§1.4基本不等式分值：90分一、單項選擇題(每小題5分，共30分)1.已知m>0，n>0，mn=81，則m+n的最小值是()A.9 B.18 C.93 D.272.若x>0，則函數(shù)y=x2+x+25A.6 B.7 C.10 D.113.(2024·亳州模擬)已知x>0，y>0，2x+y=xy，則2x+y的最小值為()A.8 B.4 C.82 D.424.(2025·連云港模擬)設(shè)a>0，b>1，且a+b=1，則1a+1b+1的最小值為A.1 B.2 C.4 D.85.(2024·漯河模擬)設(shè)正實數(shù)x，y，z滿足x2xy+y2z=0，則xyz的最大值為(A.4 B.2 C.3 D.16.已知x>2，且xy2=0，則x24+2xy+4A.2 B.3 C.4 D.9二、多項選擇題(每小題6分，共12分)7.若m>0，n>0，且m+2n=1，則下列結(jié)論正確的是()A.mn≤18 B.m+2nC.1m+2n≥9 D.m2+4n28.下列說法正確的是()A.函數(shù)y=2x+2x(x<0)的最大值是B.函數(shù)y=x2+10C.函數(shù)y=x+16x+2(x>2)D.若x+y=4，則x2+y2的最小值是8三、填空題(每小題5分，共10分)9.(2025·南京模擬)已知x>12，則x+12x10.已知5x2y2+y4=1(x，y∈R)，則x2+y2的最小值是.

四、解答題(共28分)11.(13分)已知x>0，y>0，x+2y+xy=30，求：(1)xy的最大值；(6分)(2)2x+y的最小值.(7分)12.(15分)已知下列求最小值的方法：求x33x，x∈[0，+∞)的最小值.解：利用平均值不等式，對任意非負實數(shù)a，b，c，有a+b+c≥33abc(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時等號成立)，得到x3+1+1≥3x，于是x33x=x3+1+13x2≥3x3x2=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立，即當(dāng)且僅當(dāng)x=1時，x33x取到最小值2(1)請模仿上述例題，求x44x，x∈[0，+∞)的最小值；(提示：對任意非負實數(shù)a，b，c，d，有a+b+c+d≥44abcd，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=d時等號成立)((2)求13x3x，x∈[0，+∞)的最小值；(5分(3)求出當(dāng)a>0時，x3ax，x∈[0，+∞)的最小值.(6分)每小題5分，共10分13.正數(shù)a，b滿足a>b，ab=4，則a3+b3A.2 B.3 C.4 D.614.若x1，x2，…，x2026均為正實數(shù)，則x1+x2x1+x3x1x2+x4x1答案精析1.B2.D[∵x>0，∴y=x2+x+25x≥2x·25x當(dāng)且僅當(dāng)x=25x，即x=5∴函數(shù)y=x2+x+253.A[方法一由x>0，y>0，2x+y=xy，可得y=2xx-1>0，則則2x+y=2x+2xx=2(=2(x1)+2x≥22(x-1)當(dāng)且僅當(dāng)2(x1)=2x即x=2時，等號成立，所以2x+y的最小值為8.方法二由x>0，y>0，2x+y=xy，得2y+1x所以2x+y=(2x+y)2=4xy+≥24xy當(dāng)且僅當(dāng)4xy=yx，2x+y即x=2，y=4時，等號成立，所以2x+y的最小值為8.]4.B[因為a>0，b>1，則b+1>0，因為a+b=1，則a+(b+1)=2，所以1a+=12[a+(b+1)]=1≥122+2當(dāng)且僅當(dāng)b即a=1因此1a+1b+1的最小值為5.D[因為正實數(shù)x，y，z滿足x2xy+y2z=0，則z=x2+y2xy，所以xyz=xyx≤12x當(dāng)且僅當(dāng)xy=yx(x>0，y>0即x=y時，等號成立，故xyz的最大值為1.6.D[由題意得x=y+2>2，所以y>0，所以x2+2y=y+22+2y≥2y2·2y+1=3(當(dāng)且僅當(dāng)y所以x2+2y的最小值為又因為x24+2xy+所以x24+2xy+47.AC[對于A，若m>0，n>0，且m+2n=1，則有mn=12·m·2≤12m+2當(dāng)且僅當(dāng)m=12，n=14時等號成立，故對于B，(m+2由A可得mn≤18，故1+22mn≤所以m+2n≤2，故B對于C，1m+2n=1m+2n(m+2n)=5+2n當(dāng)且僅當(dāng)m=n=13時等號成立，故C對于D，m2+(2n)22≥m+2n22=14，即m2+4n2≥12，當(dāng)且僅當(dāng)8.ACD[A選項，對于函數(shù)y=2x+2x(x<0)2x+2x=≤2(-2x)·當(dāng)且僅當(dāng)2x=2-x，即x=1時等號成立，所以B選項，y=x2+10x2+9=x2+9當(dāng)x2+9=1xC選項，對于函數(shù)y=x+16x+2(x>2)，xx+16x+2=x+2+≥2(x+2)當(dāng)且僅當(dāng)x+2=16x+2，即x=2時等號成立，所以D選項，由基本不等式得x2+y22≥x+y22，所以x2+y2≥當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2時等號成立，所以D選項正確.]9.2解析由于x>12，所以2x1>0所以x+12x-1=2x≥22x-12·1當(dāng)且僅當(dāng)2x-12=12x-1，即x=2+110.4解析方法一∵5x2y2+y4=1，∴y≠0且x2=1-y∴x2+y2=1-y45y2+y≥215y2當(dāng)且僅當(dāng)15y2即x2=310，y2=1∴x2+y2的最小值為45方法二由5x2y2+y4=1，可得y2(5x2+y2)=1，即4y2(5x2+y2)=4，又4=4y2(5x2+y2)≤4=254(x2+y2)2∴(x2+y2)2≥1625，即當(dāng)且僅當(dāng)5x2+y2=4y2=2，即x2=310，y2=1∴x2+y2的最小值是4511.解(1)因為x>0，y>0，根據(jù)基本不等式，30=x+2y+xy≥22xy+xy(當(dāng)且僅當(dāng)x=2y=6時取等號)令xy=t(t>0)，則t2+22t30≤0，解得52≤t≤32，又t>0，所以0<t≤32，即0<xy≤32，所以0<xy≤18，故xy的最大值為18.(2)由x+2y+xy=30可知，y=30-x2+x>0，0<x<30，2x+y=2x+30-x2+x=2(≥22(x+2)當(dāng)且僅當(dāng)2(x+2)=322+即x=2時取等號，所以2x+y的最小值為11.12.解(1)因為x∈[0，+∞)，利用a+b+c+d≥44ab當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=d時等號成立，得到x4+1+1+1≥4x，所以x44x=x4+1+1+14x3≥4x4x3=3，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立，即x44x的最小值為3.(2)因為x∈[0，+∞)，利用a+b+c≥33abc當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時等號成立，得到13x3+13+13所以13x3x=13x3+13+1323x≥x當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立，即13x3x的最小值為2(3)因為x∈[0，+∞)，且a>0，利用a+b+c≥33abc當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時等號成立，得到x3+aa33+a所以x3ax=x3+aa33+≥ax2aa33當(dāng)且僅當(dāng)x=a3=3即x3ax的最小值為2a13.C[由題意得a>0，b>0，ab>0，則a3+=(a-b)2≥2(a-當(dāng)且僅當(dāng)ab=2且ab=4，即a=5+1，b=51時，等號成立.]14.4解析原式=4x1x2…x2026+x2026x1x≥24x1x2…x2026·x20