習題課第10章重積分及其應(yīng)用主講教師|高等數(shù)學（下冊）（慕課版）2習題課解??例1令

則求

3

習題課4解??例2(2013304)設(shè)Dk是圓域

在第??象限的部分,記

則（）A.I1>0B.I2>0C.I3>0D.I4>0在四個象限的積分區(qū)域中,只有在第二象限中y>0,x<0,y-x>0始終成立,由此可知,故應(yīng)選B.習題課5【方法歸納】與一元函數(shù)定積分類似,二重積分也是一種特殊和式的極限,利用定義可以方便地計算一類特殊和式的極限,將所要求的極限問題轉(zhuǎn)化成二重積分,利用對二重積分的計算進而達到對極限的求解.此外,需要熟練掌握二重積分的相關(guān)性質(zhì),遇到比較大小或判斷積分符號時,往往需要用到二重積分的性質(zhì)來進行作答.習題課6解??例3(2010210)計算

其中

將積分區(qū)域改為直角坐標形式,則

習題課

7

令

習題課8??例4習題課B．

A．

(2014104)設(shè)f(x,y)是連續(xù)函數(shù),則

9習題課C．

D．

10解選擇極坐標,得

習題課

11若為直角坐標,則

故應(yīng)選D.

習題課12??例5A．(2015304)設(shè)

習題課函數(shù)f(x,y)在上連續(xù),則

()13習題課B．

C．

D．

14解此題考查將二重積分轉(zhuǎn)化為極坐標下的累次積分.如圖10.3所示,可知應(yīng)選B.圖10.3習題課15【方法歸納】（1）計算二重積分一般要遵循以下步驟.①畫出D的圖形,并把邊界曲線方程標出.②確定D的類型,如果是混合型區(qū)域,則需把D分成幾部分.③把D按X型區(qū)域或Y型區(qū)域表示出來,這一步是整個二重積分計算的關(guān)鍵.④把二重積分化為二次積分并計算.習題課16（2）二重積分的計算方法主要取決于積分區(qū)域的特點,往往需要根據(jù)積分區(qū)域的特點來選擇合適的坐標系進行計算.此外,我們還需要考慮改變積分次序.習題課17??例6(2012310)計算二重積分

其中D是以曲線

和

及??軸為邊界的無界區(qū)域.解由題意知,區(qū)域

習題課18

習題課??例7其中區(qū)域D由曲線與極軸圍成.

(2012210)計算二重積分

19解根據(jù)題意,令則

習題課20

習題課21解??例8(2012204)設(shè)區(qū)域D由曲線

圍成,則

故應(yīng)選D.

習題課

（

）22??例9解(2014210,2014310)設(shè)平面區(qū)域

計算

積分區(qū)域D關(guān)于y=x對稱,利用輪換對稱性,得

習題課23

習題課24

習題課25??例10(2015210,2015310)計算二重積分

其中

解

習題課26令

令

習題課27??例11

與

解習題課設(shè)D是由直線y=1,y=x,y=-x圍成的有界區(qū)域,計算二重積分

因為D關(guān)于y軸對稱,而關(guān)于??為偶函數(shù),所以有

28

習題課

29

習題課30

習題課31??例12(2016110)已知

計算二重積分

解

習題課32

習題課

33

習題課

34??例13解(2017210)已知平面區(qū)域

計算二重積分

令

,則有

習題課35

習題課36??例14解(2018310)設(shè)平面區(qū)域D由曲線

與直線

及y軸圍成,計算二重積分

故

習題課37??例15解設(shè)

計算

其中

令

則

習題課38【方法歸納】二重積分的計算是考研數(shù)學比較常見的考題,一般有以下3種類型.(1)用直角坐標法、極坐標法計算的普通二重積分；(2)分段函數(shù)的二重積分；(3)廣義二重積分.習題課39??例16解計算

其中Ω由

與??=2圍成.方法1截面法(或稱切片法、先二后一法)設(shè)

其中

則

習題課40解法2鉛直投影法(或稱先一后二法).設(shè)

其中

則

習題課41

習題課42??例17解設(shè)f(u)可微,且f(0)=0求

其中

令

則習題課43則

則

習題課44【方法歸納】計算三重積分時,要熟練運用截面法和鉛直投影法.根據(jù)被積函數(shù)或積分區(qū)域的特點,選擇合適的坐標系進行計算.習題課45??例18解求由

及

圍成的均勻幾何體Ω的重心坐標設(shè)重心坐標為

由對稱性得

下面求

方法1截面法(或稱切片法、先二后一法).令

其中

習題課46則

故重心坐標公式為