3.1.2函數(shù)的表示法【課前預(yù)習(xí)】一．函數(shù)的三種表示方法表示法定義解析法用表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系圖象法用表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系列表法列出來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系注意：同一個函數(shù)可以用不同的方法表示．二．函數(shù)的三種表示方法的優(yōu)缺點(diǎn)表示方法優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)列表法不需要計算就可以直接看出與自變量對應(yīng)的函數(shù)值只能表示自變量可以一一列出的函數(shù)關(guān)系圖象法能形象直觀地表示出函數(shù)的變換情況只能近似地求出函數(shù)值，而且有時誤差較大解析法(1)簡明、全面地概括了變量間的關(guān)系，從“數(shù)”的方面揭示了函數(shù)關(guān)系；(2)可以通過解析式求出任意一個自變量所對應(yīng)的函數(shù)值不夠形象、直觀，而且并不是所有的函數(shù)都能用解析法表示出來【自主練習(xí)】1.思辨解析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)任何一個函數(shù)都可以用列表法表示.()(2)任何一個函數(shù)都可以用圖象法表示.()(3)函數(shù)的圖象一定是其定義區(qū)間上的一條連續(xù)不斷的曲線.()(4)函數(shù)f(x)＝2x＋1可以用列表法表示．()2.已知函數(shù)f(x)由下表給出，則f(3)等于 ()x1≤x<222<x≤4f(x)123A.1B．2C．3D．不存在【經(jīng)典例題】題型一函數(shù)的表示法點(diǎn)撥：(1)列表法、圖象法、解析法均是函數(shù)的表示法，無論用哪種方式表示函數(shù)，都必須滿足函數(shù)的概念．(2)在實(shí)際操作中，仍以解析法為主．例1某問答游戲的規(guī)則是：共5道選擇題，基礎(chǔ)分為50分，每答錯一道題扣10分，答對不扣分，試分別用列表法、圖象法、解析法表示一個參與者的得分y與答錯題目道數(shù)x(x∈{0，1，2，3，4，5})之間的函數(shù)關(guān)系．【變式探究】1已知函數(shù)f(x)，g(x)分別由下表給出x123f(x)211g(x)321(1)f(g(3))＝__________；(2)若g(f(x))＝2，則x＝__________.題型二圖象法表示函數(shù)點(diǎn)撥：作函數(shù)圖象的步驟及注意點(diǎn)(1)作函數(shù)圖象主要有三步：列表、描點(diǎn)、連線.作圖象時應(yīng)先確定函數(shù)的定義域，再在定義域內(nèi)化簡函數(shù)解析式，再列表畫出圖象.(2)函數(shù)的圖象可能是平滑的曲線，也可能是一群孤立的點(diǎn)，畫圖時要注意關(guān)鍵點(diǎn)，如圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、區(qū)間端點(diǎn)、二次函數(shù)的頂點(diǎn)等等.例2作出下列函數(shù)的圖象并求出其值域．(1)y＝eq\f(2,x)，x∈[2，＋∞)；(2)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．【變式探究】2某學(xué)生離家去學(xué)校，一開始跑步前進(jìn)，跑累了再走余下的路程．下列圖中縱軸表示離校的距離，橫軸表示出發(fā)后的時間，則較符合該學(xué)生走法的是()ABCD題型三求函數(shù)解析式角度1：待定系數(shù)法點(diǎn)撥：待定系數(shù)法若已知函數(shù)的類型，可用待定系數(shù)法求解，即由函數(shù)類型設(shè)出函數(shù)解析式，再根據(jù)條件列方程(組)，通過解方程(組)求出待定系數(shù)，進(jìn)而求出函數(shù)解析式．常見的函數(shù)的解析式：例3已知函數(shù)f(x)是一次函數(shù)，若f[f(x)]＝4x＋8，求f(x)的解析式．【變式探究】3已知f(x)是二次函數(shù)且滿足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，則函數(shù)f(x)的解析式為________.角度2：換元法和配湊法點(diǎn)撥：已知f(g(x))＝h(x)，求f(x)，常用的有兩種方法：①換元法，即令t＝g(x)，解出x，代入h(x)中，得到一個含t的解析式，即為函數(shù)解析式，注意：換元后新元的范圍.②配湊法，即從f(g(x))的解析式中配湊出“g(x)”，即用g(x)來表示h(x)，然后將解析式中的g(x)用x代替即可.例4已知函數(shù)f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)＋1，求f(x)的解析式?！咀兪教骄俊?已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)．角度3：方程組法點(diǎn)撥：已知關(guān)于f(x)與feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))或f(－x)的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)．例5已知函數(shù)f(x)滿足2f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝3x，求f(x)的解析式．【變式探究】5已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x).【當(dāng)堂檢測】1.y與x成反比，且當(dāng)x＝2時，y＝1，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為()A．y＝eq\f(1,x)B．y＝－eq\f(1,x)C．y＝eq\f(2,x) D．y＝－eq\f(2,x)4.一個面積為100cm2的等腰梯形，上底長為xcm，下底長為上底長的3倍，則它的高y與x的函數(shù)關(guān)系為.5.已知函數(shù)f(x)＝x2－2x(－1≤x≤2).(1)畫出f(x)圖象的簡圖；(2)根據(jù)圖象寫出f(x)的值域.6.已知f(x)＝x＋b，f(ax＋1)＝3x＋2，求a，b的值．3.1.2函數(shù)的表示法【課前預(yù)習(xí)】分段函數(shù)1.分段函數(shù)就是在函數(shù)定義域內(nèi)，對于自變量x的不同取值范圍，有著不同的的函數(shù)．2.分段函數(shù)是一個函數(shù)，其定義域、值域分別是各段函數(shù)的定義域、值域的；各段函數(shù)的定義域的交集是．注意：(1)分段函數(shù)雖然由幾部分構(gòu)成，但它仍是一個函數(shù)而不是幾個函數(shù)．(2)分段函數(shù)的“段”可以是等長的，也可以是不等長的．(3)分段函數(shù)的圖象要分段來畫．【自主練習(xí)】1.思辨解析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)分段函數(shù)由幾個函數(shù)構(gòu)成．()(2)分段函數(shù)的圖象不一定是連續(xù)的．()2.下列給出的式子是分段函數(shù)的是()①f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，1≤x≤5，,2x，x<1.))②f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x∈R，,x2，x≥2.))③f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3，1≤x≤5，,x2，x≤1.))④f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋3，x<0，,x－1，x≥5.))A．①②B．①④C．②④D．③④【經(jīng)典例題】題型一分段函數(shù)求值點(diǎn)撥：(1)分段函數(shù)求值，一定要注意所給自變量的值所在的范圍，代入相應(yīng)的解析式求解．對于含有多層“f”的問題，要按照“由內(nèi)到外”的順序，逐層處理．（2）已知函數(shù)值，求自變量的值時，要先將“f”脫掉，轉(zhuǎn)化為關(guān)于自變量的方程求解．（3）求解函數(shù)值得的不等式時，直接轉(zhuǎn)化為不等式求解，也可通過圖象。例1已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)，x>1，,x2＋1，－1≤x≤1，,2x＋3，x<－1.))(1)求f(f(f(－2)))的值；(2)若f(a)＝eq\f(3,2)，求a.【變式探究】1已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，－1≤x≤1，,1，x>1或x<－1.))(1)畫出f(x)的圖象；(2)若f(x)≥eq\f(1,4)，求x的取值范圍；(3)求f(x)的值域．題型二分段函數(shù)的應(yīng)用例2某市“招手即?！惫财嚨钠眱r按下列規(guī)則制定：(1)5公里以內(nèi)(含5公里)，票價2元；(2)5公里以上，每增加5公里，票價增加1元(不足5公里按照5公里計算)．如果某條線路的總里程為20公里，請根據(jù)題意，寫出票價與里程之間的函數(shù)解析式，并畫出函數(shù)的圖象．【變式探究】2自行車廠為共享單車公司生產(chǎn)新樣式的單車，已知生產(chǎn)新樣式單車的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一件新樣式單車需要增加投入100元．根據(jù)初步測算，自行車廠的總收益(單位：元)滿足分段函數(shù)h(x)，其中h(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x2，0<x≤400，,80000，x>400，))x是新樣式單車的月產(chǎn)量(單位：件)，利潤＝總收益－總成本．(1)試將自行車廠的利潤y表示為月產(chǎn)量x的函數(shù)；(2)當(dāng)月產(chǎn)量為多少件時自行車廠的利潤最大？最大利潤是多少？【當(dāng)堂檢測】1.設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x≤1，,\f(2,x)，x>1，))則f[f(3)]＝()A.eq\f(1,5)B．C.eqC.eq\f(2,3)D.eqD.eq\f(13,9)2.(多選)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x，x≤0,x2，x＞0))，若f(a)＝4，則實(shí)數(shù)a＝()A．2B．－2C．4D．－43.函數(shù)y＝x＋eq\f(|x|,x)的圖象是()ABCD4.設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－1，x≥0，,\f(1,x)，x<0，))若f(a)>1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．5.已知函數(shù)f(x)＝1