第三節(jié)一、三重積分概念

二、三重積分計(jì)算機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束三重積分

第十章第1頁一、三重積分概念

類似二重積分處理問題思想,采取

引例:設(shè)在空間有限閉區(qū)域內(nèi)分布著某種不均勻物質(zhì),求分布在內(nèi)物質(zhì)可得“大化小,常代變,近似和,求極限”處理方法:質(zhì)量

M.密度函數(shù)為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第2頁定義.

設(shè)存在,稱為體積元素,

若對(duì)作任意分割:任意取點(diǎn)則稱此極限為函數(shù)在上三重積分.在直角坐標(biāo)系下常寫作三重積分性質(zhì)與二重積分相同.性質(zhì):比如

以下“乘中值定理.在有界閉域

上連續(xù),則存在使得V為

體積,

積和式”極限記作機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第3頁二、三重積分計(jì)算1.利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分方法1.投影法(“先一后二”)方法2.截面法(“先二后一”)

方法3.三次積分法

先假設(shè)連續(xù)函數(shù)

并將它看作某物體

經(jīng)過計(jì)算該物體質(zhì)量引出以下各計(jì)算最終,推廣到普通可積函數(shù)積分計(jì)算.

密度函數(shù),

方法:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第4頁方法1.投影法(“先一后二”)該物體質(zhì)量為細(xì)長柱體微元質(zhì)量為微元線密度≈記作機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第5頁方法2.截面法(“先二后一”)為底,dz為高柱形薄片質(zhì)量為該物體質(zhì)量為面密度≈記作機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第6頁投影法方法3.三次積分法設(shè)區(qū)域利用投影法結(jié)果,把二重積分化成二次積分即得:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第7頁當(dāng)被積函數(shù)在積分域上變號(hào)時(shí),因?yàn)榫鶠榉秦?fù)函數(shù)依據(jù)重積分性質(zhì)仍可用前面介紹方法計(jì)算.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第8頁小結(jié):三重積分計(jì)算方法方法1.“先一后二”方法2.“先二后一”方法3.“三次積分”詳細(xì)計(jì)算時(shí)應(yīng)依據(jù)三種方法(包含12種形式)各有特點(diǎn),被積函數(shù)及積分域特點(diǎn)靈活選擇.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第9頁其中

為三個(gè)坐標(biāo)例1.

計(jì)算三重積分所圍成閉區(qū)域.(三次積分法)解:面及平面機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第10頁例2.

求V是由錐面x2+z2=y2與平面y=1所圍成區(qū)域。（先一后二）（P124—例2）解:V是一個(gè)

zx型區(qū)域，它由邊界曲面第11頁截面法適合用于以下情況：(P126)（1）Dz輕易確定且是較規(guī)則區(qū)域（如橢圓域）（2）f(x,y,z)對(duì)x,y依賴關(guān)系較簡單，最好是f與x,y無關(guān)，這時(shí)可簡化為其中S(z)是Dz面積。尤其，取f≡1，從上式得此即平行截面體體積公式。第12頁例3.

計(jì)算三重積分解:

用“先二后一”機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第13頁例4：求柱面

x2+y2=a2與x2+z2=a2

所圍區(qū)域V體積。（a>0)

(P125—例3)解：V是一xy區(qū)域，它“底”與“頂”分別為，而V在xy平面上投影D是圓域x2+y2<a2.于是第14頁2.利用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分

就稱為點(diǎn)M柱坐標(biāo).直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)關(guān)系:坐標(biāo)面分別為圓柱面半平面平面機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第15頁如圖所表示,在柱面坐標(biāo)系中體積元素為所以其中適用范圍:1)

積分域表面用柱面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡單;2)

被積函數(shù)用柱面坐標(biāo)表示時(shí)變量相互分離.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第16頁其中

為由例5.計(jì)算三重積分所圍解:

在柱面坐標(biāo)系下及平面柱面成半圓柱體.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第17頁例6.

計(jì)算三重積分解:

在柱面坐標(biāo)系下所圍成.與平面其中

由拋物面原式=機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第18頁3.利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分

就稱為點(diǎn)M球坐標(biāo).直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)關(guān)系坐標(biāo)面分別為球面半平面錐面機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第19頁如圖所表示,在球面坐標(biāo)系中體積元素為所以有其中適用范圍:1)積分域表面用球面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡單;2)

被積函數(shù)用球面坐標(biāo)表示時(shí)變量相互分離.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第20頁例7.計(jì)算三重積分解:

在球面坐標(biāo)系下（P132—例7）所圍立體.其中

與球面機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第21頁例8.求曲面所圍立體體積.解:

由曲面方程可知,立體位于xoy面上部,利用對(duì)稱性,所求立體體積為yoz面對(duì)稱,并與xoy面相切,故在球坐標(biāo)系下所圍立體為且關(guān)于xoz

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第22頁內(nèi)容小結(jié)積分區(qū)域多由坐標(biāo)面被積函數(shù)形式簡練,或坐標(biāo)系體積元素適用情況直角坐標(biāo)系柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系*說明:三重積分也有類似二重積分換元積分公式:對(duì)應(yīng)雅可比行列式為變量可分離.圍成;機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第23頁三重積分對(duì)稱性1、變量位置對(duì)稱性（也稱變量可輪換性）：設(shè)表示,若將x和y位置交換后，2、奇偶對(duì)稱性：設(shè)關(guān)于yOz面對(duì)稱，則第24頁1.

將用三次積分表示,其中

由所提醒:思索與練習(xí)六個(gè)平面圍成,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第25頁2.設(shè)計(jì)算提醒:利用對(duì)稱性原式=奇函數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第26頁3.

設(shè)由錐面和球面所圍成,計(jì)算提醒:利用對(duì)稱性用球坐標(biāo)

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第27頁備用題

1.計(jì)算所圍成.

其中由分析：若用“先二后一”,則有