第一章過關(guān)檢測(A卷)(時(shí)間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知直線l在平面α外,若直線l的方向向量為a,平面α的法向量為n,則下列選項(xiàng)能使l∥α的是()A.a=(1,0,1),n=(2,0,0)B.a=(1,3,5),n=(1,0,1)C.a=(0,2,1),n=(1,0,1)D.a=(1,1,3),n=(0,3,1)答案:D解析:若l∥α,則a·n=0,故選D.2.在三棱錐ABCD中,若△BCD為正三角形,且E為其中心,則AB+12BCA.AB B.2BD C.0 D.2DE答案:C解析:連接DE并延長,交BC于點(diǎn)F(圖略),則由題意可知,F為BC的中點(diǎn),DE=23DF,故AB+13.已知向量a=(1,1,0),b=(1,0,2),且ka+b與2ab互相垂直,則k的值是()A.1 B.15C.35 D.答案:D解析:因?yàn)閍=(1,1,0),b=(1,0,2),所以ka+b=(k1,k,2),2ab=(3,2,2).又ka+b與2ab互相垂直,所以(ka+b)·(2ab)=0,即3k3+2k4=0,解得k=754.已知空間中三點(diǎn)A(0,1,0),B(1,2,0),C(1,3,1),則下列結(jié)論正確的是()A.AB與B.與AB方向相同的單位向量是(1,1,0)C.AB與BCD.平面ABC的一個(gè)法向量是(1,1,3)答案:D解析:對于A,因?yàn)锳(0,1,0),B(1,2,0),C(1,3,1),所以AB=(1,1,0),AC=(1,2,1),假設(shè)存在λ∈R,使得AB=λAC,則(1,1,0)=λ(1,2,1)=(λ,2λ,λ),顯然λ不存在,故AB與AC不是共線向量,故A錯(cuò)誤;對于B,因?yàn)锳B=(1,1,0),所以與AB方向相同的單位向量為AB|AB|=(22,22對于C,因?yàn)锳B=(1,1,0),BC=(2,1,1),所以cos<AB,BC>=AB·BC|AB||對于D,設(shè)n=(x,y,z)是平面ABC的法向量,則n令x=1,則y=1,z=3,故n=(1,1,3)為平面ABC的一個(gè)法向量,故D正確,故選D.5.如圖,在三棱錐ABCD中,AB=AC=AD=2,∠BAD=90°,∠BAC=60°,則AB·CD等于(A.2 B.2C.23 D.23答案:A解析:由題意可知,AB·CD=AB·(AD-AC)=AB·AD-AB·AC=|AB||AD|cos90°|6.已知兩個(gè)平行平面α,β分別經(jīng)過原點(diǎn)O和點(diǎn)A(2,1,1),且平面α的一個(gè)法向量為n=(1,0,1),則這兩個(gè)平行平面之間的距離為()A.32 B.2C.3 D.32答案:B解析:由題意可知,兩個(gè)平行平面α,β之間的距離即為點(diǎn)A到平面α的距離.因?yàn)镺A=(2,1,1),平面α的一個(gè)法向量n=(1,0,1),所以點(diǎn)A到平面α的距離為|OA·n|7.在矩形ABCD中,AB=1,BC=2,PA⊥平面ABCD,PA=1,則直線PC與平面ABCD所成角的大小為()A.30° B.45° C.60° D.120°答案:A解析:如圖,以A為原點(diǎn),AB,AD,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則P(0,0,1),C(1,2,0),故PC=(1,2,1),平面ABCD的一個(gè)法向量為n=(0,0,1),所以cos<PC,n>=PC·n|設(shè)直線PC與平面ABCD所成的角為θ,則sinθ=|cos<PC,n>|=12,故θ=30°8.在長方體ABCDA1B1C1D1中,E是BB1的中點(diǎn),B1F=λB1D1,且EF∥平面ACD1,則實(shí)數(shù)A.15 B.1C.13 D.答案:B解析:以D為原點(diǎn),分別以DA,DC,DD1的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示).設(shè)DA=a,DC=b,DD1=c,則A(a,0,0),C(0,b,0),D1(0,0,c),Ea,b,c2,B1(a所以AC=(a,b,0),AD1=(a,0,c),B1D1=(a,b,0),因?yàn)锽1F=λB1D1,所以B1F=(λa,λb,0),所以F((1λ)a,(1λ)b,c),所以EF=(λa,λb,c2),設(shè)平面ACD1的法向量為n=(x,y,z),所以AC·n=-ax因?yàn)镋F∥平面ACD1,所以EF⊥n,即EF·n=λabcλabc+abc2=0,解得λ=14,故選二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.9.在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中,下列結(jié)論正確的是()A.=ABC1D1 BC.=AA1·B1D答案:ABC解析:由圖形知,因?yàn)锳B=CD,CD=C1D1,所以AB=C1D1,故A正確;因?yàn)锳1C1=AB+B1C1,由共面向量充要條件知AB,B1C1,A1C1是共面向量,故B正確;因?yàn)锳A1⊥平面A1B1C1D1,所以AA1⊥B1D110.將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角ABDC,如下四個(gè)結(jié)論正確的是()A.AC⊥BDB.△ACD為等邊三角形C.直線AB與平面BCD所成角的大小為60°D.AB與CD所成角的大小為60°答案:ABD解析:如圖,取BD的中點(diǎn)O,以O(shè)為原點(diǎn),OD,OA,OC所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)正方形ABCD的邊長為2,則D(1,0,0),B(1,0,0),C(0,0,1),A(0,1,0),所以AC=(0,1,1),BD=(2,0,0),所以AC·BD=0,即AC⊥BD,故A因?yàn)閨AC|=2,|CD|=2,|AD|=2,所以△ACD為等邊三角形,故B中結(jié)論正確.設(shè)AB與平面BCD所成的角為θ,因?yàn)镺A為平面BCD的一個(gè)法向量,所以sinθ=|cos<AB,OA>|=所以θ=45°,即直線AB與平面BCD所成角的大小為45°,故C中結(jié)論錯(cuò)誤.因?yàn)閏os<AB,CD>=AB·所以<AB,CD>=120所以AB與CD所成角的大小為60°,故D中結(jié)論正確.11.正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2,E,F,G分別為BC,CC1,BB1的中點(diǎn),則()A.直線D1D與直線AF垂直B.直線A1G與平面AEF平行C.平面AEF與平面ABCD的夾角的余弦值為2D.點(diǎn)C與點(diǎn)G到平面AEF的距離相等答案:BC解析:以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略),則A(2,0,0),C(0,2,0),E(1,2,0),F(0,2,1),D1(0,0,2),A1(2,0,2),G(2,2,1),對于選項(xiàng)A,DD1=(0,0,2),AF=(2,2,1),因?yàn)镈D1·AF=2≠0,所以直線D1D與直線AF對于選項(xiàng)B,AE=(1,2,0),EF=(1,0,1),設(shè)平面AEF的法向量為n=(x,y,z),則n·AE=0,n·EF=0,即-x+2y=0,-x+z=0,取x=2,則y=A1G=(0,2,1),因?yàn)閚·A1G=22=0,即n⊥A1G,又A1G?平面AEF,所以直線A1G與平面AEF對于選項(xiàng)C,由已知得,u=(0,0,1)是平面ABCD的一個(gè)法向量,因?yàn)閏os<n,u>=23,所以平面AEF與平面ABCD的夾角的余弦值為23,故C對于選項(xiàng)D,CE=(1,0,0),點(diǎn)C到平面AEF的距離為|CE·n||n|=23,GE=(1,0,三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.如圖,在四面體OABC中,OA=a,OB=b,OC=c,D為BC的中點(diǎn),E為AD的中點(diǎn),用a,b,c表示OE,則OE=.

答案:12a+14b+解析:∵D為BC的中點(diǎn),E為AD的中點(diǎn),∴OE=12OA+12OD13.如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,M,N分別為CD,CC1的中點(diǎn),則異面直線A1M與DN所成的角的大小為.

答案:90°解析:如圖,以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)正方體的棱長為1,則D(0,0,0),N(0,1,12),M(0,12,0),A∴DN=(0,1,12),MA1=(1,1∴DN·MA1=∴DN⊥∴A1M與DN所成角的大小為90°.14.如圖,在正三棱柱ABCA1B1C1中,若BB1=2AB=22,則點(diǎn)C到直線AB1的距離為.

答案:33解析:取AC的中點(diǎn)D,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.則A(0,1,0),B1(3,0,22),C(0,1,0),所以AB1=(3,1,22),CA=(0,直線AB1的一個(gè)單位方向向量s=12所以點(diǎn)C到直線AB1的距離d=|CA四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(13分)已知邊長為4的正三角形ABC中,E,F分別為BC和AC的中點(diǎn),PA=2,且PA⊥平面ABC,設(shè)Q是CE的中點(diǎn).(1)求證:AE∥平面PFQ;(2)求AE到平面PFQ的距離.(1)證明:如圖,以A為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)锳P=2,AB=BC=AC=4,又E,F分別是BC,AC的中點(diǎn),Q是CE的中點(diǎn),所以A(0,0,0),B(23,2,0),C(0,4,0),F(0,2,0),E(3,3,0),Q(32,72,0)因?yàn)镕Q=(32,32,0),AE所以AE=2FQ,所以AE∥又AE與FQ無交點(diǎn),所以AE∥FQ.又FQ?平面PFQ,AE?平面PFQ,所以AE∥平面PFQ.(2)解:連接AQ.因?yàn)锳E∥平面PFQ,所以點(diǎn)A到平面PFQ的距離就是AE到平面PFQ的距離.設(shè)平面PFQ的法向量為n=(x,y,z),所以n⊥PF,n⊥FQ,即n·PF=0,n·FQ=0.又PF=(0,2,2),所以n·PF=2y2z=0,即y=z.又FQ=(32,32,0),所以n·FQ=32x+3令y=1,則x=3,z=1,所以平面PFQ的一個(gè)法向量為n=(3,1,1).又QA=(32,72,0),所以所求距離d=16.(15分)(2024·全國新高考卷Ⅰ,17)如圖,四棱錐PABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=AC=2,BC=1,AB=3.(1)若AD⊥PB,證明:AD∥平面PBC;(2)若AD⊥DC,且二面角ACPD的正弦值為427,求AD(1)證明∵BC=1,AB=3,AC=2,∴AC2=AB2+BC2,∴AB⊥AC.又PA⊥底面ABCD,BC?底面ABCD,∴PA⊥BC.又PA,AB?平面PAB,AB∩PA=A,∴BC⊥平面PAB.∵PA⊥底面ABCD,AD?底面ABCD,∴AD⊥PA.又AD⊥PB,且PA,PB?平面PAB,PB∩PA=P,∴AD⊥平面PAB.∴AD∥BC.又BC?平面PBC,AD在平面PBC外,∴AD∥平面PBC.(2)解∵AD⊥DC,∴以AD,DC所在直線分別為x軸、y軸,以過點(diǎn)D且與AP平行的直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.令A(yù)D=t,則A(t,0,0),P(t,0,2),D(0,0,0),DC=4-t2,C(0,∴AC=(t,4-t2,0),AP=(0,0,2),DP=(t,0,2),DC=(0,設(shè)平面ACP的法向量為n1=(x1,y1,z1),則n1·AC=0,n1·AP=0,即-tx1+∴n1=(4-t2,t,0)為平面ACP的一個(gè)法向量.設(shè)平面CPD的法向量為n2=(x2,y2,z2),則n2·DP=0,n2·DC=0,即tx2+2z2=0,4-t2y2=0,∴y2=0,又由圖可知,二面角ACPD為銳角,∴二面角ACPD的余弦值為77.∴|cos<n1,n2>|=|n1·n2||n117.(15分)如圖,已知四棱錐PABCD的底面為直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=DC=1,AB=2,M是PB的中點(diǎn).(1)求證:平面PAD⊥平面PCD;(2)求AC與PB的夾角的余弦值;(3)求平面AMC與平面BMC的夾角的余弦值.(1)證明:如圖,以A為原點(diǎn),AD,AB,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),M(0,1,12)∵AP=(0,0,1),AD=(1,0,0),DC=(0,1,0),∴AP·DC=0,AD·DC=0,∴AP⊥DC,AD⊥DC.又AP∩AD=A,∴DC又DC?平面PCD,∴平面PAD⊥平面PCD.(2)解:∵AC=(1,1,0),PB=(0,2,1),∴|AC|=2,|PB|=5,AC∴cos<AC,PB>=∴AC與PB的夾角的余弦值為105(3)解:設(shè)平面AMC的法向量為n1=(x,y,z),∵AC=(1,1,0),AM=(0,1,12)∴n令x=1,則y=1,z=2.∴n1=(1,1,2)為平面AMC的一個(gè)法向量.同理,n2=(1,1,2)為平面BMC的一個(gè)法向量.設(shè)平面AMC與平面BMC的夾角為θ,則cosθ=|cos<n1,n2>|=|n故平面AMC與平面BMC的夾角的余弦值為2318.(17分)如圖,在四棱錐PABCD中,AD∥BC,AB⊥AD,AB⊥PA,BC=2AB=2AD=4BE,平面PAB⊥平面ABCD.(1)求證:平面PED⊥平面PAC;(2)若直線PE與平面PAC所成角的正弦值為55,求平面PAC與平面PCD的夾角的余弦值解:∵平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,AB⊥PA,PA?平面PAB,∴PA⊥平面ABCD.又AB⊥AD,∴AB,AD,AP兩兩互相垂直.以A為原點(diǎn),AB,AD,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.不妨設(shè)BC=4,AP=λ(λ>0),則A(0,0,0),D(0,2,0),E(2,1,0),C(2,4,0),P(0,0,λ).(1)證明:∵AC=(2,4,0),AP=(0,0,λ),DE=(2,1,0),∴DE·AC=44+0=0,DE·∴DE⊥AC,DE⊥AP.又AC∩AP=A,∴DE⊥平面PAC.又DE?平面PED,∴平面PED⊥平面PAC.(2)由(1)知,平面PAC的一個(gè)法向量為DE=(2,1,0),PE=(2,1,λ).設(shè)直線PE與平面PAC所成的角為θ,則sinθ=|cos<PE,DE>|=解得λ=±2.∵λ>0,∴λ=2,即P(0,0,2).設(shè)平面PCD的法向量為n=(x,y,z),則n·DC=0,n·DP=0.∵DC=(2,2,0),DP=(0,2,2),∴2x+2取x=1,則y=1,z=1,于是n=(1,1,1)是平面PCD的一個(gè)法向量,則cos<n,DE>=n·設(shè)平面PAC與平面PCD