§6.2等差數(shù)列課標要求1.理解等差數(shù)列的概念和通項公式的意義.2.探索并掌握等差數(shù)列的前n項和公式，理解等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式的關系.3.能在具體問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關系，并解決相應的問題.4.體會等差數(shù)列與一元函數(shù)的關系．知識梳理1．等差數(shù)列的有關概念(1)等差數(shù)列的定義一般地，如果一個數(shù)列從第________項起，每一項與它的前一項的差都等于____________，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母________表示，定義表達式為________________________．(2)等差中項由三個數(shù)a，A，b組成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項，且有____________．2．等差數(shù)列的有關公式(1)通項公式：an＝____________.(2)前n項和公式：Sn＝____________或Sn＝____________.3．等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)若{an}為等差數(shù)列，且p＋q＝s＋t，則________________(p，q，s，t∈N*)．(2)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性當d>0時，{an}是________數(shù)列；當d<0時，{an}是________數(shù)列；當d＝0時，{an}是________．4．等差數(shù)列前n項和的常用性質(zhì)(1)當d≠0時，等差數(shù)列{an}的前n項和Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n是關于n的二次函數(shù)．(2)在等差數(shù)列{an}中，若a1>0，d<0，則Sn存在最________值；若a1<0，d>0，則Sn存在最________值．常用結論1．等差數(shù)列通項公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)．2．已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝pn＋q(其中p，q為常數(shù))，則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列，且公差為p.3．數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))．這里公差d＝2A.4．若{an}，{bn}均為等差數(shù)列且其前n項和為Sn，Tn，則eq\f(an,bn)＝eq\f(S2n－1,T2n－1).5．若等差數(shù)列{an}的項數(shù)為偶數(shù)2n，則(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；(2)S偶－S奇＝nd，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(an,an＋1).6．若等差數(shù)列{an}的項數(shù)為奇數(shù)2n＋1，則(1)S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；(2)eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n＋1,n).自主診斷1．判斷下列結論是否正確．(請在括號中打“√”或“×”)(1)若一個數(shù)列從第2項起每一項與它的前一項的差都是常數(shù)，則這個數(shù)列是等差數(shù)列．()(2)等差數(shù)列{an}中，a10＝a1＋a9.()(3)若等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則S6，S12，S18也成等差數(shù)列．()(4)若{an}是等差數(shù)列，則對任意n∈N*都有2an＋1＝an＋an＋2.()2．(選擇性必修第二冊P15T4改編)已知在等差數(shù)列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝12，則a4等于()A．－2B．4C．6D．83．若一個等差數(shù)列的首項為eq\f(1,25)，從第10項起開始比1大，則這個等差數(shù)列的公差d的取值范圍是()A．d>eq\f(8,75) B．d<eq\f(3,25)C.eq\f(8,75)<d<eq\f(3,25) D.eq\f(8,75)<d≤eq\f(3,25)4．(2023·安康模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a3＋a4＝4，則S6等于()A．6B．12C．18D．24題型一等差數(shù)列基本量的運算例1(1)(2023·全國甲卷)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．若a2＋a6＝10，a4a8＝45，則S5等于()A．25B．22C．20D．15(2)廣豐永和塔塔高九層，每至夜色降臨，金燈齊明，塔身晶瑩剔透，遠望猶如仙境．某游客從塔底層(一層)進入塔身，即沿石階逐級攀登，一步一階，此后每上一層均沿塔走廊繞塔一周以便瀏覽美景，現(xiàn)知底層共二十六級臺階，此后每往上一層減少兩級臺階，頂層繞塔一周需十二步，每往下一層繞塔一周需多三步，則這位游客從底層進入塔身開始到頂層繞塔一周停止共需()A．352步B．387步C．332步D．368步跟蹤訓練1(1)(多選)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，已知S4＝0，a5＝5，則下列選項正確的是()A．a(chǎn)2＋a3＝0 B．a(chǎn)n＝2n－5C．Sn＝n(n－4) D．d＝－2(2)(2023·洛陽聯(lián)考)《周髀算經(jīng)》中有這樣一個問題：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣，自冬至日起，其日影長依次成等差數(shù)列，前三個節(jié)氣日影長之和為28.5尺，最后三個節(jié)氣日影長之和為1.5尺，則春分時節(jié)的日影長為()A．4.5尺 B．3.5尺C．2.5尺 D．1.5尺題型二等差數(shù)列的判定與證明例2(2021·全國甲卷)已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，記Sn為{an}的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立．①數(shù)列{an}是等差數(shù)列；②數(shù)列{eq\r(Sn)}是等差數(shù)列；③a2＝3a1.注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華判斷數(shù)列{an}是等差數(shù)列的常用方法(1)定義法：對于數(shù)列{an}，an－an－1(n≥2，n∈N*)為同一常數(shù)?{an}是等差數(shù)列；(2)等差中項法：對于數(shù)列{an},2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立?{an}是等差數(shù)列；(3)通項公式法：an＝pn＋q(p，q為常數(shù))對任意的正整數(shù)n都成立?{an}是等差數(shù)列；(4)前n項和公式法：驗證Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))對任意的正整數(shù)n都成立?{an}是等差數(shù)列．跟蹤訓練2(2021·全國乙卷)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，bn為數(shù)列{Sn}的前n項積，已知eq\f(2,Sn)＋eq\f(1,bn)＝2.(1)證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；(2)求{an}的通項公式．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型三等差數(shù)列的性質(zhì)命題點1項的性質(zhì)例3(1)(2024·鄭州模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝2，S3＝S21，則S23等于()A．1B．2C．3D．4(2)(多選)(2023·鄭州模擬)若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項和，S5<S6，S6＝S7，S7>S8，則下列說法正確的有()A．公差d<0B．S12>0C．S9>S5D．使Sn<0的最小正整數(shù)n為14命題點2和的性質(zhì)例4(1)(2023·洛陽模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3＝9，S6＝63，則a7＋a8＋a9等于()A．63B．71C．99D．117(2)(2023·鄭州模擬)設等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項和分別是Sn，Tn，若eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(3n＋7,2n)，則eq\f(a6,b6)等于()A.eq\f(20,17)B.eq\f(20,11)C.eq\f(17,22)D.eq\f(17,12)延伸探究在本例(2)中，將eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(3n＋7,2n)改為eq\f(an,bn)＝eq\f(3n＋7,2n)，則eq\f(S7,T7)＝________.跟蹤訓練3(1)(20