專題10.3兩個計數(shù)原理、排列與組合題型一分類及分步的簡單應(yīng)用題型二排列數(shù)及組合數(shù)問題題型三捆綁法及插空法題型四倍縮法題型五隔板法題型六特殊元素法題型七染色問題題型八平均分組問題題型九部分平均分組問題題型一 分類及分步的簡單應(yīng)用例1．“二十四節(jié)氣”是中國古代勞動人民偉大的智慧結(jié)晶，其劃分如圖所示．小明打算在網(wǎng)上搜集一些與二十四節(jié)氣有關(guān)的古詩．他準備在春季的6個節(jié)氣與夏季的6個節(jié)氣中共選出3個節(jié)氣，若春季的節(jié)氣和夏季的節(jié)氣各至少選出1個，則小明選取節(jié)氣的不同情況的種數(shù)是（）

A．90 B．180 C．270 D．360例2．有語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)、生物6門課程，從中選4門安排在上午的4節(jié)課中，其中化學(xué)不排在第四節(jié)，共有_____種不同的安排方法．（用數(shù)字回答）練習(xí)1．我國古代有著輝煌的數(shù)學(xué)研究成果．《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》《海島算經(jīng)》《孫子算經(jīng)》《緝古算經(jīng)》等10部專著是了解我國古代數(shù)學(xué)的重要文獻．這10部專著中據(jù)說有7部產(chǎn)生于魏晉南北朝時期．某校擬從這10部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程的學(xué)習(xí)內(nèi)容，則所選2部專著中至少有1部是魏晉南北朝時期的情況共有（

）A．42種 B．39種 C．10種 D．35種練習(xí)2．甲、乙、丙3個公司承包6項不同的工程，甲承包1項，乙承包2項，丙承包3項，則共有_____種承包方式（用數(shù)字作答）.練習(xí)3．從5男3女共8名學(xué)生中選出組長1人，副組長1人，普通組員3人組成5人志愿組，要求志愿組中至少有3名男生，且組長和副組長性別不同，則共有_____種不同的選法.（用數(shù)字作答）練習(xí)4．2014年國務(wù)院印發(fā)《關(guān)于深化考試招生制度改革意見》，福建省在2021年高考進入“3+1+2”選科模式，即語文、數(shù)學(xué)、英語三門必考，物理和歷史二選一，化學(xué)、政治、生物、地理四選二，在此規(guī)則下，學(xué)生共有_____種選科方式.練習(xí)5．有兩個家庭共8人暑假到新疆結(jié)伴旅游（每個家庭包括一對夫妻和兩個孩子），他們在烏魯木齊租了兩輛不同的汽車進行自駕游，每輛汽車乘坐4人，要求每對夫妻乘坐同一輛汽車，且該車上至少有一個該夫妻自己的孩子，則滿足條件的不同乘車方案種數(shù)為_____.題型二 排列數(shù)及組合數(shù)問題例3．已知（，且），則（

）A．28 B．42 C．43 D．56例4．（1）解不等式．（2）若，求正整數(shù)n．練習(xí)6．（多選）滿足不等式的的值可能為（

）A．12 B．11 C．8 D．10練習(xí)7．已知，求n.練習(xí)8．計算：(1)若，求(2)若，求練習(xí)9．（1）解方程：（2）解不等式；練習(xí)10．（1）若，則x=_____.（2）不等式的解集為_____.題型三 捆綁法及插空法例5．為弘揚我國古代的“六藝文化”，某夏令營主辦單位計劃利用暑期開設(shè)“禮”、“樂”、“射”、“御”、“書”、“數(shù)”六門體驗課程，每周一門，連續(xù)開設(shè)六周，則下列說法錯誤的是（

）A．某學(xué)生從中選2門課程學(xué)習(xí)，共有15種選法B．課程“禮”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480種排法C．課程“御”“書”“數(shù)”排在相鄰的三周，共有144種排法D．課程“樂”“射”排在不相鄰的兩周，共有240種排法例6．澉浦“八大碗”是由兩冷菜，三大菜，三熱炒組成.今有人欲以其中的“東坡肉”“紅燒羊肉”“醋魚湯”“韭芽肉皮”“老筍干絲”“大蒜肉絲”共六道菜宴請遠方來客，這六道菜要求依次而上，其中“紅燒羊肉”和“醋魚湯”不能接連相鄰上菜，請問不同的上菜順序種數(shù)為（）A．480 B．240 C．384 D．1440練習(xí)11．要從甲、乙等8人中選5人在座談會上發(fā)言，若甲乙都被選中且他們發(fā)言中間恰好間隔一人，那么不同的發(fā)言順序共有_____種．（用數(shù)字作答）練習(xí)12．（多選）我校以大課程觀為理論基礎(chǔ)，以關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng)的課程化為突破口，深入探索普通高中創(chuàng)新人才培養(yǎng)的校本化課程體系.本學(xué)期共開設(shè)了八大類校本課程，具體為學(xué)科拓展（X）、體藝特長（T）、實踐創(chuàng)新（S）、生涯規(guī)劃（C）、國際視野（I）、公民素養(yǎng)（G）、大學(xué)先修（D）、PBL項目課程（P）八大類，假期里決定繼續(xù)開設(shè)這八大類課程，每天開設(shè)一類且不重復(fù)，連續(xù)開設(shè)八天，則（）A．某學(xué)生從中選3類，共有56種選法B．課程“X”“T”排在不相鄰兩天，共有種排法C．課程中“S”“C”“I”排在相鄰三天，且“C”只能排在“S”與“I”的中間，共有720種排法D．課程“T”不排在第一天，課程“G”不排在最后一天，共有種排法練習(xí)13．一條長椅上有七個座位，四人坐，要求三個空位中，有兩個空位相鄰，另一個空位與這兩個相鄰空位不相鄰，共有幾種坐法？練習(xí)14．喜羊羊家族的四位成員與灰太狼、紅太狼進行談判，通過談判他們握手言和，準備一起照合影像（排成一排）.(1)要求喜羊羊家族的四位成員必須相鄰，有多少種排法？(2)要求灰太狼、紅太狼不相鄰，有多少種排法？練習(xí)15．一天課程表中，6節(jié)課要安排3門理科，3門文科，要使文、理科間排，不同的排課方法有_____種；要使數(shù)學(xué)與物理連排，化學(xué)不得與數(shù)學(xué)、物理連排，不同的排課方法有_____種．題型四 倍縮法例7．某學(xué)習(xí)小組、、、、、、七名同學(xué)站成一排照相，要求與相鄰，并且在的左邊，在的右邊，則不同的站隊方法種數(shù)為（

）A． B． C． D．例8．某中學(xué)為迎接新年到來，籌備“唱響時代強音，放飛青春夢想”為主題的元旦文藝晚會.晚會組委會計劃在原定排好的5個學(xué)生節(jié)目中增加2個教師節(jié)目，若保持原來5個節(jié)目的出場順序不變，則增加的2個教師節(jié)目有_____種不同排法（用數(shù)字作答）練習(xí)16．小武是1993年12月18日出生的，他設(shè)置家里的電子門鎖的時候打算用他的出生年、月、日中的8個數(shù)字進行排列得到一個8位數(shù)的密碼，那么小武同學(xué)可以設(shè)置的不同密碼的個數(shù)為（

）A．2760 B．3180 C．3200 D．3360練習(xí)17．五一國際勞動節(jié)，學(xué)校團委舉辦“我勞動，我快樂”的演講比賽．某班有甲、乙、丙等5名同學(xué)參加，抽簽確定出場順序．在“學(xué)生甲必須在學(xué)生乙的前面出場”的前提下，學(xué)生甲、乙相鄰出場的概率為（

）．A． B． C． D．練習(xí)18．《紅樓夢》四十一回中，鳳姐為劉姥姥準備了一道名為“茄鲞”的佳肴，這道菜用到了雞湯、雞脯肉、香菌、新筍、豆腐干、果干、茄子凈肉七種原料，烹飪時要求香菌、新筍、豆腐干一起下鍋，茄子凈肉在雞脯肉后下鍋，雞湯最后下鍋，則烹飪“茄鲞”時不同的下鍋順序共有（

）A．6種 B．12種 C．36種 D．72種練習(xí)19．（多選）用3，4，5，6，7，9六個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，下列結(jié)論正確的有（

）A．這樣的六位數(shù)共有720個B．在這樣的六位數(shù)中，偶數(shù)共有240個C．在這樣的六位數(shù)中，4，6不相鄰的共有144個D．在這樣的六位數(shù)中，4個奇數(shù)數(shù)字從左到右、從小到大排序的共有30個練習(xí)20．甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)從周一至周五輪流安排寫作練習(xí)，甲、乙均不安排在周一和周二，且甲在乙之前，則不同的排列方式共有_____種.題型五 隔板法例9．方程的非負整數(shù)解的組的個數(shù)為（

）A． B．C． D．例10．現(xiàn)有6個三好學(xué)生名額，計劃分到三個班級，則恰有兩個班分到三好學(xué)生名額的概率為_____.練習(xí)21．在空間直角坐標系中，，則三棱錐內(nèi)部整點(所有坐標均為整數(shù)的點，不包括邊界上的點)的個數(shù)為（

）A．35 B．36 C．84 D．21練習(xí)22．的展開式為多項式，其展開式經(jīng)過合并同類項后的項數(shù)一共有（

）A．72項 B．75項 C．78項 D．81項練習(xí)23．（多選）把8個相同的小球放到編號為1，2，3，4的4個盒子中，則（

）A．每個盒子中至少放1個小球的放法共有35種B．有空盒的放法共有161種C．恰有1個空盒的放法共有21種D．編號為2的盒子中至少放2個小球，其他3個盒子每個盒子至少放1個小球的放法共有20種練習(xí)24．在中國革命史上有許多與“8”有關(guān)的可歌可泣的感人故事，如“八子參軍”、“八女投江”等，因此數(shù)字“8”是當之無愧的新時代“英雄數(shù)字”．如果一個四位數(shù)，各個位置上數(shù)字之和等于8，這樣的數(shù)稱為“英雄數(shù)”（比如1223，，就是一個“英雄數(shù)”），則所有的“英雄數(shù)”有_____個（用數(shù)字回答）練習(xí)25．用0~9十個數(shù)字排成三位數(shù)，允許數(shù)字重復(fù)，把個位?十位?百位的數(shù)字之和等于9的三位數(shù)稱為“長久數(shù)”，則“長久數(shù)”一共有_____個．題型六 特殊元素法例11．第屆世界大學(xué)生夏季運動會于月日至月日在成都舉辦，現(xiàn)在從男女共名青年志愿者中，選出男女共名志愿者，安排到編號為、、、、的個賽場，每個賽場只有一名志愿者，其中女志愿者甲不能安排在編號為、的賽場，編號為的賽場必須安排女志愿者，那么不同安排方案有（

）A．種 B．種 C．種 D．種例12．為了紀念世界地球日，復(fù)興中學(xué)高三年級參觀了地球自然博物館，觀后某班級小組7位同學(xué)合影，若同學(xué)與同學(xué)站在一起，同學(xué)站在邊緣，則同學(xué)不與同學(xué)或相鄰的概率為_____．練習(xí)26．從0，1，2，…，9中選出三個不同數(shù)字組成四位數(shù)（其中的一個數(shù)字用兩次），如5242．這樣的四位數(shù)共有（

）A．1692個 B．3672個 C．3708個 D．3888個練習(xí)27．用0，1，2，3，4，5共6個數(shù)字，可以組成_____個沒有重復(fù)數(shù)字的六位奇數(shù)．練習(xí)28．“回文”是古今中外都有的一種修辭手法，如“我為人人，人人為我”等.數(shù)學(xué)上具有這樣特征的一類數(shù)稱為“回文數(shù)”.“回文數(shù)”是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)，如121，241142等，在所有五位正整數(shù)中，有且僅有兩位數(shù)字是奇數(shù)的“回文數(shù)”共有_____個．（用數(shù)字作答）練習(xí)29．某34人班級派5人參觀展覽，班級里有11人喜歡唱，4人喜歡跳，5人喜歡rap，14人喜歡籃球，每個人只喜歡一種.5人站一隊參觀，但是當隊伍中第個人分別喜歡唱、跳、rap、籃球時，上述4人會討論蔡徐坤，展覽館不希望有人討論蔡徐坤.當且僅當兩個隊伍中至少有一個位置上的人的喜好不同，兩個隊伍才被認為是不同的，則滿足上述條件的不同的排隊方案數(shù)為_____.練習(xí)30．現(xiàn)有包括甲、乙在內(nèi)的5名同學(xué)在比賽后合影留念，若甲，乙均不在最左端，乙不在最右端，則符合要求的排列方法共有_____種題型七 染色問題例13．某植物園要在如圖所示的5個區(qū)域種植果樹，現(xiàn)有5種不同的果樹供選擇，要求相鄰區(qū)域不能種同一種果樹，則共有（

）種不同的方法.

A．120 B．360 C．420 D．480例14．在如圖所示的五塊土地上種植四種莊稼，有五種莊稼秧苗可供選擇，要求相鄰的土地不種同一種莊稼，共有（）種植方式．

A．240種 B．300種 C．360種 D．420種練習(xí)31．某小區(qū)物業(yè)在該小區(qū)的一個廣場布置了一個如圖所示的圓形花壇，花壇分為5個區(qū)域．現(xiàn)有6種不同的花卉可供選擇，要求相鄰的區(qū)域（有公共邊）不能布置相同的花卉，且每個區(qū)域只布置一種花卉，則不同的布置方案有（

）A．720種 B．1440種 C．1560種 D．2520種練習(xí)32．中國是世界上最早發(fā)明雨傘的國家，傘是中國勞動人民一個重要的創(chuàng)造.如圖所示的雨傘，其傘面被傘骨分成8個區(qū)域，每個區(qū)域分別印有數(shù)字1，2，3，..，8，現(xiàn)準備給該傘面的每個區(qū)域涂色，要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰兩個區(qū)域所涂顏色不能相同，對稱的兩個區(qū)域（如區(qū)域1與區(qū)域5）所涂顏色相同.若有7種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有（

）

A．1050種 B．1260種 C．1302種 D．1512種練習(xí)33．（多選）如圖，用種不同的顏色把圖中四塊區(qū)域涂上顏色，相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則（

）A．B．當時，若同色，共有48種涂法C．當時，若不同色，共有48種涂法D．當時，總的涂色方法有420種練習(xí)34．有三種不同顏色供選擇，給圖中六個格子涂色，相鄰格子顏色不能相同，共有_____種不同的涂色方案.練習(xí)35．用4種不同的顏色對圖中5個區(qū)域涂色（4種顏色全部使用），要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色方法有_____種．

題型八 平均分組問題例15．新高考按照“”的模式設(shè)置，其中“3”為語文，數(shù)學(xué)、外語3門必考科目，“1”由考生在物理、歷史2門科目中選考1門科目，“2”由考生在化學(xué)、生物，政治，地理4門科目中選考2門科目，若學(xué)生甲、乙隨機選擇自己的選考科目，則甲、乙選考的三門科目均不相同的概率為（

）A． B． C． D．例16．臨近春節(jié)，某校書法愛好小組書寫了若干副春聯(lián)，準備贈送給四戶孤寡老人．春聯(lián)分為長聯(lián)和短聯(lián)兩種，無論是長聯(lián)或短聯(lián)，內(nèi)容均不相同．經(jīng)過調(diào)查，四戶老人各戶需要1副長聯(lián)，其中乙戶老人需要1副短聯(lián)，其余三戶各要2副短聯(lián)．書法愛好小組按要求選出11副春聯(lián)，則不同的贈送方法種數(shù)為_____．練習(xí)36．某冷飲店有“桃喜芒芒”“草莓啵?！薄懊厶宜募敬骸薄坝髨A葡萄”四種飲品可供選擇，現(xiàn)有四位同學(xué)到店每人購買一杯飲品，則恰有兩種飲品沒人購買的概率為（

）A． B． C． D．練習(xí)37．中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙.2022年10月31日我國將“夢天實驗艙”成功送上太空，完成了最后一個關(guān)鍵部分的發(fā)射，“夢天實驗艙”也和“天和核心艙”按照計劃成功對接，成為“T”字形架構(gòu)，我國成功將中國空間站建設(shè)完畢.2023年，中國空間站將正式進入運營階段.假設(shè)空間站要安排甲、乙等6名航天員開展實驗，三艙中每個艙至少一人至多三人，則不同的安排方法有（）A．450種 B．360種 C．90種 D．70種練習(xí)38．在某項建造任務(wù)中，需6名航天員在天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙這三個艙內(nèi)同時進行工作，由于空間限制，每個艙至少1人，至多3人，則不同的安排方案共有（

）A．450種 B．180種 C．720種 D．360種練習(xí)39．中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙．假設(shè)空間站要安排甲、乙等名航天員開展實驗，三個實驗艙每個至少一人至多三人，則不同的安排方法有（

）A．種 B．種 C．種 D．種練習(xí)40．近年來喜歡養(yǎng)寵物貓的人越來越多．某貓舍只有5個不同的貓籠﹐金漸層貓3只（貓媽媽和2只小貓嶲）、銀漸層貓4只、布偶貓1只．該貓舍計劃將3只金漸層貓放在同一個貓籠里，4只銀漸層貓每2只放在一個貓籠里，布偶貓單獨放在一個貓籠里，則不同的安排有（

）A．8種 B．30種 C．360種 D．1440種題型九 部分平均分組問題例17．教育扶貧是我國重點扶