自動(dòng)控制原理的狀態(tài)空間法指南一、概述

自動(dòng)控制原理中的狀態(tài)空間法是一種系統(tǒng)建模和分析方法，通過狀態(tài)變量描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為。狀態(tài)空間法適用于多輸入多輸出系統(tǒng)，能夠提供系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)信息，便于進(jìn)行穩(wěn)定性分析、控制器設(shè)計(jì)和系統(tǒng)優(yōu)化。本指南將系統(tǒng)介紹狀態(tài)空間法的核心概念、建模步驟、求解方法和應(yīng)用場景，幫助讀者掌握該方法的理論與實(shí)踐。

二、狀態(tài)空間法的基本概念

（一）核心要素

1.狀態(tài)變量：描述系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的最小變量集合，能夠完全表征系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。

2.狀態(tài)方程：描述狀態(tài)變量隨時(shí)間變化的微分或差分方程，形式為\(\dot{x}=Ax+Bu\)。

3.輸出方程：描述系統(tǒng)輸出與狀態(tài)變量和輸入變量的關(guān)系，形式為\(y=Cx+Du\)。

（二）數(shù)學(xué)模型

狀態(tài)空間模型由狀態(tài)方程和輸出方程組成，適用于線性時(shí)不變（LTI）系統(tǒng)。模型參數(shù)\(A,B,C,D\)矩陣的維度和元素反映了系統(tǒng)的特性，如穩(wěn)定性、能控性和能觀測性。

三、狀態(tài)空間模型的建立

（一）建模步驟

1.選擇狀態(tài)變量：

-確保狀態(tài)變量集合的完備性，覆蓋系統(tǒng)所有自由度。

-優(yōu)先選擇物理可測量的變量，如機(jī)械系統(tǒng)的位移和速度。

2.建立狀態(tài)方程：

-根據(jù)系統(tǒng)的物理定律（如牛頓定律、能量守恒）推導(dǎo)狀態(tài)方程。

-將狀態(tài)變量和輸入變量表示為微分方程。

3.建立輸出方程：

-確定系統(tǒng)可測量的輸出變量。

-將輸出變量表示為狀態(tài)變量和輸入變量的線性組合。

（二）示例建模

以二階機(jī)械系統(tǒng)為例：

-狀態(tài)變量：位移\(x_1\)、速度\(x_2\)。

-狀態(tài)方程：

\[\begin{cases}\dot{x}_1=x_2\\\dot{x}_2=-\frac{k}{m}x_1-\frac{c}{m}x_2+\frac{1}{m}u\end{cases}\]

對應(yīng)矩陣形式：

\[\dot{x}=\begin{bmatrix}0&1\\-\frac{k}{m}&-\frac{c}{m}\end{bmatrix}x+\begin{bmatrix}0\\\frac{1}{m}\end{bmatrix}u\]

-輸出方程（若測量位移）：

\[y=\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}x\]

四、狀態(tài)空間模型的求解

（一）穩(wěn)定性分析

1.特征值分析：

-計(jì)算系統(tǒng)矩陣\(A\)的特征值，判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。

-若所有特征值具有負(fù)實(shí)部，系統(tǒng)穩(wěn)定。

2.李雅普諾夫方法：

-構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)\(V(x)\)，驗(yàn)證系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性。

（二）能控性與能觀測性

1.能控性：

-計(jì)算能控性矩陣\(\mathcal{C}=[B\,AB\,A^2B\ldots]\)。

-若\(\mathcal{C}\)滿秩，系統(tǒng)完全能控。

2.能觀測性：

-計(jì)算能觀測性矩陣\(\mathcal{O}=\begin{bmatrix}C\\CA\\CA^2\\\vdots\end{bmatrix}\)。

-若\(\mathcal{O}\)滿秩，系統(tǒng)完全能觀測。

（三）控制器設(shè)計(jì)

1.極點(diǎn)配置：

-通過調(diào)整反饋增益矩陣\(K\)，將系統(tǒng)極點(diǎn)配置到期望位置。

-步驟：

(1)計(jì)算當(dāng)前極點(diǎn)；

(2)確定期望極點(diǎn)；

(3)計(jì)算增益矩陣\(K=(A-\lambdaI)^{-1}(B-D)\)。

2.狀態(tài)觀測器設(shè)計(jì)：

-構(gòu)造觀測器方程\(\dot{\hat{x}}=A\hat{x}+Bu+L(y-\hat{y})\)。

-選擇觀測器增益矩陣\(L\)以最小化估計(jì)誤差。

五、應(yīng)用場景

（一）工程系統(tǒng)

1.機(jī)械系統(tǒng)：振動(dòng)控制、機(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制。

2.電氣系統(tǒng)：電力電子變換器、電機(jī)控制。

3.化工系統(tǒng)：反應(yīng)過程控制、溫度調(diào)節(jié)。

（二）經(jīng)濟(jì)與生物系統(tǒng)（非敏感領(lǐng)域）

1.經(jīng)濟(jì)模型：多部門經(jīng)濟(jì)動(dòng)態(tài)分析。

2.生態(tài)模型：種群數(shù)量動(dòng)態(tài)模擬。

六、總結(jié)

狀態(tài)空間法通過狀態(tài)變量系統(tǒng)描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為，適用于復(fù)雜系統(tǒng)的建模與分析。本指南涵蓋了建模步驟、求解方法和典型應(yīng)用，為實(shí)際工程和科學(xué)問題提供理論基礎(chǔ)。通過掌握狀態(tài)空間法，讀者能夠更深入地理解系統(tǒng)控制原理，并應(yīng)用于優(yōu)化系統(tǒng)性能。

一、概述

自動(dòng)控制原理中的狀態(tài)空間法是一種系統(tǒng)建模和分析方法，通過狀態(tài)變量描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為。狀態(tài)空間法適用于多輸入多輸出系統(tǒng)，能夠提供系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)信息，便于進(jìn)行穩(wěn)定性分析、控制器設(shè)計(jì)和系統(tǒng)優(yōu)化。本指南將系統(tǒng)介紹狀態(tài)空間法的核心概念、建模步驟、求解方法和應(yīng)用場景，幫助讀者掌握該方法的理論與實(shí)踐。

二、狀態(tài)空間法的基本概念

（一）核心要素

1.狀態(tài)變量：描述系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的最小變量集合，能夠完全表征系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。

-狀態(tài)變量的選擇應(yīng)滿足“最小性”和“完備性”：最小性指狀態(tài)變量集合不能進(jìn)一步縮減而仍能描述系統(tǒng)；完備性指任何可觀測的系統(tǒng)行為都能通過狀態(tài)變量的組合表示。

-常見的狀態(tài)變量包括：機(jī)械系統(tǒng)的位置和速度、電路系統(tǒng)的電容電壓和電感電流、控制系統(tǒng)的誤差和誤差變化率等。

2.狀態(tài)方程：描述狀態(tài)變量隨時(shí)間變化的微分或差分方程，形式為\(\dot{x}=Ax+Bu\)。

-\(x\)為狀態(tài)向量，維度為\(n\times1\)。

-\(A\)為系統(tǒng)矩陣，維度為\(n\timesn\)，反映系統(tǒng)內(nèi)部動(dòng)態(tài)特性。

-\(u\)為輸入向量，維度為\(m\times1\)，表示外部對系統(tǒng)的擾動(dòng)或控制作用。

3.輸出方程：描述系統(tǒng)輸出與狀態(tài)變量和輸入變量的關(guān)系，形式為\(y=Cx+Du\)。

-\(y\)為輸出向量，維度為\(p\times1\)，表示系統(tǒng)可測量的外部響應(yīng)。

-\(C\)為輸出矩陣，維度為\(p\timesn\)，反映狀態(tài)變量對輸出的影響。

-\(D\)為前饋矩陣，維度為\(p\timesm\)，反映輸入對輸出的直接作用。

（二）數(shù)學(xué)模型

狀態(tài)空間模型由狀態(tài)方程和輸出方程組成，適用于線性時(shí)不變（LTI）系統(tǒng)。模型參數(shù)\(A,B,C,D\)矩陣的維度和元素反映了系統(tǒng)的特性，如穩(wěn)定性、能控性和能觀測性。

-系統(tǒng)矩陣\(A\)的特征值決定了系統(tǒng)的自然頻率和阻尼比，是穩(wěn)定性分析的關(guān)鍵。

-輸入矩陣\(B\)和輸出矩陣\(C\)的結(jié)構(gòu)決定了系統(tǒng)的能控性和能觀測性。

三、狀態(tài)空間模型的建立

（一）建模步驟

1.選擇狀態(tài)變量：

-確保狀態(tài)變量集合的完備性，覆蓋系統(tǒng)所有自由度。

-優(yōu)先選擇物理可測量的變量，如機(jī)械系統(tǒng)的位移和速度。

-常用方法包括：

(1)物理定律法：基于牛頓定律、能量守恒等推導(dǎo)狀態(tài)變量。例如，對于RLC電路，狀態(tài)變量可選為電容電壓和電感電流。

(2)相變量法：將系統(tǒng)方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，選擇最高階導(dǎo)數(shù)的線性組合作為狀態(tài)變量。

(3)約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形法：對于特定系統(tǒng)，選擇對角線或約當(dāng)塊形式的變量。

2.建立狀態(tài)方程：

-根據(jù)系統(tǒng)的物理定律（如牛頓定律、能量守恒）推導(dǎo)狀態(tài)方程。

-將狀態(tài)變量和輸入變量表示為微分方程。

-步驟示例（機(jī)械系統(tǒng)）：

(1)寫出系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程，如\(m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=u\)。

(2)選擇狀態(tài)變量，如\(x_1=x\),\(x_2=\dot{x}\)。

(3)代入運(yùn)動(dòng)方程，得到：

\[\dot{x}_1=x_2\]

\[\dot{x}_2=-\frac{k}{m}x_1-\frac{c}{m}x_2+\frac{1}{m}u\]

(4)寫為矩陣形式：

\[\dot{x}=\begin{bmatrix}0&1\\-\frac{k}{m}&-\frac{c}{m}\end{bmatrix}x+\begin{bmatrix}0\\\frac{1}{m}\end{bmatrix}u\]

3.建立輸出方程：

-確定系統(tǒng)可測量的輸出變量。

-將輸出變量表示為狀態(tài)變量和輸入變量的線性組合。

-步驟示例（測量位移）：

(1)輸出變量為位移\(y=x_1\)。

(2)表示為矩陣形式：

\[y=\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}x\]

（二）示例建模

以二階機(jī)械系統(tǒng)為例：

-狀態(tài)變量：位移\(x_1\)、速度\(x_2\)。

-狀態(tài)方程：

\[\begin{cases}\dot{x}_1=x_2\\\dot{x}_2=-\frac{k}{m}x_1-\frac{c}{m}x_2+\frac{1}{m}u\end{cases}\]

對應(yīng)矩陣形式：

\[\dot{x}=\begin{bmatrix}0&1\\-\frac{k}{m}&-\frac{c}{m}\end{bmatrix}x+\begin{bmatrix}0\\\frac{1}{m}\end{bmatrix}u\]

-輸出方程（若測量位移）：

\[y=\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}x\]

四、狀態(tài)空間模型的求解

（一）穩(wěn)定性分析

1.特征值分析：

-計(jì)算系統(tǒng)矩陣\(A\)的特征值，判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。

-若所有特征值具有負(fù)實(shí)部，系統(tǒng)穩(wěn)定。

-步驟：

(1)解特征方程\(\det(A-\lambdaI)=0\)，得到特征值\(\lambda\)。

(2)判斷實(shí)部是否全為負(fù)。例如，對于矩陣\(A=\begin{bmatrix}-2&1\\0&-3\end{bmatrix}\)，特征值為\(\lambda_1=-2\),\(\lambda_2=-3\)，系統(tǒng)穩(wěn)定。

2.李雅普諾夫方法：

-構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)\(V(x)\)，驗(yàn)證系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性。

-步驟：

(1)選擇正定函數(shù)\(V(x)=x^TPx\)，其中\(zhòng)(P\)為正定矩陣。

(2)驗(yàn)證\(\dot{V}(x)=x^T(A^TP+PA)x\)為負(fù)定。

(3)若滿足，系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。

（二）能控性與能觀測性

1.能控性：

-計(jì)算能控性矩陣\(\mathcal{C}=[B\,AB\,A^2B\ldots]\)。

-若\(\mathcal{C}\)滿秩，系統(tǒng)完全能控。

-步驟：

(1)對于\(n\)階系統(tǒng)，若\(\mathcal{C}\)為\(n\times(n+m)\)矩陣，計(jì)算其秩。

(2)若秩為\(n\)，系統(tǒng)完全能控。

2.能觀測性：

-計(jì)算能觀測性矩陣\(\mathcal{O}=\begin{bmatrix}C\\CA\\CA^2\\\vdots\end{bmatrix}\)。

-若\(\mathcal{O}\)滿秩，系統(tǒng)完全能觀測。

-步驟：

(1)對于\(n\)階系統(tǒng)，若\(\mathcal{O}\)為\(n\times(n+p)\)矩陣，計(jì)算其秩。

(2)若秩為\(n\)，系統(tǒng)完全能觀測。

（三）控制器設(shè)計(jì)

1.極點(diǎn)配置：

-通過調(diào)整反饋增益矩陣\(K\)，將系統(tǒng)極點(diǎn)配置到期望位置。

-步驟：

(1)計(jì)算當(dāng)前極點(diǎn)：解\(\det(A-\lambdaI)=0\)。

(2)確定期望極點(diǎn)：根據(jù)系統(tǒng)響應(yīng)要求（如阻尼比、自然頻率）選擇。

(3)計(jì)算增益矩陣\(K=(A-\lambdaI)^{-1}(B-D)\)。

-示例：對于系統(tǒng)\(\dot{x}=\begin{bmatrix}-1&2\\0&-3\end{bmatrix}x+\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}u\)，期望極點(diǎn)為\(\lambda_1=-4\),\(\lambda_2=-5\)，則：

\[K=\begin{bmatrix}-1&2\\0&-3\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}\]

2.狀態(tài)觀測器設(shè)計(jì)：

-構(gòu)造觀測器方程\(\dot{\hat{x}}=A\hat{x}+Bu+L(y-\hat{y})\)。

-選擇觀測器增益矩陣\(L\)以最小化估計(jì)誤差。

-步驟：

(1)選擇觀測器誤差動(dòng)態(tài)方程\(\dot{\tilde{x}}=A\tilde{x}-L(C\tilde{x})\)。

(2)要求誤差動(dòng)態(tài)矩陣\(A-LC\)的特征值具有負(fù)實(shí)部，以快速收斂。

(3)選擇\(L\)使\(A-LC\)的特征值滿足要求。

-示例：對于上述系統(tǒng)，選擇\(L=\begin{bmatrix}l_1\\l_2\end{bmatrix}\)，使\(\det(A-LC)=0\)的特征值位于左半平面。

五、應(yīng)用場景

（一）工程系統(tǒng)

1.機(jī)械系統(tǒng)：

-振動(dòng)控制：如橋梁、飛機(jī)機(jī)翼的振動(dòng)抑制。

-機(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制：如關(guān)節(jié)角度和速度的控制。

2.電氣系統(tǒng)：

-電力電子變換器：如逆變器、整流器的動(dòng)態(tài)建模。

-電機(jī)控制：如直流電機(jī)、交流電機(jī)的速度和位置控制。

3.化工系統(tǒng)：

-反應(yīng)過程控制：如溫度、壓力的精確控制。

-精密流量調(diào)節(jié)：如半導(dǎo)體制造中的流體控制。

（二）經(jīng)濟(jì)與生物系統(tǒng)（非敏感領(lǐng)域）

1.經(jīng)濟(jì)模型：

-多部門經(jīng)濟(jì)動(dòng)態(tài)分析：如消費(fèi)、投資、儲蓄的相互關(guān)系。

-財(cái)政政策模擬：如稅收變化對經(jīng)濟(jì)的影響。

2.生態(tài)模型：

-種群數(shù)量動(dòng)態(tài)模擬：如捕食者-被捕食者模型的建模。

-環(huán)境系統(tǒng)響應(yīng)：如污染物擴(kuò)散的動(dòng)態(tài)分析。

六、總結(jié)

狀態(tài)空間法通過狀態(tài)變量系統(tǒng)描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為，適用于復(fù)雜系統(tǒng)的建模與分析。本指南涵蓋了建模步驟、求解方法和典型應(yīng)用，為實(shí)際工程和科學(xué)問題提供理論基礎(chǔ)。通過掌握狀態(tài)空間法，讀者能夠更深入地理解系統(tǒng)控制原理，并應(yīng)用于優(yōu)化系統(tǒng)性能。

一、概述

自動(dòng)控制原理中的狀態(tài)空間法是一種系統(tǒng)建模和分析方法，通過狀態(tài)變量描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為。狀態(tài)空間法適用于多輸入多輸出系統(tǒng)，能夠提供系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)信息，便于進(jìn)行穩(wěn)定性分析、控制器設(shè)計(jì)和系統(tǒng)優(yōu)化。本指南將系統(tǒng)介紹狀態(tài)空間法的核心概念、建模步驟、求解方法和應(yīng)用場景，幫助讀者掌握該方法的理論與實(shí)踐。

二、狀態(tài)空間法的基本概念

（一）核心要素

1.狀態(tài)變量：描述系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的最小變量集合，能夠完全表征系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。

2.狀態(tài)方程：描述狀態(tài)變量隨時(shí)間變化的微分或差分方程，形式為\(\dot{x}=Ax+Bu\)。

3.輸出方程：描述系統(tǒng)輸出與狀態(tài)變量和輸入變量的關(guān)系，形式為\(y=Cx+Du\)。

（二）數(shù)學(xué)模型

狀態(tài)空間模型由狀態(tài)方程和輸出方程組成，適用于線性時(shí)不變（LTI）系統(tǒng)。模型參數(shù)\(A,B,C,D\)矩陣的維度和元素反映了系統(tǒng)的特性，如穩(wěn)定性、能控性和能觀測性。

三、狀態(tài)空間模型的建立

（一）建模步驟

1.選擇狀態(tài)變量：

-確保狀態(tài)變量集合的完備性，覆蓋系統(tǒng)所有自由度。

-優(yōu)先選擇物理可測量的變量，如機(jī)械系統(tǒng)的位移和速度。

2.建立狀態(tài)方程：

-根據(jù)系統(tǒng)的物理定律（如牛頓定律、能量守恒）推導(dǎo)狀態(tài)方程。

-將狀態(tài)變量和輸入變量表示為微分方程。

3.建立輸出方程：

-確定系統(tǒng)可測量的輸出變量。

-將輸出變量表示為狀態(tài)變量和輸入變量的線性組合。

（二）示例建模

以二階機(jī)械系統(tǒng)為例：

-狀態(tài)變量：位移\(x_1\)、速度\(x_2\)。

-狀態(tài)方程：

\[\begin{cases}\dot{x}_1=x_2\\\dot{x}_2=-\frac{k}{m}x_1-\frac{c}{m}x_2+\frac{1}{m}u\end{cases}\]

對應(yīng)矩陣形式：

\[\dot{x}=\begin{bmatrix}0&1\\-\frac{k}{m}&-\frac{c}{m}\end{bmatrix}x+\begin{bmatrix}0\\\frac{1}{m}\end{bmatrix}u\]

-輸出方程（若測量位移）：

\[y=\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}x\]

四、狀態(tài)空間模型的求解

（一）穩(wěn)定性分析

1.特征值分析：

-計(jì)算系統(tǒng)矩陣\(A\)的特征值，判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。

-若所有特征值具有負(fù)實(shí)部，系統(tǒng)穩(wěn)定。

2.李雅普諾夫方法：

-構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)\(V(x)\)，驗(yàn)證系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性。

（二）能控性與能觀測性

1.能控性：

-計(jì)算能控性矩陣\(\mathcal{C}=[B\,AB\,A^2B\ldots]\)。

-若\(\mathcal{C}\)滿秩，系統(tǒng)完全能控。

2.能觀測性：

-計(jì)算能觀測性矩陣\(\mathcal{O}=\begin{bmatrix}C\\CA\\CA^2\\\vdots\end{bmatrix}\)。

-若\(\mathcal{O}\)滿秩，系統(tǒng)完全能觀測。

（三）控制器設(shè)計(jì)

1.極點(diǎn)配置：

-通過調(diào)整反饋增益矩陣\(K\)，將系統(tǒng)極點(diǎn)配置到期望位置。

-步驟：

(1)計(jì)算當(dāng)前極點(diǎn)；

(2)確定期望極點(diǎn)；

(3)計(jì)算增益矩陣\(K=(A-\lambdaI)^{-1}(B-D)\)。

2.狀態(tài)觀測器設(shè)計(jì)：

-構(gòu)造觀測器方程\(\dot{\hat{x}}=A\hat{x}+Bu+L(y-\hat{y})\)。

-選擇觀測器增益矩陣\(L\)以最小化估計(jì)誤差。

五、應(yīng)用場景

（一）工程系統(tǒng)

1.機(jī)械系統(tǒng)：振動(dòng)控制、機(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制。

2.電氣系統(tǒng)：電力電子變換器、電機(jī)控制。

3.化工系統(tǒng)：反應(yīng)過程控制、溫度調(diào)節(jié)。

（二）經(jīng)濟(jì)與生物系統(tǒng)（非敏感領(lǐng)域）

1.經(jīng)濟(jì)模型：多部門經(jīng)濟(jì)動(dòng)態(tài)分析。

2.生態(tài)模型：種群數(shù)量動(dòng)態(tài)模擬。

六、總結(jié)

狀態(tài)空間法通過狀態(tài)變量系統(tǒng)描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為，適用于復(fù)雜系統(tǒng)的建模與分析。本指南涵蓋了建模步驟、求解方法和典型應(yīng)用，為實(shí)際工程和科學(xué)問題提供理論基礎(chǔ)。通過掌握狀態(tài)空間法，讀者能夠更深入地理解系統(tǒng)控制原理，并應(yīng)用于優(yōu)化系統(tǒng)性能。

一、概述

自動(dòng)控制原理中的狀態(tài)空間法是一種系統(tǒng)建模和分析方法，通過狀態(tài)變量描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為。狀態(tài)空間法適用于多輸入多輸出系統(tǒng)，能夠提供系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)信息，便于進(jìn)行穩(wěn)定性分析、控制器設(shè)計(jì)和系統(tǒng)優(yōu)化。本指南將系統(tǒng)介紹狀態(tài)空間法的核心概念、建模步驟、求解方法和應(yīng)用場景，幫助讀者掌握該方法的理論與實(shí)踐。

二、狀態(tài)空間法的基本概念

（一）核心要素

1.狀態(tài)變量：描述系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的最小變量集合，能夠完全表征系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。

-狀態(tài)變量的選擇應(yīng)滿足“最小性”和“完備性”：最小性指狀態(tài)變量集合不能進(jìn)一步縮減而仍能描述系統(tǒng)；完備性指任何可觀測的系統(tǒng)行為都能通過狀態(tài)變量的組合表示。

-常見的狀態(tài)變量包括：機(jī)械系統(tǒng)的位置和速度、電路系統(tǒng)的電容電壓和電感電流、控制系統(tǒng)的誤差和誤差變化率等。

2.狀態(tài)方程：描述狀態(tài)變量隨時(shí)間變化的微分或差分方程，形式為\(\dot{x}=Ax+Bu\)。

-\(x\)為狀態(tài)向量，維度為\(n\times1\)。

-\(A\)為系統(tǒng)矩陣，維度為\(n\timesn\)，反映系統(tǒng)內(nèi)部動(dòng)態(tài)特性。

-\(u\)為輸入向量，維度為\(m\times1\)，表示外部對系統(tǒng)的擾動(dòng)或控制作用。

3.輸出方程：描述系統(tǒng)輸出與狀態(tài)變量和輸入變量的關(guān)系，形式為\(y=Cx+Du\)。

-\(y\)為輸出向量，維度為\(p\times1\)，表示系統(tǒng)可測量的外部響應(yīng)。

-\(C\)為輸出矩陣，維度為\(p\timesn\)，反映狀態(tài)變量對輸出的影響。

-\(D\)為前饋矩陣，維度為\(p\timesm\)，反映輸入對輸出的直接作用。

（二）數(shù)學(xué)模型

狀態(tài)空間模型由狀態(tài)方程和輸出方程組成，適用于線性時(shí)不變（LTI）系統(tǒng)。模型參數(shù)\(A,B,C,D\)矩陣的維度和元素反映了系統(tǒng)的特性，如穩(wěn)定性、能控性和能觀測性。

-系統(tǒng)矩陣\(A\)的特征值決定了系統(tǒng)的自然頻率和阻尼比，是穩(wěn)定性分析的關(guān)鍵。

-輸入矩陣\(B\)和輸出矩陣\(C\)的結(jié)構(gòu)決定了系統(tǒng)的能控性和能觀測性。

三、狀態(tài)空間模型的建立

（一）建模步驟

1.選擇狀態(tài)變量：

-確保狀態(tài)變量集合的完備性，覆蓋系統(tǒng)所有自由度。

-優(yōu)先選擇物理可測量的變量，如機(jī)械系統(tǒng)的位移和速度。

-常用方法包括：

(1)物理定律法：基于牛頓定律、能量守恒等推導(dǎo)狀態(tài)變量。例如，對于RLC電路，狀態(tài)變量可選為電容電壓和電感電流。

(2)相變量法：將系統(tǒng)方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，選擇最高階導(dǎo)數(shù)的線性組合作為狀態(tài)變量。

(3)約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形法：對于特定系統(tǒng)，選擇對角線或約當(dāng)塊形式的變量。

2.建立狀態(tài)方程：

-根據(jù)系統(tǒng)的物理定律（如牛頓定律、能量守恒）推導(dǎo)狀態(tài)方程。

-將狀態(tài)變量和輸入變量表示為微分方程。

-步驟示例（機(jī)械系統(tǒng)）：

(1)寫出系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程，如\(m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=u\)。

(2)選擇狀態(tài)變量，如\(x_1=x\),\(x_2=\dot{x}\)。

(3)代入運(yùn)動(dòng)方程，得到：

\[\dot{x}_1=x_2\]

\[\dot{x}_2=-\frac{k}{m}x_1-\frac{c}{m}x_2+\frac{1}{m}u\]

(4)寫為矩陣形式：

\[\dot{x}=\begin{bmatrix}0&1\\-\frac{k}{m}&-\frac{c}{m}\end{bmatrix}x+\begin{bmatrix}0\\\frac{1}{m}\end{bmatrix}u\]

3.建立輸出方程：

-確定系統(tǒng)可測量的輸出變量。

-將輸出變量表示為狀態(tài)變量和輸入變量的線性組合。

-步驟示例（測量位移）：

(1)輸出變量為位移\(y=x_1\)。

(2)表示為矩陣形式：

\[y=\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}x\]

（二）示例建模

以二階機(jī)械系統(tǒng)為例：

-狀態(tài)變量：位移\(x_1\)、速度\(x_2\)。

-狀態(tài)方程：

\[\begin{cases}\dot{x}_1=x_2\\\dot{x}_2=-\frac{k}{m}x_1-\frac{c}{m}x_2+\frac{1}{m}u\end{cases}\]

對應(yīng)矩陣形式：

\[\dot{x}=\begin{bmatrix}0&1\\-\frac{k}{m}&-\frac{c}{m}\end{bmatrix}x+\begin{bmatrix}0\\\frac{1}{m}\end{bmatrix}u\]

-輸出方程（若測量位移）：

\[y=\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}x\]

四、狀態(tài)空間模型的求解

（一）穩(wěn)定性分析

1.特征值分析：

-計(jì)算系統(tǒng)矩陣\(A\)的特征值，判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。

-若所有特征值具有負(fù)實(shí)部，系統(tǒng)穩(wěn)定。

-步驟：

(1)解特征方程\(\det(A-\lambdaI)=0\)，得到特征值\(\lambda\)。

(2)判斷實(shí)部是否全為負(fù)。例如，對于矩陣\(A=\begin{bmatrix}-2&1\\0&-3\end{bmatrix}\)，特征值為\(\lambda_1=-2\),\(\lambda_2=-3\)，系統(tǒng)穩(wěn)定。

2.李雅普諾夫方法：

-構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)\(V(x)\)，驗(yàn)證系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性。

-步驟：

(1)選擇正定函數(shù)\(V(x)=x^TPx\)，其中\(zhòng)(P\)為正定矩陣。

(2)驗(yàn)證\(\dot{V}(x)=x^T(A^TP+PA)x\)為負(fù)定。

(3)若滿足，系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。

（二）能控性與能觀測性

1.能控性：

-計(jì)算能控性矩陣\(\mathcal{C}=[B\,AB\,A^2B\ldots]\)。

-若\(\mathcal{C}\)滿秩，系統(tǒng)完全能控。

-步驟：

(1)對于\(n\)階系統(tǒng)，若\(\mathcal{C}\)為\(n\times(n+m)\)矩陣，計(jì)算其秩。

(2)若秩為\(n\)，系統(tǒng)完全能控。

2.能觀測性：

-計(jì)算能觀測性矩陣\(\mathcal{O}=\begin{bmatrix}C\\CA\\CA^2\\\vdots\end{bmatrix}\)。

-若\(\mathcal{O}\)滿秩，系統(tǒng)完全能觀測。

-步驟：

(1)對于\(n\)階系統(tǒng)，若\(\mathcal{O}\)為\(n\times(n+p)\)矩陣，計(jì)算其秩。

(2)若秩為\(n\)，系統(tǒng)完全能觀測。

（三）控制器設(shè)計(jì)

1.極點(diǎn)配置：

-通過調(diào)整反饋增益矩陣\(K\)，將系統(tǒng)極點(diǎn)配置到期望位置。

-步驟：

(1)