微專題19圓錐曲線經(jīng)典難題之一類定點(diǎn)、定值問題的通性通法研究秒殺總結(jié)1.直線與圓錐曲線綜合應(yīng)用中的直線過定點(diǎn)問題的求解，求解此類問題的基本思路如下：①假設(shè)直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式；②利用求得變量的取值范圍，得到韋達(dá)定理的形式；③利用韋達(dá)定理表示出已知中的等量關(guān)系，代入韋達(dá)定理可整理得到變量間的關(guān)系，從而化簡直線方程；④根據(jù)直線過定點(diǎn)的求解方法可求得結(jié)果.2.定比點(diǎn)差法3.非對(duì)稱韋達(dá)與對(duì)稱韋達(dá)4.先猜后證5.硬解坐標(biāo)典型例題例1．（2022·江西贛州·一模（文））已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，滿足，且面積的最大值為.(1)求橢圓的方程；(2)點(diǎn)，點(diǎn)A，B在橢圓上，點(diǎn)N在直線：，滿足，，試問是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)定值為，理由見解析.【解析】【分析】（1）由，得到，根據(jù)面積的最大值為，得到，結(jié)合，求得，即可求得橢圓的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的直線為，聯(lián)立方程組得到，再聯(lián)立兩直線，求得，根據(jù)，，求得，進(jìn)而結(jié)合韋達(dá)定理，化簡得到，即可得到結(jié)論.(1)解：由橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，因?yàn)椋傻?，即，又由面積的最大值為，可得，即，因?yàn)?，即，解得，所以橢圓的方程為.(2)解：由，，可得點(diǎn)四點(diǎn)共線，如圖所示，設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，即，聯(lián)立方程組，整理得，設(shè)，則，聯(lián)立方程組，可得，即，因?yàn)?，，可得，所以則，所以為定值.例2．（2022·北京·一模）已知橢圓的下頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)都在直線上.(1)求橢圓方程及其離心率；(2)不經(jīng)過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交于點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為.若三點(diǎn)共線，求證：直線經(jīng)過定點(diǎn).【答案】(1)，離心率為.(2)證明見解析.【解析】【分析】（1）求出頂點(diǎn)坐標(biāo)后可求橢圓的方程和離心率；（2）設(shè)，則可用此兩點(diǎn)坐標(biāo)表示，根據(jù)三點(diǎn)共線可得，利用點(diǎn)在直線可得，再聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消元后利用韋達(dá)定理可得定點(diǎn).(1)因?yàn)橄马旤c(diǎn)和右頂點(diǎn)都在直線上，故，故橢圓方程為：.其離心率為(2)設(shè)，則.則，故，因?yàn)槿c(diǎn)共線，故，整理得到：，即.由可得，故且，故，整理得到：，若，則，故過，與題設(shè)矛盾；若，則，故過定點(diǎn).例3．（2022·江西九江·二模）已知橢圓的離心率為，P為橢圓E上一點(diǎn)，Q為圓上一點(diǎn)，的最大值為3（P，Q異于橢圓E的上下頂點(diǎn)）.(1)求橢圓E的方程；(2)A為橢圓E的下頂點(diǎn)，直線AP，AQ的斜率分別記為，，且，求證：直線PQ過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)(2)證明見解析，定點(diǎn)【解析】【分析】（1）由的最大值為，得到，結(jié)合離心率列出的方程組，求得的值，即可求得橢圓的方程；（2）由（1）得到，求得直線，，分別與橢圓聯(lián)立方程組，求得和，利用斜率公式求得，求得直線的方程，即可求解.(1)解：由橢圓的離心率為，可得，又由的最大值為，可得，可得，解得，所以橢圓的方程為.(2)解：由（1）可得點(diǎn)的坐標(biāo)為因?yàn)橹本€的斜率分別記為，，且，可得直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，解得或，將代入，可得，即，聯(lián)立方程組，整理得，解得或，將代入，可得，即，則，所以直線的方程為，即，此時(shí)直線過定點(diǎn)，即直線恒過定點(diǎn).例4．（2022·全國·模擬預(yù)測（文））已知雙曲線（，）的左、右頂點(diǎn)分別為、，離心率為2，過點(diǎn)斜率不為0的直線l與交于P、Q兩點(diǎn)．(1)求雙曲線的漸近線方程；(2)記直線、的斜率分別為、，求證：為定值．【答案】(1)；(2)證明見解析.【解析】【分析】（1）由雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、離心率，結(jié)合雙曲線參數(shù)的關(guān)系求a、b，進(jìn)而寫出雙曲線方程，即可得漸近線方程.（2）討論l的斜率：當(dāng)不存在求P、Q的坐標(biāo)，進(jìn)而可得；當(dāng)存在，設(shè)，，l為，并聯(lián)立雙曲線方程，應(yīng)用韋達(dá)定理及斜率的兩點(diǎn)式求證是否成立即可.(1)設(shè)雙曲線的半焦距為c，由題設(shè)，，，

雙曲線的方程為，故漸近線方程為．(2)當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為和，所以，當(dāng)時(shí)有；當(dāng)時(shí)有，此時(shí)，當(dāng)l的斜率k存在時(shí)，設(shè)，，l為，將直線l代入雙曲線方程得，所以，，

因?yàn)?，所以，即，綜上，為定值，得證．例5．（2022·陜西咸陽·二模（理））已知拋物線C：（），過焦點(diǎn)F作x軸的垂線與拋物線C相交于M?N兩點(diǎn)，S△MON=2.(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)點(diǎn)A是拋物線C上異于點(diǎn)O的一點(diǎn)，連接AO交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)B，求證：直線AB恒過定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見解析【解析】【分析】（1）利用求出，即可把表示成關(guān)于的函數(shù)，結(jié)合解方程，即可求出結(jié)果.（2）設(shè)，，分別表示出，的坐標(biāo)，即可利用，，三點(diǎn)共線求出的值，再設(shè)直線方程為，聯(lián)立拋物線方程即可求解得到，最后求出的值，即可判斷直線所過的定點(diǎn).(1)由題知，，代入拋物線得，，所以，解得：，從而拋物線的方程為.(2)設(shè)，，（），則，則，，由，，三點(diǎn)共線，有：，即，由題知，直線不與軸平行，設(shè)其方程為，聯(lián)立得：得：，從而，則，則，從而直線方程為，恒過點(diǎn).例6．（2022·廣西柳州·三模（理））已知點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)M與y軸的距離記為d，且點(diǎn)M滿足：，記點(diǎn)M的軌跡為曲線W．(1)求曲線W的方程；(2)設(shè)點(diǎn)P為x軸上除原點(diǎn)O外的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線，，交曲線W于點(diǎn)C，D，交曲線W于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為CD，EF的中點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線交GH于點(diǎn)N，設(shè)CD，EF，ON的斜率分別為，，的，求證：為定值．【答案】(1)(2)證明見解析【解析】【分析】(1)設(shè)，則，根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示化簡計(jì)算即可；(2)設(shè)和直線GH的方程，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)、，利用點(diǎn)差法和弦中點(diǎn)坐標(biāo)公式計(jì)算化簡可得，同理可得，根據(jù)韋達(dá)定理可得，代入計(jì)算化簡即可.(1)設(shè)，由題意得，，由,∴∴．∴，即M的軌跡方程為；(2)顯然GH斜率存在，設(shè)，設(shè)GH的方程為：由題意知CD的方程為：聯(lián)立方程解得：可得：設(shè)，，C，D都在曲線W上，則有①②①-②得：則有：又G為CD中點(diǎn)，則有；可得：同理可得：故，為關(guān)于k的方程的兩實(shí)根由韋達(dá)定理得：，將代入直線GH中得：可得：故有：則，故為定值例7．（2022·山西太原·一模（文））已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，一條直線過定點(diǎn)與拋物線相交于、兩點(diǎn)，且.(1)求拋物線方程；(2)連接，并延長交拋物線于、兩點(diǎn)，求證：直線過定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見解析【解析】【分析】（1）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達(dá)定理，由，可得，即可得到，代入解得，即可得解；（2）設(shè)點(diǎn)，，，的縱坐標(biāo)依次為，，，，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達(dá)定理，即可得到，同理可得，即可得到，再設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，利用韋達(dá)定理，求出，即可得到直線過定點(diǎn)坐標(biāo)；(1)解：設(shè)直線的方程為，它與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)為和，聯(lián)立直線與拋物線方程，消去得：，∴，①

，②∵，∵，即，∴，，∴，所以拋物線方程為.(2)解：設(shè)點(diǎn)，，，的縱坐標(biāo)依次為，，，，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，消去得：，∴，同理，由（1）中②可知：，∴，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程，消去得：，則有，即，因此直線過點(diǎn).過關(guān)測試1．（2022·陜西陜西·一模（理））已知拋物線，過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，設(shè)分別與拋物線相交于及兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時(shí)，拋物線在點(diǎn)處的切線斜率為.(1)求拋物線的方程；(2)設(shè)線段的中點(diǎn)分別為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證直線過定點(diǎn).【答案】(1)；(2)證明見解析.【解析】【分析】（1）結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)，利用切線斜率構(gòu)造方程可得，由此可得拋物線方程；（2）將直線方程代入拋物線方程中，結(jié)合韋達(dá)定理可確定中點(diǎn)坐標(biāo)，同理可得中點(diǎn)坐標(biāo)，利用直線方程兩點(diǎn)式可得直線方程，化簡可知其過定點(diǎn).(1)由得：，則，，解得：，拋物線方程為：；(2)由題意知：直線的斜率都存在且都不為零，由（1）知：，設(shè)直線，代入得：，設(shè)，，則，，，中點(diǎn)；，，同理可得：中點(diǎn)；的方程為：，化簡整理得：，則當(dāng)時(shí)，，直線恒過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查直線與拋物線綜合應(yīng)用中的直線過定點(diǎn)問題的求解，求解此類問題的基本思路如下：①假設(shè)直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式；②利用求得變量的取值范圍，得到韋達(dá)定理的形式；③利用韋達(dá)定理表示出已知中的等量關(guān)系，代入韋達(dá)定理可整理得到變量間的關(guān)系，從而化簡直線方程；④根據(jù)直線過定點(diǎn)的求解方法可求得結(jié)果.2．（2022·遼寧撫順·一模）已知橢圓，若下列四點(diǎn)_________中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.①；②.(1)從①②中任選一個(gè)條件補(bǔ)充在上面的問題中，并求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)在（1）的條件下，設(shè)直線l不經(jīng)過點(diǎn)且與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，直線與直線的斜率之和為1，過坐標(biāo)原點(diǎn)O作，垂足為D（若直線l過原點(diǎn)O，則垂足D視作與原點(diǎn)O重合），證明：存在定點(diǎn)Q，使得為定值.【答案】(1)選擇條件見解析，(2)選擇條件見解析，證明見解析【解析】【分析】（1）選擇①，判斷一定不在橢圓C上，將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，解方程組可得答案；選擇②，判斷一定不在橢圓C上，將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，解方程組可得答案；（2）選擇①,討論直線斜率是否存在，然后分情況解答，直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程，聯(lián)立橢圓方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系式，表示出，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系式化簡，并分類討論D與O是否重合，可得到答案;選擇的是②時(shí)，分析方法仿選擇①時(shí)的方法.(1)選擇①，由關(guān)于y軸對(duì)稱，且四點(diǎn)中恰有三點(diǎn)在橢圓C上，所以都在橢圓C上，且一定不在橢圓C上，所以三點(diǎn)在橢圓C上把代入橢圓C的方程，得，解得，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為選擇②，由關(guān)于x軸對(duì)稱，且四點(diǎn)中恰有三點(diǎn)在橢圓C上，所以都在橢圓C上，且一定不在橢圓C上，所以三點(diǎn)在橢圓C上,把代入橢圓C的方程，得，解得，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)若（1）選擇的是①，則當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，設(shè)，因?yàn)?，解得，此時(shí)直線l過橢圓左頂點(diǎn)，直線l與橢圓C不存在兩個(gè)交點(diǎn)，故不滿足題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)，聯(lián)立，整理得，所以，，因?yàn)椋獾?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，于是，即，所以l過定點(diǎn)令Q為的中點(diǎn)，即，由知，D與P不重合，若D與O不重合，則由題設(shè)知是的斜邊，故;若D與O重合，則，綜上，存在定點(diǎn)，使得為定值;若（1）選擇的是②，則當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，設(shè)，因?yàn)?，解得，此時(shí)直線l過橢圓右頂點(diǎn)，直線l與橢圓C不存在兩個(gè)交點(diǎn)，故不滿足題意;當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)，聯(lián)立，整理得，所以，，因?yàn)?，解得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，于是，即，所以l過定點(diǎn)，令Q為的中點(diǎn)，即，由知，D與P不重合，若D與O不重合，則由題設(shè)知是的斜邊，故；若D與O重合，則，綜上，存在定點(diǎn)，使得為定值.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓方程的求解以及直線和橢圓的位置關(guān)系中的定點(diǎn)定值問題，綜合性強(qiáng)，計(jì)算復(fù)雜，解答的關(guān)鍵是明確解題思路，準(zhǔn)確計(jì)算.3．（2022·安徽安慶·二模（文））已知橢圓：的長軸長是短軸長的兩倍，且過點(diǎn).(1)求橢圓的方程.(2)設(shè)橢圓的下頂點(diǎn)為點(diǎn)，若不過點(diǎn)且不垂直于坐標(biāo)軸的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，直線，分別與軸交于，兩點(diǎn).若，的橫坐標(biāo)之積是2，證明：直線過定點(diǎn).【答案】(1)；(2)證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，列出關(guān)于a，b的方程求解作答.（2）設(shè)出直線l的方程及點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)并表示出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，再聯(lián)立l與E的方程，借助韋達(dá)定理計(jì)算作答.(1)依題意，，橢圓E方程為：，又橢圓過，于是有，解得，，所以橢圓的方程為.(2)由（1）知，依題意，設(shè)直線的方程為，，，直線的方程為，令，得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，同理得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由消去y并整理得，，，即，，，因此，，即，解得，直線的方程為，過定點(diǎn)，所以直線過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：與圓錐曲線相交的直線過定點(diǎn)問題，設(shè)出直線的斜截式方程，與圓錐曲線方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理求出直線斜率與縱截距的關(guān)系即可解決問題.4．（2022·北京石景山·一模）已知橢圓C：的短軸長等于，離心率．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過右焦點(diǎn)作斜率為的直線，與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，判斷是否為定值，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)定值為，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，列出的方程組，求得的值，即可求得橢圓的方程；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組得到，進(jìn)而求得，得出中垂線的方程，求得，再由弦長公式求得，即可求解.(1)解：由橢圓C：的短軸長等于，離心率．可得，解得，所以橢圓的方程為.(2)解：由橢圓的方程，可得右焦點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，可得，所以，則，即，則中垂線的方程為，令，可得，所以，又由，所以（定值）.5．（2022·福建漳州·二模）已知橢圓的長軸長為，且過點(diǎn)(1)求的方程：(2)設(shè)直線交軸于點(diǎn)，交C于不同兩點(diǎn)，，點(diǎn)與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，為垂足.問：是否存在定點(diǎn)，使得為定值？【答案】(1)(2)存在【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求方程；（2）聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理可得直線恒過定點(diǎn)，進(jìn)而求解.(1)依題意知，即所以的方程可化為，將點(diǎn)代入得，解得，所以橢圓方程為；(2)設(shè)點(diǎn)，，聯(lián)立得，，，解得，，，注意到，，三點(diǎn)共線，，又當(dāng)，解得，因?yàn)?，所以，此時(shí)，滿足，故存在定點(diǎn)，使得等于定值.【點(diǎn)睛】解決直線與橢圓的綜合問題時(shí)，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．6．（2022·陜西西安·二模（文））已知定點(diǎn)，定直線，動(dòng)圓過點(diǎn)，且與直線相切.(1)求動(dòng)圓的圓心軌跡的方程；(2)過焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，與圓交于兩點(diǎn)（，在軸同側(cè)），求證：是定值.【答案】(1)(2)1【解析】【分析】（1）利用拋物線的定義先判定動(dòng)點(diǎn)的軌跡形狀，再求其標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線和拋物線的方程，得到關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系、拋物線的定義進(jìn)行證明.(1)解：由題意，得動(dòng)圓的圓心到點(diǎn)的距離等于到直線的距離，所以的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線，其軌跡方程為；(2)解：設(shè)經(jīng)過焦點(diǎn)的直線為，聯(lián)立，得；設(shè)，，則，且，；因?yàn)閳A的圓心為（即拋物線的焦點(diǎn)），半徑為，由拋物線的定義，得，，則，，所以，即是定值，定值是1.7．（2022·全國·模擬預(yù)測（理））如圖所示，已知拋物線E：，其焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離為6，過點(diǎn)作直線，與E相交，其中與E交于A，B兩點(diǎn)，與E交于C，D兩點(diǎn)，直線AD過E的焦點(diǎn)F，若AD，BC的斜率為，．(1)求拋物線E的方程；(2)問是否為定值？如是，請(qǐng)求出此定值；如不是，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)是，【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，利用焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離為，即可求得拋物線的方程；（2）設(shè)，，，，根據(jù)題意結(jié)合斜率公式求得及，，，代入即可求解.(1)解：拋物線，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程為，由焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離為，則拋物線的方程為．(2)解：設(shè)，，，，因?yàn)椋?，所以①，由：，將代入可得：②，又由：，將代入可得：③，同理：④，由②③④可得：，，，代入①，可得，所以為定值，定值為?．（2022·全國·東北師大附中模擬預(yù)測（理））已知圓過點(diǎn)，且與直線相切.(1)求圓心的軌跡的方程；(2)過點(diǎn)作直線交軌跡于、兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，過點(diǎn)作，垂足為，在平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)，使得為定值.若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)；(2)存在定點(diǎn)，使得，點(diǎn).【解析】【分析】（1）設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用給定條件列式化簡作答.（2）設(shè)出直線的方程，與軌跡的方程聯(lián)立，探求出直線所過定點(diǎn)，再推理計(jì)算作答.(1)設(shè)圓心，依題意，，化簡整理得：，所以圓心的軌跡的方程是：.(2)依題意，直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為：，，則，，由拋物線對(duì)稱性知，點(diǎn)在軌跡C上，直線的斜率為，直線的方程為：，化簡整理得：，由消去x并整理得：，則有，直線的方程化為：，因此直線恒過定點(diǎn)，因于點(diǎn)Q，于是得是直角三角形，且點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn)，則恒有，令點(diǎn)為E，從而有，所以存在定點(diǎn)，使得為定值，點(diǎn)E坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及動(dòng)直線與圓錐曲線相交滿足某個(gè)條件問題，可設(shè)出直線方程，再與圓錐曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理并結(jié)合已知推理求解.9．（2022·山東濟(jì)寧·一模）已知橢圓，A?B分別為橢圓C的右頂點(diǎn)?上頂點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓C的右焦點(diǎn)，橢圓C的離心率為，的面積為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)點(diǎn)P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)（不是頂點(diǎn)），點(diǎn)P與點(diǎn)M，N分別關(guān)于原點(diǎn)?y軸對(duì)稱，連接MN與x軸交于點(diǎn)E，并延長PE交橢圓C于點(diǎn)Q，則直線MP的斜率與直線MQ的斜率之積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)是定值，定值為【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率可得到a,b,c的關(guān)系，再結(jié)合的面積可得到，由此解得a,b，可得答案.（2）設(shè)直線方程，并聯(lián)立橢圓方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系式，結(jié)合直線MP的斜率與直線MQ的斜率之積，代入化簡可得答案.(1)由題意得，則，.的面積為，則.將，代入上式，得，則，，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)由題意可知直線PQ的斜率一定存在，設(shè)直線PQ的方程為，設(shè)，，則，，，聯(lián)立方程，得，∴，∴，∴，，∵，∴∴為定值.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓方程的求法以及直線和橢圓的位置關(guān)系，綜合考查了學(xué)生分析問題，解決問題以及計(jì)算方面的能力和綜合素養(yǎng)，解答的關(guān)鍵是理清解決問題的思路，并能正確地進(jìn)行計(jì)算.10．（2022·廣東肇慶·模擬預(yù)測）已知雙曲線的離心率是，實(shí)軸長是8.(1)求雙曲線C的方程；(2)過點(diǎn)的直線l與雙曲線C的右支交于不同的兩點(diǎn)A和B，若直線l上存在不同于點(diǎn)P的點(diǎn)D滿足成立，證明：點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為定值，并求出該定值.【答案】(1)；(2)證明見解析，定值為.【解析】【分析】（1）根據(jù)雙曲線的離心率公式、實(shí)軸長的定義進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)出直線l的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系、根的判別式進(jìn)行求解證明即可.(1)依題意得，解得所以雙曲線C的方程是.(2)證明：設(shè)，，，直線l的方程為.將直線方程代入雙曲線方程，化簡整理得，，則，.要使直線與雙曲線的右支有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，則應(yīng)滿足即解得.由，得，故，所以.又，所以點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為定值.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用一元二次不等式的根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.11．（2022·四川涼山·二模（文））如圖，為橢圓上的三點(diǎn)，為橢圓的上頂點(diǎn)，與關(guān)于軸對(duì)稱，橢圓的左焦點(diǎn)，且.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過橢圓的右焦點(diǎn)且與軸不重合的直線交橢圓于兩點(diǎn)，為橢圓的右頂點(diǎn)，連接分別交直線于兩點(diǎn).試判斷的交點(diǎn)是否為定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出該定點(diǎn)；若不是，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)；(2)直線與交點(diǎn)為定點(diǎn).【解析】【分析】（1）由對(duì)稱性和橢圓定義可求得，結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)即可求得橢圓方程；（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，可求得直線與交點(diǎn)為；假設(shè)當(dāng)斜率存在時(shí)，直線與交點(diǎn)為，可利用，表示出，從而得到；將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理驗(yàn)證知等式成立，從而假設(shè)成立.(1)與關(guān)于軸對(duì)稱，，，解得：；橢圓的左焦點(diǎn)，，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；(2)由（1）知：，，不妨設(shè)在軸上方；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，，直線，直線，，，，，直線，即；直線：，即，由得：，直線與交點(diǎn)為；若直線與交點(diǎn)為定點(diǎn)，則該定點(diǎn)必為；假設(shè)當(dāng)直線斜率存在時(shí)，直線與交點(diǎn)為，設(shè)，，直線：；直線：；令，則，，，，，，整理可得：，兩式作和得：；，，設(shè)，由得：，，此時(shí)，滿足題意；綜上所述：直線與交點(diǎn)為定點(diǎn).【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查直線與橢圓綜合應(yīng)用中的定點(diǎn)問題的求解，本題解題基本思路是在直接求解交點(diǎn)坐標(biāo)非常困難的情況下，利用斜率不存在的情況首先確定所過定點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而驗(yàn)證在斜率存在時(shí)，兩直線交點(diǎn)依然為該定點(diǎn)即可.12．（2022·湖北·一模）設(shè)橢圓C：（）的左?右頂點(diǎn)分別為A，B，上頂點(diǎn)為D，點(diǎn)P是橢圓C上異于頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，已知橢圓的離心率，短軸長為2.(1)求橢圓C的方程；(2)若直線AD與直線BP交于點(diǎn)M，直線DP與x軸交于點(diǎn)N，求證：直線MN恒過某定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見解析，定點(diǎn)為【解析】【分析】（1）利用橢圓的離心率及其短軸長聯(lián)立方程組即可求解；（2）設(shè)直線和直線的方程，并求出直線的方程，再求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，及其直線的方程，即可求出直線MN恒過某定點(diǎn).(1)由已知可得，解得，故橢圓C的方程為；(2)設(shè)直線的方程為（且），直線的方程為（且），則直線與x軸的交點(diǎn)為，直線的方程為，則直線與直線的交點(diǎn)為，將代入方程，得，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入直線的方程，整理得，∵，∴，由點(diǎn)坐標(biāo)可得直線的方程為：，即，則直線過定點(diǎn).13．（2022·山東·濰坊一中模擬預(yù)測）已知雙曲線C：的漸近線方程為，過雙曲線C的右焦點(diǎn)的直線與雙曲線C分別交于左、右兩支上的A、B兩點(diǎn)．(1)求雙曲線C的方程；(2)過原點(diǎn)O作直線，使得，且與雙曲線C分別交于左、右兩支上的點(diǎn)M、N．是否存在定值，使得？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)存在，【解析】【分析】（1）由題意得到且，結(jié)合，求得的值，即可求得雙曲線的方程；（2）由與同向，所以，設(shè)直線，聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理求得，利用弦長公式求得，根據(jù)，設(shè)，聯(lián)立方程組求得，進(jìn)而求得的值，得出結(jié)論.(1)解：因?yàn)殡p曲線C：的漸近線方程為，所以，即．又因?yàn)橛医裹c(diǎn)F的坐標(biāo)為，所以，又由，解得，所以，所以雙曲線C的方程為．(2)解：存在定值，使得．因?yàn)榕c同向，所以，由題意，可設(shè)直線，聯(lián)立方程組，整理得，設(shè)，，可得，由直線分別交雙曲線C的左、右兩支于A、B兩點(diǎn)，可得，即，可得，所以由，可設(shè)，由，整理得．設(shè)，則，所以，則，所以，故存在定值，使得．14．（2022·四川·石室中學(xué)二模（文））已知橢圓的長軸為雙曲線的實(shí)軸，且橢圓C過點(diǎn)．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)點(diǎn)A，B是橢圓C上異于點(diǎn)P的兩個(gè)不同的點(diǎn)，直線PA與PB的斜率均存在，分別記為，且，求證：直線AB過定點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明見解析.【解析】【分析】（1）由條件可得、，即可得到答案；（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，，聯(lián)立直線與橢圓的方程消元，然后韋達(dá)定理得出，然后利用求出的關(guān)系，即可得到定點(diǎn)的坐標(biāo)，然后再驗(yàn)證直線的斜率不存在時(shí)也過該定點(diǎn)即可.(1)因?yàn)闄E圓的長軸為雙曲線的實(shí)軸，所以，因?yàn)闄E圓C過點(diǎn)，所以，所以所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，由可得所以所以化簡可得所以當(dāng)，即時(shí)，直線的方程為，過定點(diǎn)，不滿足題意，當(dāng)，即時(shí)，直線的方程為，過定點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)其方程為，由可得，所以所以，解得（舍）或也滿足直線過定點(diǎn)綜上：直線過定點(diǎn)15．（2022·貴州黔東南·一模（理））已知直線與曲線的兩個(gè)公共點(diǎn)之間的距離為．(1)求C的方程．(2)設(shè)P為C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，過P作C的兩條切線，切點(diǎn)為A，B，直線的斜率分別為，，且直線與y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，直線的斜率為．證明：為定值，且成等差數(shù)列．【答案】(1)；(2)證明見解析.【解析】【分析】（1）求出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，解方程即得解；（2）設(shè)，設(shè)過點(diǎn)P且與C相切的直線l的斜率為k，則，且，聯(lián)立直線和拋物線方程得到韋達(dá)定理，得到，即得為定值．再求出，故成等差數(shù)列．(1)解：將代入，得．

當(dāng)時(shí)，不合題意；當(dāng)時(shí)，，則，

解得，故C的方程為．(2)證明：由（1）可知C的準(zhǔn)線方程為，

不妨設(shè)，設(shè)過點(diǎn)P且與C相切的直線l的斜率為k，則，且，聯(lián)立得，

則，即，

由題意知，直線的斜率為方程的兩根，則，故為定值．

又，

則，同理可得，

則，

因此，故成等差數(shù)列．16．（2022·河南開封·二模（文））已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，為C上一點(diǎn)，直線l交C于M，N兩點(diǎn)（與點(diǎn)S不重合）.(1)若l過點(diǎn)F且傾斜角為60°，（M在第一象限），求C的方程；(2)若，直線SM，SN分別與y軸交于A，B兩點(diǎn)，且，判斷直線l是否恒過定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)；若否，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)直線l恒過定點(diǎn).【解析】【分析】（1）由已知條件，利用點(diǎn)斜式寫出直線l的方程，然后與拋物線方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)焦半徑公式即可求解；（2）設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，將直線的方程與拋物線聯(lián)立，根據(jù)已知條件及韋達(dá)定理找到、之間的關(guān)系即可求解.(1)解：拋物線C：的焦點(diǎn)為，因?yàn)閘過點(diǎn)F且傾斜角為60°，所以，聯(lián)立，可得，解得或，又M在第一象限，所以，因?yàn)?，所以，解得，所以拋物線C的方程為；(2)解：由已知可得拋物線C的方程為，點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，將直線的方程與拋物線聯(lián)立得，所以，，直線的方程為，令求得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，同理求得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，由，化簡得，將上面式代入得，即，所以直線的方程為，即，所以直線過定點(diǎn).17．（2022·山東煙臺(tái)·一模）已知橢圓C：的離心率為，依次連接C四個(gè)頂點(diǎn)所得菱形的面積為4．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若A（－2，0），直線l：與C交于兩點(diǎn)，且AP⊥AQ，試判斷直線l是否過定點(diǎn)？若是，求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，說明理由．【答案】(1)(2)是，過定點(diǎn)【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件列出關(guān)于a,b,c的方程，解出其值，可得橢圓方程；（2）聯(lián)立直線和橢圓方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系式，結(jié)合AP⊥AQ，得到，將根與系數(shù)的關(guān)系式代入化簡，即可得結(jié)論.(1)由已知，連接C的頂點(diǎn)所得四邊形面積，又，解得：，，所以橢圓C的方程為．(2)設(shè)，，聯(lián)立，消y可得，則有，即，，，因?yàn)锳P⊥AQ，所以，而，，故，，故，解得或，當(dāng)時(shí)，直線l方程為，過點(diǎn)A，不滿足題意，當(dāng)時(shí)，代入，故直線l方程為，過定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓方程的求解，以及直線和橢圓相交時(shí)過定點(diǎn)的問題，解答時(shí)要明確解答的思路，這點(diǎn)并不困難，難點(diǎn)在于聯(lián)立方程后結(jié)合條件的化簡運(yùn)算，要十分細(xì)心.18．（2022·寧夏六盤山高級(jí)中學(xué)一模（理））已知點(diǎn)在拋物線上.(1)求拋物線E的方程；(2)直線都過點(diǎn)的斜率之積為，且分別與拋物線E相交于點(diǎn)A，C和點(diǎn)B，D，設(shè)M是的中點(diǎn)，N是的中點(diǎn)，求證：直線恒過定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見解析【解析】【分析】（1）將點(diǎn)坐標(biāo)代入求解拋物線方程；（2）設(shè)出直線方程，表達(dá)出的坐標(biāo)，求出直線的斜率，利用直線斜率之積為-1，求出直線恒過的定點(diǎn)，從而證明出結(jié)論.(1)∵點(diǎn)在拋物線上，∴，∴解得:，∴拋物線E的方程為：.(2)由分別與E相交于點(diǎn)A，C和點(diǎn)B，D，且由條件知：兩直線的斜率存在且不為零.∴設(shè)由得：

設(shè)，則，∴，又，即同理可得：

∴，∴即：，∵的斜率之積為，∴，即，∴，即直線過定