/2024-2025學(xué)年河北省保定市高二上學(xué)期期末調(diào)研數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．2．已知直線與直線夾角為，則的傾斜角為（

）A．或 B．或 C．或 D．或3．如圖，是拋物線上一點(diǎn)，是拋物線焦點(diǎn)，以為始邊、為終邊的角，則（

）

A．1 B．2 C．4 D．84．已知數(shù)列滿足，的前項(xiàng)和為，則（

）A． B． C． D．5．任取一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2．反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圖，這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰霓猜想”（又稱“角谷猜想”等）．已知數(shù)列滿足：，則（

）A．1 B．2 C．3 D．46．已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長都相等，頂點(diǎn)在底面ABC上的射影為的中心，則異面直線AB與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．7．在公比不為1的等比數(shù)列中，，的前項(xiàng)積為，則中不同的數(shù)值有（

）A．15個(gè) B．14個(gè) C．13個(gè) D．12個(gè)8．已知為雙曲線的左，右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為雙曲線上一點(diǎn)，且，則到軸的距離為（

）A．2 B． C． D．二、多選題（本大題共4小題）9．已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，則下列能判斷為遞增數(shù)列的有（

）A． B．C． D．10．平面直角坐標(biāo)系中，，則下列說法正確的是（

）A．若，則點(diǎn)軌跡為橢圓B．若，則點(diǎn)軌跡為雙曲線C．若，則點(diǎn)軌跡關(guān)于軸、軸都是對稱的D．若，則點(diǎn)軌跡為圓11．正方體中，P，Q，R分別是棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．P，Q，R，C四點(diǎn)共面 B．平面PQRC．平面 D．和平面PQR所成角的正弦值為12．已知點(diǎn)，直線上有且僅有一點(diǎn)滿足，則可能是（

）A．0 B．－1 C． D．三、填空題（本大題共4小題）13．等差數(shù)列中，，則．14．若數(shù)列為等比數(shù)列，則以為焦點(diǎn)的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為．15．在空間直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程可寫為．已知直線的方向向量為，平面的方程為，則直線與平面所成角的正弦值為．16．過直線上任意一點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別是A，B，過點(diǎn)向直線引垂線，垂足為，則線段為坐標(biāo)原點(diǎn)）的最大值為．四、解答題（本大題共6小題）17．如圖，在空間四邊形ABCD中，為BC的中點(diǎn)，在CD上，且．(1)以為基底，表示；(2)，，求．18．已知數(shù)列的首項(xiàng)是3，且滿足．(1)求證：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．19．已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動，，點(diǎn)為線段MN中點(diǎn)．(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)已知，求的最大值．20．如圖，正四棱錐中，，正四棱錐的高為分別為PB，PD的中點(diǎn)．

(1)求證：(2)連結(jié)BF，DE相交于點(diǎn)，求平面與平面夾角的正弦值．21．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，定義為不超過的最大整數(shù)，例如，，求數(shù)列的前項(xiàng)和．（說明：）22．橢圓的離心率為分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知面積為3．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)作直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，過點(diǎn)向軸引垂線交MN于點(diǎn)B，點(diǎn)C為點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)B的對稱點(diǎn)，求證：C，Q，M三點(diǎn)共線．

答案1．【正確答案】A【分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的對稱性質(zhì)結(jié)合題意求解即可.【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：A2．【正確答案】C【分析】先求直線斜率及傾斜角，再根據(jù)夾角為求出的傾斜角即可.【詳解】直線斜率則傾斜角為，直線與直線夾角為，則的傾斜角為或.故選：C.3．【正確答案】B【分析】求出直線的方程與拋物線方程聯(lián)立求出可得答案.【詳解】由題可知，則直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，得，解得，或，因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以，所以.故選：B.4．【正確答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列定義可證得數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，由此可得結(jié)果.【詳解】，數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，，數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，.故選：B.5．【正確答案】B【分析】根據(jù)“冰霓猜想”結(jié)合遞推關(guān)系式，可發(fā)現(xiàn)從開始進(jìn)入循環(huán)，利用規(guī)律求解判斷.【詳解】由題意可得，，，，，，，，，…，按照此規(guī)律下去，可得，，，，令，解得，.故選：B.6．【正確答案】A【分析】由于‖，所以為異面直線AB與所成角，然后根據(jù)題意可判斷為等邊三角形，從而可求出，進(jìn)而可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)頂點(diǎn)在底面上的射影為，連接，因?yàn)?，所以為異面直線AB與所成角，因?yàn)闉榈冗吶切危瑸榈闹行?，所以，因?yàn)轫旤c(diǎn)在底面ABC上的射影為，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以?所以，所以，因?yàn)?，所以，所以為等邊三角形，所以，所以，所以異面直線AB與所成角的余弦值為，故選：A7．【正確答案】B【分析】先設(shè)出數(shù)列的公比，將用來表示，接著探究在中有多少對值相同，通過列舉法即得.【詳解】不妨設(shè)數(shù)列的公比為，則由可得：，則，于是，，對于，由可得：，即，整理得：，故得：，又，故有：，即在中，共有6對值分別相同，即其中不同的數(shù)值有14個(gè).故選：B.8．【正確答案】C【分析】設(shè)，由雙曲線的定義及余弦定理，求得的值，再利用三角形的面積相等法求得的值，進(jìn)而求得，得到答案.【詳解】由雙曲線，可得，則，設(shè)，由雙曲線的定義，可得，根據(jù)余弦定理，可得，解得，再設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，因?yàn)椋傻?，解得，由，可得，即點(diǎn)到軸的距離為.故選：C.9．【正確答案】BD【分析】根據(jù)題意，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，對于A中，若，可得，所以為遞減數(shù)列，所以A錯(cuò)誤；對于B中，若，可得，所以為遞增數(shù)列，所以B正確；對于C中，若，可得，所以為遞減數(shù)列，所以C錯(cuò)誤；對于D中，若，可得，所以為遞增數(shù)列，所以D正確.故選：BD.10．【正確答案】ACD【分析】根據(jù)題意，結(jié)合橢圓、雙曲線，以及軌跡方程的求法，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對于A中，因?yàn)?，由橢圓的定義可知，點(diǎn)的軌跡為橢圓，所以A正確；對于B中，由雙曲線的定義可得時(shí)，點(diǎn)的軌跡為雙曲線，所以B不正確；對于C中，設(shè)，由，可得，整理得，可得曲線關(guān)于軸對稱，所以C正確；對于D中，因?yàn)椋傻?，整理得，即，所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑為的圓，所以D正確.故選：ACD.11．【正確答案】BC【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算說明不共線，可判斷A；求出平面的一個(gè)法向量，利用空間位置關(guān)系的向量證明方法，可判斷B，C；根據(jù)空間角的向量求法，可判斷D.【詳解】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，則，則，則兩向量沒有倍數(shù)關(guān)系，即不共線，即不平行，又平面，平面,且平面平面，故不相交，則異面，即P，Q，R，C四點(diǎn)不共面，A錯(cuò)誤；，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，又，則，又平面，故平面，B正確；由于，則，則，故平面，即平面，C正確；由于，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)和平面所成角為，則，故D錯(cuò)誤；故選：BC12．【正確答案】AB【分析】根據(jù)題意，得到點(diǎn)的軌跡方程為，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，以及直線與雙曲線的位置關(guān)系，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由點(diǎn)，且點(diǎn)滿足，根據(jù)雙曲線的定義，可得點(diǎn)是以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，且，所以雙曲線的方程為，又由直線，可得，聯(lián)立方程組，解得，所以直線過定點(diǎn)，由雙曲線的漸近線方程為，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，此時(shí)直線與雙曲線的右支相切，只有一個(gè)公共點(diǎn)，符合題意，所以A正確；當(dāng)時(shí)，直線的方程為，此時(shí)直線與雙曲線的右支只有一個(gè)公共點(diǎn)，符合題意，所以B正確；當(dāng)時(shí)，直線的方程為，此時(shí)直線與雙曲線的右支沒有公共點(diǎn)，不符合題意，所以C不正確；當(dāng)時(shí)，直線的方程為，聯(lián)立方程組，其中，可得，此時(shí)，且易知方程有兩個(gè)正根，所以直線與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，不符合題意，所以D不正確.故選：AB.13．【正確答案】0【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)若，則求解即可?！驹斀狻恳?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以若，則，又，所以，又，所以，故答案為.14．【正確答案】【分析】根據(jù)數(shù)列為等比數(shù)列，利用等比中項(xiàng)求得a即可.【詳解】解：因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，所以，，則，，所以以為焦點(diǎn)的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：，故15．【正確答案】/【分析】根據(jù)平面方程可得法向量，進(jìn)而根據(jù)線面角的向量法求解即可.【詳解】平面的方程為，所以可得平面法向量可以為，又直線的方向向量為所以直線與平面所成角的正弦值為,故16．【正確答案】【分析】求出直線、的方程，即可求出直線恒過定點(diǎn)，討論直線的斜率存在和不存在，求解即可.【詳解】設(shè)，設(shè)切線的方程為，聯(lián)立得；∵與橢圓相切，∴，整理得：，所以代入，得，所以，從而切線的方程為，再將代入整理可得，直線的方程為：，同理直線的方程為：，直線，的方程過點(diǎn)，所以，，即，，則為方程的解，故直線的方程為，令，則，這直線恒過定點(diǎn)，①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，則直線為，過點(diǎn)向直線引垂線，垂足為，則，②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，則直線為，過點(diǎn)向直線引垂線，垂足為，過點(diǎn)作向直線引垂線，垂足為，連接，點(diǎn)到直線的距離為，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，可知四邊形時(shí)矩形，所以，而在中，，又，所以，所以，在中，，而在中，，則，故可知.故答案為.方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中定點(diǎn)問題的兩種解法（1）引進(jìn)參數(shù)法：先引進(jìn)動點(diǎn)的坐標(biāo)或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒有關(guān)系，找到定點(diǎn).（2）特殊到一般法：先根據(jù)動點(diǎn)或動線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān).技巧：若直線方程為,則直線過定點(diǎn)；若直線方程為(為定值)，則直線過定點(diǎn)17．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）由條件，結(jié)合圖形利用空間向量線性運(yùn)算法則求解即可；（2）由（1）結(jié)合向量的數(shù)量積的性質(zhì)及定義求解.【詳解】（1），（2）由（1）得18．【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用已知，只要證明為非0常數(shù)即可；（2）由（1）可得，利用分組求和以及公式法即可得到結(jié)果.【詳解】（1）證明：由，得，．所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列．（2）由（1）得數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，，，19．【正確答案】(1)(2)89【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，用表示出的坐標(biāo)，代入圓的方程即可；（2）利用兩點(diǎn)距離公式表示，結(jié)合的關(guān)系及范圍可求結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，于是有，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上運(yùn)動，所以，代入得，化簡得，所以點(diǎn)的軌跡方程為；（2）因?yàn)?，所以所以的最大值?9．20．【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，以分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量證明即可；（2）分別求出平面與平面的法向量，利用空間向量求解即可.【詳解】（1）證明：在正四棱錐中，連接交于點(diǎn)，連接．因?yàn)樗睦忮F為正四棱錐，所以平面，四邊形為正方形，所以，，因?yàn)槠矫?，所以，所以兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，以分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)?，，所以在中，由，得，得，所以，則，因?yàn)闉榉謩e為PB，PD的中點(diǎn)，所以，所以，所以．所以．（2）解：在分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的交點(diǎn)，所以為的重心，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)平面與平面夾角為，則，所以，所以平面與平面夾角的正弦值為．

21．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)和求和公式可構(gòu)造方程組求得，由此可得；（2）采用分組求和和裂項(xiàng)相消法可求得，由取整運(yùn)算定義可得，分類討論可求得.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由得：，解得：，.（2）由（1）得：，，；則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；綜上所述.22．【正確答案】(1)(2)證