微專(zhuān)題05數(shù)列經(jīng)典題型精練總結(jié)1.給出Sn與an的遞推關(guān)系，求an，常用思路是：一是轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系，再求其通項(xiàng)公式；二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系，先求出Sn與n之間的關(guān)系，再求an.2.在利用放縮法證明數(shù)列不等式時(shí)，要注意放縮的方向，在放縮方向明確之后，放大得太多，或者縮小得太多，可以適當(dāng)進(jìn)行調(diào)整，比如從第二項(xiàng)開(kāi)始放縮或者第三項(xiàng)開(kāi)始放縮.3.幾種常見(jiàn)的數(shù)列放縮方法：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）.典型例題例1．（2022·上海·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，為前n項(xiàng)的和，且，，成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求；（3）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)積，是否存在實(shí)數(shù)a，使得不等式對(duì)一切都成立？若存在，求出a的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）利用等差中項(xiàng)得出Sn與an的關(guān)系式，即可求出an；（2）由題意可求出，然后利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式可求；（3）由題寫(xiě)出的表達(dá)式，構(gòu)造函數(shù)，然后判斷單調(diào)性，可求函數(shù)的最大值，即可解出答案.【詳解】（1）由題意知，即，又?jǐn)?shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，∴，即，∴數(shù)列為首項(xiàng)為1公差為1的等差數(shù)列，故；（2）∵，∴，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，∴；（3）由題知，令，則，∴，故單調(diào)遞減，于是∴要得不等式對(duì)一切都成立，則.例2．（2021·浙江·高三開(kāi)學(xué)考試）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，，，成等差數(shù)列，且，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)數(shù)列前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系求解的遞推公式，再求出，再得出通項(xiàng)公式即可；（2）代入的通項(xiàng)公式，化簡(jiǎn)可得，再分別對(duì)進(jìn)行裂項(xiàng)求和證明即可【詳解】解：（1）因?yàn)?，，成等差?shù)列，即，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，所以是公比為2的等比數(shù)列，即，即．由，得，所以的通項(xiàng)公式．（2）由（1）知，又因?yàn)椋?，故，∴．?．（2020·浙江·溫州中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖，已知曲線及曲線.從上的點(diǎn)作直線平行于軸，交曲線于點(diǎn)，再?gòu)狞c(diǎn)作直線平行于軸，交曲線于點(diǎn).點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列（Ⅰ）試求與之間的關(guān)系，并證明：；（Ⅱ）若，求證：.【答案】（Ⅰ），證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）證明見(jiàn)解析.【分析】（Ⅰ）由已知，，從而有，由在上，代入可得由，及，知，下證：解法一：由，可得與異號(hào)，即可證明．解法二：由，可得，，可，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，進(jìn)而證明．（Ⅱ）由，可得，由，可得，可得．可知，因此，利用遞推關(guān)系及其等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可證明．【詳解】解：（Ⅰ）由已知，，從而有因?yàn)樵谏?，所以有解得由及，知，下證：解法一：因?yàn)椋耘c異號(hào)注意到，知，即解法二：由可得，所以有，即是以為公比的等比數(shù)列；設(shè)，則解得，從而有由可得所以，所以（Ⅱ）證明：因?yàn)樗砸驗(yàn)?，所以，所以有從而可知故所以所以?．（2021·浙江·慈溪中學(xué)高三期中）已知數(shù)列是公差大于0的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，其前項(xiàng)和為，則是否存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）存在；，【分析】(1)設(shè)出等差數(shù)列的公差，根據(jù)給定條件列式計(jì)算即可作答.(2)由(1)的結(jié)論求出，借助裂項(xiàng)相消法求出，再探求成等差數(shù)列的m，n值即可作答.（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為(d>0)，則，解得：，，于是有，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.（2）由(1)知，，因此，．假設(shè)存在正整數(shù)，，使得，，成等差數(shù)列，則，即，整理得，顯然n+3是25的正約數(shù)，又，則或25，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，與矛盾，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，符合題意，所以存在正整數(shù)使得，，成等差數(shù)列，此時(shí)，.過(guò)關(guān)測(cè)試1．（2021·河南·溫縣第一高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，等比數(shù)列的公比，，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）證明：為等差數(shù)列，并求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1），（2）證明見(jiàn)解析，的前項(xiàng)和為【分析】（1）列出首項(xiàng)與公比的方程組求解首項(xiàng)與公比，進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式；（2）利用與的關(guān)系得，再利用分組法求和.（1）由題意，.由且，得，，所以，，所以，.（2）由題設(shè)知，，兩式相減得.由于，所以.由題設(shè)知，，可得.由此可得是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，.是首項(xiàng)為3，公差為4的等差數(shù)列，.所以，故是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，故數(shù)列的前項(xiàng)和為.2．（2021·江西·高三階段練習(xí)（理））已知首項(xiàng)為1的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）若數(shù)列滿足，求證：．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）證明見(jiàn)解析【分析】（1）兩邊同時(shí)除以，得，再利用等差數(shù)列的定義證明．（2）由（1）得到，再利用數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系求解；（3）根據(jù)，得到證明.（1）證明：兩邊同時(shí)除以，得，又，故是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．（2）解：由（1）可知，，則．當(dāng)時(shí)，，而符合上式，故．（3）證明：因?yàn)椋?，且，而，故?．（2021·上海普陀·一模）設(shè)?為常數(shù)，若存在大于1的整數(shù)，使得無(wú)窮數(shù)列滿足，則稱(chēng)數(shù)列為“數(shù)列”.（1）設(shè)，若首項(xiàng)為1的數(shù)列為“（3）數(shù)列”，求；（2）若首項(xiàng)為1的等比數(shù)列為“數(shù)列”，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并指出相應(yīng)的的值；（3）設(shè)，若首項(xiàng)為1的數(shù)列為“數(shù)列”，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）3；（2）①，此時(shí)，q＝1，k≥2，k∈；②，此時(shí)d＝－2，q＝－1，k≥2，k∈；（3）.【分析】（1），k＝3，寫(xiě)出此時(shí)的式子，根據(jù)規(guī)律求出即可求出；（2）根據(jù)題設(shè)條件，求出數(shù)列前三項(xiàng)，根據(jù)數(shù)列是等比數(shù)列即可求出通項(xiàng)公式；（3）根據(jù)題設(shè)條件，分析數(shù)列項(xiàng)的規(guī)律，從而求出其前10n項(xiàng)的和.（1）由題知，，∵，∴，∴；（2）①若，則，由，得≠0，∴d≠－1；由，得.聯(lián)立兩式，得或，則或，經(jīng)檢驗(yàn)k≥3時(shí)也均合題意.②若，則，由，得，得，則，q＝1，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.綜上①②，滿足條件的{}的通項(xiàng)公式為：①，此時(shí)，q＝1，k≥2，k∈；②，此時(shí)d＝－2，q＝－1，k≥2，k∈.（3）由題可知，,數(shù)列項(xiàng)的規(guī)律為，，從而求出其前10n項(xiàng)的和,,即，.4．（2020·上海市中國(guó)中學(xué)高三期中）在數(shù)列中，若對(duì)任意的，都有成立，則稱(chēng)數(shù)列為“差增數(shù)列”．（1）試判斷，是否為“差增數(shù)列”，并說(shuō)明理由；（2）若數(shù)列為“差增數(shù)列”，且，，對(duì)于給定得正整數(shù)，求使得的前項(xiàng)的和最小時(shí)，的通項(xiàng)公式；（3）若數(shù)列為“差增數(shù)列”，且，，且，求證：．【答案】（1）是；理由見(jiàn)解析（2）；（3）證明見(jiàn)解析．【分析】（1）由新定義可知，只要證明an+an+2＞2an+1即可；（2）由新定義可得對(duì)任意的n∈N*，恒成立．可令，運(yùn)用累加法，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可得bn；（3）利用反證法即可證明不等式.（1）數(shù)列是“差增數(shù)列”，理由如下：∴，∴數(shù)列是“差增數(shù)列”；（2）由已知，對(duì)任意的n∈N*，恒成立．令，則，且，若的前項(xiàng)的和最小，則，∴∴，當(dāng)時(shí)，也適合上式，∴；（3）證明：（反證法）假設(shè)．由已知可得均為正數(shù)，且，．而由可得，即，又，所以．同理可得，因此，這與已知矛盾，所以．5．（2021·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，且．?dāng)?shù)列滿足，的前n項(xiàng)和為．（1）判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．【答案】（1）是，；（2）證明見(jiàn)解析﹒【分析】(1)通過(guò)恒等變形得，從而得，即可判斷為等差數(shù)列，可求的通項(xiàng)公式，再由得的通項(xiàng)公式；(2)先由(1)得，再利用放縮法和裂項(xiàng)相消法證明．（1）因?yàn)?，所以，則．所以，又，所以，故數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，所以，得．（2）由(1)可得，所以．當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．所以．6．（2021·天津英華國(guó)際學(xué)校高三期中）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，成等差數(shù)列，且滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和，且.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1）()；()（2）()【分析】(1)設(shè)等比數(shù)列公比q，由給定條件求出q及a1即可得的通項(xiàng)；由結(jié)合“當(dāng)時(shí)，”即可得的通項(xiàng).(2)利用(1)的結(jié)論分類(lèi)討論，借助分組求和方法及等差等比數(shù)列求和公式即可計(jì)算得解.（1）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列公比q，因成等差數(shù)列，則，即，，而，解得，又，即，，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是，；，數(shù)列的前n項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，，整理得：，于是得數(shù)列是常數(shù)數(shù)列，則，得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是，.（2）由(1)知，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和().【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：給出Sn與an的遞推關(guān)系，求an，常用思路是：一是轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系，再求其通項(xiàng)公式；二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系，先求出Sn與n之間的關(guān)系，再求an.7．（2021·上海市嘉定區(qū)第二中學(xué)高三期中）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（其中是非零的實(shí)數(shù)），若，，成等差數(shù)列，問(wèn)，，能成等比數(shù)列嗎？說(shuō)明理由；（3）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，是否存在正整數(shù)?，使得，，成等比數(shù)列？若存在，求出所有?的值；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）.（2）能，理由見(jiàn)解析.（3）存在，、.【分析】（1）根據(jù)已知條件可得，進(jìn)而求基本量，即可寫(xiě)出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）有，根據(jù)題設(shè)有求值，進(jìn)而判斷是否成立即可.（3）由（1）得，根據(jù)題設(shè)判斷是否存在正整數(shù)?使成立，最后轉(zhuǎn)化為判斷是否成立即可.（1）由題設(shè)，可得，若的公差為，∴，即，可得.∴的通項(xiàng)公式.（2）由（1）知：，易知：是首項(xiàng)、公比均為的等比數(shù)列，又，，成等差數(shù)列，則，當(dāng)時(shí)顯然不成立，∴，故，整理得，解得或（舍），∴，，，要使它們成等比數(shù)列，即，∴只需，整理有，又，，∴成立，故，，成等差數(shù)列，，，能成等比數(shù)列.（3）由（1）知：，若存在正整數(shù)?，使得，，成等比數(shù)列，∴，即，只需，整理得，∴當(dāng)時(shí)，保證存在正整數(shù)使成立即可，顯然時(shí)成立.當(dāng)時(shí)，保證存在正整數(shù)使成立即可，顯然不存在這樣的n值.由此知：找不到正整數(shù)使上述等式成立.綜上，存在、使得，，成等比數(shù)列.8．（2021·浙江·無(wú)高三期中）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前項(xiàng)和為，，，若對(duì)任意的正整數(shù)，有（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，求證：.【答案】（1），；（2）證明過(guò)程見(jiàn)解析.【分析】（1）當(dāng)，，時(shí)，分別求出通項(xiàng)公式，再綜合即可；（2）利用放縮法進(jìn)行證明即可.（1）解：當(dāng)時(shí)，即奇數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列時(shí)，當(dāng)時(shí)，即①當(dāng)時(shí)，②②-①得化簡(jiǎn)得即等式兩邊同時(shí)除以得等價(jià)于即由題知，當(dāng)時(shí)，故即時(shí)，綜上，，（2）解：由（1）知，當(dāng)時(shí)，即，，，即【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：在利用放縮法證明數(shù)列不等式時(shí)，要注意放縮的方向，在放縮方向明確之后，放大得太多，或者縮小得太多，可以適當(dāng)進(jìn)行調(diào)整，比如從第二項(xiàng)開(kāi)始放縮或者第三項(xiàng)開(kāi)始放縮.9．（2021·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)數(shù)列的首項(xiàng)，其前項(xiàng)和為，且.數(shù)列滿足：(b1+b2.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，證明：.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意得到和，兩式相減得，解得答案.（2）計(jì)算，，放縮和，利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算得到證明.（1）由得，兩式相減得，由，得，數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)和奇數(shù)項(xiàng)分別是公差為2的等差數(shù)列，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.綜上所述.（2）由，，，，兩式相減得，，驗(yàn)證成立，故.則，那么，故，同理，故，得證.【點(diǎn)睛】本題考查了求數(shù)列的通項(xiàng)公式，證明數(shù)列不等式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中數(shù)列的放縮是解題的關(guān)鍵，同學(xué)們需要靈活掌握.10．（2021·天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知為等差數(shù)列，為公比大于0的等比數(shù)列，且，，，.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求；（3）記為在區(qū)間中項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列的前2021項(xiàng)和.【答案】（1），；（2）；（3）18174【分析】（1）先利用，求公比，得到，再用，.求公差，得到；（2）觀察到，用裂項(xiàng)相消法求和；（3）找到的規(guī)律，然后求和.【詳解】（1）∵為公比大于0的等比數(shù)列，且，，設(shè)公比為∴，解得：或（舍去）∴，∵為等差數(shù)列，，，設(shè)公差為∴解得：∴和的通項(xiàng)公式分別為：，；（2）∵∴（3）∵，∴當(dāng)時(shí)，，共1項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，共2項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，共4項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，共8項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，共16項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，共32項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，共64項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，共128項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，共256項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，共512項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，共998項(xiàng).∴11．（2021·天津市濱海新區(qū)大港油田實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列，，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知對(duì)于任意，都有，數(shù)列是等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）記，（i）求數(shù)列的前n項(xiàng)和；（ii）求．【答案】（1），；（2）（i）；（ii）．【分析】（1）討論n=1和n≥2兩種情況，根據(jù)遞推公式探討出任意兩項(xiàng)之間的關(guān)系，進(jìn)而求得通項(xiàng)公式；再求出的首項(xiàng)，利用等比中項(xiàng)求出公差，進(jìn)而得到答案；（2）（?。鶕?jù)（1），用分組求和得到答案；（ⅱ）對(duì)和式，從首項(xiàng)起依次每?jī)身?xiàng)一組并項(xiàng)求和，再用錯(cuò)位相減法求得答案.【詳解】（1）n=1時(shí)，，n≥2時(shí)，，所以，所以是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以.則，設(shè)數(shù)列的公差為d，因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，解得：d=2，則.（2）（ⅰ）由（1）可知，，若n為偶數(shù)，則，若n為奇數(shù)，則,于是，.（ⅱ）由題意，對(duì)，，設(shè)的前n項(xiàng)和為，所以，，則，則，所以，于是，.12．（2020·江蘇南京·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．（1）求的值；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）若，且，，成等比數(shù)列，求k和t的值．【答案】(1)；(2)；(3)，．【分析】(1)由給定等式可得，解方程即得；(2)將等式與n換成n+1時(shí)的等式相減得，再利用化成與的關(guān)系即可推理作答；(3)求出，再由條件列式并整理得，對(duì)k分類(lèi)討論即可得解.【詳解】(1)依題意，，即，，而，解得，所以；(2)因，則有，兩式相減得：，而，于是得，必有，兩式相減得：，即有，則當(dāng)時(shí)，有，由得：，即，而，則，于是得，，從而得：數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是；(3)由(2)得，由，，成等比數(shù)列得：，即，整理得，顯然，數(shù)列{Sn}單調(diào)，則，必有，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，為奇數(shù)，又必為正，即，而數(shù)列是遞增的，則，必為偶數(shù)，因此，在時(shí)，等式不成立，所以，.13．（2021·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列各項(xiàng)為正數(shù)，且滿足，（），求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】【分析】根據(jù)題意，令，可證數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】將等價(jià)變形為，同理可得，令，則，兩邊取對(duì)數(shù)得.變形為，且.∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.∴，∴，即，∴.14．（2021·福建·莆田一中高三期中）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖象在處的切線方程.（2）若函數(shù)在定義域上為單調(diào)遞增函數(shù).①求整數(shù)的最大值；②證明：.【答案】(1)；(2)①2；②證明見(jiàn)解析.【分析】(1)將代入，求出函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)，計(jì)算，再借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線方程；(2)①求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由給定條件可得恒成立，再由恒成立的不等式去探求恒成立，不恒成立即可；②利用①的結(jié)論并用去替換x，再變形整理，借助等比數(shù)列求和公式即可得解.【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，，，則，而，于是得，即，所以所求切線方程為；(2)①函數(shù)定義域?yàn)?，求?dǎo)得：，因函數(shù)在定義域上為單調(diào)遞增函數(shù)，且a為整數(shù)，則有，恒成立，令函數(shù)，，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，因此，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，則有，成立，在時(shí)，兩邊取對(duì)數(shù)有恒成立，于是得，從而有而上述不等式中兩個(gè)等號(hào)不同時(shí)取得，即恒成立，當(dāng)時(shí)，恒有，因此，當(dāng)時(shí)，恒有，即有恒成立，當(dāng)時(shí)，有，而，即，不等式不恒成立，綜上得，整數(shù)的最大值為2；②由①知，不等式恒成立，令，則，于是得，因此，，所以，，成立.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在指定的區(qū)間D上單調(diào)遞增(減)，求參數(shù)范圍問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為(或)恒成立問(wèn)題，從而構(gòu)建不等式，要注意“=”是否可以取到．15．（2022·河北·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足為常數(shù)且，數(shù)列滿足，.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）若，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）由與的關(guān)系得出，再與作差，結(jié)合等差數(shù)列的定義證明數(shù)列是等差數(shù)列；（2）先求出的通項(xiàng)公式，再為等差數(shù)列得出，再由錯(cuò)位相減法得出的值.【詳解】（1）證明：因?yàn)闉槌?shù)且，可得時(shí)，，即，因?yàn)闉槌?shù)且，可得，則，時(shí)，，上面兩式相減可得，化為，時(shí)，，上面兩式相減可得，可得，即有，所以，所以數(shù)列為等差數(shù)列；（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，可得，解得，則.滿足，，可得，則是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列，可得，即，所以，則，，上面兩式相減可得，化簡(jiǎn)可得.16．（2019·安徽定遠(yuǎn)·高三期中（文））已知，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求及數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和，并證明：．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2），；（3），證明見(jiàn)解析.【分析】（1）由題意得，兩邊同取以10為底的對(duì)數(shù)，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可得證.（2）由（1）可得，化簡(jiǎn)可得，代入，化簡(jiǎn)計(jì)算，結(jié)合等差數(shù)列求和公式，計(jì)算即可得，由，即可得數(shù)列的通項(xiàng)公式.（3）因?yàn)?，化?jiǎn)可得，根據(jù)題意，可得的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消求和法，可得表達(dá)式，結(jié)合表達(dá)式，即可得證.【詳解】（1）由已知，得，∴．①∵，∴，①式兩邊取對(duì)數(shù)，得，即，∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列.（2）由（1），知，∴，②∴，由②式得數(shù)列的通項(xiàng)公式.（3）∵，∴，∴.又，∴.∴.∵，，則，∴，又，∴.17．（2021·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，（1）在數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，，在數(shù)列中，，，若點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，求a的值.（2）在（1）的條件下，過(guò)點(diǎn)作傾斜角為的直線，若在y軸上的截距為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先求出的反函數(shù)，代入，令，即得解；（2）點(diǎn)斜式表示直線的方程，通過(guò)截距為，可得，項(xiàng)和轉(zhuǎn)化，得到，結(jié)合（1）可得，即，列舉出，可猜想，利用數(shù)學(xué)歸納法，即得證【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)是的反函數(shù)，則.因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)的圖像上，所以.（*）令，得，，，則.（2）由（1）得，（*）式可化為.①直線的方程為：.因?yàn)樵趛軸上截距為，所以，結(jié)合①可得.②由①式可知，當(dāng)自然數(shù)時(shí)，，.兩式作差得，結(jié)合②式得.③在③式中，令，結(jié)合，可解得或2，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以.同理，在③式中，依次令，，可解得，.由此猜想，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：（i）當(dāng)，2，3時(shí)，已證成立；（ii）假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，即，當(dāng)時(shí)，由③式可得，把代入，解得或.由于，則，所以不符合題意，應(yīng)舍去，故只有，則當(dāng)時(shí)命題也成立.綜上可知，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.18．（2021·江蘇南通·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求證：對(duì)于一切正整數(shù)n，不等式恒成立．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）當(dāng)時(shí)，由已知得，因此是一個(gè)等比數(shù)列，其首項(xiàng)為，公比為，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得答案．（2）要證成立，只要證時(shí)，有，先運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明，對(duì)每個(gè)，有，由此原不等式可得證.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，由得，因此是一個(gè)等比數(shù)列，其首項(xiàng)為，公比為，從而，據(jù)此得．（2）∵，要證成立，只要證時(shí)，有，①顯然，左端每個(gè)因式都是正數(shù)，先證明，對(duì)每個(gè)，有，②用數(shù)學(xué)歸納法證明②式：1°，當(dāng)時(shí)，②式顯然成立；2°，假設(shè)時(shí)，②式成立，即，則當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，成立．故對(duì)一切，②式都成立．利用②式得，故①式成立．從而結(jié)論成立．19．（2021·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）(1)已知數(shù)列，其中，，且當(dāng)時(shí)，，求通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列中，，，，求．【答案】（1）；（2）．【分析】(1)由可得，結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式及累加法可求數(shù)列的通項(xiàng)公式，(2)由可得，利用累加法求，再通過(guò)構(gòu)造等比數(shù)列求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】(1)由得：，令，則上式為．因此是一個(gè)等差數(shù)列，，公差為1，故．由于，又，，即．(2)由遞推關(guān)系式，得，令，則，且．符合該式，，令，則，即，即，且，故是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．，即，.20．（2021·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）（1）已知數(shù)列，，是否存在正整數(shù)k，使對(duì)一切，不等式均成立；（2）已知關(guān)于n的不等式，對(duì)于一切大于1的正整數(shù)n都成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）存在；（2）.【分析】第（1）問(wèn)，令，可轉(zhuǎn)化為，所給數(shù)列呈現(xiàn)積的形式，利用與1的大小關(guān)系探究的單調(diào)性求最值即可；第（2）問(wèn)，設(shè)，可轉(zhuǎn)化為，先判斷的單調(diào)性，即討論的正、負(fù)號(hào)，得到，解此不等式求解a的取值范圍【詳解】（1）設(shè)，則.∴單調(diào)遞增為的