8.4統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例（精講）一．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣1.定義：一般地，設(shè)一個(gè)總體含有N(N為正整數(shù))個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)抽取n(1≤n<N)個(gè)個(gè)體作為樣本．如果抽取是不放回的，且每次抽取時(shí)總體內(nèi)未進(jìn)入樣本的各個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等，我們把這樣的抽樣方法叫做不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣統(tǒng)稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．(除非特殊聲明，本章所稱的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣指不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣)2.簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本：通過(guò)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣獲得的樣本稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本．3.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的常用方法：抽簽法和隨機(jī)數(shù)法二．分層隨機(jī)抽樣1.分層隨機(jī)抽樣的概念一般地，按一個(gè)或多個(gè)變量把總體劃分成若干個(gè)子總體，每個(gè)個(gè)體屬于且僅屬于一個(gè)子總體，在每個(gè)子總體中獨(dú)立地進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機(jī)抽樣，每一個(gè)子總體稱為層．2.分層隨機(jī)抽樣的平均數(shù)計(jì)算在分層隨機(jī)抽樣中，以層數(shù)是2層為例，如果第1層和第2層包含的個(gè)體數(shù)分別為M和N，抽取的樣本量分別為m和n，樣本平均數(shù)分別為eq\x\to(x)，eq\x\to(y)，總體的樣本平均數(shù)為eq\x\to(w)，則eq\x\to(w)＝eq\f(M,M＋N)eq\x\to(x)＋eq\f(N,M＋N)eq\x\to(y)＝eq\f(m,m＋n)eq\x\to(x)＋eq\f(n,m＋n)eq\x\to(y)．三．總體百分位數(shù)的估計(jì)1.百分位數(shù)：一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值，且至少有(100－p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值．2.百分位數(shù)的意義：反映該組數(shù)中小于或等于該百分位數(shù)的分布特點(diǎn)．四．總體集中趨勢(shì)的估計(jì)名稱概念平均數(shù)如果有n個(gè)數(shù)x1，x2，…，xn，那么eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)就是這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，用eq\x\to(x)表示，即eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)中位數(shù)將一組數(shù)據(jù)按從小到大或從大到小的順序排列，處在最中間的一個(gè)數(shù)據(jù)(當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí))或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)(當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)(即頻數(shù)最大值所對(duì)應(yīng)的樣本數(shù)據(jù))叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)五．總體離散程度的估計(jì)總體(樣本)方差和總體(樣本)標(biāo)準(zhǔn)差假設(shè)一組數(shù)據(jù)是x1，x2，…，xn，用eq\x\to(x)表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，那么這n個(gè)數(shù)的1.標(biāo)準(zhǔn)差s＝eq\r(\f(1,n)[（x1－eq\x\to(x)）2＋（x2－eq\x\to(x)）2＋…＋（xn－eq\x\to(x)）2])；2.方差s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]．六．相關(guān)關(guān)系1．變量的相關(guān)關(guān)系(1)相關(guān)關(guān)系：兩個(gè)變量有關(guān)系，但又沒(méi)有確切到可由其中的一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系．(2)散點(diǎn)圖：每一個(gè)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)都可用直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)表示出來(lái)，由這些點(diǎn)組成了統(tǒng)計(jì)圖．我們把這樣的統(tǒng)計(jì)圖叫做散點(diǎn)圖．(3)相關(guān)關(guān)系的分類：正相關(guān)和負(fù)相關(guān)．(4)線性相關(guān)：一般地，如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在一條直線附近，我們稱這兩個(gè)變量線性相關(guān)．2．樣本相關(guān)系數(shù)(1)r＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（xi－eq\x\to(x)）（yi－eq\x\to(y)）,\r(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（xi－eq\x\to(x)）2)\r(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（yi－eq\x\to(x)）2)).(2)當(dāng)r>0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)．(3)|r|≤1；當(dāng)|r|越接近1時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；當(dāng)|r|越接近0時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱．3．一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)(1)我們將eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))稱為Y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，其中eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(b,\s\up6(^))＝\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（xi－eq\x\to(x)）（yi－eq\x\to(y)）,\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（xi－eq\x\to(x)）2)，,\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).))七、獨(dú)立性檢驗(yàn)1．分類變量與列聯(lián)表(1)分類變量：在討論問(wèn)題時(shí)，為了表述方便，我們經(jīng)常會(huì)使用一種特殊的隨機(jī)變量，以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì)，這類隨機(jī)變量稱為分類變量．分類變量的取值可以用實(shí)數(shù)表示．(2)2×2列聯(lián)表列聯(lián)表：列出的兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表．假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列聯(lián)表為y1y2合計(jì)x1aba＋bx2cdc＋d合計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋d2.獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)零假設(shè)：以Ω為樣本空間的古典概型．設(shè)X和Y為定義在Ω上，取值于{0，1}的成對(duì)分類變量．H0：分類變量X和Y獨(dú)立．通常稱H0為零假設(shè)或原假設(shè)．(2)χ2公式假設(shè)我們通過(guò)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣得到了X和Y的抽樣數(shù)據(jù)列聯(lián)表，如下表所示：XY合計(jì)Y＝0Y＝1X＝0aba＋bX＝1cdc＋d合計(jì)a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋dχ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）).對(duì)于任何小概率值α，可以找到相應(yīng)的正實(shí)數(shù)xα，使得下面關(guān)系成立：P(χ2≥xα)＝α.我們稱xα為α的臨界值，這個(gè)臨界值就可作為判斷χ2大小的標(biāo)準(zhǔn)．概率值α越小，臨界值xα越大．(3)獨(dú)立性檢驗(yàn)基于小概率值α的檢驗(yàn)規(guī)則是：當(dāng)χ2≥xα?xí)r，我們就推斷H0不成立，即認(rèn)為X和Y不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)α；當(dāng)χ2＜xα?xí)r，我們沒(méi)有充分證據(jù)推斷H0不成立，可以認(rèn)為X和Y獨(dú)立．這種利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，讀作“卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)”，簡(jiǎn)稱獨(dú)立性檢驗(yàn)．一．分層隨機(jī)抽樣1.抽樣比＝eq\f(該層樣本容量n,總樣本容量N)＝eq\f(該層抽取的個(gè)體數(shù),該層的個(gè)體數(shù)).2.在分層隨機(jī)抽樣中，如果第一層的樣本量為m，平均值為eq\x\to(x)；第二層的樣本量為n，平均值為eq\x\to(y)，則樣本的平均值為eq\f(meq\x\to(x)＋neq\x\to(y),m＋n).二．計(jì)算一組數(shù)據(jù)第p百分位數(shù)的步驟三．頻率分布直方圖的數(shù)字特征1.眾數(shù)：眾數(shù)一般用頻率分布表中頻率最高的一組的組中值來(lái)表示，即在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，最高矩形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；2.中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積和應(yīng)該相等；3.平均數(shù)：平均數(shù)在頻率分布表中等于組中值與對(duì)應(yīng)頻率之積的和，即在頻率分布直方圖中，每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．四．常用結(jié)論1.畫(huà)散點(diǎn)圖：點(diǎn)的分布從左下角到右上角，兩個(gè)變量正相關(guān)；點(diǎn)的分布從左上角到右下角，兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)．2.相關(guān)系數(shù)：當(dāng)r>0時(shí)，正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，負(fù)相關(guān)；|r|越接近于1，相關(guān)性越強(qiáng)．3.經(jīng)驗(yàn)回歸方程：當(dāng)eq\o(b,\s\up6(^))>0時(shí)，正相關(guān)；當(dāng)eq\o(b,\s\up6(^))<0時(shí)，負(fù)相關(guān)．4．若x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\x\to(x)，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)為meq\x\to(x)＋a；5．若x1，x2，…，xn的方差為s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差為a2s2；6．s2＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up11(n),\s\do4(i＝1))(xi－eq\x\to(x))2＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up11(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－eq\x\to(x)2，即各數(shù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方．考點(diǎn)一簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣及分層抽樣【例1-1】（2023·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知某班共有學(xué)生46人，該班語(yǔ)文老師為了了解學(xué)生每天閱讀課外書(shū)籍的時(shí)長(zhǎng)情況，決定利用隨機(jī)數(shù)表法從全班學(xué)生中抽取10人進(jìn)行調(diào)查．將46名學(xué)生按01，02，…，46進(jìn)行編號(hào)．現(xiàn)提供隨機(jī)數(shù)表的第7行至第9行：8442175331

5724550688

7704744767

2176335025

83921206766301637859

1695565719

9810507175

1286735807

44395238793321123429

7864560782

5242074438

1551001342

9966027954若從表中第7行第41列開(kāi)始向右依次讀取2個(gè)數(shù)據(jù)，每行結(jié)束后，下一行依然向右讀數(shù)，則得到的第8個(gè)樣本編號(hào)是（

）A．07 B．12 C．39 D．44【例1-2】（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)郡中學(xué)?？技倨谧鳂I(yè)）為了慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨第二十次全國(guó)代表大會(huì)，學(xué)校采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法從高一1002人，高二1002人，高三1503人中抽取126人觀看“中國(guó)共產(chǎn)黨第二十次全國(guó)代表大會(huì)”直播，那么高三年級(jí)被抽取的人數(shù)為（

）A．36 B．42 C．50 D．54【一隅三反】1．（2023秋·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）要調(diào)查某地區(qū)高中學(xué)生身體素質(zhì)，從高中生中抽取人進(jìn)行跳遠(yuǎn)測(cè)試，根據(jù)測(cè)試成績(jī)制作頻率分布直方圖如圖，現(xiàn)從成績(jī)?cè)谥g的學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取人，應(yīng)從間抽取人數(shù)為，則（

）．A．， B．，C．， D．，2．（2023·西藏日喀則·統(tǒng)考一模）某市四區(qū)夜市地?cái)偟臄偽粩?shù)和食品攤位比例分別如圖、圖所示，為提升夜市消費(fèi)品質(zhì)，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取的攤位進(jìn)行調(diào)查分析，則抽取的樣本容量與區(qū)被抽取的食品攤位數(shù)分別為（

）

A．210，

24 B．210，

12C．252，

24 D．252，

123．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）現(xiàn)有300名老年人，500名中年人，400名青年人，從中按比例用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取人，若抽取的老年人與青年人共21名，則的值為（

）A．15 B．30 C．32 D．364．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）某學(xué)校為了調(diào)查學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，由每班隨機(jī)抽取5名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.若一班有50名學(xué)生，將每一學(xué)生編號(hào)，從01到50為止，請(qǐng)從隨機(jī)數(shù)表的第2行第11列（下表為隨機(jī)數(shù)表的前5行）的42開(kāi)始，依次向右，直到取足樣本，則抽取樣本的號(hào)碼是.0347437386

3696473661

4698637162

3326168045

60111410959774246762

4281145720

4253323732

2707360751

24517989731676622766

5650267107

3290797853

1355385859

88975414101256859926

9696682731

0503729315

5712101421

88264981765559563564

3854824622

3162430990

0618443253

23830130305．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）總體由編號(hào)為的20個(gè)個(gè)體組成，利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個(gè)個(gè)體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開(kāi)始從左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來(lái)的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為．7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481考點(diǎn)二統(tǒng)計(jì)圖表【例2-1】（2023秋·陜西西安·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）某公司統(tǒng)計(jì)了2023年1月至6月的月銷售額（單位：萬(wàn)元），并與2022年比較，得到同比增長(zhǎng)率數(shù)據(jù)，繪制了如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖，則下列說(shuō)法正確的是（

）注：同比增長(zhǎng)率（今年月銷售額去年同期月銷售額）去年同期月銷售額.A．2023年1月至6月的月銷售額的極差為6B．2023年1月至6月的月銷售額逐月遞增C．2023年1月至6月的月銷售額的中位數(shù)為9.5D．2022年5月的月銷售額為8萬(wàn)元【例2-2】（2023·福建三明·統(tǒng)考三模）（多選）已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)如圖①所示，為了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視情況，衛(wèi)生部門(mén)根據(jù)當(dāng)?shù)刂行W(xué)生人數(shù)，用分層抽樣的方法抽取了的學(xué)生進(jìn)行視力調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)如圖②所示，下列說(shuō)法正確的有（

）圖①

圖②A．該地區(qū)的中小學(xué)生中，高中生占比為B．抽取調(diào)查的高中生人數(shù)為人C．該地區(qū)近視的中小學(xué)生中，高中生占比超過(guò)D．從該地區(qū)的中小學(xué)生中任取名學(xué)生，記近視人數(shù)為，則的數(shù)學(xué)期望約為【一隅三反】1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）Keep是一款具有社交屬性的健身APP，致力于提供健身教學(xué)、跑步、騎行、交友及健身飲食指導(dǎo)、裝備購(gòu)買(mǎi)等一站式運(yùn)動(dòng)解決方案．Keep可以讓你隨時(shí)隨地進(jìn)行鍛煉，記錄你每天的訓(xùn)練進(jìn)程．不僅如此，它還可以根據(jù)不同人的體質(zhì)，制定不同的健身計(jì)劃．小張根據(jù)Keep記錄的2022年1月至2022年11月期間每月跑步的里程（單位：十公里）數(shù)據(jù)整理并繪制了下面的折線圖．根據(jù)該折線圖，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）

A．月跑步里程逐月增加B．月跑步里程最大值出現(xiàn)在10月C．月跑步里程的中位數(shù)為5月份對(duì)應(yīng)的里程數(shù)D．1月至5月的月跑步里程相對(duì)于6月至11月波動(dòng)性更小2（2023秋·河北保定·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）（多選）某公司統(tǒng)計(jì)了2023年1月至6月的月銷售額（單位：萬(wàn)元），并與2022年比較，得到同比增長(zhǎng)率數(shù)據(jù)，繪制了如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖，則下列說(shuō)法正確的是（

）注：同比增長(zhǎng)率=（今年月銷售額一去年同期月銷售額）÷去年同期月銷售額．

A．2023年1月至6月的月銷售額的極差為8B．2023年1月至6月的月銷售額的第60百分位數(shù)為8C．2023年1月至6月的月銷售額的中位數(shù)為9.5D．2022年5月的月銷售額為10萬(wàn)元3．（2023秋·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）航海模型項(xiàng)目在我國(guó)已開(kāi)展四十余年，深受青少年的喜愛(ài).該項(xiàng)目整合國(guó)防、科技、工程、藝術(shù)、物理、數(shù)學(xué)等知識(shí)，主要通過(guò)讓參賽選手制作、遙控各類船只、艦艇等模型航行，普及船艇知識(shí)，探究海洋奧秘，助力培養(yǎng)未來(lái)海洋強(qiáng)國(guó)的建設(shè)者.某學(xué)樣為了解學(xué)生對(duì)航海模型項(xiàng)目的喜愛(ài)程度，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣法從某校高一、高二、高三年級(jí)所有學(xué)生中抽取部分學(xué)生做抽樣調(diào)查.已知該學(xué)校高一、高二、高三年級(jí)學(xué)生人數(shù)的比例如圖所示，若抽取的樣本中高三年級(jí)學(xué)生有32人，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．該校高一學(xué)生人數(shù)是2000B．樣本中高二學(xué)生人數(shù)是28C．樣本中高三學(xué)生人數(shù)比高一學(xué)生人數(shù)多12D．該校學(xué)生總?cè)藬?shù)是8000考點(diǎn)三特征數(shù)的計(jì)算【例3-1】（2023秋·廣東湛江·高三湛江一中校考開(kāi)學(xué)考試）（多選）一組數(shù)據(jù)：0，1，5，6，7，11，12，則（

）A．這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6 B．這組數(shù)據(jù)的方差為16C．這組數(shù)據(jù)的極差為11 D．這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為7【例3-2】（2023·福建福州·福州四中?？寄M預(yù)測(cè)）（多選）在某市高三年級(jí)舉行的一次調(diào)研考試中，共有30000人參加考試.為了解考生的某科成績(jī)情況，抽取了樣本容量為的部分考生成績(jī)，已知所有考生成績(jī)均在，按照的分組作出如圖所示的頻率分布直方圖.若在樣本中，成績(jī)落在區(qū)間的人數(shù)為16，則由樣本估計(jì)總體可知下列結(jié)論正確的為（

）

A．B．C．考生成績(jī)的第70百分位數(shù)為76D．估計(jì)該市全體考生成績(jī)的平均分為71【一隅三反】1．（2024·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）（多選）為慶祝江西籍航天員鄧清明順利從太空返航，鄧清明家鄉(xiāng)的某所中學(xué)舉辦了一場(chǎng)“我愛(ài)星辰大?！焙教熘R(shí)競(jìng)賽，滿分100分，該校高一（1）班代表隊(duì)6位參賽學(xué)生的成績(jī)（單位：分）分別為：84，100，91，95，95，98，則關(guān)于這6位參賽學(xué)生的成績(jī).下列說(shuō)法正確的是（

）A．眾數(shù)為95 B．中位數(shù)為93C．平均成績(jī)超過(guò)93分 D．第分位數(shù)是912．（2023秋·全國(guó)·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）（多選）某書(shū)店為了解其受眾人群，對(duì)100名顧客的年齡進(jìn)行調(diào)研，并將所統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知是各個(gè)小矩形上短邊的中點(diǎn)，若點(diǎn)在一條直線上，點(diǎn)在一條直線上，且，則下列描述正確的是（

）

A．的值為0.0108B．?dāng)?shù)據(jù)的眾數(shù)大于中位數(shù)C．?dāng)?shù)據(jù)的中位數(shù)小于平均數(shù)D．?dāng)?shù)據(jù)的第80百分位數(shù)大于603．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選）近年來(lái)，加強(qiáng)青少年體育鍛煉，重視體質(zhì)健康已經(jīng)在社會(huì)形成高度共識(shí)，某校為了了解學(xué)生的身體素質(zhì)狀況，舉行了一場(chǎng)身體素質(zhì)體能測(cè)試，以便對(duì)體能不達(dá)標(biāo)的學(xué)生進(jìn)行有效地訓(xùn)練，促進(jìn)他們體能的提升，現(xiàn)從全部測(cè)試成績(jī)中隨機(jī)抽取200名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)，進(jìn)行適當(dāng)分組后，畫(huà)出如圖所示頻率分布直方圖，則（

）

A．B．在被抽取的學(xué)生中，成績(jī)?cè)趨^(qū)間內(nèi)的學(xué)生有70人C．估計(jì)全校學(xué)生體能測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)為77D．估計(jì)全校學(xué)生體能測(cè)試成績(jī)的分位數(shù)為84考點(diǎn)四一元線性回歸方程【例4-1】（2023秋·江蘇蘇州·高三蘇州中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）（多選）已知變量，之間的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，且變量，的數(shù)據(jù)如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（

）6810126m32A．變量，之間呈正相關(guān)關(guān)系 B．實(shí)數(shù)m的值等于5C．該回歸直線必過(guò) D．相應(yīng)于的殘差估計(jì)值為0.6【例4-2】（2023秋·四川成都·高三樹(shù)德中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）某新能源汽車(chē)制造公司，為鼓勵(lì)消費(fèi)者購(gòu)買(mǎi)其生產(chǎn)的汽車(chē)，約定從今年元月開(kāi)始，凡購(gòu)買(mǎi)一輛該品牌汽車(chē)，在行駛?cè)旰?，公司將給予適當(dāng)金額的購(gòu)車(chē)補(bǔ)貼．某調(diào)研機(jī)構(gòu)對(duì)已購(gòu)買(mǎi)該品牌汽車(chē)的消費(fèi)者，就購(gòu)車(chē)補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值進(jìn)行了抽樣調(diào)查，得其樣本頻率分布直方圖如圖所示．

(1)估計(jì)已購(gòu)買(mǎi)該品牌汽車(chē)的消費(fèi)群體對(duì)購(gòu)車(chē)補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值的平均數(shù)；(2)統(tǒng)計(jì)今年以來(lái)元月~5月該品牌汽車(chē)的市場(chǎng)銷售量，得其頻數(shù)分布表如下：月份元月2月3月4月5月銷售量（萬(wàn)輛）0.50.61.01.41.7預(yù)測(cè)該品牌汽車(chē)在今年6月份的銷售量約為多少萬(wàn)輛？附：對(duì)于一組樣本數(shù)據(jù)，，，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)值分別為，．【一隅三反】1．（2023·江蘇徐州·?？寄M預(yù)測(cè)）（多選）某研究小組采集了組數(shù)據(jù)，作出如圖所示的散點(diǎn)圖．若去掉后，下列說(shuō)法正確的是（

）

A．相關(guān)系數(shù)變小B．決定系數(shù)變大C．殘差平方和變大D．解釋變量與預(yù)報(bào)變量的相關(guān)性變強(qiáng)2．（2023·湖北·荊門(mén)市龍泉中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）（多選）某學(xué)校一同學(xué)研究溫差與本校當(dāng)天新增感冒人數(shù)（人）的關(guān)系，該同學(xué)記錄了5天的數(shù)據(jù)：x568912y1720252835經(jīng)過(guò)擬合，發(fā)現(xiàn)基本符合經(jīng)驗(yàn)回歸方程，則（

）A．樣本中心點(diǎn)為 B．C．，殘差為 D．若去掉樣本點(diǎn)，則樣本的相關(guān)系數(shù)r增大3．（2023春·陜西西安·高三西安中學(xué)?？茧A段練習(xí)）3月14日OpenAI公司宣布正式發(fā)布為ChatGPT提供支持的更強(qiáng)大的下一代人工智能技術(shù)GPT-4，科技產(chǎn)業(yè)的發(fā)展迎來(lái)新的格局，數(shù)據(jù)顯示，它在各種專業(yè)和學(xué)術(shù)基準(zhǔn)上與人類水平相當(dāng)，優(yōu)秀到令人難以置信，雖然給各行業(yè)帶來(lái)了不同程度的挑戰(zhàn)，但是也孕育了新的發(fā)展機(jī)遇.下表是某教育公司從2019年至2023年人工智能上的投入情況，其中表示年份代碼（2019年用1表示，2020年用2表示，以此類推），表示投入資金（單位：百萬(wàn)元）.123453781012(1)已知可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明；（若，則線性相關(guān)程度很高）（運(yùn)算結(jié)果保留兩位小數(shù)）(2)求關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)該公司2024年的投入資金.參考公式與數(shù)據(jù)：4．（2023秋·湖南衡陽(yáng)·高三?？茧A段練習(xí)）隨著人們生活水平的提高，健康越來(lái)越成為當(dāng)下人們關(guān)心的話題，因此，健身也成了廣大市民的一項(xiàng)必修課.某健身機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了2022年1～5月份某初級(jí)私人健身教練課程的月報(bào)名人數(shù)（單位：人）與該初級(jí)私人健身教練價(jià)格（單位：元/小時(shí)）的情況，如下表所示.月份12345初級(jí)私人健身教練價(jià)格（元/小時(shí)）210200190170150初級(jí)私人健身教練課程的月報(bào)名人數(shù)（人）587911(1)求（，2，3，4，5）的相關(guān)系數(shù)r，并判斷月報(bào)名人數(shù)y與價(jià)格x是否有很強(qiáng)的線性相關(guān)性?（當(dāng)時(shí)，可以認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性；否則，沒(méi)有很強(qiáng)的線性相關(guān)性）（精確到0.001）(2)請(qǐng)建立關(guān)于的線性回歸方程；（精確到0.001）(3)當(dāng)價(jià)格為每小時(shí)230元時(shí)，估計(jì)該課程的月報(bào)名人數(shù)為多少人?（結(jié)果保留整數(shù)）參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（，2，3，…，n），相關(guān)系數(shù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.參考數(shù)據(jù)：.，，.考點(diǎn)五非線性回歸方程【例5-1】（2023·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）為了反映城市的人口數(shù)量x與就業(yè)壓力指數(shù)y之間的變量關(guān)系，研究人員選擇使用非線性回歸模型對(duì)所測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，并設(shè)，得到的數(shù)據(jù)如表所示，則.x46810z2c56【例5-2】（2023·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考二模）抗體藥物的研發(fā)是生物技術(shù)制藥領(lǐng)域的一個(gè)重要組成部分，抗體藥物的攝入量與體內(nèi)抗體數(shù)量的關(guān)系成為研究抗體藥物的一個(gè)重要方面.某研究團(tuán)隊(duì)收集了10組抗體藥物的攝入量與體內(nèi)抗體數(shù)量的數(shù)據(jù)，并對(duì)這些數(shù)據(jù)作了初步處理，得到了如圖所示的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值，抗體藥物攝入量為x（單位：），體內(nèi)抗體數(shù)量為y（單位：）.29.2121634.4

(1)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，我們選擇作為體內(nèi)抗體數(shù)量y關(guān)于抗體藥物攝入量x的回歸方程，將兩邊取對(duì)數(shù)，得，可以看出與具有線性相關(guān)關(guān)系，試根據(jù)參考數(shù)據(jù)建立關(guān)于的回歸方程，并預(yù)測(cè)抗體藥物攝入量為時(shí)，體內(nèi)抗體數(shù)量的值；(2)經(jīng)技術(shù)改造后，該抗體藥物的有效率z大幅提高，經(jīng)試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)得z服從正態(tài)分布，那這種抗體藥物的有效率超過(guò)0.54的概率約為多少？附：①對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，；②若隨機(jī)變量，則有，，；③取.【一隅三反】1．（2023·全國(guó)·鎮(zhèn)海中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）害蟲(chóng)防控對(duì)于提高農(nóng)作物產(chǎn)量具有重要意義.已知某種害蟲(chóng)產(chǎn)卵數(shù)（單位：個(gè)）與溫度（單位：）有關(guān)，測(cè)得一組數(shù)據(jù)，可用模型進(jìn)行擬合，利用變換得到的線性回歸方程為.若，則的值為.2．（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶八中校考階段練習(xí)）在正常生產(chǎn)條件下，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為化肥的有效利用率近似服從正態(tài)分布，而化肥施肥量因農(nóng)作物的種類不同每畝也存在差異.(1)假設(shè)生產(chǎn)條件正常，記表示化肥的有效利用率，求；(2)課題組為研究每畝化肥施用量與某農(nóng)作物畝產(chǎn)量之間的關(guān)系，收集了10組數(shù)據(jù)，并對(duì)這些數(shù)據(jù)作了初步處理，得到了如圖所示的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.其中每畝化肥施用量為（單位：公斤），糧食畝產(chǎn)量為（單位：百公斤）

參考數(shù)據(jù)：65091.552.51478.630.5151546.5，，2，，.（i）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與，哪一個(gè)適宜作為該農(nóng)作物畝產(chǎn)量關(guān)于每畝化肥施用量的回歸方程（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）；（ii）根據(jù)（i）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程；并預(yù)測(cè)每畝化肥施用量為27公斤時(shí)，糧食畝產(chǎn)量的值.附：①對(duì)于一組數(shù)據(jù)，2，3，，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，；②若隨機(jī)變量，則，.3．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？既＃┙?jīng)觀測(cè)，長(zhǎng)江中某魚(yú)類的產(chǎn)卵數(shù)與溫度有關(guān)，現(xiàn)將收集到的溫度和產(chǎn)卵數(shù)的10組觀測(cè)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到如圖的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量表.360表中

(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪一個(gè)適宜作為與之間的回歸方程模型并求出關(guān)于回歸方程；（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）(2)某興趣小組抽取兩批魚(yú)卵，已知第一批中共有6個(gè)魚(yú)卵，其中“死卵”有2個(gè)；第二批中共有8個(gè)魚(yú)卵，其中“死卵”有3個(gè)．現(xiàn)隨機(jī)挑選一批，然后從該批次中隨機(jī)取出2個(gè)魚(yú)卵，求取出“死卵”個(gè)數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為.考點(diǎn)六獨(dú)立性檢驗(yàn)【例6-1】（2024秋·安徽·高三合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）（多選）電影《八角籠中》是由王寶強(qiáng)導(dǎo)演并參演的一部電影，講述了年輕人為理想而努力奮斗的故事.該電影一上映就引起了廣大觀眾的熱議，票房也超出了預(yù)期，現(xiàn)隨機(jī)抽取若干名觀眾進(jìn)行調(diào)查，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表所示，則（

）喜歡該電影不喜歡該電影男性觀眾16040女性觀眾14060附：.0.100.050.010.0012.7063.8416.63510.828A．若在被調(diào)查的觀眾中隨機(jī)抽取1人，則抽到喜歡該電影的男性觀眾的概率為B．在被調(diào)查的觀眾中，男性不喜歡該電影的比例高于女性C．根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為被調(diào)查觀眾的性別與對(duì)電影的喜愛(ài)程度有差異D．根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為被調(diào)查觀眾的性別與對(duì)電影的喜愛(ài)程度有差異【例6-2】（2023·河南開(kāi)封·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）北京2022年冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會(huì)吉祥物“雪容融”一亮相，好評(píng)不斷．為了研究“冰墩墩”與“雪容融”在不同性別的人群中受歡迎程度是否存在差異，某機(jī)構(gòu)從關(guān)注冬奧會(huì)公眾號(hào)的微信用戶中隨機(jī)調(diào)查了200人，得到如下列聯(lián)表：男生女生總計(jì)更喜歡“冰墩墩”50更喜歡“雪容融”70總計(jì)100100