高等數(shù)學(xué)（上冊）（慕課版）第4講函數(shù)的微分第2章導(dǎo)數(shù)與微分01微分的概念02微分的幾何意義03微分的計算04微分的應(yīng)用本講內(nèi)容定義2.43，內(nèi)有定義設(shè)函數(shù)的某鄰域在，若函數(shù)增量可表示為(2.4)其中A是不依賴于的常數(shù)，而是可微的.那么稱函數(shù)在點(diǎn)高階的無窮小，是比叫做函數(shù)在而01微分的概念的微分，相應(yīng)于自變量增量點(diǎn)記作dy|x=x0或

df(x)|x=x0，即注4(2)很小時，.若，則稱為函數(shù)的微分.01微分的概念(1)稱為的線性主部，即.5函數(shù)在處可微在處可導(dǎo)，且函數(shù)在點(diǎn)的微分，記作規(guī)定，則函數(shù)在任意點(diǎn)x的微分，顯然，函數(shù)的微分與

和有關(guān).定理2.6記作01微分的概念6

.

解

例1

由，當(dāng)

x=2時，

求函數(shù)01微分的概念在

x=2處的微分.7

解

例201微分的概念已知函數(shù)

求：(1)函數(shù)的微分；(2)函數(shù)在

x=1處的微分；(3)函數(shù)在

x=1處，當(dāng)Δx=0.02時的微分.(1)(2)(3)101微分的概念02微分的幾何意義03微分的計算04微分的應(yīng)用本講內(nèi)容M0NPQTO注意9“以直代曲”數(shù)學(xué)思想當(dāng)曲線在點(diǎn)處的橫坐標(biāo)有增量時，時其縱坐標(biāo)的增量，就是曲線切線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)相應(yīng)增量.當(dāng)很小時，02微分的幾何意義10當(dāng)充分小，時，函數(shù)的改變量與微分的關(guān)系時（）.若可微，當(dāng)時，在點(diǎn)x處是關(guān)于的（）.A.高階無窮小B.等價無窮小C.同階無窮小D.低階無窮小例2和例3都是考查對微分定義的理解，由定義知例2中選項(xiàng)D正確；例3中選項(xiàng)A正確.

例3

例4

解02微分的幾何意義01微分的概念02微分的幾何意義03微分的計算04微分的應(yīng)用本講內(nèi)容1.基本初等函數(shù)的微分公式1203微分的計算1.基本初等函數(shù)的微分公式1303微分的計算1.基本初等函數(shù)的微分公式1403微分的計算2.函數(shù)的和、差、積、商的微分法則1503微分的計算3.復(fù)合函數(shù)的微分法則——微分的形式不變性16設(shè)，都可導(dǎo)，為或?qū)憺椋夯蛴纱丝梢?，對于可微函?shù)，微分形式保持不變，則復(fù)合函數(shù)的微分無論u是自變量還是中間變量，稱為微分形式不變性.03微分的計算17求下列函數(shù)的微分或給定點(diǎn)處的微分．（1），求；

（2），求；（3），求及．

例503微分的計算18（1）解法一

解法二

由一階微分的形式不變性得

解（1），求；

03微分的計算19（2）解法一

解法二

由微分的乘法法則和一階微分的形式不變性得

解（2），求；03微分的計算20

解（3）因?yàn)樗?，．?），求及．

03微分的計算21

求函數(shù)的微分，可以先求導(dǎo)，再乘以；也可以直接利用微分運(yùn)算法則和一階微分

形式不變性求解．注意03微分的計算01微分的概念02微分的幾何意義03微分的計算04微分的應(yīng)用本講內(nèi)容注意23函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，且很小時，或“微分在近似計算中的應(yīng)用”考研大綱不作要求.04微分的應(yīng)用24

（受熱金屬球體積的改變量）半徑為10cm的實(shí)心金屬球受熱后，半徑伸長了0.05cm，求體積增大的近似值．

該題是求函數(shù)改變量的問題．

，

此時，，則由（2.6）式得

，

即體積增大的近似值為．

，半徑為，則設(shè)金屬球的體積為

例6

解所以.04微分的應(yīng)用25

，

此時，，則由(2.6)式,得

，

，半徑為，則設(shè)金屬球的體積為

例7

解04微分的應(yīng)用2有一批半徑為1cm的球，為了提高球面的光潔度，要鍍上一層銅，厚度為0.02m.問：每個球大約需要用多少克銅?(銅的密度是8.9g/cm3)所以故每個球大約需要用2.26g銅.26利用微分近似計算．

設(shè)，取，，

代入微分近似計算公式（2.7）得

．

，則有

例8

解04微分的應(yīng)用27

例9

解04微分的應(yīng)用3計算

的近似值.取，設(shè)

f(x)sinx，則

f′(x)cosx.，代入微分近似計算公式，得28求函數(shù)的微分.原式等價于，對x求導(dǎo)得化簡整理得，即，所以.

解

例1004微分的應(yīng)用29

例11

解所以設(shè)函數(shù)，其中可微，求04微分的應(yīng)用30

例12

解設(shè)函數(shù)由方程所確定，求兩邊對x求導(dǎo)，得把代