6.3平面向量基本定理及坐標表示平面向量基本定理「學習目標」1.通過力的分解引出平面向量基本定理,體會平面向量基本定理的形成過程,重點培養(yǎng)數(shù)學抽象及直觀想象的核心素養(yǎng).2.通過平面向量基本定理的應用,強化直觀想象、邏輯推理及數(shù)學運算的核心素養(yǎng).知識梳理自主探究「知識探究」平面向量基本定理(1)平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對實數(shù)λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.(2)基底:若e1,e2不共線,我們把{e1,e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底.師生互動合作探究探究點一對基底概念的理解[例1](1)如果e1,e2是平面α內(nèi)兩個不共線的向量,那么下列說法不正確的是(

)①a=λe1+μe2(λ,μ∈R)可以表示平面α內(nèi)的所有向量;②對于平面α內(nèi)任一向量a,使a=λe1+μe2的實數(shù)對(λ,μ)有無窮多個;③若向量λ1e1+μ1e2與λ2e1+μ2e2共線,則;④若存在實數(shù)λ,μ,使得λe1+μe2=0,則λ=μ=0.A.①② B.②③ C.③④ D.①④√解析:(1)由平面向量基本定理可知,①④是正確的.對于②,由平面向量基本定理可知,若平面的基底確定,那么同一平面內(nèi)任意一個向量在此基底下的實數(shù)對是唯一的.對于③,當λ1=λ2=0或μ1=μ2=0時,結論不成立.故選B.(2)設e1,e2是不共線的兩個向量,給出下列四組向量:①e1與e1+e2;②e1-2e2與e2-2e1;③e1-2e2與4e2-2e1;④e1+e2與e1-e2.其中,不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是

.(寫出滿足條件的序號)

③方法總結對基底的理解(1)兩個向量能否作為一組基底,關鍵是看這兩個向量是否共線.若共線,則不能作基底,反之,則可作基底.(2)一個平面的基底一旦確定,那么平面上任意一個向量都可以由這組基底唯一線性表示出來.設向量a與b是平面內(nèi)兩個不共線的向量,若x1a+y1b=x2a+y2b,則x1=x2且y1=y2.提醒:一個平面的基底不是唯一的,同一個向量用不同的基底表示,其線性表示是不同的.[針對訓練]已知不共線的兩個向量a,b,則下列不能構成基底的一組向量是(

)A.a與2b B.a與a-2bC.2a-b與2b-4a D.a-b與a+b√解析:因為可以構成基底的兩個向量是不共線的,而選項C中,2b-4a=-2(2a-b),所以兩個向量共線,因此不能構成一組基底.而選項A,a與2b不共線,選項B,a與a-2b不共線,選項D,a-b與a+b不共線,可以作為基底.故選C.探究點二用基底表示平面向量方法總結用基底表示向量的兩種方法(1)運用向量的線性運算法則對待求向量不斷進行轉化,直至用基底表示為止.(2)通過列向量方程或方程組的形式,利用基底表示向量的唯一性求解.探究點三平面向量基本定理的應用[例3]如圖,在△ABC中,點M是BC的中點,點N在AC上,且AN=2NC,AM與BN相交于點P,求AP∶PM與BP∶PN.[變式探究2]若本例中的點N為AC的中點,其他條件不變,求AP∶PM與BP∶PN.方法總結若直接利用基底表示向量比較困難,可設出目標向量并建立其與基底之間滿足的二元關系式,然后利用已知條件及相關結論,從不同方向和角度表示出目標向量(一般需建立兩個不同的向量表達式),再根據(jù)待定系數(shù)法確定系數(shù),建立方程或方程組,解方程或方程組即得.「當堂檢測」√1.已