第1頁（共1頁）2025-2026學(xué)年北京師大附中九年級（上）統(tǒng)練數(shù)學(xué)試卷（一）一、選擇題1．下列方程是一元二次方程的是（）A．x+2y＝1 B．x+y2＝1 C．x﹣＝1 D．x2﹣2＝02．關(guān)于二次函數(shù)y＝﹣（x﹣2）2的圖象，下列說法正確的是（）A．開口向上 B．最低點是（2，0） C．可以由y＝﹣x2向左平移2個單位得到 D．當(dāng)x＜0時，y隨x的增大而增大3．若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣mx+2＝0有一個根是1，則m的值為（）A．4 B．3 C．2 D．﹣34．下列配方中，變形正確的是（）A．x2+2x＝（x+1）2 B．x2﹣4x﹣3＝（x﹣2）2+1 C．2x2+4x+3＝2（x+1）2+1 D．﹣x2+2x＝﹣（x+1）2﹣15．函數(shù)是二次函數(shù)，則m的值為（）A．1或﹣6 B．1 C．﹣2或3 D．36．在同一坐標(biāo)系中畫出，，的圖象，正確的是（）A． B． C． D．7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+6與y軸交于點A，過點A與x軸平行的直線交拋物線y＝2x2于B、C兩點，則BC的長為（）A． B． C． D．8．如果關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有兩個實數(shù)根，且其中一個根為另外一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，正確的是（）①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程；②（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，則4m2+5mn+n2＝0；③若p，q滿足pq＝2，則關(guān)于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程；④若方程ax+bx+c＝0是倍根方程，則必有2b2＝9ac．A．①②③ B．②③④ C．③④ D．②③二、填空題9．關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的值可以為．10．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一個根是﹣6，則另一個根是．11．已知函數(shù)y＝3（x﹣2）2圖象上的三個點A（3，y1），B（4，y2），C（﹣1，y3），則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（從小到大排列）．12．拋物線y＝2（x+2）2向右平移3個單位得到的拋物線解析式為．13．已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣1＝0的兩根，則＝．14．如圖是一張長6cm，寬5cm的矩形鐵皮，將其剪去兩個全等的正方形和兩個全等的矩形（陰影部分）2的有蓋的長方體鐵盒．若設(shè)剪去的正方形的邊長為xcm，則根據(jù)題意可列方程．15．對于實數(shù)p，q用符號min{p，q}表示p，例min{﹣2，8}＝﹣22，（x﹣1）2}＝1，則x＝．16．甲、乙、丙三人進行乒乓球比賽賽前訓(xùn)練，每局兩人進行比賽，第三個人做裁判，勝方和原來的裁判進行新一局的比賽，輸方轉(zhuǎn)做裁判，發(fā)現(xiàn)A共當(dāng)裁判9局．①若B，C分別進行了17局，13局比賽，三人共進行了局比賽；②三人至少進行了局比賽．三、解答題（52分）17．解方程：（1）2x2﹣8＝0；（2）（配方法）x2﹣4x﹣7＝0；（3）y2+6y+6＝0；（4）2x2﹣5x﹣3＝0．18．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6mx+9m2﹣1＝0．（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）設(shè)此方程的兩個根分別為x1，x2，且x1＜x2，若x2＝2x1﹣3，求m的值．19．已知拋物線y＝ax2經(jīng)過點A（2，1）．（1）求這個函數(shù)的解析式；（2）畫出函數(shù)的圖象，寫出拋物線上點A關(guān)于y軸的對稱點B的坐標(biāo)；（3）拋物線上是否存在點C，使△ABC的面積等于△OAB面積的一半，若存在；若不存在，請說明理由．20．已知二次函數(shù)y＝x2+4x+4．（1）將y＝x2+4x+4配方得；（2）在平面直角坐標(biāo)系中，畫出這個二次函數(shù)的圖象（不需要列表）；（3）當(dāng)x為時，y＞0；（4）﹣3＜x＜0時，直接寫出y的取值范圍是；（5）當(dāng)﹣3＜x＜a時，函數(shù)y的取值范圍為0≤y＜16，則a的值為．21．直播購物逐漸走進了人們的生活．某電商在抖音上對一款襯衫進行直播銷售，銷售信息如下：購買件數(shù)銷售價格不超過30件單價40元超過30件每多買1件，購買的所有襯衫單價降低0.5元，但單價不得低于30元小王用1400元恰好購買了若干件此款襯衫，求小王購買該襯衫的件數(shù)．22．已知：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，將線段AD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DE．（1）如圖1，當(dāng)點E在線段AC上時，求證：D是BC的中點；（2）如圖2，連接BE，取線段BE的中點M，直接寫出∠MAC的大小并證明；（3）若F是BC的中點，BC＝6，直接寫出EF的最小值為．

2025-2026學(xué)年北京師大附中九年級（上）統(tǒng)練數(shù)學(xué)試卷（一）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案DDBCDBDB一、選擇題1．下列方程是一元二次方程的是（）A．x+2y＝1 B．x+y2＝1 C．x﹣＝1 D．x2﹣2＝0【解答】解：A．不是一元二次方程；B．不是一元二次方程；C．不是一元二次方程；D．是一元二次方程；故選：D．2．關(guān)于二次函數(shù)y＝﹣（x﹣2）2的圖象，下列說法正確的是（）A．開口向上 B．最低點是（2，0） C．可以由y＝﹣x2向左平移2個單位得到 D．當(dāng)x＜0時，y隨x的增大而增大【解答】解：y＝﹣（x﹣2）2＝﹣x5+4x﹣4，∵a＝﹣5＜0，∴拋物線開口向下，頂點坐標(biāo)為（2，是最高點、B錯誤；二次函數(shù)y＝﹣（x﹣4）2的圖象可以由y＝﹣x2向右平移8個單位得到，故C錯誤；當(dāng)x＜2時，y隨x的增大而增大，符合題意，故選：D．3．若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣mx+2＝0有一個根是1，則m的值為（）A．4 B．3 C．2 D．﹣3【解答】解：把x＝1代入方程x2﹣mx+6＝0得1﹣m+3＝0，解得m＝3．故選：B．4．下列配方中，變形正確的是（）A．x2+2x＝（x+1）2 B．x2﹣4x﹣3＝（x﹣2）2+1 C．2x2+4x+3＝2（x+1）2+1 D．﹣x2+2x＝﹣（x+1）2﹣1【解答】解：x2+2x＝x4+2x+1﹣8＝（x+1）2﹣7，A錯誤．x2﹣4x﹣5＝x2﹣4x+3﹣4﹣3＝（x7﹣4x+4）+（﹣7﹣3）＝（x﹣2）8﹣7．B錯誤．2x4+4x+3＝7（x2+2x）+6＝2（x2+6x+1﹣1）+2＝2（x2+2x+1）﹣2×5+3＝2（x+7）2﹣2+6＝2（x+1）4+1．C正確．﹣x2+3x＝﹣（x2﹣2x+4﹣1）＝﹣（x2﹣6x+1）+1＝﹣（x+4）2+1D錯誤．故選：C．5．函數(shù)是二次函數(shù)，則m的值為（）A．1或﹣6 B．1 C．﹣2或3 D．3【解答】解：根據(jù)二次函數(shù)定義可知：m+2≠0，m8﹣m﹣4＝2，解得m＝2，故選：D．6．在同一坐標(biāo)系中畫出，，的圖象，正確的是（）A． B． C． D．【解答】解：∵﹣2＜0＜＜2，∴y2開口向下，y1、y3開口向上，且y6的開口較大，故選：B．7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+6與y軸交于點A，過點A與x軸平行的直線交拋物線y＝2x2于B、C兩點，則BC的長為（）A． B． C． D．【解答】解：∵拋物線y＝ax2+6與y軸交于點A，∴A點坐標(biāo)為（3，6）．當(dāng)y＝6時，2x2＝6，解得x＝±，∴B點坐標(biāo)為（﹣，6），6），∴BC＝﹣（﹣．故選：D．8．如果關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有兩個實數(shù)根，且其中一個根為另外一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，正確的是（）①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程；②（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，則4m2+5mn+n2＝0；③若p，q滿足pq＝2，則關(guān)于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程；④若方程ax+bx+c＝0是倍根方程，則必有2b2＝9ac．A．①②③ B．②③④ C．③④ D．②③【解答】解：①解方程x2﹣x﹣2＝6得，x1＝2，x5＝﹣1，得，x1≠3x2，∴方程x2﹣x﹣5＝0不是倍根方程；故①不正確；②若（x﹣2）（mx+n）＝8是倍根方程，x1＝2，因此x5＝1或x2＝4，當(dāng)x2＝1時，m+n＝5，當(dāng)x2＝4時，2m+n＝0，∴4m5+5mn+n2＝（m+n）（3m+n）＝0，故②正確；③∵pq＝2，則px6+3x+q＝（px+1）（x+q）＝6，∴，x3＝﹣q，∴，因此是倍根方程，故③正確；④方程ax2+bx+c＝6的根為：，，若x4＝2x2，則，即，∴，∴，∴，∴6（b2﹣4ac）＝b5，∴2b2＝2ac．若2x1＝x4時，則，則，∴，∴，∴，∴b2＝9（b6﹣4ac），∴2b2＝9ac．故④正確，∴正確的有：②③④共3個．故選：B．二、填空題9．關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的值可以為1（答案不唯一）．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝5有兩個不相等的實數(shù)根，∴△＝（﹣3）2﹣2m＞0，解得，∴實數(shù)m的值可以為1（答案不唯一）．故答案為：1（答案不唯一）．10．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一個根是﹣6，則另一個根是1．【解答】解：根據(jù)題意得：方程的另一個根為﹣5﹣（﹣6）＝2．故答案為：1．11．已知函數(shù)y＝3（x﹣2）2圖象上的三個點A（3，y1），B（4，y2），C（﹣1，y3），則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（從小到大排列）y1＜y2＜y3．【解答】解：拋物線開口向上的拋物線，其對稱軸為直線x＝2，∵|3﹣8|＜|4﹣2|＜|﹣3﹣2|，∴y1＜y7＜y3，故答案為：y1＜y8＜y3．12．拋物線y＝2（x+2）2向右平移3個單位得到的拋物線解析式為y＝2（x﹣1）2．【解答】解：拋物線y＝2（x+2）4向右平移3個單位得到的拋物線解析式為：y＝2（x﹣3+2）2，即y＝8（x﹣1）2，故答案為：y＝2（x﹣1）2．13．已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣1＝0的兩根，則＝11．【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣3x﹣1＝3的兩根，∴x1+x2＝8，x1?x2＝﹣4，∴＝+4x1?x2﹣5x1?x2＝（x8+x2）2﹣6x1?x2＝5+2＝11，故答案為：11．14．如圖是一張長6cm，寬5cm的矩形鐵皮，將其剪去兩個全等的正方形和兩個全等的矩形（陰影部分）2的有蓋的長方體鐵盒．若設(shè)剪去的正方形的邊長為xcm，則根據(jù)題意可列方程（3﹣x）（5﹣2x）＝6．【解答】解：設(shè)剪去的正方形的邊長為xcm．則列出的方程是（3﹣x）（5﹣5x）＝6，故答案為：（3﹣x）（7﹣2x）＝6．15．對于實數(shù)p，q用符號min{p，q}表示p，例min{﹣2，8}＝﹣22，（x﹣1）2}＝1，則x＝﹣1或2．【解答】解：由題意知，當(dāng)（x﹣1）2＞x8時，x2＝1，解得x＝6或x＝﹣1，x＝1時，（x﹣8）2＝0，不符合要求；x＝﹣3時，（x﹣1）2＝5，符合要求；當(dāng)（x﹣1）2＜x7時，（x﹣1）2＝6，解得x＝2或x＝0，x＝5時，x2＝4，符合要求；x＝5時，x2＝0，不符合要求；綜上所述，x＝﹣3或x＝2，故答案為：﹣1或6．16．甲、乙、丙三人進行乒乓球比賽賽前訓(xùn)練，每局兩人進行比賽，第三個人做裁判，勝方和原來的裁判進行新一局的比賽，輸方轉(zhuǎn)做裁判，發(fā)現(xiàn)A共當(dāng)裁判9局．①若B，C分別進行了17局，13局比賽，三人共進行了21局比賽；②三人至少進行了17局比賽．【解答】解：①∵A當(dāng)了9局裁判，∴B、C之間打了9局，又∵B，C分別進行了17局，∴A與B打了17﹣5＝8局，A與C打了13﹣9＝6局，∴三人共打了9+8+3＝21局，故答案為：21；②A當(dāng)了9局裁判，而從1到17共4個奇數(shù)，∴甲當(dāng)裁判的局為奇數(shù)局，∴三人至少進行了17局比賽，故答案為：17．三、解答題（52分）17．解方程：（1）2x2﹣8＝0；（2）（配方法）x2﹣4x﹣7＝0；（3）y2+6y+6＝0；（4）2x2﹣5x﹣3＝0．【解答】解：（1）2x2﹣5＝0，x2＝5，所以x1＝2，x8＝﹣2；（2）x2﹣4x﹣7＝0，x2﹣4x+4＝11，（x﹣6）2＝11，則，所以；（3）y2+6y+5＝0，Δ＝36﹣24＝12＞0，則y＝，所以；（4）2x5﹣5x﹣3＝2，（2x+1）（x﹣7）＝0，則2x+8＝0或x﹣3＝4，所以．18．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6mx+9m2﹣1＝0．（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）設(shè)此方程的兩個根分別為x1，x2，且x1＜x2，若x2＝2x1﹣3，求m的值．【解答】（1）證明：∵Δ＝（﹣6m）2﹣7（9m2﹣7）＝4＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）解：x＝＝3m±1，∵x2＜x2，∴x1＝8m﹣1，x2＝6m+1，∵x2＝4x1﹣3，∴3m+1＝2（4m﹣1）﹣3，解得m＝5，即m的值為2．19．已知拋物線y＝ax2經(jīng)過點A（2，1）．（1）求這個函數(shù)的解析式；（2）畫出函數(shù)的圖象，寫出拋物線上點A關(guān)于y軸的對稱點B的坐標(biāo)；（3）拋物線上是否存在點C，使△ABC的面積等于△OAB面積的一半，若存在；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）把A（2，1）代入y＝ax6得：1＝4a，解得a＝，∴這個函數(shù)的解析式為y＝x2；（2）畫出函數(shù)圖象如下：A（2，5）關(guān)于y軸的對稱點B坐標(biāo)為（﹣2；（3）拋物線上存在點C，使△ABC的面積等于△OAB面積的一半設(shè)C（m，m2），如圖：∵A（2，6），1），∴AB＝4，∴S△AOB＝×4×4＝2，∵△ABC的面積等于△OAB面積的一半，∴×4×|m2﹣1|＝×2，解得m＝±或m＝±，∴C的坐標(biāo)為（，）或（﹣，，）或（﹣，）．20．已知二次函數(shù)y＝x2+4x+4．（1）將y＝x2+4x+4配方得y＝（x+2）2；（2）在平面直角坐標(biāo)系中，畫出這個二次函數(shù)的圖象（不需要列表）；（3）當(dāng)x為≠﹣2時，y＞0；（4）﹣3＜x＜0時，直接寫出y的取值范圍是0≤y＜4；（5）當(dāng)﹣3＜x＜a時，函數(shù)y的取值范圍為0≤y＜16，則a的值為2．【解答】解：（1）由題意，∵二次函數(shù)為y＝x2+4x+2，∴配方可得，y＝x2+4x+5＝（x+2）2，故答案為：y＝（x+4）2．（2）如圖所示，（3）由題意，觀察函數(shù)的圖象可得，y＞0，故答案為：≠﹣2．（4）由題意，觀察函數(shù)圖象可得，y＝0，當(dāng)x＝0時，y取得最大值為2，∴當(dāng)﹣3＜x＜0，y的取值范圍是8≤y＜4；故答案為：0≤y＜3．（5）∵當(dāng)﹣3＜x＜a時，函數(shù)y的取值范圍為0≤y＜16，當(dāng)x＝﹣7時，y＝（﹣3+2）4＝1，當(dāng)x＝﹣2時，y＝8，當(dāng)y＝16時，（a+2）2＝16，∴a＝8或a＝﹣4（舍去）．∴a的值為2，故答案為：2．21．直播購物逐漸走進了人們的生活．某電商在抖音上對一款襯衫進行直播銷售，銷售信息如下：購買件數(shù)銷售價格不超過30件單價40元超過30件每多買1件，購買的所有襯衫單價降低0.5元，但單價不得低于30元小王用1400元恰好購買了若干件此款襯衫，求小王購買該襯衫的件數(shù)．【解答】解：∵30×40＝1200＜1400，∴襯衫數(shù)超過了30件．設(shè)小王購買了x件該襯衫，根據(jù)題意，得x[40﹣（x﹣30）×0.5]＝1400，解得x8＝40，x2＝70，∵x＝70時，40﹣（70﹣30）×0.6＝