§2.8對(duì)數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)函數(shù)課標(biāo)要求1.理解對(duì)數(shù)的概念及運(yùn)算性質(zhì)，能用換底公式將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù).2.通過實(shí)例，了解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，會(huì)畫對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，理解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn).3.了解指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)．知識(shí)梳理1．對(duì)數(shù)的概念一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次冪等于N，即，那么數(shù)b稱為以為底的對(duì)數(shù)，記作.其中a叫作對(duì)數(shù)的數(shù)，N叫作數(shù)．以10為底的對(duì)數(shù)叫作常用對(duì)數(shù)，記作.以e為底的對(duì)數(shù)叫作自然對(duì)數(shù)，記作.2．對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算性質(zhì)(1)對(duì)數(shù)的性質(zhì)：loga1＝，logaa＝，＝(a>0，且a≠1，N>0)．(2)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：①loga(M·N)＝；②logaeq\f(M,N)＝；③logaMb＝(b∈R)．(3)對(duì)數(shù)換底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．3．對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象定義域值域R性質(zhì)過定點(diǎn)，即x＝1時(shí)，y＝0當(dāng)x>1時(shí)，；當(dāng)0<x<1時(shí)，當(dāng)x>1時(shí)，；當(dāng)0<x<1時(shí)，函數(shù)函數(shù)4.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線對(duì)稱．常用結(jié)論1．logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)，logambn＝eq\f(n,m)logab(a>0，且a≠1，b>0)．2.如圖，給出4個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象．則b>a>1>d>c>0，即在第一象限內(nèi)，不同的對(duì)數(shù)函數(shù)圖象從左到右底數(shù)逐漸增大．自主診斷1．判斷下列結(jié)論是否正確．(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)若M＝N，則logaM＝logaN.()(2)函數(shù)y＝loga2x(a>0，且a≠1)是對(duì)數(shù)函數(shù)．()(3)對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)是增函數(shù)．()(4)函數(shù)y＝log2x與y＝的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱．()2．(2023·雅安模擬)已知xlog32＝1，則4x等于()A．9B．3C.eq\r(3)D.eq\f(1,3)3．函數(shù)f(x)＝loga|x|＋1(a>1)的圖象大致為()4．已知函數(shù)y＝loga(x－1)＋4的圖象恒過定點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是________．題型一對(duì)數(shù)式的運(yùn)算例1(1)(2024·洛陽模擬)已知3a＝5b＝m，且eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝1，則實(shí)數(shù)m的值為________．(2)計(jì)算：log535＋－log5eq\f(1,50)－log514＝________.跟蹤訓(xùn)練1(1)若a>0，＝eq\f(4,9)，則等于()A．2B．3C．4D．5(2)計(jì)算：lg25＋lg2×lg50＋(lg2)2＝_____________________.題型二對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用例2(1)已知函數(shù)f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0且a≠1)的圖象如圖所示，則a，b滿足的關(guān)系是()A．0<a－1<b<1 B．0<b<a－1<1C．0<b－1<a<1 D．0<a－1<b－1<1(2)(2023·開封模擬)已知函數(shù)f(x)＝|log3x|，若a<b，且f(a)＝f(b)，則a＋4b的取值范圍是()A．[2eq\r(2)，＋∞) B．(2eq\r(2)，＋∞)C．[5，＋∞) D．(5，＋∞)跟蹤訓(xùn)練2(1)(2024·烏魯木齊檢測(cè))我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休．”在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)性質(zhì)，也常用函數(shù)解析式來琢磨函數(shù)的圖象特征，函數(shù)f(x)＝ax與g(x)＝(a>0且a≠1)在同一坐標(biāo)系中的大致圖象是()(2)(2023·德州模擬)若函數(shù)f(x)＝loga(x＋b)(a>0且a≠1，b∈R)的大致圖象如圖，則函數(shù)g(x)＝a－x－b的大致圖象是()題型三對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用命題點(diǎn)1比較對(duì)數(shù)式的大小例3(2023·西安模擬)若a＝lg0.2，b＝log32，c＝log64，則關(guān)于a，b，c的大小關(guān)系，下列說法正確的是()A．c>b>a B．b>c>aC．c>a>b D．a(chǎn)>b>c命題點(diǎn)2解對(duì)數(shù)方程、不等式例4(2023·中山模擬)設(shè)實(shí)數(shù)a>0，則“2a>2”是“l(fā)ogaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))>0”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件命題點(diǎn)3對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用例5(2023·鄭州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，則f(x)()A．是偶函數(shù)，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上單調(diào)遞增B．是奇函數(shù)，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))上單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))上單調(diào)遞增D．是奇函數(shù)，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))上單調(diào)遞減思維升華求與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題，必須弄清三個(gè)問題：一是定義域；二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成．跟蹤訓(xùn)練3(1)(2023·宜賓模擬)已知函數(shù)f(x)＝log2(x2－2x)在(a，＋∞)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是()A．[2，＋∞) B．[1，＋∞)C．(－∞，1] D．(－∞，0](2)若函數(shù)f(x)＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－2ax＋\f(5,2)a－1))有最大值，則a的取值范圍為()A.eq\b\lc