BEIJINGJIAOTONGUNIVERSITY連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻域分析為什么進(jìn)行系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)響應(yīng)的頻域分析方法無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)理想模擬濾波器為什么進(jìn)行系統(tǒng)的頻域分析？系統(tǒng)1處理(濾波)后的結(jié)果系統(tǒng)2處理(濾波)后的結(jié)果系統(tǒng)3處理(濾波)后的結(jié)果為什么不同系統(tǒng)處理的效果會(huì)不一樣？含噪信號(hào)信號(hào)去噪為什么進(jìn)行系統(tǒng)的頻域分析？處理結(jié)果的時(shí)域解釋——難系統(tǒng)2的沖激響應(yīng)系統(tǒng)3的沖激響應(yīng)信號(hào)去噪含噪信號(hào)的時(shí)域波形系統(tǒng)1的沖激響應(yīng)為什么進(jìn)行系統(tǒng)的頻域分析？信號(hào)傳輸連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻域分析為什么進(jìn)行系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)響應(yīng)的頻域分析方法無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)理想模擬濾波器連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻域描述連續(xù)LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)計(jì)算對(duì)于穩(wěn)定的連續(xù)LTI系統(tǒng)，虛指數(shù)信號(hào)ejw

t通過系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為H(jw)稱為連續(xù)LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，其為h(t)的Fourier變換連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)系統(tǒng)頻率響應(yīng)H(jw)

的物理意義

頻率為w的虛指數(shù)信號(hào)ejwt

通過穩(wěn)定的連續(xù)LTI系統(tǒng)的響應(yīng)仍為同頻率的虛指數(shù)信號(hào)。信號(hào)的改變由H(jw)

確定。H(jw)反映了系統(tǒng)對(duì)不同頻率信號(hào)的傳輸特性連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)幅度響應(yīng)與相位響應(yīng)幅度響應(yīng)相位響應(yīng)若h(t)是實(shí)信號(hào)時(shí)，則

幅度響應(yīng)|H(jw)|是w的偶函數(shù)，

相位響應(yīng)j(w)是w的奇函數(shù)。連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)正弦信號(hào)sin(w0t+q)通過連續(xù)LTI系統(tǒng)的響應(yīng)

利用虛指數(shù)信號(hào)ejw0

t響應(yīng)的特點(diǎn)及系統(tǒng)的線性特性，可得連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻域響應(yīng)正弦信號(hào)sin(w0t+q)通過系統(tǒng)的響應(yīng)

頻率為w0的正弦信號(hào)通過連續(xù)LTI系統(tǒng)的響應(yīng)仍為同頻率的正弦信號(hào)。響應(yīng)的幅度改變由|H(jw0)|

確定，響應(yīng)的相位改變由j(w0)

確定。連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻域響應(yīng)對(duì)于連續(xù)LTI系統(tǒng)，輸入x(t)、沖激響應(yīng)h(t)、零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)的關(guān)系為連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)根據(jù)Fourier變換的時(shí)域卷積特性，可得由此可見，系統(tǒng)頻率響應(yīng)H(jw)也可表示為連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻域描述若描述連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的微分方程為利用Fourier變換的微分特性，可得該系統(tǒng)的頻域描述方程連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻域描述

進(jìn)一步化簡(jiǎn)連續(xù)LTI系統(tǒng)的頻域描述方程，可得連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻域描述已知描述某穩(wěn)定的連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的微分方程為求解該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(jw)解：根據(jù)微分方程和Fourier變換的微分特性，可得該連續(xù)LTI系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)，因而其存在頻率響應(yīng)H(jw)頻率響應(yīng)H(jw)與沖激響應(yīng)h(t)

的關(guān)系連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻域描述連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻域描述雖然連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(jw)，可通過系統(tǒng)的輸入與輸出的頻譜函數(shù)來求解，但H(jw)與系統(tǒng)的輸入和輸出無關(guān)。2.根據(jù)描述連續(xù)LTI系統(tǒng)的微分方程，也可得系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(jw)1.根據(jù)描述連續(xù)LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)，可得系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(jw)穩(wěn)定的連續(xù)LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)一定存在Fourier變換。連續(xù)LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)計(jì)算由系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的Fourier變換計(jì)算根據(jù)描述連續(xù)LTI系統(tǒng)的微分方程計(jì)算根據(jù)連續(xù)LTI系統(tǒng)的輸入輸出信號(hào)計(jì)算根據(jù)實(shí)際電路的頻域等效電路模型計(jì)算根據(jù)連續(xù)LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，計(jì)算系統(tǒng)的頻率響應(yīng)連續(xù)LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)計(jì)算對(duì)于穩(wěn)定的連續(xù)LTI系統(tǒng)，其沖激響應(yīng)一定存在Fourier變換【例】已知某穩(wěn)定的連續(xù)LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)為

求解該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(jw)。解：該連續(xù)LTI系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)，因而其存在頻率響應(yīng)H(jw)連續(xù)LTI系統(tǒng)頻率響應(yīng)的計(jì)算根據(jù)描述連續(xù)LTI系統(tǒng)的微分方程，計(jì)算系統(tǒng)的頻率響應(yīng)若描述某穩(wěn)定的連續(xù)LTI系統(tǒng)的微分方程為利用Fourier變換的微分特性，可得連續(xù)LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)計(jì)算解：由Fourier變換性質(zhì)，以及系統(tǒng)頻率響應(yīng)的定義可得

【例】已知描述某穩(wěn)定的連續(xù)LTI系統(tǒng)的微分方程為求該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(jw)。由幅度響應(yīng)可見，此為一個(gè)中心頻率為f0Hz,3dB帶寬為fw

Hz的帶阻濾波器。

連續(xù)LTI系統(tǒng)頻率響應(yīng)的計(jì)算方法根據(jù)連續(xù)LTI系統(tǒng)的輸入輸出信號(hào)，計(jì)算系統(tǒng)的頻率響應(yīng)連續(xù)LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)計(jì)算輸入信號(hào)x(t)存在Fourier變換輸出信號(hào)yzs(t)存在Fourier變換連續(xù)LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)計(jì)算【例】已知某連續(xù)LTI系統(tǒng)的輸入信號(hào)x(t)=e-tu(t)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為

yzs(t)=e-tu(t)+e-2tu(t)，求該系統(tǒng)頻率響應(yīng)H(jw)和單位沖激響應(yīng)h(t)。由于x(t)和yzs(t)存在Fourier變換，分別進(jìn)行Fourier變換，得解：根據(jù)電路的頻域等效模型，計(jì)算系統(tǒng)頻率響應(yīng)電容的頻域模型連續(xù)LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)計(jì)算電感的頻域模型根據(jù)電路的頻域等效模型，計(jì)算系統(tǒng)頻率響應(yīng)連續(xù)LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)計(jì)算【例】圖示RC電路，激勵(lì)電壓源為x(t)，輸出y(t)為電容兩端的電壓vC(t)，電路的初始狀態(tài)為零。求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(jw)和沖激響應(yīng)h(t)。解：RC電路的頻域模型如圖，由電路的基本原理有連續(xù)LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)計(jì)算解：由Fourier反變換，可得系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)為【例】圖示RC電路，激勵(lì)電壓源為x(t)，輸出y(t)為電容兩端的電壓vC(t)，電路的初始狀態(tài)為零。求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(jw)和沖激響應(yīng)h(t)。連續(xù)LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)計(jì)算RC電路系統(tǒng)的幅度響應(yīng)和沖激響應(yīng)

隨著頻率的增加，系統(tǒng)的幅度響應(yīng)|H(jw)|不斷減小，

說明信號(hào)的頻率越高，信號(hào)通過該系統(tǒng)的損耗也就越大。由于|H(j(1/RC))|

0.7，所以把wc=1/RC稱為該系統(tǒng)的3dB截頻。低通濾波器系統(tǒng)頻率響應(yīng)的定義系統(tǒng)頻率響應(yīng)的概念系統(tǒng)頻率響應(yīng)可表示為幅度響應(yīng)和相位響應(yīng)H(jw)反映了連續(xù)系統(tǒng)對(duì)不同頻率信號(hào)的傳輸特性連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻域分析為什么進(jìn)行系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)響應(yīng)的頻域分析方法無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)理想模擬濾波器連續(xù)系統(tǒng)響應(yīng)的頻域分析方法非周期信號(hào)通過連續(xù)LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)【例】

已知描述某穩(wěn)定的連續(xù)LTI系統(tǒng)的微分方程為

y"(t)+3y'(t)+2y(t)=3x

'(t)+4x(t)，輸入激勵(lì)x(t)=e-3tu(t)，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs

(t)。解：由于輸入激勵(lì)x(t)的頻譜函數(shù)為該穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(jw)由微分方程可得解：系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs

(t)的頻譜函數(shù)Yzs

(jw)為【例】

已知描述某穩(wěn)定的連續(xù)LTI系統(tǒng)的微分方程為

y"(t)+3y'(t)+2y(t)=3x

'(t)+4x(t)，輸入激勵(lì)x(t)=e-3tu(t)，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs

(t)。【例】已知描述某穩(wěn)定的連續(xù)LTI系統(tǒng)的微分方程為

y"(t)+3y'(t)+2y(t)=3x

'(t)+4x(t)，輸入激勵(lì)(1)x1(t)=cos(2t)u(t)(2)x2(t)=e2tu(t)，試?yán)妙l域法分析系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。分析:

(1)由于所以對(duì)上式中的第三項(xiàng)進(jìn)行Fourier反變換是一項(xiàng)困難的任務(wù)。分析:

(2)由于x2(t)=e2tu(t)的Fourier變換不存在，所以不能用頻域法求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)?！纠恳阎枋瞿撤€(wěn)定的連續(xù)LTI系統(tǒng)的微分方程為

y"(t)+3y'(t)+2y(t)=3x

'(t)+4x(t)，輸入激勵(lì)(1)x1(t)=cos(2t)u(t)(2)x2(t)=e2tu(t)，試?yán)妙l域法分析系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)頻域分析方法與卷積積分法的關(guān)系：兩者實(shí)質(zhì)相同，只是表達(dá)信號(hào)的基本信號(hào)不同。Fourier變換的時(shí)域卷積定理是聯(lián)系兩者的橋梁。連續(xù)系統(tǒng)響應(yīng)的頻域分析方法模擬濾波器模擬濾波器：其能使輸入信號(hào)中一部分頻率分量順利通過，而使另一部分頻率分量很少通過，或不能通過的連續(xù)系統(tǒng)。連續(xù)系統(tǒng)響應(yīng)的頻域分析方法例:某段被2kHz噪聲干擾的音樂信號(hào)頻譜如下圖所示，試用濾波器濾除噪聲的影響。被噪聲干擾的音樂信號(hào)頻譜二階帶阻濾波器的幅度響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)響應(yīng)的頻域分析方法濾波后音樂信號(hào)頻譜帶阻濾波器幅度響應(yīng)例:某段被2kHz噪聲干擾的音樂信號(hào)頻譜如下圖所示，試用濾波器濾除噪聲的影響。連續(xù)系統(tǒng)響應(yīng)的頻域分析方法f0=2kHz,fw=10Hz周期信號(hào)通過LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)響應(yīng)的頻域分析方法【例】試求如圖所示周期為4的矩形波通過系統(tǒng)的響應(yīng)。解：對(duì)于周期矩形信號(hào)，其頻譜為系統(tǒng)的輸出系統(tǒng)的頻率響應(yīng)RC=0.3秒時(shí)，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)RC=4秒時(shí)，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)【例】試求如圖所示周期為4的矩形波通過系統(tǒng)的響應(yīng)。

周期信號(hào)

非周期信號(hào)通過系統(tǒng)響應(yīng)的頻域分析，揭示信號(hào)與系統(tǒng)在頻域的作用機(jī)理。系統(tǒng)頻域響應(yīng)H(jw)反映了系統(tǒng)的頻率特性。連續(xù)系統(tǒng)響應(yīng)的頻域分析方法連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻域分析為什么進(jìn)行系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)響應(yīng)的頻域分析方法無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)理想模擬濾波器無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)

無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的基本概念無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的時(shí)域特性無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的頻域特性無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)

若輸入信號(hào)為x(t)，無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的輸出信號(hào)y(t)為K為正常數(shù)，td是輸入信號(hào)通過系統(tǒng)后的延遲時(shí)間。無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的基本概念無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)

無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的時(shí)域特性無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的沖激響應(yīng)無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)

無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的頻域特性無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的頻率響應(yīng)無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)

系統(tǒng)的幅度響應(yīng)|H(jw)|為常數(shù)K，系統(tǒng)的帶寬為無窮大；系統(tǒng)的相位響應(yīng)

(w)

與

成線性關(guān)系，不會(huì)產(chǎn)生相位失真。無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的頻域特性【例】已知某穩(wěn)定的連續(xù)LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為(1)判斷系統(tǒng)是否為無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)。(2)當(dāng)輸入為x(t)=sin(t)+sin(3t)(-

<t<

)時(shí)，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。解：(1)因?yàn)樗韵到y(tǒng)的幅度響應(yīng)和相位響應(yīng)分別為

系統(tǒng)的幅度響應(yīng)|H(jw)|為常數(shù)，但相位響應(yīng)

(w)不是w的線性函數(shù)，

所以該連續(xù)LTI系統(tǒng)不是無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)?！纠恳阎撤€(wěn)定的連續(xù)LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為(1)判斷系統(tǒng)是否為無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)。(2)當(dāng)輸入為x(t)=sin(t)+sin(3t)(-

<t<

)時(shí)，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。解：(2)由可得由于系統(tǒng)的非線性相位，輸出信號(hào)相對(duì)于輸入信號(hào)產(chǎn)生了失真。【例】已知某穩(wěn)定的連續(xù)LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為(1)判斷系統(tǒng)是否為無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)。(2)當(dāng)輸入為x(t)=sin(t)+sin(3t)(-

<t<

)時(shí)，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。解：(2)無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)

無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的時(shí)域特性無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的頻域特性無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的基本概念連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻域分析為什么進(jìn)行系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)響應(yīng)的頻域分析方法無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)理想模擬濾波器理想模擬濾波器理想模擬濾波器的頻率特性理想低通濾波器的頻率響應(yīng)理想低通濾波器的沖激響應(yīng)理想低通濾波器的階躍響應(yīng)理想模擬濾波器的頻率特性理想模擬濾波器的頻率特性理想低通濾波器的頻率響應(yīng)幅度響應(yīng)|H(jw)|在通帶恒為1，相位響應(yīng)為0。理想低通濾波器的頻率響應(yīng)線性相位理想低通濾波器幅度響應(yīng)|H(jw)|在通帶恒為1，阻帶為0。相位響應(yīng)

(w)與

成線性關(guān)系，=-wtd理想低通濾波器的沖激響應(yīng)線性相位理想低通濾波器當(dāng)wc

時(shí)，理想低通變?yōu)闊o失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)，

h(t)變?yōu)檠訒r(shí)沖激信號(hào)。在

t<0

時(shí)h(t)也存在輸出，可見理想低通濾波器

是非因果系統(tǒng)，其為物理不可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)。h(t)主峰出現(xiàn)時(shí)刻t=td

理想低通濾波器的沖激響應(yīng)線性相位理想低通濾波器

是一個(gè)抽樣函數(shù)。理想低通濾波器的階躍響應(yīng)線性相位理想低通濾波器

階躍響應(yīng)g(t)的上升時(shí)間tr與理想低通截頻wc成反比。

wc越大，上升時(shí)間就越短，當(dāng)wc

時(shí)，tr

0。理想低通濾波器的階躍響應(yīng)線性相位理想低通濾波器1.輸出響應(yīng)的延遲時(shí)間取決于理想低通濾波器的相位響應(yīng)的斜率。2.理想低通濾波器的通帶寬度與輸入信號(hào)帶寬不匹配時(shí)，輸出就會(huì)失真。系統(tǒng)的通帶寬度若大于信號(hào)的帶寬，則不會(huì)產(chǎn)生傳輸失真。理想模擬濾波器實(shí)際低通模擬濾波器理想低通濾波器|HLP(jw)|10通帶過渡帶阻帶pwswsdpd-1w理想模擬濾波器【例】若連續(xù)LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為

，畫出該系統(tǒng)

的幅度響應(yīng)，并說明該系統(tǒng)具有特性（低通、高通、帶通、帶阻）。解：帶通系統(tǒng)的頻域特性H(jw)對(duì)濾波結(jié)果的影響含噪信號(hào)的頻譜系統(tǒng)1的幅度響應(yīng)系統(tǒng)2的幅度響應(yīng)系統(tǒng)3的幅度響應(yīng)連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻域分析應(yīng)用信號(hào)傳輸連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻域分析應(yīng)用【例】已知理想模擬低通濾波器的頻率響應(yīng)H(jw)為(1)

若系統(tǒng)的輸入信號(hào)x1(t)=Sa(pt)，試求系統(tǒng)輸出響應(yīng)y1(t)；(2)若系統(tǒng)的輸入信號(hào)x2(t)=Sa(3pt)，試求系統(tǒng)輸出響應(yīng)y2(t)；(3)若系統(tǒng)的輸入信號(hào)x3(t)是周期矩形波信號(hào)，試求系統(tǒng)輸出響應(yīng)y3(t)。連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻域分析應(yīng)用解：(1)

信號(hào)x1(t)=Sa(pt)通過系統(tǒng)的響應(yīng)y1(t)輸出頻譜為由Fourier反變換可得【例】已知理想模擬低通濾波器的頻率響應(yīng)H(jw)為連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻域分析應(yīng)用解：(1)

信號(hào)x1(t)=Sa(pt)通過系統(tǒng)的響應(yīng)y1(t)系統(tǒng)輸入x1(t)=Sa(pt)

系統(tǒng)輸出y1(t)=Sa[p(t-2)]

【例】已知理想模擬低通濾波器的頻率響應(yīng)H(jw)為連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻域分析應(yīng)用解：(2)

信號(hào)x2(t)=Sa(3pt)通過系統(tǒng)的響應(yīng)y2(t)輸出頻譜為由Fourier反變換可得【例】已知理想模擬低通濾波器的頻率響應(yīng)H