專題23幾何法求空間角與距離（核心考點精講精練）1.近幾年真題考點分布立體幾何近幾年考情考題示例考點分析關聯(lián)考點2023年全國乙（文科），第16題,5分已知三棱錐外接求半徑，求線段長2023年全國乙（文科），第19題,12分1、證明線面平行；2、求三棱錐的體積；2023年全國乙（理科），第3題,5分2023年全國乙（文科），第3題,5分通過三視圖求幾何體的表面積2023年全國乙（理科），第8題,5分圓錐體積相關計算2023年全國乙（理科），第9題,5分證明面面垂直，由二面角求線段長，從而求線面角的正切值2023年全國乙（理科），第19題,12分1、證明線面平行；2、證明面面垂直；3、求二面角2023年全國甲（文科），第10題,5分證明線面垂直，求三棱錐的體積2023年全國甲（文科），第16題,5分正方體的外接球、棱切球問題2023年全國甲（文科），第18題,12分1、證明面面垂直；2、求四棱錐的高2023年全國甲（理科），第11題,5分四棱錐表面積有關計算余弦定理解三角形2023年全國甲（理科），第15題,5分正方體的棱切球問題2023年全國甲（理科），第18題,12分1、已知點面距，證明線面垂直，從而得到線線相等；2、已知平行線間的距離，求線面角的正弦值2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】1.本節(jié)為高考必考知識點，選填題、解答題均有出現(xiàn)；2.考查點、線、面之間的距離；3.考查異面直線所成角、線面角、面面角、二面角.【備考策略】1.會用空間直角坐標系刻畫點的位置,掌握空間中兩點間的距離公式.2.了解空間向量基本定理及其意義,理解空間向量的坐標表示.3.掌握空間向量的數(shù)量積運算.4.能用向量方法判斷或證明點、線、面之間的位置關系.5.能用向量方法解決空間中的距離問題.6.能用向量方法求解空間中的角度問題.【命題預測】1.考查點、線、面之間的距離；2.考查異面直線所成角、線面角、面面角、二面角.知識講解一、距離1、點與面的距離過一點作垂直于已知平面的直線,則該點與垂足間的線段叫作這個點到該平面的垂線段,垂線段的長度叫作這個點到該平面的距離.

2、直線與平面的距離一條直線與一個平面平行時,這條直線上任意一點到這個平面的距離,叫作這條直線到這個平面的距離.

3、平面與平面的距離如果兩個平面平行,那么其中一個平面內(nèi)的任意一點到另一個平面的距離都相等,我們把它叫作這兩個平行平面間的距離.

1.點到平面的距離的常見解法(1)定義法:找到(或作出)表示距離的線段,根據(jù)線段(所求距離)所在三角形求解.(2)等積法:利用同一個三棱錐的體積相等求解.(3)轉化法:將點面之間的距離轉化為線面之間(或面面之間)的距離求解.2.線到平面的距離,平面與平面的距離問題都是轉化為點到平面的距離求解.二、異面直線所成的角1.異面直線過平面外一點和平面內(nèi)一點的直線,與平面內(nèi)不過該點的直線是異面直線.2.異面直線所成的角過空間任一點分別作異面直線與的平行線與,那么直線與所成的銳角或直角叫作異面直線與所成的角.3.范圍:.求異面直線所成角的步驟一作:根據(jù)定義作平行線,作出異面直線所成的角.二證:證明所作的角是異面直線所成的角.三求:解三角形,求出所作的角.常用平移法來作異面直線所成的角:①利用圖中已有的平行線平移;②利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移;③補形平移.由于異面直線所成的角的取值范圍是,故若所作的角為鈍角,則其補角為異面直線所成的角.三、直線和平面所成的角1.平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫作這條直線和這個平面所成的角.

2.當直線與平面垂直和平行(或直線在平面內(nèi))時,規(guī)定直線和平面所成的角分別為90°和0°.

3.范圍:.線面角的幾何法解題步驟:1.找直線上一點作平面的垂線;2.連接垂足與斜足,得線面角;3.解直角三角形,得到線面角.四、二面角的有關概念1.二面角:從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫作二面角.

2.二面角的平面角:以二面角的棱上任一點為端點,在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線,則這兩條射線所成的角叫作二面角的平面角.

3.范圍:.找二面角常常采用垂線法:第一步,找到兩個面的交線;第二步,從一個平面內(nèi)找一點,向另一個平面作垂線;第三步,從垂足再向交線作垂線,連線構造,得二面角的平面角或是補角;第四步,解三角形,得二面角的大小.五、平面與平面所成角1.兩個平面所成角.

2.范圍:.考點一、幾何法求兩點間的距離1．（2023年甘肅省模擬數(shù)學試題）在矩形ABCD中，，，沿對角線AC將矩形折成一個直二面角，則點B與點D之間的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】過點在平面內(nèi)作，證明，利用余弦定理得到，再利用勾股定理計算得到答案.【詳解】過點在平面內(nèi)作，垂足為點，如圖，

因為二面角的平面角為，所以平面平面，又平面平面，平面，故平面，又平面，，在中，，，，則，，，則，，在中，，則，所以，所以.2．（2023年江蘇省模擬數(shù)學試題）已知矩形，，，沿對角線將折起，若二面角的大小為，則，兩點之間的距離為.【答案】【分析】過分別作由題意可求得由二面角的大小為，得到再利用可求得結果.【詳解】過分別作

則二面角的大小為,,,則,即兩點間的距離為.3．（2009年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學（全國卷Ⅰ））已知二面角為，動點P、Q分別在面、內(nèi)，P到的距離為，Q到的距離為，則P、Q兩點之間距離的最小值為（

）A．1 B．2 C． D．4【答案】C【分析】分別作于，于，于，于，連接,則，在三角形中將表示出來，再研究其最值即可．【詳解】如圖分別作于，于，于，于，連接，，則，，，∴，又∵，當且僅當，即點與點重合時取最小值．

1．（2023-2024學年湖北省新高考聯(lián)盟聯(lián)考數(shù)學試題）二面角中，，，，且，，垂足分別為A、C，，，，已知異面直線與所成角為，則（

）A． B． C．或5 D．或【答案】D【分析】在內(nèi)做，且使，得四邊形為平行四邊形，再由線面垂直的判定定理、性質(zhì)定理可得，分、討論，由余弦定理求出，最后由勾股定理可得答案.【詳解】在內(nèi)做，且使，連接，因為，所以四邊形為平行四邊形，，，由，，，平面，所以平面，因為，可得平面，平面，所以，因為異面直線與所成角為，，所以直線與所成角為，當時，如下左圖，由余弦定理可得，此時，即；當時，如下右圖，由余弦定理可得，此時，即；綜上所述，或.

2．（2023年江蘇省模擬考試數(shù)學試題）將邊長為的正三角形沿邊上的高線折成的二面角，則點到邊的距離是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】在三棱錐中，取線段的中點，連接、，由題意可得，推導出，并計算出線段的長，即為所求.【詳解】翻折前，因為是邊長為的等邊三角形，是邊上的高線，則為的中點，且，，且，翻折后，則有，，在三棱錐中，由二面角的定義可得，如下圖所示：

取線段的中點，連接、，因為，，，、平面，所以，平面，因為平面，所以，，在中，，，則，因為為的中點，則，且，所以，，因為，為的中點，所以，，因此，點到的距離為.3．如圖，在棱長為2的正方體中，點P在正方體的對角線AB上，點Q在正方體的棱CD上，若P為動點，Q為動點，則PQ的最小值為.【答案】【分析】建立空間直角坐標系，利用三點共線設出點，，以及，，根據(jù)兩點間的距離公式，以及配方法，即可求解.【詳解】建立如圖所示空間直角坐標系，設，，可得，∵，，∴，當且僅當時，等號成立，此時，∴當且僅當分別為的中點時，的最小值為.【點睛】本題考查空間向量法求兩點間的距離，將動點用坐標表示是解題的關鍵，考查配方法求最值，屬于中檔題.考點二、幾何法求點到平面的距離1．在三棱錐中，底面，則點到平面的距離是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三棱錐等體積轉換求解點到平面的距離.【詳解】

底面，，又，且平面，平面，平面，，，，在中，，令點到平面的距離為，，，．2．（2023年四川省模擬考試數(shù)學試題）如圖，在四棱錐中，底面為矩形；為的中點．若，，，當三棱錐的體積取到最大值時，點到平面的距離為．

【答案】/0.3【分析】根據(jù)幾何體性質(zhì)結合體積分割求解三棱錐的體積，在根據(jù)等體積法可求解點到平面的距離.【詳解】由題可得，當?shù)酌鏁r，三棱錐的體積取到最大值如圖，取中點，取中點，連接

因為底面，為的中點．為的中點，所以，所以底面，則又由底面，底面，所以因為矩形，則，又平面，所以平面又為的中點．為的中點，所以，，則平面則又所以又，因為平面，，所以平面，又平面，所以，設點到平面的距離為,所以，則.故點到平面的距離為.1．（2023上海市模擬考試數(shù)學試題）在棱長為4的正方體中，點到平面的距離為.【答案】/【分析】根據(jù)，應用棱錐的體積公式列方程求點面距即可.【詳解】由，若到平面的距離為，

由正方體性質(zhì)知：為邊長為的等邊三角形，故，所以，則.2．（2023年黑龍江省模擬考試數(shù)學試題）在直三棱柱中，，，則點A到平面的距離為．【答案】/【分析】求點到平面的距離，可以轉化為三棱錐底面上的高，用等體積法，容易求得．【詳解】

∵，，∴中，，∴，，設點A到平面的距離為h，則三棱錐的體積為，即，∴，∴，即點到平面的距離為.3．（2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試題（文科）（新課標Ⅰ））如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點.（1）證明：MN∥平面C1DE；（2）求點C到平面C1DE的距離．【答案】（1）見解析；（2）.【分析】（1）利用三角形中位線和可證得，證得四邊形為平行四邊形，進而證得，根據(jù)線面平行判定定理可證得結論；（2）根據(jù)題意求得三棱錐的體積，再求出的面積，利用求得點到平面的距離，得到結果.【詳解】（1）連接，，分別為，中點

為的中位線且又為中點，且且四邊形為平行四邊形，又平面，平面平面（2）在菱形中，為中點，所以，根據(jù)題意有，，因為棱柱為直棱柱，所以有平面，所以，所以，設點到平面的距離為，根據(jù)題意有，則有，解得，所以點到平面的距離為.【點睛】該題考查的是有關立體幾何的問題，涉及到的知識點有線面平行的判定，點到平面的距離的求解，在解題的過程中，注意要熟記線面平行的判定定理的內(nèi)容，注意平行線的尋找思路，再者就是利用等積法求點到平面的距離是文科生常考的內(nèi)容.考點三、幾何法求直線到平面的距離1．（2012年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試理科數(shù)學（大綱卷））已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，CC1=E為CC1的中點，則直線AC1與平面BED的距離為A．2 B． C． D．1【答案】D【詳解】試題分析：因為線面平行，所求求線面距可以轉化為求點到面的距離，選用等體積法．平面，到平面的距離等于到平面的距離，由題計算得，在中，，邊上的高，所以，所以，利用等體積法，得:,解得:考點：利用等體積法求距離2．如圖，在長方體中，，，.(1)求直線與平面所成的角的大??；(2)求直線到平面的距離.【答案】(1);(2)【分析】（1）說明平面，則即為直線與平面所成的角，解直角三角形，可得答案;（2）證明平面，即說明點到平面的距離即為直線到平面的距離，根據(jù)等體積法求得答案.【詳解】（1）在長方體中，平面,即平面，則即為直線與平面所成的角，由于，，故，即直線與平面所成的角為；（2）在長方體中，由于,故四邊形是平行四邊形，故，而平面，平面，故平面，則點到平面的距離即為直線到平面的距離.；而,故,設點到平面的距離為，則,即,則，即直線到平面的距離為.3．如圖，在梯形ABCD中，，，，平面ABCD，且，點F在AD上，且．(1)求點A到平面PCF的距離；(2)求AD到平面PBC的距離．【答案】(1)；(2).【分析】（1）過點作于，利用線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理及面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，結合條件即求；（2）過點作于，結合條件可得的長為到平面的距離，即求.【詳解】（1）連接，因為平面，又平面，∴，又，，∴平面，又平面，∴平面平面，平面平面，過點作于，則平面，故即為所求，∵在梯形中，，，，，∴，∴在中，，∴，即點到平面的距離為；（2）∵，平面，平面，∴平面，過點作于，又因為平面，則，又，，∴平面，則，又∴平面，即的長為到平面的距離，在等腰直角三角形中，，∴，故到平面的距離為.1．（2013年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試理科數(shù)學（上海卷））如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=1,A1A=1，證明直線BC1平行于平面DA1C，并求直線BC1到平面D1AC的距離.【答案】見解析【詳解】因為為長方體，故，故為平行四邊形，故，顯然不在平面上，于是直線平行于平面；直線到平面的距離即為點到平面的距離設為考慮三棱錐的體積，以為底面，可得而中，，故所以，，即直線到平面的距離為．【考點定位】考查空間幾何體的相關計算，屬中檔題．2．如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，平面平面，，，PD的中點為F.(1)求證：平面；(2)求直線到面的距離.【答案】(1)證明見解析;(2).【分析】（1）連接交于，連接，得，根據(jù)線面平行的判定可得平面；（2）根據(jù)線面平行，將線到面的距離化為點到面的距離，再根據(jù)等體積法可求出結果.【詳解】（1）連接交于，連接，∵為的中點，為的中點，則，∵平面，平面，∴平面.（2）因為平面平面，平面平面，，平面，所以平面.由于平面，則到平面的距離，即到平面的距離.又因為為的中點，點到平面的距離與點到平面的距離相等.取的中點，連接，則，因為平面，所以平面，因為平面，所以，因為菱形且，，所以，，則，，，，設點到平面的距離為，由得即直線到平面的距離為.3．（2023年北京市模擬數(shù)學（A卷）試題）如圖，已知直三棱柱，，，，點為的中點.(1)證明：平面；(2)求直線與平面的距離.【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）利用中位線定理與線面平行的判定定理即可得證；（2）結合（1）中結論，將問題轉化為點到平面的距離，再利用等體積法即可求得所求.【詳解】（1）連結交于，連接，因為在直三棱柱中，側面是平行四邊形，所以是的中點，又因為為的中點，所以，又因為平面，平面，故平面；（2）由（1）知平面，所以直線與平面的距離等價于點到平面的距離，不妨設為，因為，，所以，，則，又因為為的中點，所以，因為在直三棱柱中，面，故，所以在中，，，在中，，所以在中，，則，故，所以由得，即，解得，所以直線與平面的距離為.考點四、幾何法求平面與平面間的距離1．直四棱柱中，底面為正方形，邊長為，側棱，分別為的中點，分別是的中點．

(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面的距離．【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）法一：由面面平行的判定定理即可證明；法二：如圖所示，建立空間直角坐標系，通過證明，再由面面平行的判定定理即可證明.（2）法一:平面與平面的距離到平面的距離,再由等體積法即可求出答案.法二:求出平面的法向量,，平面與平面的距離等于到平面的距離，由點到平面的距離公式即可求出答案.【詳解】（1）法一:證明：連接分別為的中點，分別是的中點，，平面，平面，平面，平行且等于，是平行四邊形，，平面，平面，平面，，平面平面；（2）法一:平面與平面的距離到平面的距離．中，，，，由等體積可得，．2．如圖在直三棱柱中，，，，E是上的一點，且，D、F、G分別是、、的中點，EF與相交于H．(1)求證：平面；(2)求證：平面平面；(3)求平面EGF與平面的距離．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3).【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得,進而推出，再結合的邊長，利用勾股定理即可推出，最后結合線面垂直的判定定理即可完成證明；（2）根據(jù)是的中位線，即可證明，再利用，即可證明，再根據(jù)題意條件，證明，最后利用面面平行的判定定理即可完成證明；（3）由（2）可知，平面平面，而，因此平面EGF與平面的距離就是兩條平行線之間的距離，再結合四邊形的邊角關系，可得是的公垂線，即為兩個平面之間的距離，求出即可完成距離的求解.【詳解】（1）在直三棱柱中,，交線為，而，，，，根據(jù)已知條件可得，為的中點，，，結合勾股定理可得，，所以平面.（2）如圖所示，取的中點，連接，，，為的中點，而為的中點，為的中位線，，又，且，，，，，、分別是、的中點，是的中位線，，在直三棱柱中，，，，，又，平面平面.（3）由平面平面，與相交于，又平面，平面，兩平面之間的距離即為到平面的距離，即，，∽，，，故平面與平面的距離為.3．如圖，在直三棱柱中，，，，分別為，，的中點，點在棱上，且，，.(1)求證：平面；(2)求證：平面平面；(3)求平面與平面的距離.【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)【分析】（1）利用勾股定理證得，證明平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)證得，再根據(jù)線面垂直的判定定理即可得證；（2）取的中點，連接，可得為的中點，證明，四邊形是平行四邊形，可得，再根據(jù)面面平行的判定定理即可得證；（3）設，由（1）（2）可得即為平面與平面的距離，求出的長度，即可得解.【詳解】（1）證明：在直三棱柱中，為的中點，，，故，因為，所以，又平面，平面，所以，又因，，所以平面，又平面，所以，又，所以平面；（2）證明：取的中點，連接，則為的中點，因為，，分別為，，的中點，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以，又平面，平面，所以平面，因為，所以，又平面，平面，所以平面，又因，平面，平面，所以平面平面；（3）設，因為平面，平面平面，所以平面，所以即為平面與平面的距離，因為平面，所以，，所以，即平面與平面的距離為.1．如圖，棱長為2的正方體ABCD–A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱AA1，CC1的中點，過E作平面，使得//平面BDF.(1)作出截正方體ABCD-A1B1C1D1所得的截面，寫出作圖過程并說明理由；(2)求平面與平面的距離.【答案】(1)答案見解析;(2)【分析】（1）根據(jù)平面與平面平行的性質(zhì)可得經(jīng)過，可得截面；（2）轉化為點線距，利用等體積法可求結果.【詳解】（1）連接，由正方體性質(zhì)可得，；又，所以平面平面；因為//平面，且，所以平面與平面重合，即平面就是截正方體ABCD-A1B1C1D1所得的截面.（2）由（1）可知平面與平面的距離等于點到平面的距離；設點到平面的距離為，由題意可得，所以的面積為；的面積為；由可得，解得.所以平面與平面的距離為.2．如圖在直三棱柱中，，，，E是上的一點，且，D、F、G分別是、、的中點，與相交于．(1)求證：平面；(2)求平面與平面的距離．【答案】(1)證明見解析;(2);【分析】（1）由已知條件得平面，從而，又，由此能證明平面．（2）由已知條件推導出平面，平面，由此能證明平面平面．由已知條件推導出為平行平面與之間的距離，由此能求出結果．【詳解】（1）證明：由直三棱柱的性質(zhì)得平面平面，又，平面平面，平面，平面，又平面，，，在和中，，，即，又，平面平面．（2）解：由題意知，在中，，又，，平面，平面，平面，、分別為、的中點，，又，，平面，平面，平面，平面，平面，，平面平面．平面，平面平面，平面，為平行平面與之間的距離，，即平面與之間的距離為．3．如圖所示的斜三棱柱中，是正方形，且點在平面上的射影恰是AB的中點H，M是的中點．(1)判斷HM與面的關系，并證明你的結論；(2)若，，求斜三棱柱兩底面間的距離．【答案】(1)直線與平面平行，證明見解析;(2)【分析】（1）取的中點．連接．通過證明四邊形為平行四邊形，得到，再根據(jù)線面平行的判定定理可證直線與平面平行；（2）設斜三棱柱兩底面間的距離為，根據(jù)可求出結果.【詳解】（1）直線與平面平行．證明如下：取的中點．連接．因為點是的中點，所以，且．又是正方形，點是的中點，所以，．所以，．所以四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面．因為點在平面上的射影是的中點，所以平面．連接，，則，．由正方形的邊，得，所以，所以的面積為．設斜三棱柱兩底面間的距離為，即到平面的距離為，由得，解得，即斜三棱柱兩底面間的距離為．考點五、幾何法求異面直線所成角1．（2021年全國高考乙卷數(shù)學（文）試題）在正方體中，P為的中點，則直線與所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】平移直線至，將直線與所成的角轉化為與所成的角，解三角形即可.【詳解】如圖，連接，因為∥，所以或其補角為直線與所成的角，因為平面，所以，又，，所以平面，所以，設正方體棱長為2，則，，所以.2．（2018年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試文數(shù)（全國卷II））在正方體中，為棱的中點，則異面直線與所成角的正切值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正方體中，，將問題轉化為求共面直線與所成角的正切值，在中進行計算即可.【詳解】在正方體中，，所以異面直線與所成角為，設正方體邊長為，則由為棱的中點，可得，所以，則.

【點睛】求異面直線所成角主要有以下兩種方法：（1）幾何法：①平移兩直線中的一條或兩條，到一個平面中；②利用邊角關系，找到（或構造）所求角所在的三角形；③求出三邊或三邊比例關系，用余弦定理求角；（2）向量法：①求兩直線的方向向量；②求兩向量夾角的余弦；③因為直線夾角為銳角，所以②對應的余弦取絕對值即為直線所成角的余弦值.3．（2008年高考全國卷Ⅱ理科數(shù)學試題）已知正四棱錐的側棱長與底面邊長都相等，是的中點，則所成的角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】試題分析：設的交點為，連接，則為所成的角或其補角；設正四棱錐的棱長為，則，所以．考點：異面直線所成的角．1．如圖，在正方體中，、、、分別為、、、的中點，則異面直線與所成的角等于（

）A．45° B．60° C．90° D．120°【答案】B【分析】連接，證明異面直線與所成的角是或其補角，由正方體性質(zhì)即可得結論．【詳解】如圖，連接，由題意，，所以異面直線與所成的角是或其補角，由正方體性質(zhì)知是等邊三角形，，所以異面直線與所成的角是．2．（2014年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試理科數(shù)學（全國Ⅱ卷））直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點，BC＝CA＝CC1，則BM與AN所成角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】以為原點，直線為軸，直線為軸，直線為軸，則設，則，，，，故，，所以.考點：本小題主要考查利用空間向量求線線角，考查空間向量的基本運算，考查空間想象能力等數(shù)學基本能力，考查分析問題與解決問題的能力.3．（2022年全國高考甲卷數(shù)學（理）試題）在長方體中，已知與平面和平面所成的角均為，則（

）A． B．AB與平面所成的角為C． D．與平面所成的角為【答案】D【分析】根據(jù)線面角的定義以及長方體的結構特征即可求出．【詳解】如圖所示：不妨設，依題以及長方體的結構特征可知，與平面所成角為，與平面所成角為，所以，即，，解得．對于A，，，，A錯誤；對于B，過作于，易知平面，所以與平面所成角為，因為，所以，B錯誤；對于C，，，，C錯誤；對于D，與平面所成角為，，而，所以．D正確．考點六、幾何法求直線與平面所成角1．（2013年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試理科數(shù)學（全國大綱卷））已知正四棱柱中，，則CD與平面所成角的正弦值等于A． B． C． D．【答案】A【詳解】試題分析：設，面積為考點：線面角2．（2014年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試理科數(shù)學（四川卷））如圖在正方體中，點為線段的中點.設點在線段上，直線與平面所成的角為，則的取值范圍是A．B．C． D．【答案】B【詳解】設正方體的棱長為，則，所以，.又直線與平面所成的角小于等于，而為鈍角，所以的范圍為.【考點定位】空間直線與平面所成的角.3．如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，且，，，若二面角為，則與平面所成角的正弦值為．【答案】【分析】取中點，連接，證明為二面角的平面角，所以，由余弦定理求得，得，由線面垂直判定定理和性質(zhì)定理證明兩兩垂直，建立空間直角坐標系，用空間向量法求線面角．【詳解】取中點，連接，如圖，則由已知得，，所以為二面角的平面角，所以，又，，中，，，所以，由，平面，得平面，又平面，所以，，平面，所以平面，平面，所以，，所以，以為軸建立空間直角坐標系，如圖，則，，，，平面的一個法向量是，，所以與平面所成角的正弦值為．1．（2018年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試理科數(shù)學（新課標I卷））已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面所成的角都相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先利用正方體的棱是3組每組有互相平行的4條棱，所以與12條棱所成角相等，只需與從同一個頂點出發(fā)的三條棱所成角相等即可，從而判斷出面的位置，截正方體所得的截面為一個正六邊形，且邊長是面的對角線的一半，應用面積公式求得結果.【詳解】根據(jù)相互平行的直線與平面所成的角是相等的，所以在正方體中，平面與線所成的角是相等的，所以平面與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等的，同理平面也滿足與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等，要求截面面積最大，則截面的位置為夾在兩個面與中間的，且過棱的中點的正六邊形，且邊長為，所以其面積為.點睛：該題考查的是有關平面被正方體所截得的截面多邊形的面積問題，首要任務是需要先確定截面的位置，之后需要從題的條件中找尋相關的字眼，從而得到其為過六條棱的中點的正六邊形，利用六邊形的面積的求法，應用相關的公式求得結果.2．（2007年普通高等學校招生考試數(shù)學（文）試題（大綱卷Ⅱ））已知正三棱錐的側棱長是底面邊長的2倍，則側棱與底面所成角的余弦值等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設正三棱錐底面邊長為，則側棱長為，作圖確定側棱與底面所成角，解直角三角形即可得答案.【詳解】由題意知正三棱錐的側棱長是底面邊長的2倍，如圖，設正三棱錐底面邊長為，則側棱長為∶，設頂點在底面的射影為點，連接并延長交于，則為的中點，則為側棱與底面所成角，由于為正三角形，則為其中心，，，在中，，即側棱與底面所成角的余弦值等于.3．（2010年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（全國Ⅰ）文科數(shù)學）正方體ABCD-中，B與平面AC所成角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】試題分析：因為，所以與平面所成角的余弦值等價于與平面所成角的余弦值．設正方體棱長為，易知平面且設垂足為，所以即為所求角．由已知可得，從而，所以．考點：斜線與平面所成的角．考點七、幾何法求二面角1．已知三棱錐的三個側面與底面全等，且，，則以為棱，以平面與平面為面的二面角的大小是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二面角平面角的定義確定以為棱，以平面與平面為面的二面角的的平面角，解三角形求其大小即可.【詳解】取的中點為，連接，因為與全等，又，，所以，，因為為的中點，所以，，所以為以為棱，以平面與平面為面的二面角的平面角，在中，，，所以，同理可得，在中，因為，，，所以，所以，所以以為棱，以平面與平面為面的二面角的大小為.2．（2021年全國高考甲卷數(shù)學（理）試題）已知直三棱柱中，側面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點，D為棱上的點．（1）證明：；（2）當為何值時，面與面所成的二面角的正弦值最小?【答案】（1）證明見解析；（2）【詳解】（1）因為，所以．又因為，，所以平面．又因為，構造正方體，如圖所示，過作的平行線分別與交于其中點，連接，因為，分別為和的中點，所以是的中點，易證，則．又因為，所以．又因為，所以平面．又因為平面，所以．（2）如圖所示，延長交的延長線于點，聯(lián)結交于點，則平面平面．作，垂足為，因為平面，聯(lián)結，則為平面與平面所成二面角的平面角．設，過作交于點．由得．又，即，所以．又，即，所以．所以．則，所以，當時，．【整體點評】第一問，常規(guī)方法，不過這道題常規(guī)方法較為復雜第二問：利用空間線面關系找到，面與面所成的二面角，并求出其正弦值的最小值，不是很容易找到；3．如圖，二面角等于，A、是棱l上兩點，BD、AC分別在半平面、內(nèi)，，，且，則CD的長等于.【答案】4【分析】根據(jù)二面角的定義，結合空間向量加法運算性質(zhì)、空間向量數(shù)量積的運算性質(zhì)進行求解即可.【詳解】由二面角的平面角的定義知，∴，由，，得，，又，∴，所以，即.1．（2011年湖南省普通高等學校招生統(tǒng)一考試理科數(shù)學）已知點分別在正方體的棱、上，且，，側面與面所成的二面角的正切值等于.【答案】【分析】由題意畫出正方體的圖形，延長交點為連接，過作連接，所以面與面所成的二面角就是，求出與正方體的棱長的關系，然后求出面與面所成的二面角的正切值．【詳解】由題意畫出圖形如圖：因為分別在正方體的棱、上，延長交點為連接，過作連接，所以面與面所成的二面角就是，因為，，所以，所以，設正方體的棱長為，所以，，，在中，.【點睛】本題是基礎題，考查二面角的平面角的正切值的求法，解題的關鍵是能夠作出二面角的棱，作出二面角的平面角，考查計算能力，邏輯推理能力．2．（2002年普通高等學校招生考試數(shù)學（理）試題（上海卷））若正四棱錐的底面邊長為，體積為，則它的側面與底面所成的二面角的大小是．【答案】/【分析】先根據(jù)正四棱錐的結構特征、垂直關系的轉化得到是側面與底面所成的二面角的平面角，再利用進行求解.【詳解】如圖，過點作平面，則為底面正方形的中心，取的中點，連接、，則，因為平面，平面，所以，因為平面，平面，且，所以平面，又平面，所以，又平面，平面，所以是側面與底面所成的二面角的平面角，由題意，得，解得，在中，又因為，所以，所以，即該正四棱錐的側面與底面所成的二面角的大小是.3．如圖60°的二面角的棱上有，兩點，直線，分別在二面角兩個半平面內(nèi)，且垂直于，，，則．【答案】10【分析】過點作，且，連接，，先證明為等邊三角形，從而得到，再證明，進而利用勾股定理即可求解．【詳解】如圖，過點作，且，連接，，則，又，所以為等邊三角形，所以，則四邊形為矩形，即，由，則，又，且，所以平面，所以平面，又平面，所以，則由勾股定理得．考點八、幾何法求平面與平面所成角1．如圖，P為長方體的對角線上的一點，平面平面，若，則平面PAB與平面CAB夾角的正切值為．

【答案】2【分析】設，分別為長方體上、下底面矩形對角線的交點，連接，，，由平面平面，結合正方體的性質(zhì)可得，作，垂足為，，垂足為，連接，可證得為平面與平面的夾角，然后在中求解即可.【詳解】設，分別為長方體上、下底面矩形對角線的交點，連接，，．因為平面平面，平面平面，平面平面，所以．又，所以，，三點共線，因此．如圖，作，垂足為，，垂足為，連接，因為平面平面，平面，所以平面，因為平面，所以，因為，平面，所以平面，因為平面，所以，所以為平面與平面的夾角．

由，，可得，．所以，即平面與平面夾角的正切值為2．2．（2023年新高考天津數(shù)學高考真題）三棱臺中，若面，分別是中點.

(1)求證：//平面；(2)求平面與平面所成夾角的余弦值；(3)求點到平面的距離．【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)；【分析】（1）先證明四邊形是平行四邊形，然后用線面平行的判定解決；（2）利用二面角的定義，作出二面角的平面角后進行求解；（3）方法一是利用線面垂直的關系，找到垂線段的長，方法二無需找垂線段長，直接利用等體積法求解【詳解】（1）

連接.由分別是的中點，根據(jù)中位線性質(zhì)，//，且，由棱臺性質(zhì)，//，于是//，由可知，四邊形是平行四邊形，則//，又平面，平面，于是//平面.（2）過作，垂足為，過作，垂足為,連接.由面，面，故，又，，平面，則平面.由平面，故，又，，平面，于是平面，由平面，故.于是平面與平面所成角即.又，，則，故，在中，，則，于是（3）[方法一：幾何法]

過作，垂足為，作，垂足為，連接，過作，垂足為.由題干數(shù)據(jù)可得，，，根據(jù)勾股定理，，由平面，平面，則，又，，平面，于是平面.又平面，則，又，，平面，故平面.在中，，又，故點到平面的距離是到平面的距離的兩倍，即點到平面的距離是.[方法二：等體積法]

輔助線同方法一.設點到平面的距離為.，.由，即.3．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，側棱底面，，是的中點，作交PB于點.(1)求三棱錐的體積；(2)求證：平面；(3)求平面與平面的夾角的大小.【答案】(1)；(2)證明見解析；(3)【分析】（1）取中點，連接，易知且底面，由此即可求出答案；（2）由題意易證面，則可得，再結合，利用線面垂直的判定定理即可得證；（3）由題意易知是平面與平面的夾角，且，分別求出的值，利用，即可求出答案.【詳解】（1）取中點，連接，在中，分別為中點，∴為的中位線，∴，且，又∵，∴∵底面，∴底面，∴；（2）∵底面，且面∴，∵底面是正方形，∴，又,面,∴面,又面∴∵，且，∴是等腰直角三角形，又是斜邊的中線，∴，又,面,∴面，∵面∴,∵,又,面∴平面；（3）由（2）可知，故是平面與平面的夾角，∵∴，在中，，，，又面，∵面∴,在中，，∴，故平面與平面的夾角的大小.1．如圖，棱錐的底面是矩形，平面，．(1)求證：平面；(2)求平面和平面夾角的余弦值的大小．【答案】(1)證明過程見解析；(2);【分析】（1）求出，得到底面是正方形，對角線互相垂直，進而證明出線面垂直；（2）找到兩平面的夾角的平面角，再進行求解.【詳解】（1）因為平面，平面，所以，因為，底面是矩形，所以由勾股定理得：，所以底面是正方形，所以，又，所以平面.（2）因為底面，平面，所以，又，，所以平面，因為平面，所以，又因為，所以是平面和平面的夾角，由于，，所以，所以，所以平面與平面的夾角余弦值為.2．（2023屆浙江省名校新高考研究聯(lián)盟聯(lián)考數(shù)學試題）如圖，在四棱錐中，已知，，，，，，為中點，為中點.(1)證明：平面平面；(2)若，求平面與平面所成夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）根據(jù)線面平行及面面平行的判定定理即得；（2）延長與交于，由題可得面面，過作，過作，進而可得即為面與面所成二面角的平面角，結合條件即得；【詳解】（1）連接，∵為中點，為中點，∴，又面，面，∴面，在中，，，，∴，即，在中，，，∴，，在中，，，，，∴，，∴，∵F為AB中點，∴，，∴，又∵面，面，∴面，又∵，CF，面，∴平面平面；（2）延長與交于，連，則面面，在中，，，，所以，又，，，面，∴面，面，∴面面，在面內(nèi)過作，則面，∵面，∴，過作，連，∵，面，面，∴面，面，∴，∴即為面與面所成二面角的平面角，∵，，∴，，∵，，∴，，，又，∴，，，∴.3．（2023屆廣東省模擬考試數(shù)學試題）如圖，在四棱錐P-ABCD中，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，(1)求證：；(2)求平面PAB與平面ABCD交角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）取中點，連接，可證明，，進而可證平面，則結論成立；（2）過做平面，過做于，則為平面與平面所成角，根據(jù)題中所給條件計算，的長，求出正切值，進而求出正弦值.【詳解】（1）取中點，連接，因為，且，所以四邊形為平行四邊形，即，因為，所以；因為是以為斜邊的等腰直角三角形，所以；，所以平面，平面，所以.過做平面，過做于，則為平面與平面所成角，由（1）可知：平面，平面，所以平面平面，平面平面，則直線，由題意可知，，又，所以，在直角三角形中，，所以，，過做于，則，在中，，，則，，所以，所以，，則.【基礎過關】1．（2023年云南省教育學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題）如圖，已知在矩形ABCD中，，，M為邊BC的中點，將，分別沿著直線AM，MD翻折，使得B，C兩點重合于點P，則點P到平面MAD的距離為．

【答案】/【分析】由題意可得平面，設點到平面的距離為，然后利用等體積法可求得結果.【詳解】因為為矩形，所以，，因為，平面，所以平面，因為，所以，，點到平面的距離為，，所以，解得．2．（2023-2024學年陜西省聯(lián)考文科數(shù)學試題）在直三棱柱中，側面為正方形，，，分別為和的中點，.(1)證明：；(2)求到平面的距離.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，證明∽，進而證得，再利用線面垂直的性質(zhì)判定推理作答.（2）由（1）的信息，求出長即可作答.【詳解】（1）在直三棱柱中，由側面為正方形，得，而，，平面，則平面，又平面，即有，即，，則，因為，則，，由E，F(xiàn)分別為AC和的中點，得，于是，而，則∽，有，又，即有，則，即，由，為的中點，得，而平面，平面，則，又，平面，于是平面，而平面，則，因為，平面，因此平面，而平面，所以.（2）由（1）知平面，則長即為點到平面的距離，在中，，則，所以點到平面的距離.3．（2023年上海市模擬考試數(shù)學試題）若正四棱柱的底面邊長為，與底面成角，則到底面的距離為.【答案】【分析】確定到底面的距離為正四棱柱的高，即可求得結論．【詳解】∵正四棱柱，∴平面平面，平面，平面,到底面的距離為正四棱柱的高∵正四棱柱的底面邊長為，與底面成角，．4．若正四棱柱的底面邊長為1，直線與底面所成角的大小是，則到底面的距離為．【答案】【分析】根據(jù)正四棱柱的幾何性質(zhì)由直線與底面所成角的大小是，確定線段的長，則則到底面的距離即可求.【詳解】解：如圖，連接正四棱柱的底面邊長為1，則，所以且底面，則直線與底面所成角即則則在正四棱柱中，到底面的距離為即到到底面的距離.5．在長方體中，已知，，與平面ABCD所成角的大小是，那么平面ABCD到平面的距離是．【答案】【分析】在長方體中,根據(jù)與平面所成角的大小是，解直角三角形，求得棱的長，即可得答案.【詳解】如圖，連接,因為平面,故即為與平面所成角，則，又因為，，則,故在中，，在長方體中,平面到平面的距離即為棱的長，即平面到平面的距離為.6．在長方體中，E，F(xiàn)，G，H分別為，，，的中點，，則平面ABCD與平面EFGH的距離為.【答案】2【分析】由平面平面,又平面可得答案.【詳解】如圖

平面平面又平面.平面與平面的距離為.【點睛】本題考查平面與平面間的距離,屬于基礎題.7．用六個完全相同的正方形圍成的立體圖形叫正六面體.已知正六面體的棱長為，則平面與平面間的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】畫出圖形，可得平面，結合面面平行可知平面，求出正方體的棱長，再由等體積法求得，則可求得所求距離.【詳解】由題意知：正六面體是棱長為的正方體，，，，，平面平面，連接，，，，平面，又平面，，同理可證得：，又平面，，平面，平面，設垂足分別為，則平面與平面間的距離為.正方體的體對角線長為.在三棱錐中，由等體積法求得：，∴平面與平面間的距離為：.【點睛】本題考查立體幾何中平面與平面間距離的求解問題，關鍵是能夠找到兩面的公垂線，進而可知夾在兩平面間的公垂線段的長度即為所求距離；本題中同時涉及到三棱錐高的求解問題，解決此類問題通常采用等體積法.8．（2018年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試理數(shù)（全國卷II））已知圓錐的頂點為，母線，所成角的余弦值為，與圓錐底面所成角為45°，若的面積為，則該圓錐的側面積為．【答案】【分析】先根據(jù)三角形面積公式求出母線長,再根據(jù)母線與底面所成角得底面半徑，最后根據(jù)圓錐側面積公式求出結果.【詳解】因為母線，所成角的余弦值為，所以母線，所成角的正弦值為，因為的面積為，設母線長為所以，因為與圓錐底面所成角為，所以底面半徑為，因此圓錐的側面積為．【整體點評】根據(jù)三角形面積公式先求出母線長，再根據(jù)線面角求出底面半徑，最后根據(jù)圓錐側面積公式求出側面積，思路直接自然，是該題的最優(yōu)解．9．（2021年山東省春季高考數(shù)學真題）如下圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面平面，，．（1）求與所成角的余弦值；（2）求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析．【分析】(1)由題意可得即為與所成的角，根據(jù)余弦定理計算即可；(2)結合面面垂直的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)即可證明.【詳解】【考查內(nèi)容】異面直線所成的角，直線與平面垂直的判定和性質(zhì)【解】（1）因為，因此即為與所成的角，在中，，又在正方形中，因此，因此與所成角的余弦值是．（2）因為平面平面，平面平面，在正方形中，，因此平面，又因為平面，因此．10．（2023年福建省模擬考試數(shù)學試題）在矩形ABCD中，，沿AC將折起，當二面角為直二面角時，異面直線AB與CD所成角的余弦值為.【答案】/0.2【分析】沿將折起后位置為，根據(jù)題設條件易知所求角為或其補角，作于，連接，根據(jù)直二面角證，求得，最后應用余弦定理求異面直線夾角余弦值.【詳解】沿將折起后位置為，且為矩形，則，

所以異面直線與所成角，即為與所成角或其補角，作于，連接，顯然，由二面角為直二面角，即面面，面面，面，則面，而面，故，由，且，故，則，所以，又，則.11．（2018年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學（新課標I卷））在長方體中，，與平面所成的角為，則該長方體的體積為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先畫出長方體，利用題中條件，得到，根據(jù)，求得，可以確定，之后利用長方體的體積公式求出長方體的體積.【詳解】在長方體中，連接，

根據(jù)線面角的定義可知，因為，所以，從而求得，所以該長方體的體積為.【點睛】該題考查的是長方體的體積的求解問題，在解題的過程中，需要明確長方體的體積公式為長寬高的乘積，而題中的條件只有兩個值，所以利用題中的條件求解另一條邊的長就顯得尤為重要，此時就需要明確線面角的定義，從而得到量之間的關系，從而求得結果.12．（2023年云南省質(zhì)量檢測數(shù)學試題）已知圓錐的頂點為，底面圓心為，，底面半徑為2，，是底面圓周上兩點，且，則二面角的大小為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取的中點，連，可證是二面角的平面角，再根據(jù)已知條件計算可得結果.【詳解】取的中點，連，因為，所以，因為，所以，所以是二面角的平面角，因為平面，平面，所以，因為，，所以，因為，所以，所以，所以.所以二面角的大小為.

13．（2023年山東省模擬考試數(shù)學試題）長方體中，，則二面角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】取中點，連接、，則即為二面角的平面角，在中利用余弦定理求解即可.【詳解】

取中點，連接、，因為，，所以，，所以即為二面角的平面角，連接，因為長方體中，，所以，，所以，又因為，在中，，所以二面角的余弦值為.【能力提升】1．（2023年重慶市模擬考試數(shù)學試題）在四面體中，平面于點，點到平面的距離為，點為的重心，二面角的大小為，則．【答案】.【分析】綜合應用立體幾何中線線垂直、線面垂直、點到平面距離、二面角等知識即可解決問題.【詳解】設，連結，因為平面，平面，所以，又，，平面，平面，所以平面，又平面，故，所以是二面角的平面角，所以，又，所以為中點，又點為的重心，故在上，過作于，由到平面的距離為，可得，于是，，，在中，由余弦定理可得，，所以.

2．（2023年江蘇省模擬考試數(shù)學試題）如圖，將邊長的正方形沿對角線BD折起，連接AC，構成一四面體，使得，則點到平面的距離為．

【答案】/【分析】設點到平面的距離為，則，求可得結論.【詳解】由已知可得，，，取的中點，連接，因為，，所以，因為，，所以，又，所以，因為，點為的中點，所以，由平面，，所以平面，所以點到平面的距離為，又的面積為，所以三棱錐的體積為，設點到平面的距離為，則，又，因為，所以的面積為，所以，所以.所以點到平面的距離為.

3．如圖，正四棱柱的底面邊長為2，，E為的中點，則到平面EAC的距離為．【答案】/【分析】由于∥平面，所以只要求出點到平面的距離即可，然后利用等體積法求解.【詳解】連接，因為∥，平面，平面，所以∥平面，所以到平面的距離等于到平面的距離，設到平面的距離為，因為正四棱柱的底面邊長為2，，所以，因為E為的中點，所以，所以，所以，,因為，所以,所以，解得.4．（2023年遼寧省模擬考試數(shù)學試題）如圖，已知四棱錐外接球O的體積為，，側棱與底面垂直，四邊形為矩形，點M在球O的表面上運動.當四棱錐體積的最大時，點A到面的距離為.

【答案】【分析】根據(jù)給定條件，求出球的半徑并確定球心的位置，再求出四棱錐體積取最大時，矩形的特征，然后用等體積法求解作答.【詳解】設球的半徑為，則，解得，連接，由平面，平面，得，由矩形，得，而平面，則平面，又平面，于是，同理，取中點，連接，則，因此點是四棱錐的外接球球心，

顯然，而，于是，令，連接，則平面，，要使四棱錐的體積最大，點必為射線與球的表面的交點，，此時四棱錐的體積，當且僅當時取等號，，底邊上的高，設點到平面的距離為，由，得，即，有，解得，所以點到面的距離為.5．（2023屆江西省考前最后一卷（全國乙卷）數(shù)學（理）試題）如圖，正三角形ABC中，D，E分別為邊AB，AC的中點，其中，把沿著DE翻折至的位置，得到四棱錐，則當四棱錐的體積最大時，四棱錐外接球的球心到平面的距離為.

【答案】/【分析】由題意確定當平面平面時，四棱錐的體積最大，作出圖形，依次確定的外接圓的圓心，四邊形的外接圓的圓心，再確定四棱錐的外接球的球心，解外接球的半徑，再求解外接圓的半徑，設四棱錐外接球的球心到平面的距離為，根據(jù)即可求解.【詳解】

由題意可知，當平面平面時，四棱錐的體積最大，如圖所示，取的中點，連接，則，又平面平面，平面，所以平面.則的外接圓的圓心位于且靠近點的三等分點處，設的中點為，連接，則，所以為四邊形的外接圓的圓心，過作平面的垂線，過作平面的垂線，則兩垂線的交點即為四棱錐的外接球的球心，連接，則四邊形為矩形，所以，連接，在中，.設四棱錐的外接球的半徑為，則.連接，，，，，連接，則，所以外接圓的圓心在上，令其半徑為，在中，，所以，即，解得，設四棱錐外接球的球心到平面的距離為，所以，即，解得，故四棱錐外接球的球心到平面的距離為.【點睛】方法點睛：求多面體的外接球的半徑，常用方法有：（1）三條棱兩兩互相垂直時，可恢復為長方體，利用長方體的體對角線為外接球的直徑，求出球的半徑；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的對稱性，球心為上下底面外接圓的圓心連線的中點，再根據(jù)勾股定理求球的半徑；（3）如果涉及幾何體有兩個面相交，可過兩個面的外心分別作兩個面的垂線，垂線的交點為幾何體的球心.6．（2023屆山東省高考適應性訓練數(shù)學試題）魯班鎖（也稱孔明鎖、難人木、六子聯(lián)方）起源于古代中國建筑的榫卯結構.如圖1，這是一種常見的魯班鎖玩具，圖2是該魯班鎖玩具的直觀圖，每條棱的長均為2，則該魯班鎖的兩個相對三角形面間的距離為（

）

A．B．C． D．【答案】C【分析】該魯班鎖玩具可以看成是一個正方體截去了8個正三棱錐所余下來的幾何體，由等體積轉化得出截去的三棱錐的高，由體對角線減去該高，計算即可.【詳解】由題圖可知，該魯班鎖玩具可以看成是一個正方體截去了8個正三棱錐所余下來的幾何體，如圖所示，由題意可知：，所以.故該正方體的棱長為，且被截去的正三棱錐的底面邊長為2，側棱長為，則該小三棱錐幾何體的體積為，

所以該三棱錐的頂點到面的距離.易知魯班鎖兩個相對的三角形面平行，且正方體的體對角線垂直于該兩面，故該兩面的距離.7．（2023屆湖南省三模數(shù)學試題）已知平行六面體的各棱長都為，，、、分別是棱、、的中點，則（

）A．平面B．平面平面C．平面與平面間的距離為D．直線與平面所成角的正弦值為【答案】A【分析】證明出平面平面，利用面面平行的性質(zhì)可判斷A選項；利用反證法結合面面垂直的性質(zhì)定理可判斷B選項；利用勾股定理可判斷C選項；利用線面角的定義可判斷D選項.【詳解】對于A選項，連接、、，在平行六面體中，且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，因為、分別為、的中點，則，所以，，因為平面，平面，所以，平面，同理可證且，因為且，、分別為、的中點，所以，且，所以，四邊形為平行四邊形，故且，所以，且，故四邊形為平行四邊形，故，因為平面，平面，所以，平面.因為，、平面，所以，平面平面，因為平面，所以，平面，A對；對于B選項，連接、、，由題意可知，，，則為等邊三角形，所以，，同理可得，故三棱錐為正四面體，設點在平面內(nèi)的射影點為點，則為等邊的中心，易知點不在直線上，若平面平面，過點在平面內(nèi)作，垂足為點，

因為平面平面，平面平面，平面，所以，平面，但過點作平面的垂線，有且只有一條，矛盾，假設不成立，B錯；對于C選項，連接，則，且，因為平面，平面，則，故，故平面與平面間的距離為，C錯；對于D選項，連接，因為平面，所以，與平面所成的角為，且，所以，直線與平面所成的角的正弦值為，D錯.8．（2023屆浙江省原創(chuàng)預測卷一（全國1卷））如圖，在三棱錐中，，二面角的平面角，，，則直線與直線的所成最大角的正切值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先取的中點，連接交于，連接，，根據(jù)題意得到當時，得到直線與直線的所成最大角的正切值，即可得到答案.【詳解】取的中點，連接交于，連接，，如圖所示：因為為中點，為中點，交于，則為的重心.即：.因為，又因為，即，所以，.，，即.因為，為中點，所以，因為，為中點，所以，所以為二面角的平面角，即，.因為直線與直線的所成角為，當時，取得最大值，當時，即，平面，即.所以直線與直線的所成角正切值最大為.9．已知二面角為，，，為垂足，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】作出圖形，設，，，然后以、為鄰邊作平行四邊形，可知為二面角的平面角，異面直線與所成角為或其補角，計算出三邊邊長，利用余弦定理計算出，即可得解.【詳解】如下圖所示：設，，，以、為鄰邊作平行四邊形，在平面內(nèi)，，，，則，，，，，，所以，為二面角的平面角，即，，為等邊三角形，則，四邊形為平行四邊形，，即，，，，，，平面，平面，，則，在平行四邊形中，且，所以，異面直線與所成角為或其補角，在中，，，由余弦定理可得.因此，異面直線與所成角的余弦值為.【點睛】思路點睛：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；（2）認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；（3）計算：求該角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當所作的角為鈍角時，應取它的補角作為兩條異面直線所成的角．10．已知正方體，則正確的有（

）①．直線與所成的角為 ②．直線與所成的角為③．直線與平面所成的角為 ④．直線與平面ABCD所成的角為【答案】①②④【分析】數(shù)形結合，依次對所給選項進行判斷即可.【詳解】如圖，連接、，因為，所以直線與所成的角即為直線與所成的角，因為四邊形為正方形，則，故直線與所成的角為，①正確；連接，因為平面，