，.（1）用向量，，的線性組合表示向量，；（2）求兩條異面直線，所成角的大?。猓海?），；（2）由四面體的各棱長均為2，可知四面體為正四面體，所以，，兩兩夾角為，因此，，，，，由于兩條異面直線，所成角的范圍為，所以兩條異面直線，所成角為.20.如圖，將一塊三角形的玉石置于平面直角坐標(biāo)系中，已知，，點(diǎn)，圖中陰影三角形部分為玉石上的瑕疵，為了將這塊玉石雕刻成工藝品，要先將瑕疵部分切割掉，可沿經(jīng)過點(diǎn)的直線進(jìn)行切割．（1）求直線的傾斜角的取值范圍．（2）是否存在直線，使得點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在線段上？（3）設(shè)玉石經(jīng)切割后剩余部分的面積為，求的取值范圍．解：（1）由圖可知，點(diǎn)在第一象限，設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?，，則，所以，，解得，即點(diǎn)，由題圖可知，當(dāng)點(diǎn)從原點(diǎn)沿著軸的正方向移動時(shí)，直線的傾斜角在逐漸增大，當(dāng)直線與直線重合時(shí)，設(shè)直線交軸的交點(diǎn)為，如下圖所示：當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動時(shí)，直線與線段（不包括端點(diǎn)）沒有公共點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在線段（不包括點(diǎn)）上運(yùn)動時(shí)，直線與線段（不包括端點(diǎn)）有公共點(diǎn)，且直線的斜率為，直線的傾斜角為，綜上所述，直線傾斜角的取值范圍是.（2）由（1）可知，、，則直線的斜率為，假設(shè)存在直線，使得點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在線段上，此時(shí)，，則，此時(shí)，直線的傾斜角滿足，不合乎題意，因此，不存在直線，使得點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在線段上.（3）當(dāng)軸時(shí)，此時(shí)，為線段的垂直平分線，此時(shí)，；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，其中，直線的方程為，即，聯(lián)立可得，即點(diǎn)，聯(lián)立可得，即點(diǎn)，所以，，所以，，因?yàn)椋瑒t，所以，，綜上所述，的取值范圍是.21.在空間直角坐標(biāo)系中，任何一個(gè)平面都能用方程表示．（其中，，，且），且空間向量為該平面的一個(gè)法向量．有四個(gè)平面，，，（1）若平面與平面互相垂直，求實(shí)數(shù)的值；（2）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，類比出到平面的距離公式，并用利用法向量和投影向量的相關(guān)知識證明．（3）若四個(gè)平面，，，圍成的四面體的外接球體積為，利用（2）的結(jié)論求該四面體的體積．解：