七年級數(shù)學(xué)平行線與角度計(jì)算訓(xùn)練題平行線與角度計(jì)算是初中幾何入門的重要基石，不僅要求我們對平行線的性質(zhì)和判定定理有清晰的理解，更需要具備一定的空間想象能力和邏輯推理能力。通過針對性的訓(xùn)練，我們能夠熟練掌握角度之間的數(shù)量關(guān)系，為后續(xù)更復(fù)雜的幾何學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。下面，我們將通過一系列由淺入深的題目，來鞏固和提升這方面的能力。一、核心知識(shí)回顧在開始訓(xùn)練之前，讓我們簡要回顧一下解決平行線與角度計(jì)算問題的核心知識(shí)點(diǎn)，這將有助于我們更迅速地找到解題思路：1.平行線的性質(zhì)：當(dāng)兩條平行線被第三條直線所截時(shí)：*同位角相等；*內(nèi)錯(cuò)角相等；*同旁內(nèi)角互補(bǔ)。2.平行線的判定：（與性質(zhì)定理互為逆定理）*同位角相等，兩直線平行；*內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；*同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。3.常用輔助角關(guān)系：*對頂角相等；*鄰補(bǔ)角互補(bǔ)（和為180°）；*平角的定義（180°）；*垂直的定義（90°）。在實(shí)際解題中，我們往往需要綜合運(yùn)用以上知識(shí)點(diǎn)，通過觀察圖形，找出已知角和未知角之間的聯(lián)系，進(jìn)行等量代換或代數(shù)運(yùn)算。二、經(jīng)典例題與解題思路（一）基礎(chǔ)鞏固，直接應(yīng)用例題1：如圖，已知直線AB與CD平行，直線EF分別交AB、CD于點(diǎn)G、H。若∠EGB=50°，求∠GHD的度數(shù)。分析與解答：首先，我們觀察圖形，AB與CD平行，EF是截線。∠EGB和∠GHD是什么位置關(guān)系呢？∠EGB是直線AB、EF相交形成的角，∠GHD是直線CD、EF相交形成的角。它們都位于截線EF的右側(cè)，并且分別在AB和CD的下方，所以它們是同位角。根據(jù)平行線的性質(zhì)，兩直線平行，同位角相等。因此，∠GHD=∠EGB=50°。例題2：如圖，直線a∥b，∠1=65°，求∠2的度數(shù)。分析與解答：題目中只給出了∠1的度數(shù)和a∥b的條件。我們需要找到∠1和∠2之間的聯(lián)系。觀察圖形，∠1和∠2是否是直接的同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角呢？看起來不像。那么，我們可以看看∠1的對頂角或者鄰補(bǔ)角是否與∠2有關(guān)。∠1的對頂角（假設(shè)為∠3）與∠1相等，都是65°。此時(shí)我們發(fā)現(xiàn)，∠3和∠2是直線a、b被另一條直線所截形成的內(nèi)錯(cuò)角（請自行在圖中辨認(rèn)截線和被截線）。因?yàn)閍∥b，所以內(nèi)錯(cuò)角相等，即∠2=∠3=65°。因此，∠2的度數(shù)是65°。（二）結(jié)合對頂角、鄰補(bǔ)角，靈活轉(zhuǎn)化例題3：如圖，AB∥CD，BC平分∠ABD，若∠1=70°，求∠2的度數(shù)。分析與解答：這個(gè)題目稍微復(fù)雜一點(diǎn)，涉及到角平分線。首先，AB∥CD，∠1是直線AB和BC相交形成的角，我們可以先看看∠1的同位角或內(nèi)錯(cuò)角?！?和∠BCD是AB、CD被BC所截形成的內(nèi)錯(cuò)角，所以∠BCD=∠1=70°。接下來，BC平分∠ABD，意味著∠ABC=∠CBD。而∠ABC就是∠1，即70°，所以∠CBD也等于70°。現(xiàn)在看直線CD和BD，∠BCD、∠CBD和∠2在同一個(gè)三角形中嗎？不，它們在一條直線的同側(cè)。我們考慮三角形內(nèi)角和是后一步的知識(shí)，這里我們用平角的定義。在點(diǎn)B處，∠ABD+∠DBC+∠2是否構(gòu)成一個(gè)平角呢？或者，我們看直線BD與CD相交形成的角。∠2和∠BDC是對頂角嗎？如果點(diǎn)D處有一個(gè)角與∠2是對頂角，我們暫且稱它為∠BDC。在△BCD中（雖然我們還沒學(xué)三角形內(nèi)角和，但可以用平行線的同旁內(nèi)角），AB∥CD，那么∠ABD和∠BDC是同旁內(nèi)角，它們應(yīng)該互補(bǔ)。∠ABD是∠ABC的兩倍（因?yàn)锽C是角平分線），即2×70°=140°。所以∠BDC=180°-∠ABD=180°-140°=40°。因此，∠2=∠BDC=40°。（三）引入輔助線，解決“折線”問題例題4：如圖，已知AB∥CD，∠B=40°，∠D=50°，求∠BED的度數(shù)。（提示：過點(diǎn)E作AB的平行線）分析與解答：當(dāng)兩條平行線之間出現(xiàn)一個(gè)“拐點(diǎn)”E時(shí)，直接求∠BED比較困難。這時(shí)，我們可以嘗試添加輔助線。按照提示，過點(diǎn)E作一條直線EF，使得EF∥AB。因?yàn)锳B∥CD，根據(jù)平行公理的推論，EF也平行于CD。現(xiàn)在，∠B和∠BEF是AB、EF被BE所截形成的內(nèi)錯(cuò)角，所以∠BEF=∠B=40°。同樣，∠D和∠DEF是CD、EF被DE所截形成的內(nèi)錯(cuò)角，所以∠DEF=∠D=50°。而∠BED正好是∠BEF和∠DEF的和，所以∠BED=∠BEF+∠DEF=40°+50°=90°。（四）綜合運(yùn)用，提升能力例題5：如圖，已知∠1=∠2，∠C=∠D。求證：∠A=∠F。分析與證明：這是一個(gè)證明題，需要我們從已知條件出發(fā)，逐步推導(dǎo)。因?yàn)椤?=∠2，而∠2和∠3（假設(shè)∠2的對頂角為∠3）是對頂角，所以∠1=∠3。根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”，可以得出BD∥CE。BD∥CE之后，我們能得到什么呢？∠C和∠DBA是同位角（BD、CE被BC所截），所以∠C=∠DBA。已知條件中又告訴我們∠C=∠D，所以通過等量代換，∠DBA=∠D?！螪BA和∠D是什么關(guān)系呢？它們是直線AC、DF被BD所截形成的內(nèi)錯(cuò)角。內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，因此可以得出AC∥DF。最后，因?yàn)锳C∥DF，所以∠A和∠F是內(nèi)錯(cuò)角（AC、DF被AF所截），所以∠A=∠F。證明完畢。三、自我訓(xùn)練與提升請嘗試獨(dú)立完成以下練習(xí)題，檢驗(yàn)自己的掌握程度。注意，仔細(xì)觀察圖形，明確角與角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵。練習(xí)題1：如圖，AB∥CD，∠A=100°，∠C=75°，求∠E的度數(shù)。（提示：考慮∠E與∠A、∠C的關(guān)系）練習(xí)題2：如圖，AD∥BC，∠BAD=∠BCD。求證：AB∥CD。（提示：可利用AD∥BC的性質(zhì)，結(jié)合已知角相等進(jìn)行轉(zhuǎn)化）練習(xí)題3：如圖，直線l1∥l2，一塊含30°角的直角三角板如圖放置，其中一個(gè)銳角頂點(diǎn)落在l1上，直角頂點(diǎn)落在l2上。若∠1=25°，求∠2的度數(shù)。練習(xí)題4：如圖，AB∥CD，∠B=60°，∠D=30°，求∠BED的度數(shù)。（與例題4類似，但“拐點(diǎn)”方向不同，輔助線作法類似）四、解題小貼士1.“標(biāo)記”法：在圖形上標(biāo)出已知角的度數(shù)，以及根據(jù)已知條件能直接得出的角的度數(shù)，有助于發(fā)現(xiàn)角之間的關(guān)系。2.“翻譯”法：將文字條件“翻譯”成幾何語言，例如“平行”意味著同位角、內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；“角平分線”意味著兩個(gè)角相等。3.“逆向”思維：如果直接求某個(gè)角有困難，可以想想要求這個(gè)角，需要先知道哪個(gè)角？那個(gè)角又和已知角有什么關(guān)系？4.輔助線：當(dāng)遇到復(fù)雜圖形，特別是平行線間有折線時(shí)，作適當(dāng)?shù)妮o助線（通常是作平行線或延長線）往往能使問題迎刃