專題27直線方程與兩條直線的位置關(guān)系（核心考點精講精練）1.近幾年真題考點分布圓錐曲線近幾年考情考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點2023年全國乙（文科），第11題,5分直線與圓的位置關(guān)系，參數(shù)方程2023年全國乙（文科），第13題,5分根據(jù)拋物線上的點求標(biāo)準(zhǔn)方程，拋物線的定義2023年全國乙（理科），第3題,5分2023年全國乙（文科），第3題,5分通過三視圖求幾何體的表面積2023年全國乙（理科），第5題,5分2023年全國乙（文科），第7題,5分根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程確定圓的圓心和半徑幾何概型2023年全國乙（理科），第11題,5分2023年全國乙（文科），第12題,5分直線與雙曲線的位置關(guān)系，求線段的中點坐標(biāo)2023年全國乙（理科），第12題,5分直線與圓的位置關(guān)系向量的數(shù)量積2023年全國乙（理科），第20題,12分2023年全國乙（文科），第21題,12分1、根據(jù)離心率求橢圓方程；2、橢圓中的定點問題；2023年全國甲（文科），第7題,5分橢圓中焦點三角形的面積問題2023年全國甲（理科），第8題,5分2023年全國甲（文科），第9題,5分雙曲線的漸近線、離心率、圓的中點弦2023年全國甲（理科），第12題,5分橢圓的定義、焦點三角形2023年全國甲（理科），第20題,12分2023年全國甲（文科），第20題,12分1、根據(jù)直線與拋物線相交所得弦長求拋物線方程；2、拋物線中的三角形面積問題2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】1.本節(jié)為高考常考知識點，常常與橢圓、雙曲線及拋物線一起綜合考查；2.考查根據(jù)斜率判斷傾斜角的取值范圍，求直線方程，求斜率的取值范圍3.求平面上兩點間的距離公式、點到直線的距離公式,會求兩條平行直線間的距離4.能根據(jù)斜率的關(guān)系判定兩條直線平行或垂直.【備考策略】1.在平面直角坐標(biāo)系中,結(jié)合具體圖形,探索確定直線位置的幾何要素.2.理解直線的傾斜角和斜率的概念,掌握過兩點的直線斜率的計算公式.3.根據(jù)確定直線位置的幾何要素,探索并掌握直線方程的幾種形式(點斜式、兩點式、斜截式、截距式及一般式).4.能根據(jù)斜率的關(guān)系判定兩條直線平行或垂直.5.能用解方程組的方法求兩條直線的交點坐標(biāo).6.掌握平面上兩點間的距離公式、點到直線的距離公式,會求兩條平行直線間的距離.【命題預(yù)測】1.常常與橢圓、雙曲線及拋物線一起綜合考查；2.考查根據(jù)斜率判斷傾斜角的取值范圍，求直線方程，求斜率的取值范圍3.求平面上兩點間的距離公式、點到直線的距離公式,會求兩條平行直線間的距離4.能根據(jù)斜率的關(guān)系判定兩條直線平行或垂直.知識講解一、直線的傾斜角與斜率1.直線的傾斜角(1)定義:當(dāng)直線與軸相交時,我們?nèi)≥S作為基準(zhǔn),軸正向與直線向上方向之間所成的角叫作直線的傾斜角.當(dāng)直線與軸平行或重合時,規(guī)定它的傾斜角為.

(2)范圍:直線傾斜角的取值范圍是[0,π).

2.斜率公式(1)若直線的傾斜角,則斜率tanα.

(2)若點,在直線上,且,則直線的斜率.

二、直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點斜式不含直線斜截式不含垂直于軸的直線兩點式

不含直線和直線截距式不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點的直線一般式平面內(nèi)所有直線都適用1.直線的斜率和傾斜角之間的函數(shù)關(guān)系如圖,當(dāng)時,斜率;當(dāng)時,斜率不存在;當(dāng)時,斜率.2.求直線方程時要注意判斷直線斜率是否存在;每條直線都有傾斜角,但不一定每條直線都存在斜率.3.截距為一個實數(shù),既可以為正數(shù),也可以為負(fù)數(shù),還可以為,這是解題時容易忽略的一點.(1)傾斜角與斜率的關(guān)系①當(dāng)時,斜率k∈[0,+∞);②當(dāng)時,斜率不存在;③當(dāng)時,斜率.(2)斜率的兩種求法①定義法:.②公式法:.(3)求傾斜角的取值范圍或直線斜率的取值范圍時,要充分利用的單調(diào)性.求直線方程一般有以下兩種方法(1)直接法:首先由題意確定出直線方程的適當(dāng)形式,然后直接寫出其方程.(2)待定系數(shù)法:先由直線滿足的條件設(shè)出直線方程,方程中含有待定的系數(shù),再由題設(shè)條件求出待定系數(shù),即得所求直線方程.1.求解與直線方程有關(guān)的最值問題,先根據(jù)題意建立目標(biāo)函數(shù),再利用基本不等式(或函數(shù)的性質(zhì))求解最值.2.求解直線方程與函數(shù)相結(jié)合的問題,一般利用直線方程中的關(guān)系,將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于(或)的函數(shù),再借助函數(shù)的性質(zhì)解決問題.1.含有參數(shù)的直線方程可看作直線系方程,這時要能夠整理成過定點的直線系,能夠看出“動中有定”.若直線的方程為,則直線過定點.2.求解與直線方程有關(guān)的面積問題,應(yīng)根據(jù)直線方程求解相應(yīng)坐標(biāo)或者相關(guān)長度,進(jìn)而求得多邊形的面積.三、兩條直線平行或垂直的判定1.兩條直線平行(1)對于兩條不重合的直線,,若其斜率分別為,,則有k1=k2;

(2)當(dāng)直線,不重合且斜率都不存在時,.2.兩條直線垂直(1)如果兩條直線,的斜率存在,設(shè)為,,則有k1k2=-1;

(2)當(dāng)其中一條直線的斜率不存在,而另一條直線的斜率為0時,.

在判定兩條直線平行或垂直的情況時不要忽略了一條直線或兩條直線斜率不存在的情形.

由一般式方程確定兩直線位置關(guān)系的方法直線方程與:,:垂直的充要條件平行的充要條件相交的充要條件重合的充要條件四、兩條直線相交1.交點:直線:和:的公共點的坐標(biāo)與方程組A1x+B1y2.相交?方程組有唯一解,交點坐標(biāo)就是方程組的解.

3.平行?方程組無解.

4.重合?方程組有無數(shù)個解.

五、三種距離公式1.兩點間的距離公式平面上任意兩點間的距離公式為.2.點到直線的距離公式點到直線:的距離.利用點到直線的距離公式時,需要先將直線方程化為一般式.3.兩條平行直線間的距離公式兩條平行直線與間的距離.1.當(dāng)含參數(shù)的直線方程為一般式時,若要表示出直線的斜率,不僅要考慮到斜率存在的一般情況,也要考慮到斜率不存在的特殊情況,同時還要注意的系數(shù)不能同時為零這一隱含條件.2.在判斷兩直線的平行、垂直時,也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論.點到直線、兩平行線間的距離公式的使用條件(1)求點到直線的距離時,應(yīng)先化直線方程為一般式.(2)求兩平行線之間的距離時,應(yīng)先將方程化為一般式且的系數(shù)對應(yīng)相等.中心對稱:①點關(guān)于點的對稱點滿足x'=2a-x,y點關(guān)于直線的對稱點為,則有n-bm線關(guān)于點對稱的兩種求解方法(1)在已知直線上取兩點,利用中點坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點對稱的兩點坐標(biāo),再由兩點式求出直線方程.(2)求出一個對稱點,再利用兩對稱直線平行,由點斜式得到所求的直線方程.求直線關(guān)于直線對稱的直線,有兩種處理方法(1)在直線上取兩點(一般取特殊點),利用求點關(guān)于直線的對稱點的方法求出這兩點關(guān)于直線的對稱點,再利用兩點式寫出直線的方程.(2)設(shè)點是直線上任意一點,其關(guān)于直線的對稱點為(在直線上),根據(jù)點關(guān)于直線對稱建立方程組,用表示出,再代入直線的方程,即得直線的方程.考點一、直線的傾斜角與斜率1．（2023年山東省模擬數(shù)學(xué)試題）直線的傾斜角（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】確定直線的斜率，根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系，即可求得答案.【詳解】由題意可得直線的斜率為，直線傾斜角為，則，故.2．（2023年天津市模擬數(shù)學(xué)試題）已知直線的傾斜角為，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)斜率公式以及斜率的定義可得出關(guān)于的等式，解之即可.【詳解】由題意可知，直線的斜率為，解得.3．直線l經(jīng)過兩點，那么直線l的傾斜角的取值范圍為（

）A． B．∪C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意先求出直線的斜率，再由斜率與傾斜角可求得答案.【詳解】直線l的斜率，因為，所以，設(shè)直線l的傾斜角為，則，因為，所以或，所以直線l的傾斜角的取值范圍是.1．已知點，，則直線AB的斜率為（

）A．2 B．－2 C．1 D．－1【答案】A【分析】由兩點的斜率公式計算.【詳解】點，，則直線AB的斜率為.2．已知兩點所在直線的傾斜角為45°，則m＝．【答案】2【分析】根據(jù)題意利用斜率公式列方程求解即可【詳解】由題意知k＝tan45°＝1．由斜率公式得，解得m＝2.3．已知兩點，，直線過點且與線段有交點，則直線的傾斜角的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】作出圖形，求出的斜率，數(shù)形結(jié)合可求得直線的斜率的取值范圍，再由斜率與傾斜角的關(guān)系可求出傾斜角的取值范圍.【詳解】如圖所示，直線的斜率，直線的斜率．由圖可知，當(dāng)直線與線段有交點時，直線的斜率，因此直線的傾斜角的取值范圍是．考點二、直線的方程1．（2023屆廣東省二模數(shù)學(xué)試題）若過點的直線與圓交于兩點，則弦最短時直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，由條件可知，當(dāng)最短時，直線，即可得到，從而得到結(jié)果.【詳解】

當(dāng)最短時，直線，所以.又，所以，所以的方程為，即.2．已知直線經(jīng)過點，且與圓相切，則的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直線經(jīng)過點，且與圓相切可知，再使用點斜式即可.【詳解】直線經(jīng)過點，且與圓相切，則,故直線的方程為，即.3．（2023-2024學(xué)年江蘇省檢測數(shù)學(xué)試題）已知直線經(jīng)過點，且點，到直線的距離相等，則直線的方程為.【答案】或【分析】根據(jù)直線與直線的位置關(guān)系，分類討論，可得其斜率之間的關(guān)系，求得斜率，可得答案.【詳解】設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，當(dāng)直線時，顯然點，到直線的距離相等，如下圖：

則此時，由，且直線過，則直線的方程為，整理可得；當(dāng)直線與直線相交時，作于，于，如下圖：

若，由，，則，可得，即為的中點，其坐標(biāo)為，此時直線的斜率，直線的方程為，整理可得.故答案為：或.1．（2023屆吉林省調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題）中，，，，則邊上的高所在的直線方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)邊上的高所在的直線為，求出直線l的斜率，代入點斜式方程，整理即可得出答案.【詳解】設(shè)邊上的高所在的直線為，由已知可得，，所以直線l的斜率.又過，所以的方程為，整理可得，.2．（2023屆新疆摸底強基數(shù)學(xué)試題）已知，則線段AB的垂直平分線的一般方程為.【答案】【分析】先求出直線AB的斜率與AB的中點坐標(biāo)，由點斜式方程求解即可.【詳解】因為，所以直線AB的斜率為，所以AB的垂直平分線的斜率為，AB的中點坐標(biāo)為，故線段AB的垂直平分線的方程為：，化為一般式為：.3．（2023屆安徽省模擬數(shù)學(xué)試題）已知圓：和圓：的公共弦所在直線橫過定點P，若過點P的直線l被圓上截得的弦長為，則直線l的方程為．【答案】x＝2或y＝1【分析】兩圓方程相減，可得公共弦所在直線方程，從而得定點的坐標(biāo)，由題意知圓心到直線l的距離為1，設(shè)直線l的方程為，利用點到直線的距離公式求出m，然后驗證直線x＝2也滿足題意，即可得出答案.【詳解】兩圓方程相減，可得公共弦所在直線為，令，則，所以該直線過定點，過點P的直線l被圓上截得的弦長為時，圓心到直線l的距離為1，設(shè)直線l的方程為，所以，∴m＝0，直線l的方程為y＝1，顯然直線l的方程為x＝2時也滿足題意.考點三、直線方程的綜合應(yīng)用1．在平面直角坐標(biāo)系xOy(O為坐標(biāo)原點)中，不過原點的兩直線，的交點為P，過點O分別向直線，引垂線，垂足分別為M，N，則四邊形OMPN面積的最大值為（

）A．3 B． C．5 D．【答案】D【解析】由、的方程可得它們都過定點，，然后可得四邊形OMPN為矩形，且，然后可求出答案.【詳解】將直線的方程變形得，由，得，則直線過定點，同理可知，直線過定點，所以，直線和直線的交點P的坐標(biāo)為，易知，直線，如圖所示，易知，四邊形OMPN為矩形，且，設(shè)，，則，四邊形OMPN的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時，等號成立，因此，四邊形OMPN面積的最大值為.2．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)，為不同的兩點，直線l的方程為，，下面四個命題中的假命題為（

）A．存在唯一的實數(shù)δ，使點N在直線上B．若，則過M，N兩點的直線與直線l平行C．若，則直線經(jīng)過線段M，N的中點；D．若，則點M，N在直線l的同側(cè)，且直線l與線段M，N的延長線相交；【答案】A【分析】根據(jù)題意對一一分析，逐一驗證．【詳解】解：對于，化為：，即點，不在直線上，因此不正確．對于，，則，即過，兩點的直線與直線的斜率相等，又點，不在直線上，因此兩條直線平行，故正確；對于，，則，化為，因此直線經(jīng)過線段的中點，故正確；對于，，則，則點，在直線的同側(cè)，故正確；【點睛】本題考查了直線系方程的應(yīng)用、平行直線的判定、點與直線的位置關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．3．（2023年江蘇省模擬數(shù)學(xué)試題）已知?分別在直線與直線上，且，點，，則的最小值為.【答案】/【分析】利用線段的等量關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，找到最小值即為所求.【詳解】由直線與間的距離為得，過作直線垂直于，如圖，

則直線的方程為：，將沿著直線往上平移個單位到點，有，連接交直線于點P，過P作于Q，連接BQ，有，即四邊形為平行四邊形，則，即有，顯然是直線上的點與點距離和的最小值，因此的最小值，即的最小值，而，所以的最小值為=【點睛】思路點睛：（1）合理的利用假設(shè)可以探究取值的范圍，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S是驗證的必要過程.（2）轉(zhuǎn)化與劃歸思想是解決距離最值問題中一種有效的途徑.（3）數(shù)形結(jié)合使得問題更加具體和形象，從而使得方法清晰與明朗.1．在直角坐標(biāo)系中，全集，集合，已知集合A的補集所對應(yīng)區(qū)域的對稱中心為M，點P是線段（，）上的動點，點Q是x軸上的動點，則周長的最小值為（

）A．24 B． C．14 D．【答案】B【分析】根據(jù)集合可判斷出集合表示圓,再畫圖,根據(jù)做對稱點的方法轉(zhuǎn)換的周長,再求最小值即可.【詳解】∵點到直線的距離,∴直線始終與圓相切,∴集合A表示除圓以外所有的點組成的集合,∴集合表示圓,其對稱中心如圖所示：設(shè)是點關(guān)于直線線段（）的對稱點,設(shè),則由求得,可得.設(shè)關(guān)于x軸的對稱點為,易得,則直線,和線段的交點為P,則此時,的周長為,為最小值.【點睛】本題主要考查了點到直線距離公式的應(yīng)用以及“將軍飲馬”問題的應(yīng)用,需要根據(jù)題意作出對稱點,再轉(zhuǎn)換所求求最值即可.屬于難題.2．（2023屆上海市一模數(shù)學(xué)試題）設(shè)點滿足，則“”是“為定值”的（

）.A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)幾何意義，將所求式轉(zhuǎn)化為點到直線的距離，進(jìn)而研究圖像求解.【詳解】若為定值，即點到直線兩條直線距離之和為定值，顯然，這兩條直線平行，如圖，

所以當(dāng)點在與這兩條直線平行的直線上時，此時直線滿足且，即，且，為定值，所以“”是“為定值”的必要不充分條件.3．已知點P在直線上，點Q在直線，的中點為，且，則的取值范圍是．【答案】.【分析】先求出M的軌跡方程，結(jié)合可求.【詳解】設(shè)，則，兩式相加可得,由于的中點為,所以.設(shè)，則代入上式可得.因為，所以，解之得.故填.【點睛】本題主要考查代數(shù)式的取值范圍的求法，把多個變量化歸為一個變量是主要途徑.考點四、直線的平行與垂直1．（2024屆四川省模擬考試數(shù)學(xué)（文）試題）直線：與直線：平行，則（）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】由兩直線平行得到方程和不等式，求出答案.【詳解】由題意得，解得.2．（2023年浙江省聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）若曲線在點處的切線與直線垂直，則的值為（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】運用導(dǎo)數(shù)幾何意義及導(dǎo)數(shù)公式求得切線的斜率，結(jié)合兩直線垂直進(jìn)而求得a的值.【詳解】由題設(shè)，知處的切線的斜率為，又因為，所以，解得.3．（2023屆天津市二模數(shù)學(xué)試題）已知拋物線上一點到其焦點的距離為5，雙曲線的左頂點為A，若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行，則實數(shù)a的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由得拋物線方程，在拋物線上求得坐標(biāo)，再根據(jù)雙曲線一條漸近線與直線平行可得答案.【詳解】根據(jù)題意，拋物線上一點到其焦點的距離為5，則點到拋物線的準(zhǔn)線的距離也為5，即，解得，所以拋物線的方程為，則，所以，即M的坐標(biāo)為，又雙曲線的左頂點，一條漸近線為，而，由雙曲線的一條漸近線與直線平行，則有，解得.4．已知直線，，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由兩直線垂直得到，再代入消元利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】解：，則，∴，所以，二次函數(shù)的拋物線的對稱軸為，當(dāng)時，取最小值.1．（2023屆江西三?？荚嚁?shù)學(xué)（理）試題）若為實數(shù)，則“”是“直線與平行”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】C【分析】根據(jù)直線平行求得，結(jié)合充分、必要條件分析判斷.【詳解】若“直線與平行”，則，解得或，當(dāng)時，直線，，此時//，符合題意；當(dāng)時，直線，即，，此時，重合，不符合題意；綜上所述：“直線與平行”等價于.所以“”是“直線與平行”的充要條件.2．（2023屆黑龍江省一?？荚嚁?shù)學(xué)試題）若曲線在原點處的切線與直線垂直，則實數(shù)a的值是（

）A．3 B． C．1 D．0【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出在原點處的切線斜率，然后根據(jù)直線的垂直關(guān)系可得.【詳解】因為，所以，因為曲線在原點處的切線與直線垂直，所以直線的斜率不存在，即.3．（2023屆山東省三模數(shù)學(xué)試題）瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上．這條直線被稱為歐拉線．已知的頂點，，，若直線l：與的歐拉線平行，則實數(shù)a的值為（

）A．－2 B．－1 C．－1或3 D．3【答案】B【分析】根據(jù)三角形頂點坐標(biāo)得出重心與外心，求出三角形歐拉線，根據(jù)直線平行得解.【詳解】由的頂點，，知，重心為，即，又三角形為直角三角形，所以外心為斜邊中點，即，所以可得的歐拉線方程，即，因為與平行，所以，解得.4．已知、，直線，，且，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先由，可得，變形得，所以，化簡后利用基本不等式求解即可【詳解】因為、，直線，，且，所以，即，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，所以的最小值為.考點五、直線的交點與距離問題1．已知直線與直線相交于點P，點，O為坐標(biāo)原點，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件求出點P的軌跡，再借助幾何圖形，數(shù)形結(jié)合求解作答.【詳解】直線恒過定點，直線恒過定點，而，即直線與直線垂直，當(dāng)P與N不重合時，，，當(dāng)P與N重合時，，令點，則，，于是得，顯然點P與M不重合，因此，點P的軌跡是以原點為圓心，2為半徑的圓（除點M外），如圖，觀察圖形知，射線AP繞點A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到與圓O：相切時，最大，最大，因，為切線，點為切點，，，則，所以最大值為，.【點睛】思路點睛：涉及在垂直條件下求動點的軌跡問題，可以借助向量垂直的坐標(biāo)表示求解，以簡化計算，快捷解決問題.2．當(dāng)點到直線的距離最大時，m的值為（

）A．3 B．0 C． D．1【答案】C【分析】求得直線所過的定點，當(dāng)和直線垂直時，距離取得最大值，根據(jù)斜率乘積等于列方程，由此求得的值.【詳解】直線可化為，故直線過定點，當(dāng)和直線垂直時，距離取得最大值，故.【點睛】本小題主要考查含有參數(shù)的直線過定點的問題，考查點到直線距離的最值問題，屬于基礎(chǔ)題.3．（2023屆四川省統(tǒng)一監(jiān)測理科數(shù)學(xué)試題）若點是曲線上任意一點，則點到直線距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題知過點作曲線的切線，當(dāng)切線與直線平行時，點到直線距離的最小，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.【詳解】解：過點作曲線的切線，當(dāng)切線與直線平行時，點到直線距離的最小.設(shè)切點為，，所以，切線斜率為，由題知得或（舍），所以，，此時點到直線距離.4．傳說，意大利的西西里島有個山洞是用來關(guān)押罪犯的，罪犯們曾多次密謀商議逃跑，但不管多完美的計劃都會被獄警發(fā)現(xiàn)，原來山洞內(nèi)的空間是一個橢球體，最大截面部分是一個橢圓面，罪犯和獄警所待的地方正好是橢圓的兩個焦點，罪犯們說的話經(jīng)過洞壁的反射，最終都傳向了獄警所在的地方，即橢圓的另一個焦點，這里面含著橢圓的光學(xué)性質(zhì).請利用橢圓的該性質(zhì)解決下列問題：已知是橢圓：上的點.、是橢圓的左右焦點，，為坐標(biāo)原點，到橢圓在處的切線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出的坐標(biāo)，再求出的角平分線與的交點，從而可求切線方程，故可得到橢圓在處的切線的距離.【詳解】由橢圓的對稱性，不妨設(shè)在第一象限.由橢圓方程可得半焦距，故，且，因為，故，故即，所以，故即，故，所以，同理，設(shè)的平分線交軸于，則，故，故，故，由題設(shè)中的橢圓性質(zhì)可得過切線與垂直，故切線的斜率為，故切線的方程為：，故原點到切線的距離為.1．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)現(xiàn)，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線稱為歐拉線已知的頂點，若其歐拉線的方程為，則頂點的坐標(biāo)為A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)出點的坐標(biāo)，由重心坐標(biāo)公式求得重心，代入歐拉線得一方程，求出的垂直平分線，和歐拉線方程聯(lián)立求得三角形的外心，由外心到兩個頂點的距離相等得另一方程，兩方程聯(lián)立求得點的坐標(biāo)【詳解】設(shè)，由重心坐標(biāo)公式得，三角形的重心為代入歐拉線方程得：整理得：①的中點為，的中垂線方程為，即．聯(lián)立解得∴的外心為．則，整理得：②聯(lián)立①②得：或．當(dāng)時重合，舍去．∴頂點的坐標(biāo)是．【點睛】本題考查了直線方程，求直線方程的一般方法：①直接法：根據(jù)已知條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程形式，直接求出直線方程．②待定系數(shù)法：先設(shè)出直線的方程，再根據(jù)已知條件求出假設(shè)系數(shù)，最后代入直線方程，待定系數(shù)法常適用于斜截式，已知兩點坐標(biāo)等．2．（2021年全國新高考II卷數(shù)學(xué)試題）拋物線的焦點到直線的距離為，則（

）A．1 B．2 C． D．4【答案】B【分析】首先確定拋物線的焦點坐標(biāo)，然后結(jié)合點到直線距離公式可得的值.【詳解】拋物線的焦點坐標(biāo)為，其到直線的距離：，解得：(舍去).3．若點P是曲線上任意一點，則點P到直線的距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出平行于直線且與曲線相切的切點坐標(biāo)，再利用點到直線的距離公式，即可求解.【詳解】設(shè)平行于直線且與曲線相切的切線對應(yīng)切點為，由，則，令，解得或（舍去），故點P的坐標(biāo)為，故點P到直線的最小值為：.考點六、對稱問題1．點關(guān)于直線的對稱點是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)出對稱點，根據(jù)對稱關(guān)系列出式子即可求解.【詳解】解：設(shè)點關(guān)于直線的對稱點是，則有，解得，，故點關(guān)于直線的對稱點是.【點睛】方法點睛：關(guān)于軸對稱問題：（1）點關(guān)于直線的對稱點，則有；（2）直線關(guān)于直線的對稱可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱問題來解決.2．直線關(guān)于點對稱的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)對稱的直線方程上的一點的坐標(biāo)為,則其關(guān)于點對稱的點的坐標(biāo)為,代入已知直線即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)對稱的直線方程上的一點的坐標(biāo)為,則其關(guān)于點對稱的點的坐標(biāo)為，以代換原直線方程中的得，即.3．（2024屆廣東省摸底聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）漢代初年成書的《淮南萬畢術(shù)》記載：“取大鏡高懸，置水盆于下，則見四鄰矣”．這是中國古代入民利用平面鏡反射原理的首個實例，體現(xiàn)了傳統(tǒng)文化中的數(shù)學(xué)智慧．在平面直角坐標(biāo)系中，一條光線從點射出，經(jīng)軸反射后的光線所在的直線與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為（

）A． B．或1 C．1 D．2【答案】C【分析】由對稱性可知反射光線過且又在該圓上，即可得為切點，再由斜率乘積為即可求出答案.【詳解】易知關(guān)于軸的對稱點為，由平面鏡反射原理，反射光線所在的直線過且與該圓相切，將圓化簡后可得，所以圓心，易知在該圓上，所以即為切點，因此圓心與切點連線與反射光線垂直，設(shè)反射光線所在直線的斜率為，即，解得.1．點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)點關(guān)于線對稱的特點，利用中點坐標(biāo)公式及兩直線垂直的斜率的關(guān)系即可求解.【詳解】設(shè)點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)為，則，解得.所以點的坐標(biāo)為.2．（2020年山東省春季高考數(shù)學(xué)真題）直線關(guān)于點對稱的直線方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)對稱的直線方程上的一點的坐標(biāo)為,則其關(guān)于點對稱的點的坐標(biāo)為，代入已知直線即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)對稱的直線方程上的一點的坐標(biāo)為，則其關(guān)于點對稱的點的坐標(biāo)為，因為點在直線上，所以即.3．（2023屆廣東省二模數(shù)學(xué)試題）已知橢圓C：（），過點且方向向量為的光線，經(jīng)直線反射后過C的右焦點，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)過點且方向向量為的光線，經(jīng)直線的點為，右焦點為C，根據(jù)方向向量的直線斜率為，結(jié)合反射的性質(zhì)可得，再結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)列式求解即可.【詳解】設(shè)過點且方向向量為的光線，經(jīng)直線的點為，右焦點為C.因為方向向量的直線斜率為，則，，又由反射光的性質(zhì)可得，故，所以為等腰直角三角形，且到的距離為，又，故，，則，故，離心率.【基礎(chǔ)過關(guān)】1．經(jīng)過點A（3，4）且在兩坐標(biāo)軸上的截距絕對值相等的直線方程為（

）A．或 B．或或C．或 D．或或【答案】B【分析】根據(jù)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等進(jìn)行分類討論，設(shè)直線方程，求出每一種情況的直線方程即可.【詳解】①當(dāng)直線經(jīng)過原點時，斜率，所以直線方程為：，即；②當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等時，設(shè)直線方程為，將點代入，的，解得，所以直線方程為：，即；③當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)時，設(shè)直線方程為，將點代入，的，解得，所以直線方程為：，即；綜上所述，直線方程為：或或.2．已知直線l：在x軸上的截距的取值范圍是（，3），則其斜率的取值范圍是（

）A． B．或C．或 D．或【答案】D【分析】先求出含參數(shù)的直線所過定點坐標(biāo)，然后求出直線兩端點的斜率，畫出示意圖，寫出范圍即可.【詳解】已知直線l：(2+a)x+(a?1)y?3a=0，所以(x+y-3)a+2x-y=0，所以直線過點，由題知，在軸上的截距取值范圍是，所以直線端點的斜率分別為：，如圖：或.3．（2023年福建省模擬數(shù)學(xué)試題）若過點的直線與以點為端點的線段相交，則直線的傾斜角取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先在直角坐標(biāo)系中作出三點，再求出的斜率，進(jìn)而求出對應(yīng)的傾斜角，結(jié)合圖象可知直線的傾斜角的取值范圍.【詳解】如圖所示，設(shè)的傾斜角為，的傾斜角為，則所求直線的傾斜角的取值范圍為，易得，，又因為，所以，所以所求直線的傾斜角的取值范圍為..4．（2023屆上海市模擬數(shù)學(xué)試題）設(shè)點P是函數(shù)圖象上的任意一點，點P處切線的傾斜角為，則角的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出，令后可求，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的取值范圍可得的范圍，從而可得的取值范圍.【詳解】∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴或.5．（2023屆遼寧省三模數(shù)學(xué)試題）已知雙曲線C：的一條漸近線與直線垂直，則該雙曲線C的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】求出雙曲線C漸近線的方程，再由垂直關(guān)系列式，求出的關(guān)系計算離心率作答.【詳解】依題意，雙曲線C的漸近線方程為：，依題意，，于是，雙曲線C的實半軸長為，虛半軸長為，半焦距，所以雙曲線C的離心率.6．（2023屆貴州省診斷性考試（三）數(shù)學(xué)（文）試題）直線，直線，下列說法正確的是（

）A．，使得 B．，使得C．，與都相交 D．，使得原點到的距離為3【答案】B【分析】對A，要使，則，所以，解之再驗證即可判斷；對B，要使，，，解之再驗證即可判斷；對C，當(dāng)時，與重合，即可判斷；對D，根據(jù)點到直線距離列方程即可判斷.【詳解】對A，要使，則，所以，解之得，此時與重合，選項A錯誤；對B，要使，，，解之得，所以B正確；對C，過定點，該定點在上，但是當(dāng)時，與重合，所以C錯誤；對D，，化簡得，此方程，無實數(shù)解，所以D錯誤.7．（2023屆黑龍江省教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題）直線l經(jīng)過點，，若直線l與直線平行，則．【答案】/0.5【分析】由題意，利用兩直線平行的性質(zhì)，直線的斜率公式，求得m的值．【詳解】∵直線l經(jīng)過點，，且與直線平行，∴，求得.8．（2023屆河南省模擬（理科）數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)的圖象在點處的切線與直線互相垂直，則實數(shù)．【答案】【分析】對函數(shù)求導(dǎo)得到，從而得到在點處的切線斜率，根據(jù)條件結(jié)合兩直線垂直的斜率關(guān)系得到關(guān)于的方程，即可求解.【詳解】由題意得：，則在點處的切線斜率，又因為在點處的切線與直線互相垂直，且直線的斜率為，所以，解得：.9．已知直線恒過定點，點也在直線上，其中，均為正數(shù)，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．8 D．6【答案】B【分析】先將直線方程變形得到定點的坐標(biāo)，根據(jù)點在直線上確定出所滿足的關(guān)系，最后根據(jù)“”的妙用求解出的最小值.【詳解】已知直線整理得：，直線恒過定點，即.點也在直線上，所以，整理得：，由于，均為正數(shù)，則,取等號時，即，【點睛】方法點睛：已知，求的最小值的方法：將變形為，將其展開可得，然后利用基本不等式可求最小值，即，取等號時.10．（2023年河南省模擬考試數(shù)學(xué)試題）直線關(guān)于點對稱的直線方程為（

）A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0【答案】B【分析】首先設(shè)對稱直線上任意一點，得到關(guān)于對稱點為，再代入直線即可得到答案。【詳解】設(shè)直線關(guān)于點對稱的直線上任意一點，則關(guān)于對稱點為，又因為在上，所以，即.11．已知直線：恒過點，過點作直線與圓C：相交于A，B兩點，則的最小值為（

）A． B．2 C．4 D．【答案】A【分析】寫出直線的定點坐標(biāo)并判斷與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而確定最小時直線與直線的位置關(guān)系，即可得結(jié)果.【詳解】由恒過，又，即在圓C內(nèi)，要使最小，只需圓心與的連線與該直線垂直，所得弦長最短，由，圓的半徑為5，所以.12．已知直線過定點，則點關(guān)于對稱點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)直線方程得到定點A的坐標(biāo)，設(shè)其關(guān)于的對稱點坐標(biāo)，列出方程組，解之即可.【詳解】直線即，故，設(shè)點關(guān)于的對稱點坐標(biāo)為．則解得．點關(guān)于的對稱點坐標(biāo)為．13．直線ax＋y＋3a－1＝0恒過定點M，則直線2x＋3y－6＝0關(guān)于點M對稱的直線方程為（

）A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0 C．3x－2y－6＝0 D．2x＋3y＋6＝0【答案】B【分析】先求出定點M的坐標(biāo)，再設(shè)出與直線2x＋3y－6＝0關(guān)于點M對稱的直線方程，利用點到直線距離公式求出答案.【詳解】由ax＋y＋3a－1＝0得，由，得，∴M（－3，1）．設(shè)直線2x＋3y－6＝0關(guān)于點M對稱的直線方程為，∴，解得:C＝12或C＝－6（舍去），∴直線2x＋3y－6＝0關(guān)于點M對稱的直線方程為2x＋3y＋12＝0．14．直線被圓O；截得的弦長最短，則實數(shù)m=.【答案】1【分析】求出直線MN過定點A（1,1），進(jìn)而判斷點A在圓內(nèi)，當(dāng)時，|MN|取最小值，利用兩直線斜率之積為-1計算即可.【詳解】直線MN的方程可化為，由，得，所以直線MN過定點A（1，1），因為，即點A在圓內(nèi).當(dāng)時，|MN|取最小值，由，得，∴.15．設(shè)，過定點的動直線和過定點的動直線相交于點不重合），則面積的最大值是（

）A． B．5 C． D．【答案】D【分析】由題意結(jié)合直線位置關(guān)系的判斷可得兩直線互相垂直，由直線過定點可得定點與定點，進(jìn)而可得，再利用基本不等式及三角形面積公式即得．【詳解】由題意直線過定點，直線可變?yōu)?，所以該直線過定點，所以，又，所以直線與直線互相垂直，所以，所以即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,所以，，即面積的最大值是.【能力提升】1．（2023屆湖南省教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測（三）數(shù)學(xué)試題）寫出與圓和都相切的一條直線方程．【答案】或中任何一個答案均可【分析】先判斷兩圓的位置關(guān)系，可知公切線斜率存在，方程可設(shè)為，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑列出方程組，解之即可得出答案.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，則，所以兩圓外離，由兩圓的圓心都在軸上，則公切線的斜率一定存在，設(shè)公切線方程為，即，則有，解得或或或所以公切線方程為或.故答案為：.（答案不唯一，寫其它三條均可）2．動直線分別與直線，曲線相交于兩點，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】當(dāng)點處的切線和直線平行時，的值最小，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和解析式求得點，再由點到直線距離公式即可求解.【詳解】設(shè)點是直線上任意一點﹐點是曲線上任意一點，當(dāng)點處的切線和直線平行時，這兩條平行線間的距離的值最小﹐因為直線的斜率等于，曲線的導(dǎo)數(shù)，令，可得或(舍去)，故此時點的坐標(biāo)為，.3．已知，，的最小值為（

）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】設(shè)是函數(shù)圖象上的點，是函數(shù)上的點，把看成，利用幾何法判斷出當(dāng)與直線平行且與的圖象相切時，切點到直線的距離為的最小值，即可求解.【詳解】可以轉(zhuǎn)化為：是函數(shù)圖象上的點，是函數(shù)上的點，.當(dāng)與直線平行且與的圖象相切時，切點到直線的距離為的最小值.令，解得或，（舍去），又，所以切點到直線的距離即為的最小值.所以，所以.【點睛】方法點睛：距離的計算方法有兩類：（1）幾何法：利用幾何圖形求最值；（2）代數(shù)法：把距離表示為函數(shù)，利用函數(shù)求最值.4．（2023-2024學(xué)年江蘇省質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題）若直線l：與曲線C：有兩個交點，則實數(shù)k的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)題意分析可得曲線C是以為圓心，1為半徑的右半圓，結(jié)合圖象分析求解.【詳解】因為，可得，且，所以曲線C是以為圓心，1為半徑的右半圓，直線l：過定點，斜率為，如圖所示：

當(dāng)直線l過時，可得；當(dāng)直線l：與曲線C相切，則，解得；所以實數(shù)k的取值范圍是.5．（2023屆江西省模擬（文科）數(shù)學(xué)試題）已知拋物線的焦點為，傾斜角為的直線過點，且與拋物線交于兩點，，設(shè)直線的斜率分別為，則．【答案】0【分析】當(dāng)直線l的斜率時，設(shè)直線l的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理得出.【詳解】由題意，設(shè)其傾斜角為，,故，則，故l的方程為，與的方程聯(lián)立得，顯然，設(shè)，則，所以，.6．在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與圓交于A，B兩點，若鈍角的面積為，則實數(shù)a的值是．【答案】/【分析】由鈍角的面積為，求得，得到，進(jìn)而求得圓心到直線的距離為1，結(jié)合點到直線的距離公式，列出方程，即可求解．【詳解】解：由圓，即，可得圓心坐標(biāo)為，半徑為，因為鈍角的面積為，可得，解得，因為，所以，可得，設(shè)圓心到直線的距離為，又由圓的弦長公式，可得，解得，根據(jù)點到直線的距離公式，解得．7．（2023屆湖北省調(diào)研數(shù)學(xué)試題）若兩條直線與圓的四個交點能構(gòu)成矩形，則.【答案】8【分析】由題意知圓心到兩直線的距離相等，得到等量關(guān)系求解即可.【詳解】由題意直線平行，且與圓的四個交點構(gòu)成矩形，則可知圓心到兩直線的距離相等，由圓的圓心為：，圓心到的距離為：，圓心到的距離為：，所以，由題意，所以.8．過點的直線與橢圓交于點和，且.點滿足，若為坐標(biāo)原點，則線段長度的最小值為.【答案】【分析】利用向量數(shù)乘的坐標(biāo)運算可得，由此可求得點軌跡為直線，將問題轉(zhuǎn)化為原點到直線距離的求解即可.【詳解】設(shè)，，，，，，，由，得：，，兩式相乘得：，同理可得：，，由題意知：且，否則與矛盾，，點軌跡為，即直線，線段長度的最小值即為原點到直線的距離，.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題關(guān)鍵是能夠利用向量坐標(biāo)運算求得動點的軌跡方程，根據(jù)軌跡為直線可將問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)原點到直線距離的求解.9．已知直線過定點A，直線過定點B，與的交點為C，則的最大值為.【答案】【分析】由已知直線方程可得、且、相互垂直，進(jìn)而可知的軌跡是以為直徑的圓，令則且，利用基本不等式求的最大值，注意等號成立條件，即可知的最大值.【詳解】由，則過定點，由，則過定點，顯然，即、相互垂直，而與的交點為C，所以的軌跡是以為直徑的圓，且圓心為、半徑為，令，則，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最大為.10．（2023屆福建省考前最后一卷數(shù)學(xué)試題）已知圓C：，直線l的橫縱截距相等且與圓C相切﹐則直線l的方程為．【答案】，或，或【分析】對切線的是否過原點進(jìn)行分類討論，設(shè)出直線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，求出參數(shù)的值，即可得出直線的方程.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，因為直線l的橫縱截距相等，所以直線的斜率存在，當(dāng)直線過原點時，設(shè)直線的方程為，因為直線l與圓C相切，此時圓心到直線的距離等于半徑，可得，解得，所以切線方程為；當(dāng)直線不過原點時，設(shè)直線的方程為，因為直線l與圓C相切，此時圓心到直線的距離等于半徑，可得，解得，所以切線方程為或，綜上所述，直線l的方程為，或，或.11．（2022年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)模擬測試（新高考））阿基米德（公元前287年——公元前212年）是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，不僅在物理學(xué)方面貢獻(xiàn)巨大，還享有“數(shù)學(xué)之神”的稱號．拋物線上任意兩點A、B處的切線交于點P，稱為“阿基米德三角形”．已知拋物線C：的焦點為F，過A、B兩點的直線的方程為，關(guān)于“阿基米德三角形”，下列結(jié)論正確的是.①． ②．③．點P的坐標(biāo)為 ④．【答案】①②④【分析】由直線方程與拋物線方程聯(lián)立，解得兩點的坐標(biāo)，計算線段的長判斷①，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，由切線斜率關(guān)系判斷②，兩切線方程聯(lián)立求得交點的坐標(biāo)判斷③，由直線的斜率關(guān)系判斷④.【詳解】設(shè)，，聯(lián)立，可得，解得或，不妨設(shè)，，則，，故，，，①項