/2024-2025學年湖南省長沙市寧鄉(xiāng)市高一上學期期末考試數(shù)學檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．命題“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，3．已知函數(shù)分別由下表給出：則的值是（

）123131321A．1 B．2 C．3 D．1和24．已知a，b，，且，則下列不等式恒成立的是（

）A． B． C． D．5．設偶函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，則（）A． B．C． D．6．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式為（

）A． B．C． D．7．設，，，則，，的大小關系是（

）A． B．C． D．8．已知函數(shù)，若，則函數(shù)的零點個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題（本大題共4小題）9．下列哪些函數(shù)是冪函數(shù)（

）A． B． C． D．10．下列各式中值為1的是（

）A． B．C． D．11．已知函數(shù)，則下列結論正確的是（

）A．是奇函數(shù) B．是奇函數(shù)C．是偶函數(shù) D．是偶函數(shù)12．關于函數(shù)，下列敘述正確的是（

）A．其圖像關于直線對稱B．其圖像可由圖像上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼牡玫紺．其圖像關于點對稱D．其值域是三、填空題（本大題共4小題）13．已知函數(shù)是奇函數(shù),則實數(shù)的值為.14．若，則“”是“”的條件．（請用“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”回答）15．已知函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是．16．已知函數(shù)，，若對任意，存在，使得，則的取值范圍．四、解答題（本大題共6小題）17．已知集合，．(1)若，求；(2)若，求實數(shù)m的取值范圍．18．已知函數(shù)．(1)若，求的取值范圍；(2)若，求的值域．19．已知函數(shù).（1）判斷在上的單調性，并用定義法證明；（2）已知在上的最大值為m，若正實數(shù)a，b滿足，求最小值.20．（1）已知，求值：；（2）化簡：21．新冠肺炎疫情造成醫(yī)用防護服短缺，某地政府決定為防護服生產企業(yè)公司擴大生產提供（）（萬元）的專項補貼，并以每套80元的價格收購其生產的全部防護服，公司在收到政府（萬元）補貼后，防護服產量將增加到（萬件），其中為工廠工人的復工率（），公司生產萬件防護服還需投入成本（萬元）．(1)將公司生產防護服的利潤（萬元）表示為補貼（萬元）的函數(shù)（政府補貼萬元計入公司收入）；(2)當復工率時，政府補貼多少萬元才能使公司的防護服利潤達到最大？并求出最大值．22．已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的單調減區(qū)間；（2）若存在，使等式成立，求實數(shù)的取值范圍．

答案1．【正確答案】A【分析】直接求交集可得答案.【詳解】.故選：A.2．【正確答案】D【分析】根據(jù)特稱命題的否定直接得出答案.【詳解】因為特稱命題的否定是全稱命題，所以命題“，”的否定是為：，，故選：D.3．【正確答案】C【分析】根據(jù)表中自變量與函數(shù)值的對應關系，先求得，再求即得.【詳解】由表可知：，則.故選：C.4．【正確答案】D【分析】由不等式的性質，應用特殊值法判斷各項正誤.【詳解】A：時不成立；B、C：時、不成立；D：，即成立.故選：D5．【正確答案】B【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質得到，再根據(jù)函數(shù)的單調性判斷即可.【詳解】因為為偶函數(shù)，所以，又在區(qū)間上單調遞增，，所以，則.故選：B6．【正確答案】D【分析】根據(jù)圖像直接得到，由周期求，根據(jù)時，有最大值，求出.【詳解】由函數(shù)的圖象得，，即，則，∴.∵，則.則，得.∵，∴當時，，則函數(shù).故選:D.求三角函數(shù)解析式的方法：(1)求A通常用最大值或最小值；(2)求ω通常用周期；(3)求φ通常利用函數(shù)上的點帶入即可求解.7．【正確答案】D【分析】尋找中間量0，1，結合指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質可得結果.【詳解】因為所以，，故故選：D.8．【正確答案】D【分析】令，即，即將函數(shù)的零點個數(shù)問題轉化為對應方程的根的個數(shù)問題.【詳解】令，得，即或當時，由或，得或；當時，由或，得或；則函數(shù)的零點個數(shù)是4個.故選:D.9．【正確答案】BD【分析】由冪函數(shù)的定義對比選項即可求解.【詳解】由冪函數(shù)的標準形式，對比選項可知，與符合題意.故選：BD.10．【正確答案】ABD【分析】對于A項，逆用兩角和的正切公式計算即得；對于B項，利用二倍角的正弦公式即得；對于C項，利用二倍角的余弦公式即得；對于D項，利用誘導公式和同角的基本關系式計算即得.【詳解】對于A項，，故A項符合；對于B項，,故B項符合；對于C項，，故C項不符合；對于D項，，故D項符合.故選：ABD.11．【正確答案】AD【分析】由題意首先得分別是奇函數(shù)，偶函數(shù)，進一步根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義逐一判斷每一選項即可求解.【詳解】由題意函數(shù)的定義域都是關于原點對稱，且，所以分別是奇函數(shù)，偶函數(shù)，對于A，定義域為關于原點對稱，且，所以是奇函數(shù)，故A正確；對于B，若有意義，則，解得，即函數(shù)定義域為關于原點對稱，且，所以是偶函數(shù)，故B錯誤；對于C，定義域為關于原點對稱，且，所以是奇函數(shù)，故C錯誤；對于D，定義域為關于原點對稱，且，所以是偶函數(shù)，故D正確.故選：AD.12．【正確答案】BD【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質逐一判斷即可.【詳解】對于A，因為，所以直線不是函數(shù)圖象的對稱軸，故A錯誤；對于B，函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼模傻?，故B正確；對于C，因為，所以函數(shù)的圖象關于點對稱，故C錯誤；對于D，因為，所以，故D正確.故選：BD.13．【正確答案】2【分析】由函數(shù)是奇函數(shù)可得，求出的值，再驗證所求函數(shù)的奇偶性即可.【詳解】的定義域為，且是奇函數(shù)，，，此時，是奇函數(shù)，符合題意，故答案為2.本題主要考查函數(shù)的奇偶性，屬于中檔題.已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，主要方法有兩個，一是利用：（1）奇函數(shù)由恒成立求解，（2）偶函數(shù)由恒成立求解；二是利用特殊值：奇函數(shù)一般由求解，偶函數(shù)一般由求解，用特殊法求解參數(shù)后，一定要注意驗證奇偶性.14．【正確答案】充分不必要【分析】由指數(shù)函數(shù)單調性得，由此即可判斷.【詳解】由題意，而是的充分不必要條件，所以“”是“”的充分不必要條件.故充分不必要.15．【正確答案】【分析】首先函數(shù)分離常數(shù)，根據(jù)分數(shù)函數(shù)的單調性，即可求得實數(shù)a的取值范圍.【詳解】，因為函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，所以，解得.故16．【正確答案】【分析】由題意可判斷，由此求出，可得相應不等式恒成立，轉化為函數(shù)最值問題，求解即可.【詳解】由題意知；當時，，故需同時滿足以下兩點：①對時，∴恒成立，由于當時，為增函數(shù)，∴；②對時，，∴恒成立，由于，當且僅當，即時取得等號，∴，∴，故17．【正確答案】(1)；(2).【分析】（1）解一元一次不等式求集合A，應用集合交運算求結果；（2）由題意，列不等式組求參數(shù)范圍.【詳解】（1）由題設，，，所以.（2）由題意，則，可得.18．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）先考慮函數(shù)定義域，再運用對數(shù)函數(shù)單調性求解不等式即得；（2）根據(jù)求函數(shù)值域的從內到外的原則，先由的范圍求的范圍，再運用對數(shù)函數(shù)單調性求的范圍，最后即得函數(shù)值域.【詳解】（1）由可知，即得：，由得：，即，因在定義域內是增函數(shù)，故得，即，又因，故的取值范圍.（2）由可得，因在定義域內是增函數(shù)，則，故得：，即函數(shù)的值域為.19．【正確答案】（1）在上單調遞增，證明見解析；（2）2.【分析】（1）令，作差通過運算判斷符號得出結論；（2）由（1）知函數(shù)在上單調遞增，最大值為即根據(jù)基本不等式求解即可.【詳解】（1）函數(shù)在上單調遞增.證明如下：令，.因為，所以，，所以，所以，即，所以函數(shù)在上單調遞增.（2）由（1）知函數(shù)在上單調遞增，所以函數(shù)在上的最大值為，即，所以，所以，當且僅當時等號成立.易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構成和的二項之積轉化成定值；要求積的最大值，則必須把構成積的因式的和轉化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.20．【正確答案】（1）18（2）1【分析】（1）由誘導公式化簡求值即可.（2）由兩角差的正切公式、二倍角公式以及平方關系、商數(shù)關系化簡求值即可.【詳解】（1）由題意，原式.（2）原式.21．【正確答案】(1)，，(2)當復工率時，政府補貼2萬元才能使公司的防護服利潤達到最大值60萬元【分析】(1)根據(jù)題意得，代入化簡即可；(2)根據(jù)題意，代入，再結合均值不等式即可求解.【詳解】（1）由題意得，即，，.（2）由，得，因，當且僅當時取等號，所以.故當復工率時，政府補貼2萬元才能使公司的防護服利潤達到最大值60萬元.22．【正確答案】（1），．（2）【分析】（1）利用降次公式和輔助角公式化簡表達式，根據(jù)三角函數(shù)單調區(qū)間的求法，求得函數(shù)的單調減區(qū)間.（2）首先求得當時的值域.利用換元法令，將轉化為，