第=page11頁，共=sectionpages11頁2025-2026學(xué)年山東省德州市夏津一中高二（上）9月月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，點E為棱PC的中點，若AE=xAB+yAD+zA.32

B.1

C.52

2.若平面α的法向量為u=(?1,2,4)，平面β的法向量為v=(m,?1,?2)，直線l的方向向量為t=(n,?2,?4)，則A.若α//β，則m=1 B.若l⊥α，則n=2

C.若n=?20，則l//α D.若m=?10，則α⊥β3.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，平面AA.2

B.1

C.224.在正方體ABCD?A1B1A.AD1⊥A1C B.AD1與BD所成角為π3

C.A5.直線mx+(3m?1)y+1=0必過定點(

)A.(3,1) B.(?3,1) C.(13,1)6.在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1A.12 B.22 C.17.經(jīng)過點P(0,?1)作直線l，若直線l與連接A(1,?2)，B(2,1)A.[?1,1] B.(?18.如圖，已知正方體A1A2A3A4?A5A6A7A8，空間中一點PA.3 B.6 C.7 D.8二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.如圖，在底面為正方形的四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，AP=AB=1，則下列說法正確的是(

)A.異面直線PB與AC所成的角為60°

B.直線PD與平面PAC所成的角為30°

C.平面PBD與平面PAB的夾角為30°

D.點C到面PBD的距離為310.已知直線l過點(0,2)，(3,1)，則A.點C(2,?1)在直線l上

B.直線l的兩點式方程為y?12?1=x?30?3

C.直線l11.在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=2A.A1D⊥B1C

B.B1C⊥平面A1BD

C.AC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.過點A(2,1)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為______．13.如圖，在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面邊長為2，直線CC1與平面AC14.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，點M為棱AA1的中點，若N為底面A1B1C1D1內(nèi)一點(四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

根據(jù)下列條件分別寫出直線的方程，并化為一般式．

(1)直線l的一個方向向量為a=(2,?3)，且經(jīng)過點A(1,2)；

(2)過點(1,3)16.(本小題15分)

在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱AA1的長為2，且∠A117.(本小題15分)

如圖所示，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，若F是DD1的中點，

(1)求異面直線AD與BF18.(本小題17分)

四棱錐P?ABCD底面為菱形，PA⊥底面ABCD，∠BAD=60°，PA=AB=2，點E在PB上，PE：EB=1：2．

(1)證明：PC⊥DB；

(2)求二面角A?DE?B的余弦值．19.(本小題17分)

如圖，四棱錐S?ABCD中，底面ABCD為長方形，側(cè)面△SAD是等邊三角形，平面SAD⊥平面ABCD

(1)若E為棱SB的中點，P為棱AD的中點，求證：PE//平面SCD

(2)AB=1，異面直線SB，AD夾角的余弦為55．

①求棱AD的長度；

②在棱SA上是否存在點M，使得平面PBM與平面SAD的夾角的余弦值為3010

答案解析1.【答案】A

【解析】解：因為AE=AB+BC+CE=AB+AD+EP=AB+AD+(AP?AE)，

所以2AE=AB+2.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，平面α的法向量為u=(?1,2,4)，平面β的法向量為v=(m,?1,?2)，直線l的方向向量為t=(n,?2,?4)，

依次分析選項：

對于A，若平面α/?/β，則u//v，則有m?1=?12=?24，解得m=12，故A錯誤；

對于B，若l⊥α，則t//u，則有n?1=?22=?44，解得n=1，故B錯誤；

對于C，若n=?20，則t=(?20,?2,?4)，則有t?u=20?4?16=0，t⊥u，必有l(wèi)/?/α3.【答案】A

【解析】解：如圖，以D為原點，以DA，DC，DD1所在的直線分別為x，y，z軸，建立D?xyz，

設(shè)正方體的棱長為1，因此D(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，

因此DD1=(0,0,1),AB1=(0,1,1),AD1=(?1,0,1)，

因為DD1⊥平面ABCD，

因此平面ABCD的一個法向量為DD1=(0,0,1)，

設(shè)平面AB1D1的法向量為m=(x,y,z)，

m?AB1=y+z=0m?AD1=?x+z=0，令x=1，

因此y=?1，z=1，因此m=(1,?1,1)為平面AB1D1的一個法向量，

設(shè)平面AB1D1與平面ABCD4.【答案】D

【解析】解：設(shè)正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，以點D為坐標(biāo)原點，

DA、DC、DD1所在直線分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，

A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，C1(0,1,1)，D1(0,0,1)，

對于A選項，AD1=(?1,0,1)，A1C=(?1,1,?1)，

則AD1?A1C=1+0?1=0，所以AD1⊥A1C，故A正確；

對于B選項，DB=(1,1,0)，

則cos<AD1,DB>=AD1?DB|AD1||DB|=?12×2=?12，

所以AD1與BD所成角的大小為π3，故B正確；

對于C選項，設(shè)平面BDC1的一個法向量為m=(x1,y1,z1)，

DC1=(0,1,1)，

則由m⊥DB，m⊥DC1，有m?DB=5.【答案】B

【解析】解：將直線mx+(3m?1)y+1=0整理可得m(x+3y)?y+1=0，

令x+3y=0?y+1=0，解得x=?3，y=1，

即直線恒過定點(?3,1)．

故選：B．

將直線方程整理，可得關(guān)于x，y的方程組，求出恒過的定點的坐標(biāo)．

6.【答案】D

【解析】解：作出示意圖如下：

因為直線BC1到平面ACD1的距離等于點B到平面ACD1的距離，

即求點B到平面ACD1的距離，

連接BD，因為BD平分AC，

所以點D與點B到平面ACD1的距離相等，

設(shè)點D到平面ACD1的距離為?，

根據(jù)等體積法可得VD1?ADC=VD?ACD1，

所以13×12AD?DC?DD1=7.【答案】A

【解析】【分析】

由于直線l與連接A(1,?2)、B(2,1)的線段沒有公共點，可得kPB≤k≤kPA，再利用斜率計算公式即可得出．

本題考查了直線相交問題、斜率計算公式，屬于基礎(chǔ)題．

【解答】

解：kPA=?2?(?1)1?0=?1，kPB=?1?10?2=1．

∵直線l與連接8.【答案】A

【解析】解：以A4為坐標(biāo)原點，分別以A4A1、A4A3、A4A8為x軸、y軸、z軸建立空間坐標(biāo)系，如圖所示，

設(shè)正方體的棱長為2，

則A1(2,0,0)，A2(2,2,0)，A3(0,2,0)，A4(0,0,0)，A5(2,0,2)，

A6(2,2,2)，A7(0,2,2)，A8(0,0,2)，

因為A1P=xA1A2+yA1A4+zA1A5，且x+y+z=1，所以點P在平面A2A4A5內(nèi)，

又因為三棱錐A1?A2A4A5為正三棱錐，

當(dāng)A1P⊥平面A2A4A5時，|A1P|取最小值，此時點P位置記為點Q，

所以Q為△A2A4A5的重心，則Q(43,23,23)，故A9.【答案】ABD

【解析】解：A選項，因為PA⊥平面ABCD，AB，AD?平面ABCD，

所以PA⊥AB，PA⊥AD，

又四邊形ABCD為正方形，故AB，AD，PA兩兩垂直，

以A為坐標(biāo)原點，AB，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，

則P(0,0,1)，B(1,0,0)，A(0,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，

則PB=(1,0,?1),AC=(1,1,0)，

設(shè)直線PB與AC所成的角大小為θ，

則cosθ=|cos?PB,AC?|=|PB?AC||PB||AC|=|1|1+1×1+1=12，則θ=60°，故A正確；

B選項，因為四邊形ABCD為正方形，所以AC⊥BD，

又PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，故PA⊥BD，

因為AC∩PA=A，AC，PA?平面PAC，

所以BD⊥平面PAC，故可取BD=(?1,1,0)為平面PAC的一個法向量，

設(shè)直線PD與平面PAC所成的角大小為α，

則sinα=|cos?PD,BD?|=|PD?BD||PD||BD|=|1|1+1×1+1=12，

故直線PD與平面PAC所成的角為30°，故B正確；

C選項，設(shè)平面PBD的一個法向量為n=(x,y,z)，

則由n⊥BD，n⊥PD，可得n?BD=(x,y,z)?(?1,1,0)=?x+y=0n?PD=(x,y,z)?(0,1,?1)=y?z=0，

令y=1，得x=z=1，故n=(1,1,1)，10.【答案】BD

【解析】解：A：因為直線l過點A(0,2)，B(3,1)，可得直線l一個方向向量為AB=(3,?1)，

而AC=(2,?3)，因為32≠?1?3，所以AB與AC不共線，所以點C(2,?1)不在直線l上，所以A錯；

B：直線l的兩點式方程為y?12?1=x?30?3，所以B對；

C：由A選項可得，直線的方向向量為tAB，t≠0，顯然(1,?3)≠tAB，所以C11.【答案】AC

【解析】解：由題意，以A為原點，以AB，AA1，AC所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

可得A(0,0,0),A1(0,22,0),B(2,0,0),B1(2,22,0),C(0,0,2),C1(0,22,2),D(1,22,1)，

則A1D=(1,0,1),B1C=(?2,?22,2),AC1=(0,22,2),A1B=(2,?22,0)，

對于A，由A1D?B1C=1×(?2)+0×22+1×2=0，則A1D⊥B1C，故A正確；

對于B，設(shè)平面A1BD的一個法向量為n=(x,y,z)，

則n⊥A1Dn⊥A12.【答案】x?2y=0或x?y?1=0

【解析】解：設(shè)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距分別為a，b，則a+b=0，

若a≠0，b≠0，則b=?a，可設(shè)直線方程為：xa+y?a=1，

代入點A(2,1)，可得2a+1?a=1，解得a=1，則直線方程為：x?y?1=0；

若a=b=0，則直線過原點，又過點A(2,1)，則直線方程為：x?2y=0；

綜上：所求直線方程為x?2y=0或x?y?1=0．

故答案為：x?2y=0或x?y?1=0．

設(shè)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距分別為a，13.【答案】4

【解析】【分析】本題考查了空間向量在立體幾何中的運用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．

建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)棱柱的高為a，求出平面ACD1的一個法向量n，令cos<【解答】

解：以D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)DD1=a，則A(2,0,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,a)，

故AC=(?2,2,0),AD1=(?2,0,a),CC1=(0,0,a)，

設(shè)平面ACD1的一個法向量為n=(x,y,z)，

則n?AC=?2x+2y=0n?AD114.【答案】2【解析】解：分別取線段A1D1，A1B1的中點Q，P，連接MQ，MP，PQ，如圖，

連接AB1，易知AB1/?/DC1，AB1//MP，∴MP//DC1．

∵M(jìn)P?平面BDC1，DC1?平面BDC1，∴MP//平面BDC1，

同理可得MQ/?/平面BDC1，

又MP∩MQ=M，MP，MQ?平面MPQ，∴平面MPQ//平面BDC1，

∴點N在線段PQ上，且不與P，Q重合．

以點B為坐標(biāo)原點，BA,BC,BB1的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，

令正方體棱長為2，設(shè)PN=λPQ，

則M(2,0,1)，P(1,0,2)，Q(2,1,2)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，

MN=MP+PN15.【答案】3x+2y?7=0．

x+y?4=0或3x?y=0

【解析】(1)由直線l的方向向量為a=(2,?3)，可得直線的斜率為?32，

又因為直線經(jīng)過點A(1,2)，

故所求的直線方程為y?2=?32(x?1)，即3x+2y?7=0．

(2)當(dāng)直線的截距不為0時，設(shè)所求直線方程為xa+ya=1，

代入點(1,3)，得1a+3a=1?a=4，

故所求的直線方程為x+y?4=0；

當(dāng)直線的截距為0時，直線過原點，此時直線的方程為y=3x，即3x?y=0，

綜上，所求的直線方程為16.【答案】6；

【解析】(1)如圖，

連接BD1，BD，設(shè)BA=a，BC=b，DD1=c，

依題意，b?c=1×2×cos60°=1,a?b=0,a?c=1×2×cos120°=?1，

BD1=BD+DD1=BA+BC+DD1=a+b+c，

所以BD12=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a?b+2a17.【答案】23．

2【解析】解：(1)以點D1為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A(1,0,1)，B(1,1,1)，F(xiàn)(0,0,12)，D(0,0,1)，B1(1,1,0)，

所以DA=(1,0,0)，F(xiàn)B=(1,1,12)，

所以cos?DA,FB?=DA?FB|DA|?|FB|=11×32=23，

所以異面直線AD與BF所成角的余弦值為23．

(2)由(1)知AB=(0,1,0)，F(xiàn)B=(1,1,118.【答案】證明：連接AC與BD交于點O，

∴在菱形ABCD中，AC⊥BD，

∵PA⊥底面ABCD，BD?平面ABCD，∴PA⊥BD，

∵PA，AC?平面PAC，PA∩AC=A，

∴BD⊥平面PAC，

∵PC?平面PAC，

∴PC⊥BD；

133133【解析】(1)證明：連接AC與BD交于點O，

∴在菱形ABCD中，AC⊥BD，

∵PA⊥底面ABCD，BD?平面ABCD，∴PA⊥BD，

∵PA，AC?平面PAC，PA∩AC=A，

∴BD⊥平面PAC，

∵PC?平面PAC，

∴PC⊥BD；

(2)取PC的中點G，連接OG，

∵O為AC中點，∴△PAC中，OG//PA，

∵PA⊥底面ABCD，∴OG⊥底面ABCD，

以O(shè)為坐標(biāo)原點，OA，OB，OG所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

∵PA=AB=AD=2，∠BAD=60°，

∴A(3,0,0),B(0,1,0),D(0,?1,0),P(3,0,2)，

設(shè)E(x,y,z)，∵PE：EB=1：2，

BE=23BP，即(x,y?1,z)=23(3,?1,2)，由此可求E(233,13,43)，

設(shè)平面ADE，平面BDE的法向量分別為m=(x1,y1,z1),n=(x2,y2,z2)，

DA=(3,1,0),DE=(233,43,43),DB=(0,2,0)，

則DA⊥mDE⊥m，則DA?m19.【答案】證明見解析；

①2；②存在