第=page2121頁，共=sectionpages2727頁2025年高三專項(xiàng)訓(xùn)練2：用向量法研究空間中的動(dòng)點(diǎn)問題一、單選題1.已知?jiǎng)狱c(diǎn)Q在△ABC所在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，若對(duì)于空間中任意一點(diǎn)P，都有PQ=-2PA+5A.0 B.2 C.-1 D.2.如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)均為1，則線段AB1上的動(dòng)點(diǎn)A.33 B.22 C.3.已知在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為線段C1A.22,32 B.4.如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，P為平面A1BCA.0 B.1 C.3 D.-5.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，AD=3，AA1=4，P是側(cè)面BCC1A.4 B.3 C.74 D.6.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=4，AB=BCA.223 B.2337.如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD是邊長(zhǎng)為4的正三角形，底面ABCD為正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，M為底面ABCD內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足MP·MC=0，則點(diǎn)M到直線ABA.5 B.4-5 C.8.正四面體PABC的棱長(zhǎng)為2，若點(diǎn)Q是該正四面體外接球球面上一動(dòng)點(diǎn)，則QA?QC的最大值為A.62 B.3 C.9.如圖，在直四棱柱ABCD—A?B?C?D?中，AB⊥AD，AB=AD=1，AA?>AB，E，F(xiàn)分別是側(cè)棱A.66 B.22 C.10.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=π2，AB=AC=AA1=1，已知G與E分別為A1B1和CCA.[2,3] B.[二、多選題11.如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD所在平面與正方形ABEF所在平面互相垂直，動(dòng)點(diǎn)M，N分別在正方形對(duì)角線AC和BF上移動(dòng)，且CM=BN=a(0<aA.CN=ME B.當(dāng)a=12時(shí)，ME與CN相交

C.異面直線AC與BF所成的角為45°12.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為棱BB1的中點(diǎn)，Q為正方形BBA.直線AC1⊥平面A1BD

B.三棱錐B-ADP的外接球的表面積為9π4

C.直線DP與直線AC113.一種糖果的包裝紙由1個(gè)邊長(zhǎng)為6的正方形和2個(gè)等腰直角三角形組成(如圖1)，沿AD，BC將2個(gè)三角形折起到與平面ABCD垂直(如圖2)，連接EF，AE，CF.若G為FC上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是(

)

A.EC⊥AF

B.若G為線段FC的中點(diǎn)，則GB//平面AEF

C.多面體ABCDFE的體積為144

14.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若點(diǎn)N，M分別是棱AD，D1A.存在直線CM與直線A1N平行

B.直線CM與直線A1N所成的角可以為π4

C.直線A1B1與平面CMN所成的角的取值范圍為15.如圖，已知在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，AD=4，AA1=5，點(diǎn)EA.四棱錐B1-BED1F的體積為20

B.存在唯一的點(diǎn)E，使截面四邊形BED1F的周長(zhǎng)取得最小值274

C.在直線AD上存在點(diǎn)G，使得16.正方體ABCD-A'B'C'D'的邊長(zhǎng)為2，Q為棱AA'的中點(diǎn)，點(diǎn)M,N分別為線段C'D',CD上兩動(dòng)點(diǎn)(A.存在點(diǎn)M,N使得MN//AA' B.DM?DN為定值

C.存在點(diǎn)M,17.如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四邊形ABCDA.BD1⊥平面A1C1D

B.三棱錐P-A1DC1的體積為定值

C.異面直線三、填空題18.正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，若動(dòng)點(diǎn)P19.如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，AD=AA1=2，E為AB上一點(diǎn)，且AE=2EB，20.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1,AA1=2AD21.已知四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，AB⊥平面PAD，E是線段PD上的動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn))，若線段AB上存在點(diǎn)F(不含端點(diǎn))，使得異面直線PA與EF所成的角的大小為30°，則線段AF長(zhǎng)度的取值范圍是22.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，P是線段BC1上的一動(dòng)點(diǎn)，則四、解答題23.在棱長(zhǎng)為a的正方體OABC-O1A1B1C1中，E、F分別是AB24.(本小題12分)

如圖，矩形ABCD所在平面與平面PAD垂直，PA⊥AD，且AD=2AB，E為BC上的動(dòng)點(diǎn)．

(1)當(dāng)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，求證：PE⊥DE；

(2)若PA=AB，在線段BC上是否存在點(diǎn)25.如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體OABC-O'A'B'C'中，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=BF．

(1)證明：A26.如圖所示的幾何體是一個(gè)半圓柱，點(diǎn)P是半圓弧BC上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P與點(diǎn)B，C不重合)，E為弧BC的中點(diǎn)，AB=(1)證明：PA⊥(2)若平面PAC與平面CDE所成的銳二面角的平面角為45°，求此時(shí)點(diǎn)D到平面PAC的距離．

答案和解析1.【答案】B

【解析】由題可得PQ=-2PA+5PB-mPC．

又動(dòng)點(diǎn)Q在△ABC所在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，2.【答案】C

【解析】以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，B1(1,0,1)，C1(12,32,1)，AB1=(1,0,1)，BC1=(-12,32,1).因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P在線段AB1上，所以令3.【答案】C

【解析】設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，

如圖所示，以DA,DC,D設(shè)P(0,t,1)(0?t所以cos?又因?yàn)??t?1，故選C．4.【答案】B

【解析】【因?yàn)镻為平面A1BC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，

則P,A1,B,C四點(diǎn)共面，

且AP5.【答案】D

【解析】以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為設(shè)P(a,3,則A(3,0,0)，B(3,3,0)，AP=(a-∵AP⊥BD1因?yàn)??a?3，所以即點(diǎn)P到平面ABCD的距離d的最大值為94．

故選D6.【答案】C

【解析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,4)，則可設(shè)P(0,t,2t)，t∈7.【答案】C

【解析】以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，過D作平面ABCD的垂線為z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，

則P(2,0,23)，C(0,4,0)，

設(shè)M(a,b,0)，0≤a≤4，0≤b≤4，則MP=(2-a,-b,23)，MC=(8.【答案】C

【解析】由題意，如圖?①所示，設(shè)點(diǎn)O為正四面體PABC的外接球球心，連接OA，OB，OC，OP．

則OA=OB=OC=OP當(dāng)QO與OA+OC同向時(shí)，QA?QC的值最大.設(shè)OA+OC=OO'，設(shè)ACAD=∴OD=AO2-AD2=多種解法取AC中點(diǎn)M，正四面體PABC的外接球球心為O，連接OA(圖略)則QA?因?yàn)锳C長(zhǎng)度是定值，故當(dāng)|QM|最大時(shí)，數(shù)量積最大．

顯然，當(dāng)Q在MO的延長(zhǎng)線與球面的交點(diǎn)處時(shí)，因?yàn)镺A=6此時(shí)QM=OM+9.【答案】C

【解析】以A為原點(diǎn)，分別以AB，AD，AA'的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BE=m，DF=n(m≥0,n≥0)，則A(0,0,0)，E(1,0,m)，F(xiàn)(0,1,n)，設(shè)平面AEF的法向量為m=(x,y,z)，則m?AE=0m?AF=0即x+mz=010.【答案】B

【解析】在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AC、AA1所在直線分別為x、y，z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A(0,0,0)、E(0,1,12)、G(12,0,1)，設(shè)點(diǎn)F(x11.【答案】ABC

【解析】依題意可知BA,BE,BC兩兩相互垂直，由此以B為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．

C(0,0,1),E(0,1,0)，M(22a,0,1-22a)，N(22a,22a,0)，

所以CN=12a2+12a2+1=a2+1，

ME=12a2+1+1-22a2=a2-2a+2，

所以CN與ME不一定相等，所以A錯(cuò)誤．

A(1,0,0),F(1,1,0),12.【答案】ABD

【解析】以

D1

為坐標(biāo)原點(diǎn)，以

D1A1,D則

A(1,0,1),對(duì)A：A設(shè)平面

A1BD

的法向量為

n由

n?A1D=0n令

x=1

得

y=-1,z=1因?yàn)?/p>

AC1=(-1,1,-所以直線

AC1⊥

平面

A1BD

對(duì)B:

易知三棱錐B-ADP的半徑為R=AD2+AB對(duì)C:

DP=(1,1,-12),AC1=(-1,1,對(duì)D:因?yàn)?/p>

|D1Q|2=|D1C1|2+|C1Q|2

，即

(62)2=1+|C1Q|2故選ABD．13.【答案】ABC

【解析】因?yàn)槠矫鍲DA⊥平面ABCD，平面FDA∩平面ABCD=AD，F(xiàn)D⊥AD，

所以FD⊥平面ABCD，同理，BE⊥平面ABCD．

以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A(6,0,0)，C(0,6,0)，E(6,6,6)，F(xiàn)(0,0,6)，

所以AE=(0,6,6)，AF=(-6,0,6)，CE=(6,0,6)，CF=(0,-6,6)．

因?yàn)镃E?AF=-36+36=0，

所以CE⊥AF，即EC⊥AF，A正確．

設(shè)平面AEF的法向量為m=(x,y,z)，則m?AE=6y+6z=0,m?AF=-6x+6z=0,

令z=-1，則x=-1，y=1，所以m=(-1,1,-1)是平面AEF的一個(gè)法向量．

若G為線段FC的中點(diǎn)，則G(0,3,3)，

又B(6,6,0)，所以GB=(6,3,-3)，

因?yàn)镚B?m=-6+3+3=0，14.【答案】BC

【解析】如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，MC則C(0,1,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，A1(1,0,1)，M對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)檠娱L(zhǎng)A1N后與CM所在平面DD1C1C對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)镃M=(0,-m,1)，NA1=(m,0,1)，所以cos<CM，NA1>=1m對(duì)于選項(xiàng)C，CN=(1-m,-1,0)，設(shè)平面CMN的法向量為n=?(又A1B1=(0,1,0)，設(shè)直線A1則sinθ=|cos故當(dāng)m(0<m<1)逐漸增大時(shí)，sinθ逐漸減小，即直線當(dāng)m→0時(shí)，sinθ→22，即直線A1B1與平面CMN所成的角→π4;當(dāng)m→1時(shí)，直線A1B對(duì)于D，假設(shè)直線NB1與平面CMN垂直，則n//NB1，則n=λNB1，即(15.【答案】ABC

【解析】在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB∵CC1//BB1，CC1?平面BB1D1，BB1?平面BB1D1，

故CC1//平面BB∵BB1⊥平面A1B1∵B∴C1P⊥平面BB1D1，且C1P=B1C1?C1D1B1D1=4×35=125，故VE-BB1D1=13S△BB則D1E+EB的最小值為展開面中D1B的長(zhǎng)度，此時(shí)點(diǎn)E為D1B與CC1的交點(diǎn)，BD1=(3+4)2+52=74，所以四邊形BED1F的周長(zhǎng)的最小值為274，故B正確;

對(duì)于C，∵AD⊥CD，即CD⊥DG，所以，CG=CD2+DG2=32+DG2=73，解得DG=8，故解得z=165，即CE=165，故16.【答案】ABD

【解析】如圖所示，在正方體中，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

則Q(2,0,1)，C(0,2,0)，

設(shè)M(0,m,2)，N(0,n,0)，其中0?m?2,0?n?2，

作MM'⊥A'B'所以MM'=NN'=2則tanα=MM'由tan2α+tan2則m2+1+n2+1=對(duì)于A，MN//AA'，即m=n對(duì)于B，DM?DN=對(duì)于C，若MN=32，則對(duì)于D，CQ=(2,-2,1)，MN則CQ?MN=-2(n-m)-2=017.【答案】BCD

【解析】

以

D

為坐標(biāo)原點(diǎn)，

DA,DC,DD1

所在直線分別為

x

軸、

y設(shè)

AB=1

，則

AA1=2

，B對(duì)于A選項(xiàng)，

DA1=(1,0,2)

，

BD1故

A1D

與

BD1

不垂直，進(jìn)而可知

BD1

與平面對(duì)于B選項(xiàng)，在正四棱柱

ABCD-A1B1C1D1

所以四邊形

A1B1CD

為平行四邊形，所以

B1C//AD1A1D?

平面

A1C1D

，所以

B1C//

平面

A又

?A1C1D

的面積為定值，故三棱錐

對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?/p>

A1B1//AB

，所以

AB

與

A1因?yàn)樗倪呅?/p>

ABCD

為正方形，所以

tan∠B1A.對(duì)于D選項(xiàng)，

B1C所以

cosB1所以異面直線

B1C

與

A1C1

所成角的余弦值為

故選：BCD．18.【答案】[0,1]

【解析】依題意，設(shè)BP=λBDC===1+=1-因此DC·AP的取值范圍是故答案為[0,1]．19.【答案】2

【解析】以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AA1為z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，

∵長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，

AD=AA1=2，E為AB上一點(diǎn)，且AE=2EB，

F為CC1的中點(diǎn)，P為C1D1上動(dòng)點(diǎn)，

∴E(2,0,0)，F(xiàn)(3,2,1)，C(3,2,0)，

設(shè)P(a,2,2)，

20.【答案】-5,5【解析】O為AC1的中點(diǎn)，即為正四棱柱ABCD-A1B1則ME?由AA1=2AD=4，得AB=AD所以MO2故答案為：-5,521.【答案】(0,【解析】設(shè)O是AD的中點(diǎn)，連接OP，如圖，則OP⊥因?yàn)锳B⊥平面PAD，OP?平面PAD，所以因?yàn)锳D∩AB=A，AD，所以O(shè)P⊥平面ABCD由OP?平面PAD，所以平面PAD⊥平面以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

P(1,0,1)，A(2,0,0)，則設(shè)F(2,t,0)，0<t<2，E設(shè)異面直線PA與EF所成角為θ，

則θ=30°整理得t2=-2a所以函數(shù)y=-2a2+4a所以0<t2<23，得0<t22.【答案】π2【解析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，連接BC1,AB1,A1P，

所以A(1,0,0),A1(1,0,2),B1,1,0,C10,1,2,B11,1,2，BC1=-1,0,2，AB1=0,1,2，

設(shè)Px,1,z，

因?yàn)镻是線段BC1上的一動(dòng)點(diǎn)，

所以BP=x-1,0,z，

設(shè)BP=λBC10?λ?1，

則x-1=-λz=2λ?x=1-λz=2λ，則23.【解析】證明：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A1(a設(shè)AE=∴E(a∴AC1∵=-，即A1F⊥24.【解析】證明：(1)∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PA⊥AD，

PA?面PAD，

∴PA⊥平面ABCD，AB,AD?面ABCD，

以A為原點(diǎn)，AB、AD、AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)AB=1，設(shè)AP=t，則P(0,0,t)，E(1,1,0)，D(0,2,0)，

∴PE=(1,1,-t)，DE=(1,-1,0)，

∴PE?DE=1-1+0