§1.5基本不等式的綜合應(yīng)用分值：100分一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分，共30分)1.已知a>0，b>1，aba=1，則a+b的最小值為()A.1 B.2 C.3 D.52.已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：x29+y24=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，則|MF1|·|MF2|A.13 B.12 C.9 D.43.已知實(shí)數(shù)x，y>0，1x+4y=2，且x+y≥m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為A.-∞，92 B.(C.92，+∞ D.[94.若存在x∈(0，2]，使不等式ax22x+3a<0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.a<33 B.0≤a≤C.a>33 D.a>5.(2024·宿州模擬)定義：對于數(shù)a，b，若它們除以整數(shù)m所得的余數(shù)相等，則稱a與b對于模m同余，記作a≡b(modm).已知正整數(shù)t滿足t≡11(mod6)，將符合條件的所有t的值按從小到大的順序排列，構(gòu)成數(shù)列{an}.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則2Sn+6nA.12 B.14 C.16 D.186.(2025·長沙模擬)中國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出“三斜求積術(shù)”，即假設(shè)在平面內(nèi)有一個(gè)三角形，邊長分別為a，b，c，三角形的面積S可由公式S=p(p-a)(p-b)(p-c)求得，其中p為三角形周長的一半.已知△ABCA.30° B.45° C.60° D.90°二、多項(xiàng)選擇題(每小題6分，共12分)7.(2024·宜賓模擬)已知x>0，y>0，且2x+y=1，若mxym-1≤x+2y恒成立，則實(shí)數(shù)m的可能取值為(A.12 B.98 C.3 D8.若a>1，b>1，且ab=e2，則()A.2e≤a+b<e2+1B.0<lna·lnb≤1C.221≤lna+logab<2D.alnb的最大值為e三、填空題(每小題5分，共10分)9.(2024·南京模擬)若正實(shí)數(shù)x，y滿足x+y=2，且1xy≥M恒成立，則M的最大值為.10.已知函數(shù)f(x)=ax2+2x+b的值域?yàn)閇0，+∞)，其中a>b，則a2+b2四、解答題(共28分)11.(13分)已知函數(shù)f(x)=x+9x-1(x>1(1)求f(x)的最小值；(6分)(2)若a2+6a≤f(x)恒成立，求a的取值范圍.(7分)12.(15分)隨著我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展、醫(yī)療消費(fèi)需求增長、人們健康觀念轉(zhuǎn)變以及人口老齡化進(jìn)程加快等因素的影響，醫(yī)療器械市場近年來持續(xù)增長.某市一家醫(yī)療器械公司為了進(jìn)一步增加市場競爭力，計(jì)劃改進(jìn)技術(shù)生產(chǎn)某產(chǎn)品.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的年固定成本為400萬元，最大產(chǎn)能為100臺(tái).每生產(chǎn)x臺(tái)，需另投入成本G(x)萬元，且G(x)=2x2+60x,0<x≤40(1)寫出年利潤W(x)(單位：萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(單位：臺(tái))的函數(shù)解析式(利潤=銷售收入成本)；(7分)(2)當(dāng)該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時(shí)，公司所獲年利潤最大？最大年利潤是多少？(8分)每小題5分，共20分13.(2025·德陽模擬)設(shè)雙曲線x2a2y2a2+1=1(a>0)的離心率為e，則當(dāng)e2+a2A.2 B.2 C.3 D.314.(2024·咸陽模擬)已知函數(shù)f(x)=2026x2026x，若m>0，n>1，且f1m-2+f2n=f(sin2026π)，則32m-115.出入相補(bǔ)是指一個(gè)平面(或立體)圖形被分割成若干部分后面積(或體積)的總和保持不變，我國漢代數(shù)學(xué)家構(gòu)造弦圖，利用出入相補(bǔ)原理證明了勾股定理.在下面兩個(gè)圖中，若AC=b，BC=a(b≥a)，AB=c，圖中兩個(gè)陰影三角形的周長分別為l1，l2，則l1+l216.已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)，經(jīng)過仿射變換x'=x,y'=aby,則橢圓變?yōu)榱藞Ax'2+y'2=a2，并且變換過程有如下對應(yīng)關(guān)系：①點(diǎn)P(x0，y0)變?yōu)镻'x0，aby0；②直線斜率k變?yōu)閗'=abk，對應(yīng)直線的斜率比不變；③圖形面積S變?yōu)镾'=abS，對應(yīng)圖形面積比不變；④點(diǎn)、線、面位置關(guān)系不變(平行直線還是平行直線，相交直線還是相交直線，中點(diǎn)依然是中點(diǎn)，相切依然是相切等)答案精析1.C2.C[因?yàn)閨MF1|+|MF2|=6，所以|MF1|·|MF2|≤(MF1|當(dāng)且僅當(dāng)|MF1|=|MF2|=3時(shí)，等號(hào)成立，所以|MF1|·|MF2|的最大值為9.]3.A[由1x+4y=2，可得12x又因?yàn)閤，y>0，則x+y=(x+y)·1=12+2+y2≥52+2y2x當(dāng)且僅當(dāng)y2x=即y=2x=3時(shí)取等號(hào)，所以(x+y)min=92由x+y≥m恒成立，可得m≤(x+y)min=92即實(shí)數(shù)m的取值范圍為-∞，4.A[當(dāng)x∈(0，2]時(shí)，由ax22x+3a<0，可得a(x2+3)<2x，由題意得a<2x因?yàn)?xx2+3=2x+3x≤22x·3即x=3時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)x∈(0，2]時(shí)，2xx2+3的最大值為33，故5.C[由題意可知an=6n1，n∈N*，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列，所以Sn=n[5+(6n-1)]2=3可得2Sn=6n+≥12n·1n當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)，2Sn+6n6.C[由題可知a+b=8，c=4，p=6，則S=6(6-a)(6-≤12×6-a+6-b當(dāng)且僅當(dāng)a=b=4時(shí)取等號(hào)，所以此時(shí)三角形為等邊三角形，故A=60°.]7.ABC[由x>0，y>0，得xy>0，mxym-1≤x+2即mm-1≤x+2yxy又2x+1y=2x+1y(2x+y)=5+2y當(dāng)且僅當(dāng)x=y=13故mm-1≤9，即mm-19=即(解得m<1或m≥98.8.ABD[由a>1，b=e2a得1<a<e2，因?yàn)楹瘮?shù)f(a)=a+b=a+e2a在(1，e)上單調(diào)遞減，在[e，e2)上單調(diào)遞增，所以2e≤a+b<e2+1，故因?yàn)閍b=e2，所以有l(wèi)na+lnb=2，于是0<lna·lnb≤lna+lnb22=1，當(dāng)且僅當(dāng)a=lna+logab=lna+lnblna=lna+2-lnalna=ln設(shè)t=lna∈(0，2)，所以φ(t)=t+2t1在(0，2)上單調(diào)遞減，在[2，2)所以φ(t)=t+2t1∈[221，+∞)，故C設(shè)λ=alnb，所以lnλ=lnalnb=lnb·lna≤1，所以λ≤e，故D正確.]9.1解析∵正實(shí)數(shù)x，y滿足x+y=2，∴xy≤(x+y)24=22又1xy≥M∴M≤1，即M的最大值為1.10.22解析函數(shù)f(x)=ax2+2x+b的值域?yàn)閇0，+∞)，令ax2+2x+b=0，則有Δ即ab=1，且a>0，所以a2+=(ab)+2a又a>b，所以ab>0，則(ab)+2≥22a-b當(dāng)且僅當(dāng)ab=2，且ab=1，即a=6+22，b即a2+b211.解(1)f(x)=x+9=x1+9x-1因?yàn)閤>1，所以x1>0，所以x1+9x≥2(x-1)當(dāng)且僅當(dāng)x1=9x-1，即x所以f(x)的最小值為7.(2)由(1)知函數(shù)f(x)的最小值為7，因?yàn)閍2+6a≤f(x)恒成立，所以a2+6a≤7，解得7≤a≤1，所以a的取值范圍是[7，1].12.解(1)由題意可得W(x)=200所以W(x)=-2(2)當(dāng)0<x≤40時(shí)，W(x)=2x2+140x400，當(dāng)x=35時(shí)，W(x)取最大值，W(35)=2050(萬元)；當(dāng)40<x≤100時(shí)，W(x)=x3600x+1=x+3600x≤2x·3600x+1700=1當(dāng)且僅當(dāng)x=60時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)?050>1580，故當(dāng)該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為35臺(tái)時(shí)，所獲年利潤最大，最大年利潤為2050萬元.13.C[雙曲線x2a2y2a2+1=1(ae2+a2=2a2+1a2+a2≥2+21a2當(dāng)且僅當(dāng)1a2=a2，即a此時(shí)e=2a2+1a14.23解析因?yàn)閒(x)=2026x2026x，所以f(x)=2026x2026x=(2026x2026x)=f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)，f(0)=0，若m>0，n>1，則f

1m-2+=f(sin2026π)=f(0)=0，所以f

1m-2==f

-又f(x)在R上單調(diào)遞增，所以1m2=2即1m+2n=2，n+2m=2則2m=nn所以32m=3=3n+2m4=3n+nn=3(n1)+1≥23(n-1)·當(dāng)且僅當(dāng)3(n1)=1n即n=1+33所以32m-1+1n15.1+2解析如圖1，易知△BDE∽△ACB，且BD=CDBC=ba，所以BDAC=b-a所以l1=b-ab(a+b+如圖2，易知△GFH∽△ACB，且FG=a，所以FGAC=ab=所以l2=ab(a+b+c)所以l1+l2=1+a2+b又因?yàn)閍2+b2≥2ab，所以2aba2當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，